怎样提高中数学成绩-司马红丽高中数学视频全套
数列知识点总结
一、等差数列与等比数列
定义
通项公式
递推公式
中项
等差数列
a
n?1
-
a
n
=d
等比数列
a
n?1
=q(q
?
0)
a
n
a
n
=
a
1
q
n?1
(q
?
0)
a
n
=
a
n?1
q
a
n
=
a
m
q
n?m
a
n
=
a
1
+(n-1)d
a
n
=
a
n?1
+d,
a
n
=
a
m
+(n-m)d
a?a
n?k
a?b
A=
推广:A=
n?k
(n,k
2
2
?
N
+
;n>k>0)
G
2
?ab
。推广:G=
?a
n
?k
a
n?k
(n,k
?
N
+
;n>k>0)
。任意两数a
、
c不一定
有等比中项,除非有ac>0,则等比中
项一定有两
个
前n项和
性质
a
1
(1?q
n)
S
n
=
1?q
a?a
n
q
S
n
=
1
<
br>1?q
(1)若
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
(1)若
m?n?
p?q
,则
·a
n
?a
p
·a
q
(2)数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?
a
2n?1
?
仍为等差数
a
m
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
……
仍为等差数
(2)
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
……
仍<
br>列,
n
2
为等比数列,公比为
q
列,公差为
nd
;
(3)若三个成等差数列,可设为
a?d,a,a?d
(4)若
a
n
,b
n
是等差数列,且前
n
项和分别
为
S
n
,T
n
,则
n
S
n
=(
a<
br>1
+
a
n
)
2
n(n?1)
S
n
=n
a
1
+d
2
a
m
S
2m?1
?
b
mT
2m?1
2
(5)
?
a
n
?
为等差
数列
?S
n
?an?bn
(
a,b
为常数,是关于
n
的常数项为0的二
次函数)
(6)d=
a
m
?a
n
(m
?
n)
m?n
(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列
二、求数列通项公式的方法
1、通项公式法:等差数列、等比数列
a
n<
br>?
?
2、涉及前n项和S
n
求通项公式,利用a
n
与
S
n
的基本关系式来求。即
?
s
1
?a
1
(n?1)
?
s
n
?s
n?1
(n?2)
例1、
在数列{
a
n
}中,
S
n
表示其前n项和,且
S<
br>n
?n
,求通项
a
n
.
2
例2、在数列{
a
n
}中,
S
n
表示其前n项和,且
S
n
?2?3a
n
,求通项
a
n
3、已知递推公式,求通项公式。
(1)叠加法:递推关系式形如
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
型
例
3、已知数列{
a
n
}中,
a
1
?1
,
a
n?1
?a
n
?n
,求通项
a
n
练习1、在数列{
a
n
}中,
a
1
?3
,
a
n?1
?a
n
?2
,求通项
a
n
<
br>n
a
n?1
a
n
n
例4、在数列{
a
n
}中,
a
1
?1
,
a
?a
n
,求通项
a
n
n?1
n?1n
练习2、在数列{
a
n
}中,
a
1
?3,
a
n?1
?a
n
?2
,求通项
a
n
?f
?
n
?
型 (2)叠乘法:递推关系式形如
(3)构造等比数列:递推关系式形如
a
n?1
?Aa
n
?
B
(A,B均为常数,A≠1,B≠0)
例5、已知数列{
a
n
}
满足
a
1
?4
,
a
n
?3a
n?1
?2
,求通项
a
n
练习3、已知数列{
a
n<
br>}满足
a
1
?3
,
a
n?1
?2a
n
?3
,求通项
a
n
(4)倒数法
a
n?1
?
例6、在数列{a
n
}中,已知
a
1
?1
, ,求数列的通项
a
n
四、求数列的前n项和的方法
1、利用常用求和公式求和:
等差数列求和公式:<
br>S
n
?
2a
n
a
n
?2
n(a1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
22
(q?1)
?
na
1
?
n
等比数列求和公式:
S
n
?
?
a
1
(1?q)a
1
?a
n
q
?(q?1)
?
1?
q
?
1?q
2、错位相减法:主要用于求数列{a
n
·b
n
}的前n项和,其中
{a
n
}
、
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.[例1] 求数列
2462n
,
2<
br>,
3
,???,
n
,???
前n项的和.
2
222
23n?1
[例2]
求和:
S
n
?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
???am
?a
n?m?1
3、倒序相加法:数列{
a
n
}的第m项与倒数第m项的和相等。即:
[例3] 求
sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89
的值
[例4] 函数
f
?
x
?
对任
x?R
都
有
f
?
x
?
?f
?
1?x
?
?<
br>
f
?
0
?
?f
?
2?2?2
?2?2?
1
,求:
2
?
1
??
2
??
n?1
?
?
?f
??
???f
??
?f<
br>?
1
?
nnn
??????
4、分组求和法:主要
用于求数列{a
n
?
b
n
}的前n项和,其中
{a
n
}
、
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列
[例5] 求数列:
1?
1111
,2?,3?,?,n?
n
,?<
br>的前n项和
2482
[例6]
求和:
?
a?1
?
?a?2?a?3???a?n
23n
??????
5、裂项相消法:通项分解
(1)
a
n
?
1111111
???(?)
(2)
a
n
?
n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k
111
?n?1?n
(4)
a
n
??(n?k?n)
n?1?nn?k?n
k
2
12n
,又
b
n
?
,求数列{b
n}的前n项的和.
????
a
n
?a
n?1
n?1n?1n?1
(3)
a
n
?
[例7]
在数列{a
n
}中,
a
n
?
[例8] 已知正项数列{a
n
}满足
a1
且
a
2
1
?
n?1
?a
2
n
?1
?
n?N
*
?
(Ⅰ)求数列{a
n
}的前n项的和
(Ⅱ)令
b
1<
br>n
?
aa
,求数列{b
n
}的前n项的和
T
n
n
?
n?1
五、在等差数列{
a
n
}
中,有关S
n
的最值问题
:(1)当
a
时,满足
??
a
m
?0
1
>0,d<0的项数m使得
s
?
a
m
取最大值.
m?1
?0
(2)当
a
?
a
m
?0
1
<0,d>0时,满足
?
的项数m
使得
s
?
a0
m
取最小值。
m?1
?
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