高中数学必修5数列习题与答案

18．设{
a
n
}是一个公差为
d
(
d≠0)的等差数列，它的前10项和
S
10
＝110且
a
1，
a
2
，
a
4
成等比数列．
(1)证明
a
1
＝
d
；
(2)求公差
d
的值和数列{
a
n
}的通项公式.





19．在等差数列{
a
n}中，公差
d
≠0，
a
1
，
a
2
，< br>a
4
成等比数列．已知数列
a
1
，
a
3，
a
k
1
，
a
k
2
，…，
a
k
n
，…也成等比数列，求数列{
k
n
}的通项
k
n
．





20．在数列{
a
n
}中，
S
n
＋1
＝4
a
n
＋2，
a
1
＝1．
(1)设
b
n
＝
a< br>n
＋1
－2
a
n
，求证数列{
b
n
}是等比数列；
(2)设
c
n
＝
a
n
，求证数列 {
c
n
}是等差数列；
n
2
(3)求数列{
a< br>n
}的通项公式及前
n
项和的公式.

参考答案
一、选择题
1．A
解析：由等差数列的求和公 式可得
1
S
3
3a＋3d
＝
1
＝，可得
a
1
＝2
d
且
d
≠0
3
6a
1< br>＋15d
S
6
所以
3
S
6
6a
1< br>＋15d
＝＝
27d
＝．
S
12
12a
1
＋66d
90d
10
2．B
解析：解法1：
设等比数列 {
a
n
}的公比为
q
，等差数列{
b
n
} 的公差为
d
，由
a
6
＝
b
7
，即
a
1
q
5
＝
b
7
．
∵
b
4
＋
b
10
＝2
b
7
，
∴ (
a
3
＋
a
9
)－(
b
4< br>＋
b
10
)＝(
a
1
q
2
＋
a
1
q
8
)－2
b
7

＝(
a
1
q
2
＋
a
1
q
8
)－2
a
1
q
5

＝
a
1
q
2
(
q
6
－2
q
3
＋1)
＝
a
1
q
2
(
q
3
－1)
2
≥0．
∴
a
3
＋
a
9
≥
b
4
＋
b
10
．
解法2：
2
∵
a
3·
a
9
＝
a
6
，
b
4
＋b
10
＝2
b
7
，
∴
a
3
＋
a
9
－(
b
4
＋
b
10
)＝
a
3
＋
a
9
－2
b
7
．又
a
3
＋
a
9
－2
a
3
?a
9< br>＝(
a
3
－
a
9
)
2
≥0，
∴
a
3
＋
a
9
≥2
a
3
· a
9
．
∵
a
3
＋
a
9
－2< br>b
7
≥2
a
3
?a
9
－2
b
7
＝2
a
6
－2
a
6
＝0，
∴ a
3
＋
a
9
≥
b
4
＋
b10
．
3．C
解析：∵
a
1
＋
a
2 008
＝
a
1 003
＋
a
1 006
＝
a
1 004
＋
a
1 005
，
而
a
1 003
＋
a
1 004
＋
a
1 005
＋
a
1 006
＝18，
a
1
＋
a
2 008
＝9，
∴
S
2 008
＝
4．B
1
(
a
1
＋
a
2 008
)×2 008＝9 036，故选C．
2

解析：∵
a
，
b
，
c
成等差数列，∴ 2
b
＝
a
＋c，
又
S
△
ABC
＝
13
ac
sin 30°＝，∴
ac
＝6，
22
∴ 4
b
2
＝< br>a
2
＋
c
2
＋12，
a
2
＋
c
2
＝4
b
2
－12，
又
b
2
＝
a
2
＋
c
2
－2
ac
cos 30°＝4
b
2
－12－6
3
，
∴ 3
b
2
＝12＋6
3
，
b
2
＝4＋2
3
＝( 1＋
3
)
2
．
∴
b
＝
3
＋1．

5．A
解析：题中所给圆 是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，
最大弦长为10，
∴
a
k
－
a
1
＝2，即(
k
－ 1)
d
＝2，
k
＝
∴
k
≠4．
6．A
解析：∵
a
7
＋
a
9
＝
a
4< br>＋
a
12
＝16，
a
4
＝1，∴
a
12
＝15．
7．A
解析：∵
a
2
＋
a
6
＝2
a
4
，
a
5
＋a
10
＋
a
15
＝3
a
10
，
∴ 6
a
4
＋6
a
10
＝24，即
a4
＋
a
10
＝4，
∴
S
13
＝
8．B
?
a
1
＋a
2
＋a
3
＝－24
解析：∵
?

a＋a＋a＝78
?
181
9
20
2
＋1∈[5，7]，
d
13(a
1
＋a
13
)13(a
4
＋a
10)
＝＝26．
22
∴ (
a
1
＋
a
20
)＋(
a
2
＋
a
19
)＋(
a
3
＋
a
18
)＝54，
即3(
a
1
＋
a
20
)＝54，
∴
a
1
＋
a
20
＝18，
∴
S
20
＝
9．C
解析： 因数列{
a
n
}为等比数列，则
a
n
＝2
q
n
－1
．因数列{< br>a
n
＋1}也是等比数列，
则(
a
n
＋1
＋1)
2
＝(
a
n
＋1)(
a
n
＋2＋1)
?
a
n＋1
＋2
a
n
＋1
＝< br>a
n
a
n
＋2
＋
a
n
＋
a
n
＋2

2
20(a
1
＋a
20
)
＝180．
2
?
a
n
＋
a
n
＋2
＝2
a
n
＋1
?
a
n
(1＋
q
2
－2
q
)＝0
?
(
q
－1)
2
＝0
?
q
＝1．
由
a
1
＝2得
a
n
＝2，所以
S
n
＝2
n
．
10．C
解析：依题意
a
2
＝
a
1
q
＝2，
a
5
＝a
1
q
4
＝
1
1
，两式相除可求得
q
＝，
a
1
＝4，又因为数
42
列{
a
n< br>}是等比数列，所以{
a
n
·
a
n
＋1
}是 以
a
1
a
2
为首项，
q
2
为公比的等比数 列，根据等比数列
2n
32
前
n
项和公式可得
a
1
a
2
(1－
2
q)
＝(1－4
－
n
)．
3
1－q

二、填空题
11．－2．
解析 ：当
q
＝1时，
S
n
+1
＋
S
n
+2
＝(2
n
＋3)
a
1
≠2
na
1＝2
S
n
，∴
q
≠1．
由题意2
S
n
＝
S
n
+1
＋
S
n
+2
?< br>S
n
+2
－
S
n
＝
S
n
－
S
n
+1
，

即－
a
n
+1＝
a
n
+2
＋
a
n
+1
，
a
n
+2
＝－2
a
n
+1
，故
q
＝ －2．
12．1．
解析：方法一 ∵
S
n
－
S
n
－1
＝
a
n
，又
S
n
为等差数列，∴
a
n
为定值．
∴ {
a
n
}为常数列，
q
＝
a
n
＝1． < br>a
n?1
方法二：
a
n
为等比数列，设
a
n
＝
a
1
q
n
－1
，且
S
n
为等差数列，
∴ 2
S
2
＝
S
1
＋
S
3
，2
a
1
q
＋2
a
1
＝2a
1
＋
a
1
＋
a
1
q
＋a
1
q
2
，
q
2
－
q
＝0，
q
＝0(舍)
q
＝1.
所以答案为1．
13．256，377．
解析：
a
9
＝2
8
＝256，
S
9＝(
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋< br>a
7
＋
a
9
)＋(
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＋
a
8
)
＝(1＋ 2
2
＋2
4
＋2
6
＋2
8
)＋(3＋7＋ 11＋15)
＝341＋36
＝377．
14．74．
解析：由{< br>a
n
}是等比数列，
S
10
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
10
，
S
20
－
S
10
＝
a
11
＋
a
12
＋…＋
a
20
＝
q
10
S
10
，
S30
－
S
20
＝
a
21
＋
a
22
＋…＋
a
30
＝
q
20
S
10
，即
S
10
，
S
20
－
S
10
，
S
30
－
S
20
也成等比数列，
得(
S
20
－
S
10
)
2
＝
S
10(
S
30
－
S
20
)，得(56－32)
2< br>＝32(
S
30
－56)，
(56－32)
2
∴
S
30
＝＋56＝74．
32
1
11
15．，．
2
2
解析：将
a
1
＋
a
2
＋a
3
＝8，

①
②
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＝－4．
两式相除得
q
3
＝－

1
，
2

?
?
1
?
5
?
8
?
1－
?
－
?
?
4
11
1
?
2
?
?
1
?
＝，
S
＝
?
??
∴ < br>a
13
＋
a
14
＋
a
15
＝(a
1
＋
a
2
＋
a
3
)
q
12
＝8·
?
＝．
15
－
??
22
1
2
??
1＋
2
16．
15
．2

解析：由
a
n
+2
＋
a
n
+1
＝6
a
n
得
q
n
+1
＋
q
n
＝6
q
n
－1
，即
q
2
＋q
－6＝0，
q
＞0，解得
q
＝2，
1
4< br>(1－2)
15
1
2
又
a
2
＝1，所以a
1
＝，
S
4
＝＝．
2
2
1－2
三、解答题
17．解析：设等差数列{
an
}的公差为
d
，由前
n
项和的概念及已知条件得
2
a
1
＝9(2
a
1
＋
d
)，



①
② 4
a
1
＋6
d
＝4(2
a
1
＋
d
)．
由②得
d
＝2
a
1
，代入①有
a< br>1
2
＝36
a
1
，解得
a
1
＝0或
a
1
＝36．
将
a
1
＝0舍去． 因此
a
1
＝36，
d
＝72，

故数列{
a
n
}的通项公式
a
n
＝36＋(
n
－1)·72 ＝72
n
－36＝36(2
n
－1)．
2
18．解析：( 1)证明：因
a
1
，
a
2
，
a
4
成等比数列，故
a
2
＝
a
1
a
4
， 而{
a
n
}是等差数列，有
a
2
＝
a
1
＋
d
，
a
4
＝
a
1
＋3
d
，于是(
a
1
＋
d
)
2
＝
a
1
(
a
1
＋3
d
)，
即
a1
2
＋2
a
1
d
＋
d
2
＝< br>a
1
2
＋3
a
1
d
．
d
≠0，化简得
a
1
＝
d
．
(2)由条 件
S
10
＝110和
S
10
＝10
a
1< br>＋
10
?
9
d
，得到10
a
1
＋4 5
d
＝110，
2
由(1)，
a
1
＝
d
，代入上式得55
d
＝110，故
d
＝2，
a
n< br>＝
a
1
＋(
n
－1)
d
＝2
n．
因此，数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝ 2
n
(
n
＝1，2，3，…)．
2
19．解析；由题意得
a
2
＝
a
1
a
4
，
即(
a
1
＋
d
)
2
＝
a
1
(
a
1
＋3
d
)，
d
(
d
－
a< br>1
)＝0，
又
d
≠0，∴
a
1
＝
d
．
又
a
1
，
a
3
，
a
k
1
，
a
k
2
，…，
a
k
n
，…，成等比数列，
∴ 该数列的公比为
q
＝
a
3
3d
＝＝3， ∴
a< br>k
n
＝
a
1
·3
n
+1
．
a
1
d

又
a
k
n
＝
a< br>1
＋(
k
n
－1)
d
＝
k
n
a
1
，
∴
k
n
＝3
n
+1
为数列{
k
n
}的通项公式．
20．解析：(1)由
a
1
＝1，及
S
n
＋1
＝4
a
n
＋2， 有
a
1
＋
a
2
＝4
a
1
＋2 ，
a
2
＝3
a
1
＋2＝5，∴
b
1
＝
a
2
－2
a
1
＝3．
由
S
n
＋1
＝4
a
n
＋2 ①， 则当
n
≥2时，有
S
n
＝4
a
n
－1＋2． ②
②－①得
a
n
＋1
＝4
a
n
－4
a
n
－1
，∴
a
n
＋1
－ 2
a
n
＝2(
a
n
－2
a
n
－1
)．
又∵
b
n
＝
a
n
＋1
－ 2
a
n
，∴
b
n
＝2
b
n
－1
．∴ {
b
n
}是首项
b
1
＝3，公比为2的等比数列．
∴
b
n
＝3×2

n
－1
．
a
n?1
a
n
a
n?1
?2a
n
3?2< br>n?1
3
b
n
a
n
(2)∵
c
n
＝
n
，∴
c
n
＋1
－c
n
＝
n?1
－
n
＝＝
n?1
＝＝，
2
n?1
2
n?1
2
22
24
c
1
＝
a
1
1
13
＝，∴ {
c
n
}是以为首项，为公差的等差数列．
24
2
2
(3)由(2)可知数列
?
∴

?
a
n
?
13
是首项为，公差为的等差数列．
?
n
2
24
??
a
n
1
1
33< br>＝＋(
n
－1)＝
n
－，
a
n
＝(3
n
－1)·2
n
－2
是数列{
a
n
}的通项公式 ．
n
2
2
44
4
设
S
n
＝(3 －1)·2
－1
＋(3×2－1)·2
0
＋…＋(3
n
－1 )·2
n
－2
．
S
n
＝2
S
n
－
S
n
＝－(3 －1)·2
－1
－3(2
0
＋2
1
＋…＋2
n－2
)＋(3
n
－1)·2
n
－1
2
n－1
－1
＝－1－3×＋(3
n
－1)·2
n
－1
2－1
＝－1＋3＋(3
n
－4)·2
n
－1

＝2＋(3
n
－4)·2
n
－1
．
∴ 数列{< br>a
n
}的前
n
项和公式为
S
n
＝2＋(3< br>n
－4)·2
n
－1
．