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高中数学必修5数列单元测试题含解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 02:04
tags:高中数学必修5数列

苏教版高中数学必修一教案-邝中高中数学资料

2020年9月20日发(作者:赵令欢)


新课标数学必修5第2章数列单元试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为( )
A.34 B.35 C.36 D.37
考查等差数列的应用.
【解析】观察出100至500之间能被 11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等
差数列,公差为11,数a
n=110+(n-1)·11=11n+99,由a
n
≤500,解得n≤36.4,n∈ N
*

∴n≤36.
【答案】C
2.在数列{a
n}中,a
1
=1,a
n+1
=a
n
2
-1(n ≥1),则a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
等于( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
考查数列通项的理解及递推关系.
【解析】由已知:a
n+1
=a
n
2
-1=(a
n
+1)(a
n
-1),
∴a< br>2
=0,a
3
=-1,a
4
=0,a
5
=- 1.
【答案】A
3.{a
n
}是等差数列,且a
1
+a
4
+a
7
=45,a
2
+a
5
+a
8
=39,则a
3
+a
6
+a
9
的值是( )
A.24 B.27 C.30 D.33
考查等差数列的性质及运用.
【解析】a
1
+a
4
+a
7
,a
2
+a
5
+a
8
,a
3
+a
6
+a
9
成等差数列,故a
3
+a
6
+a
9
=2×39 -45=33.
【答案】D
4.设函数f(x)满足f(n+1)=
2f(n)? n
2
(n∈N
*
)且f(1)=2,则f(20)为(
A.95 B.97 C.105 D.192
考查递推公式的应用.
?
?f(2)?f(1)?
1
?1
?
2
?
【解析】f(n+ 1)-f(n)=
n
?
f(3)?f(2)?
1
?2
2?
?
2

?
?
? ??
?
?
f(20)?f(19)?
1
2
?19
相加得f(20)-f(1)=
1
2
(1+2+…+19)
?
f(2 0)=95+f(1)=97.
【答案】B
5.等差数列{a
n
}中,已 知a
1
=-6,a
n
=0,公差d∈N
*
,则n(n≥3) 的最大值为(
A.5 B.6 C.7 D.8
考查等差数列的通项.
【解析】a
6
n
=a
1
+ (n-1)d,即-6+(n-1)d=0
?
n=
d
+1
∵d∈N
*
,当d=1时,n取最大值n=7.
【答案】C
6. 设a
n
=-n
2
+10n+11,则数列{a
n
}从首项到 第几项的和最大( )
A.第10项 B.第11项 C.第10项或11项 D.第12项
考查数列求和的最值及问题转化的能力.
【解析】由a
n
= -n
2
+10n+11=-(n+1)(n-11),得a
11
=0,而a< br>10
>0,a
12
<0,S
10
=S
11

1 5



【答案】C
7.已 知等差数列{a
n
}的公差为正数,且a
3
·a
7
=-12 ,a
4
+a
6
=-4,则S
20
为( )
A.180 B.-180 C.90 D.-90
考查等差数列的运用.
【解析】由等差数列性质,a
4
+a
6
=a
3
+a
7
=-4与a
3
·a
7
=-12联立,即a
3,a
7
是方程x
2
+4x
-12=0的两根,又公差d>0,∴ a
7
>a
3
?
a
7
=2,a
3
= -6,从而得a
1
=-10,d=2,S
20
=180.
【答案】A
8.现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能 的少,那
么剩余钢管的根数为( )
A.9 B.10 C.19 D.29
考查数学建模和探索问题的能力.
n(n?1)
<200.
2
19?20
显然n=20时,剩余钢管最少,此时用去=190根.
2
【答案】B
9.由公差为d的等差数列a
1
、a
2、a
3
…重新组成的数列a
1
+a
4
, a
2
+a
5
, a
3
+a
6
…是( )
A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列
C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列
考查等差数列的性质.
【解析】(a
2
+a
5< br>)-(a
1
+a
4
)=(a
2
-a
1
)+(a
5
-a
4
)=2d.(a
3
+a
6)-(a
2
+a
5
)=(a
3

a
2
)+(a
6
-a
5
)=2d.依次类推.
【答案】B < br>10.在等差数列{a
n
}中,若S
9
=18,S
n
=240,a
n

4
=30,则n的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
考查等差数列的求和及运用.
9(a
1
?a
9
)
【解析】S
9
==18
?
a< br>1
+a
9
=4
?
2(a
1
+4d)=4.
2
n(a
1
?a
n
)
∴a
1
+4 d=2,又a
n
=a
n

4
+4d.∴S
n
==16n=240.
2
∴n=15.
【答案】B

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
【解析】1+2+3+…+n<20 0,即
11.在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1=
2a
n
2
(n∈N
*
),则是这个数列的第____ _____项.
a
n
?2
7
考查数列概念的理解及观察变形能力.
【解析】由已知得
1
a
n?1
=
1
1
1< br>1
1
+,∴{}是以=1为首项,公差d=的等差数列.
a
1
a
n
2
a
n
2

1
122
=1 +(n-1),∴a
n
==,∴n=6.
a
n
2n?17
【答案】6
12.在等差数列{a
n}中,已知S
100
=10,S
10
=100,则S
110=_________.
2 5


考查等差数列性质及和的理解. < br>【解析】S
100
-S
10
=a
11
+a
1 2
+…+a
100
=45(a
11
+a
100
)= 45(a
1
+a
110
)=-90
?
a
1
+a
110
=-2.
1
(a
1
+a
110
)×110=-110.
2
【答案】-110
13.在-9和3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为- 21的等差数列,则n=_______.
考查等差数列的前n项和公式及等差数列的概念.
(n?2)(?9?3)
【解析】-21=,∴n=5.
2
【答案】5 < br>S
110
=
14.等差数列{a
n
},{b
n
}的前n项和分别为S
n
、T
n
,若
考查等差数列求和公式及等差 中项的灵活运用.
S
n
a
2n
=,则
11
=_________.
T
n
3n?1
b
11
(a
1
?a
21
)21(a
1
?a
21
)
aS
2?2121< br>22
?
【解】
11
==
21
?

?
(b?b)21(b?b)
b
11
T
21
3?21?13 2
121121
22
21

32
三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)若等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问它们有多 少
相同的项?
考查等差数列通项及灵活应用.
【解】设这两个数列分别为{an
}、{b
n
},则a
n
=3n+2,b
n
= 4n-1,令a
k
=b
m
,则3k+2=4m-1.
∴3k=3(m-1)+m,∴m被3整除.
设m=3p(p∈N
*
),则k=4p-1.
∵k、m∈[1,100].
则1≤3p≤100且1≤p≤25.
∴它们共有25个相同的项.
16.(本小 题满分10分)在等差数列{a
n
}中,若a
1
=25且S
9
=S
17
,求数列前多少项和最大.
考查等差数列的前n项和公式的应用. 9?(9?1)17(17?1)
【解】∵S
9
=S
17
,a< br>1
=25,∴9×25+d=17×25+d
22
n(n?1)
解得 d=-2,∴S
n
=25n+(-2)=-(n-13)
2
+169.
2
由二次函数性质,故前13项和最大.
注:本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d=-2,数列a
n
为递减数列.
a
n
=25+(n-1)(-2)≥0,即n≤13.5.
∴数列前13项和最大.
17.(本小题满分12分)数列通项公式为a
n
=n
2
-5n+4,问
(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,a
n
有最小值?并求出最小值.
考查数列通项及二次函数性质.
【解】(1)由a
n
为负数,得n
2
-5n+4<0,解得1∵n∈N
*
,故n=2或3,即数列有2项为负数,分别是第2项和第3项.
【答案】
3 5


5
2
95
)-,∴对称轴为n==2.5
242< br>又∵n∈N
*
,故当n=2或n=3时,a
n
有最小值,最小值为2< br>2
-5×2+4=-2.
18.(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第一分钟走
2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇.
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续
每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
考查等差数列求和及分析解决问题的能力.
n(n?1)
【解】(1)设n分钟后第1次相遇,依题意得2n++5n=70
2
整理得:n
2
+13n-140=0,解得:n=7,n=-20(舍去)
∴第1次相遇在开始运动后7分钟.
n(n?1)
(2)设n分钟后第2次相遇,依题意有:2n++5n=3×70
2
整理得:n
2
+13n-6×70=0,解得:n=15或n=-28(舍去)
第2次相遇在开始运动后15分钟.
1
19.(本小题满分12分)已知数列{a< br>n
}的前n项和为S
n
,且满足a
n
+2S
n
·S
n

1
=0(n≥2),a
1
=.
2(2)∵a
n
=n
2
-5n+4=(n-
(1)求证:{
1
}是等差数列;
S
n
(2)求a
n
表达式;
(3)若b
n
=2(1-n)a
n
(n≥2),求证:b
2
2
+b
3
2
+…+b
n
2
<1.
考查数列求和及分析解决问题的能力.
【解】(1)∵-a
n
=2S
n
S
n

1
,∴-S
n
+S
n

1
=2S
n
S
n

1
(n≥2) S
n
≠0,∴
11111
-=2,又==2,∴{}是以2为首项,公差 为2的等差数列.
S
n
S
n
?1
S
1
a
1
S
n
1
1
=2+(n-1)2=2n,∴S
n< br>=
S
n
2n
1

2n(n?1)
(2)由 (1)
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n

1
=-
?
1
(n?1)
?1
?
2
n=1时,a
1
=S
1
=,∴a
n
=
?

1
2
?
- (n?2)
?
?
2n(n-1)
(3)由(2)知b
n
=2(1-n)a
n
=
∴b
2
2
+b
3
2
+…+b
n
2
=
1

n
1
1
1
1
11
++…+<++…+
( n?1)n
n
2
1?2
2?3
2
2
3
2< br>4 5


=(1-

111111
)+(-)+…+(-)=1-<1.
223n?1nn
5 5

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