高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)资料讲解

高中数学必修5__第
二章《数列》复习知
识点总结与练习(一)

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高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）
一．数列的概念与简单表示法
知识能否忆起

1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类：
分类标准
项数
类型
有穷数列
无穷数列
递增数列
项与项间的
大小关系

(3)数列的通项公式：
如果数列{a
n
}的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{a
n
}的首项(或前几项)，且任一项a
n
与它的前一项a
n
－
1
(n≥2)(或前几项)
间的关系可用一个公式来表示，那么 这个公式叫数列的递推公式．
1.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一 列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且
还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素 的无序性．因此，若组成两个数列
的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区
别．
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N
*
(或它的有限子集{ 1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的
通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a
n
(n∈N
*
)．

3.考点
（一）由数列的前几项求数列的通项公式
递减数列
常数列
满足条件
项数有限
项数无限
a
n
＋
1
>a
n

a
n
＋
1
n

a
n
＋
1
＝a
n

其中
n∈N
*

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[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{ a
n
}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式
的是( )
A．a
n
＝1
nπ
sin
?
C．a
n
＝2－
?
?
2
?



?－1?
n
＋1
B．a
n
＝
2

?－1?
n
1
＋3
D．a
n
＝
2
－
nπ
sin
?
可得a
1
＝1，a
2
＝ 2， [自主解答] 由a
n
＝2－
?
?
2
?
a< br>3
＝1，a
4
＝2，….
[答案] C
由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n
之间的关系、规 律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来
求．对于正负符号变化，可用( －1)
n
或(－1)
n
1
来调整．
2．根据数列的前几项 写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到
一般”的思想
以题试法
写出下面数列的一个通项公式．
(1)3,5,7,9，…；
1371531
(2)，，，，，…；
2481632
(3)3,33,333,3 333，…；
31313
(4)－1，，－，，－，，….
23456
解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a
n
＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2
1,
2
2,
2
3,
2
4
，…，所以
2
n
－1
a
n＝
n
.
2
＋
9999999999
(3)将数列各项 改写为
，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,10
2
－
3333
1,10
3
－1,10
4
－1，….
1
所以a
n
＝(10
n
－1)．
3
(4 )奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)
n
；各项绝对值的分母组成数
列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为
2 －1，偶数项为2＋1，
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2＋?－1?
n
所以a
n
＝(－ 1)
n
·
，也可写为
n
?
a＝
?
3?
n
，n为正偶数.
n
1
－，n为正奇数，
n


（二）由a
n
与S
n
的关系求通项a
n
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
，求数列的通项公式，其求解过程分为三 步：
(1)先利用a
1
＝S
1
求出a
1
； (2)用n－1替换S
n
中的n得到一个新的关系，利用a
n
＝S
n
－S
n
－
1
(n≥2)便可求出当n≥2
时a
n
的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a
n
的表达式，如果符合，则可以把
数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
[例2] 已知数列{a
n
}的前n项和S
n
，根据下列条件分别求 它们的通项a
n
.
(1)S
n
＝2n
2
＋3n； (2)S
n
＝3
n
＋1.
[自主解答] (1)由题可知，当n＝ 1时，a
1
＝S
1
＝2×1
2
＋3×1＝5，
当 n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝(2n
2＋3n)－[2(n－1)
2
＋3(n－1)]＝4n＋1.
当n＝1时，4×1＋1＝5＝a
1
，故a
n
＝4n＋1.
(2)当n＝1时，a
1
＝S
1
＝3＋1＝4，
当n≥2时，
a
n
＝S
n
－S
n－1
＝ (3
n
＋1)－(3
n
－
1
＋1)＝2×3
n－
1
.
当n＝1时，2×3
1
－
1
＝2≠a
1
，
?
?
4， n＝1，
故a
n
＝
?

n
－
1
2×3
， n≥2.
?
?
以题试法
n1
(2012·聊城模拟)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
＝，则＝( )
a
5
n＋1
56
A. B.
65
1
C.
30
D．30

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n－1
n11
解析：选D 当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝
－
n
＝，则a
5
＝
＝5×6
n＋1n?n＋1?
1
30
.
（三）数列的性质
[例3] 已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝n
2－21n＋20.
(1)n为何值时，a
n
有最小值？并求出最小值；
(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
21
36121
n－
?
2
－
[自主解答] (1) 因为a
n
＝n
2
－21n＋20＝
?
，可知对称轴方程为n ＝＝
2
??
42
10.5.又因n∈N
*
，故n＝10或n ＝11时，a
n
有最小值，其最小值为11
2
－21×11＋20＝－90.
(2)设数列的前n项和最小，则有a
n
≤0，由n
2
－21n＋2 0≤0，解得1≤n≤20，故数列
{a
n
}从第21项开始为正数，所以该数列的前 19或20项和最小．
由题悟法
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间 的对应关系，构造相应的函数a
n
＝f(n)，利用求解函数最值的方法
求解，但要注 意自变量的取值．
2．前n项和最值的求法
(1)先求出数列的前n项和S
n
，根据S
n
的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若a
m
≥0，且a
m
＋
1<0，则S
m
最大；若a
m
≤0，且a
m
＋
1
>0，则
S
m
最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
以题试法
n
3．(2012·江西七校联考)数列{a
n
}的通项 a
n
＝
2
，则数列{a
n
}中的最大值是( )
n＋90
A．310
1
C.
19





B．19
D.
10

60
111
解析：选C a
n
＝，由基本不等式得，≤，由于n∈N
*
，易知当n＝9
9090
290
n＋n＋
nn
1
或10时，a
n
＝最大．
19
二．等差数列及其前n项和
知识能否忆起

一、等差数列的有关概念
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1．定义：如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列．符 号表示为a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
，d为常数)．
a＋b
2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A 叫做a，b的
2
等差中项．
二、等差数列的有关公式
1．通项公式：a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
2．前n项和公式：S
n
＝na
1
＋
三、等差数列的性质
1．若m，n，p，q∈N
*
，且m＋n＝p＋q，{a
n
}为等差 数列，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
. < br>2．在等差数列{a
n
}中，a
k
，a
2k
，a3k
，a
4k
，…仍为等差数列，公差为kd.
3．若{a
n
}为等差数列，则S
n
，S
2n
－S
n
，S
3n
－S
2n
，…仍为等差数列，公差为n
2
d.
4． 等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a
1
<0时前n项和S
n
有最 小值．d<0时
为递减数列，且当a
1
>0时前n项和S
n
有最大值 ．
5．等差数列{a
n
}的首项是a
1
，公差为d.若其前n项之 和可以写成S
n
＝An
2
＋Bn，则A
dd
＝，B＝a1
－，当d≠0时它表示二次函数，数列{a
n
}的前n项和S
n
＝An
2
＋Bn是{a
n
}成等
22
差数列的充要条件．
1.与前n项和有关的三类问题
(1)知三求二：已知a
1
、d、n、a< br>n
、S
n
中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方
程思想． < br>d
d
a
1
－
?
n＝An
2
＋Bn? d＝2A.
(2)S
n
＝n
2
＋
?
2
? ?
2
(3)利用二次函数的图象确定S
n
的最值时，最高点的纵坐标不一定是 最大值，最低点的
纵坐标不一定是最小值．
2．设元与解题的技巧
已知三个或四个 数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且
和为定值时，可设为…，a－2d， a－d，a，a＋d，a＋2d，…；
若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，
其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

考点
n?n－1??a
1
＋a
n
?n
d＝.
22
等差数列的判断与证明
[例1] 在数列{a
n
}中，a1
＝－3，a
n
＝2a
n
－
1
＋2
n
＋3(n≥2，且n∈N
*
)．
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(1)求a
2
，a
3
的值； < br>a
n
＋3
(2)设b
n
＝
n
(n∈N
*
)，证明：{b
n
}是等差数列．
2
[自主解答] (1)∵ a
1
＝－3，a
n
＝2a
n－1
＋2
n
＋ 3(n≥2，且n∈N
*
)，∴a
2
＝2a
1
＋2
2
＋3＝1，
a
3
＝2a
2
＋2
3
＋3＝ 13.
(2)证明：对于任意n∈N
*
，
a
n＋1
＋3 a
n
＋3
11
∵b
n＋1
－b
n
＝
n
1
－
n
＝
n
1
[(a
n＋1
－2a
n
)－3]＝
n
1
[(2
n
＋
1< br>＋3)－3]＝1，
2
2
＋
2
＋
2
＋a
1
＋3
－3＋3
∴数列{b
n
}是首项为
＝ ＝0，公差为1的等差数列．
22
由题悟法
1．证明{a
n
}为等差数列的方法：
(1)用定义证明：a
n< br>－a
n
－
1
＝d(d为常数，n≥2)?{a
n
}为 等差数列；
(2)用等差中项证明：2a
n
＋
1
＝a
n< br>＋a
n
＋
2
?{a
n
}为等差数列；
(3)通项法：a
n
为n的一次函数?{a
n
}为等差数列； n?a
1
＋a
n
?
(4)前n项和法：S
n
＝ An
2
＋Bn或S
n
＝.
2
2．用定义证明等差数列时， 常采用的两个式子a
n
＋
1
－a
n
＝d和a
n－a
n
－
1
＝d，但它们的
意义不同，后者必须加上“n≥2” ，否则n＝1时，a
0
无定义．
以题试法
1．已知数列{a
n< br>}的前n项和S
n
是n的二次函数，且a
1
＝－2，a
2＝2，S
3
＝6.
(1)求S
n
；
(2)证明：数列{a
n
}是等差数列．
解：(1)设S
n
＝An
2
＋Bn＋C(A≠0)，
－2 ＝A＋B＋C，
?
?
则
?
0＝4A＋2B＋C，
?
?
6＝9A＋3B＋C，


解得A＝2，B＝－4，C＝0.故S
n
＝2n
2
－4n.
(2)证明：∵当n＝1时，a
1
＝S
1
＝－2.
当n≥ 2时，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝2n
2
－ 4n－[2(n－1)
2
－4(n－1)]＝4n－6.
∴a
n
＝ 4n－6(n∈N
*
)．a
n＋1
－a
n
＝4，
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∴数列{a
n
}是等差数列.
等差数列的基本运算

典题导入
[例2] (2012·重庆高考)已知{a
n
}为等差数列，且 a
1
＋a
3
＝8，a
2
＋a
4
＝12.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)记{a
n
}的前n 项和为S
n
，若a
1
，a
k
，S
k
＋2
成等比数列，求正整数k的值．
[自主解答] (1)设数列{a
n
}的公差为d，由题意知
??
?
2a
1
＋2d＝8，
?
a
1
＝2，
解得
?
< br>?
??
?
2a
1
＋4d＝12，
?
d＝2.
所以a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. n?a
1
＋a
n
?n?2＋2n?
(2)由(1)可得S
n
＝
＝＝n(n＋1)．
22
因为a
1
，a
k
，S
k＋2
成等比数列，所以a
2
k
＝a
1
S
k＋2
.
从而(2k)
2
＝2(k＋2)(k＋3)，即k< br>2
－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
由题悟法
n?a
1
＋a
n
?n?n－1?
1．等 差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d及前n项和公式S
n< br>＝＝na
1
＋
22
d，共涉及五个量a
1
，a
n
，d，n，S
n
，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
2 ．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a
1
和d是等差数
列 的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
以题试法
2．(1)在等差数列中，已 知a
6
＝10，S
5
＝5，则S
8
＝________.
S
4
S
3
(2)设等差数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，若－＝1，则公差为________．
129
解析：(1)∵a
6
＝10，S
5
＝5，

?
?
a
1
＋5d＝10，
∴
?

?
?
5a
1
＋10d＝5.
?
?
a
1＝－5，
解方程组得
?

?
?
d＝3.
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则S
8
＝8a
1
＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44. (2)依题意得S
4
＝4a
1
＋
4a
1
＋6d
4×33×2
d＝4a
1
＋6d，S
3
＝3a
1< br>＋d＝3a
1
＋3d，于是有
－
2212
3a
1＋3d
＝1，由此解得d＝6，即公差为6.
9
答案：(1)44 (2)6
等差数列的性质

典题导入
[例3] (1)等差数列{a
n< br>}中，若a
1
＋a
4
＋a
7
＝39，a
3< br>＋a
6
＋a
9
＝27，则前9项和S
9
等于
( )
A．66
C．144
B．99
D．297
(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a
n
}的前n项 和S
n
，若S
4
＝8，S
8
＝20，则a
11＋a
12
＋a
13
＋a
14
＝( )
A．18
C．16












B．17
D．15
[自主解答] (1)由等差数列的性质及a
1
＋a
4< br>＋a
7
＝39，可得3a
4
＝39，所以a
4
＝13 .同
理，由a
3
＋a
6
＋a
9
＝27，可得a6
＝9.
9?a
1
＋a
9
?9?a
4
＋a
6
?
所以S
9
＝
＝＝99.
22
(2)设{a
n
}的公差为d，则a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
＝S
8
－S
4
＝12，(a
5< br>＋a
6
＋a
7
＋a
8
)－S
4
＝1 6d，解
1
得d＝，a
11
＋a
12
＋a
13＋a
14
＝S
4
＋40d＝18.
4
[答案] (1)B (2)A
由题悟法
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项 和公式等基础知识的推广
与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数 列问题．
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
以题试法
3．(1)(2012·江西高考)设数列{a
n
}，{b
n
}都是 等差数列，若a
1
＋b
1
＝7，a
3
＋b
3
＝21，则
a
5
＋b
5
＝________.
(2)( 2012·海淀期末)若数列{a
n
}满足：a
1
＝19，a
n＋
1
＝a
n
－3(n∈N
*
)，则数列{a
n
}的前n
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项和数值最大时，n的值为( )
A．6
C．8








B．7
D．9
解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c
n
}，由题意知新数列仍为等差数列且c
1
＝7，
c
3
＝21，则c
5
＝2c
3
－c
1
＝2×21－7＝35.
(2)∵a
n
＋
1
－a
n
＝－3，∴数列{a
n
}是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a
n
＝19＋
??
?
a
k
≥0，
?22－3k≥0，
?
(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有即
?

?
a
k
＋
1
≤0，
?
??
22－3?k＋1?≤0，

1922
解得≤k≤.∵k∈N
*
，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.
33
答案：(1)35 (2)B
三．等比数列及其前n项和

[知识能否忆起]
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么
这个数列就叫做等比数列．这个 常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表
a
n
＋
1
达 式为＝q(n∈N
*
，q为非零常数)．
a
n
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中
项?a， G，b成等比数列?G
2
＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a
n
＝a
1
q
n
1
.
na
1
，q＝1，
?
?
(2)前n项和公式：S
n
＝
?
a
1
?1－q
n
?a
1
－a
n
q

＝，q≠1.
?
1－q
?
1－q

3．等比数列{a
n
}的常用性质
(1)在等比数列{a
n
}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N
*
)，则a
m
· a
n
＝a
p
·a
q
＝a
2
r
.
特别地，a
1
a
n
＝a
2
a
n
－
1
＝a
3
a
n
－
2
＝….
(2 )在公比为q的等比数列{a
n
}中，数列a
m
，a
m
＋< br>k
，a
m
＋
2k
，a
m
＋
3k，…仍是等比数列，公
比为q
k
；
数列S
m
，S2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，…仍是等比数 列(此时q≠－1)；
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－

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a
n
＝a
m
q
n
－
m
.
1.等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
(2)由 a
n
＋
1
＝qa
n
，q≠0并不能立即断言{a
n
}为等比数列，还要验证a
1
≠0.
2．等比数列的前n项和S
n

(1)等比数列的前n项和S
n是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的
运用．
(2)在运用等比数列 的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽
略q＝1这一特殊情形导致解题失误
考点
等比数列的判定与证明

典题导入
[例1] 已知数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，且a
n
＋S
n
＝n.
(1)设c
n
＝a
n
－1，求证：{c
n
}是等比数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式．
[自主解答] (1)证明：∵a
n
＋S
n
＝n，①
∴a
n＋1
＋S
n＋1
＝n＋1.②
②－①得a
n＋1
－a
n
＋a
n＋1
＝1， ∴2a
n＋1
＝a
n
＋1，∴2(a
n＋1
－1)＝a
n
－1，
a
n＋1
－1
1
∴＝
. 2
a
n
－1
∵首项c
1
＝a
1
－1， 又a
1
＋a
1
＝1，
11
∴a
1
＝
，c
1
＝－.
22
11
又c
n
＝a
n
－1，故{c
n
}是以－为首项，为公比的等比数列．
22
1
?
1
?
n
－
1
?
1
?
n
，
－
?
·(2 )由(1)可知c
n
＝
?
＝－
?
2
??
2
??
2
?
1
?
n
∴a
n
＝cn
＋1＝1－
?
?
2
?
.

在本例 条件下，若数列{b
n
}满足b
1
＝a
1
，b
n< br>＝a
n
－a
n
－
1
(n≥2)，证明{b
n
}是等比数列．
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1
?
n
证明：∵由(2)知a
n
＝1－
?
?
2
?
，
∴当n≥2时，b
n
＝a
n
－a
n－1

1
?
n
??
1
?
n
－
1
?
＝1－
?
?
2
?
－
?
1－
?
2
??

1
?
n
－
1
?
1
?
n
?
1
?
n
＝
?
?
2
?
－
?
2
?
＝
?
2
?
.
1
?
n
1
又b
1
＝a
1
＝
也符 合上式，∴b
n
＝
?
?
2
?
.
2
b
n＋1
1
∵＝，∴数列{b
n
}是等比数列．
b
n
2

由题悟法
等比数列的判定方法
(1) 定义法：若
a
n
＋
1
a
n
＝q(q为非零常数，n ∈N
*
)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈
a
n
a
n< br>－
1
N
*
)，则{a
n
}是等比数列．
( 2)等比中项法：若数列{a
n
}中，a
n
≠0且a
2
a< br>n
＋
2
(n∈N
*
)，则数列{a
n
}是等 比数
n
＋
1
＝a
n
·
列．
(3)通项公 式法：若数列通项公式可写成a
n
＝c·q
n
(c，q均是不为0的常数，n ∈N
*
)，则
{a
n
}是等比数列．
以题试法
1． (2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝log
a
x，且所有项为正数的无 穷数列{a
n
}满足log
a
a
n
＋
1
－ log
a
a
n
＝2，则数列{a
n
}( )
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列又不是等比数列
解析：选A 由log
a
a
n
＋
1
－log
a
a
n
＝2，得log
a< br>a≠1，所以数列{a
n
}为等比数列．
a
n
＋
1
a
n
＋
1
＝2＝log
a
a
2
， 故＝a
2
.又a>0且
a
n
a
n
等比数列的基本运 算

典题导入
[例2] {a
n
}为等比数列，求下列各值：
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(1)a6
－a
4
＝24，a
3
a
5
＝64，求an
；
(2)已知a
2
·a
8
＝36，a
3< br>＋a
7
＝15，求公比q.
解：(1)设数列{a
n
}的公比为q，
?
?
a
6
－a
4
＝a
1
q
由题意得
?
3
?
a
3
a
5
＝a
1
q
?
3
q－1＝24， ①
2
2
＝64. ②


由②得a
1
q＝±8，
将a
1
q＝－8代入①中，得q＝－2(舍去)．
将a
1
q＝8代入①中，得q＝4，q＝±2.
当q＝2时，a
1
＝1，∴a
n
＝a
1
q
n－1
32
32< br>3
＝2
n－1
.
n－1
当q＝－2时，a
1
＝－1，∴a
n
＝a
1
q
∴a
n
＝2
n －1
n－1
＝－(－2).
或a
n
＝－(－2)
n－1
.
(2)∵a
2·a
8
＝36＝a
3
·a
7
，而a
3
＋a
7
＝15，
?
a
3
＝3，
?
∴?
?
?
a
7
＝12

或
?
?
a
3
＝12，
?
?
?
a
7
＝3.


a
7
1
4
∴q＝＝4或.
a
3
4
∴q＝±2或q＝±

由题悟法
1．等比 数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a
1
，n，
q，a< br>n
，S
n
，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽
视q的取值而盲目 用求和公式．
以题试法
2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a
n
}是公差不为零的等差数列，a
1
＝2，且a
2
，a
4
，
a
8
成等比数列．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求数列{3a
n
}的前n项和．
解：(1)设等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0)．
因为a
2
，a
4
，a
8
成等比数列，
所以(2＋3d)
2
＝(2＋d)·(2＋7d)，
解得d＝2.
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2
.
2

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所以a
n
＝2n(n∈N
*
)．
(2)由(1)知3a< br>n
＝3
2
n
，设数列{3a
n
}的前n项和为Sn
，
9?1－9
n
?
9
则S
n
＝3
2
＋3
4
＋…＋3
2
n
＝＝
(9
n
－1)．
8
1－9
等比数列的性质

典题导入
[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a
n
}中，若a
3
a
4
a
5
＝3
π
，则
sin( log
3
a
1
＋log
3
a
2
＋…＋lo g
3
a
7
)的值为( )
1
A.
2
C．1
B.

3

2
D．－
3

2
(2)设等比数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
，若S
6
∶S
3
＝1∶2，则S
9
∶S< br>3
等于( )
A．1∶2
C．3∶4








B．2∶3
D．1∶3
π
3
，所以a＝3. [自主解答] (1)因为a
3
a
4
a
5
＝3
π
＝a
44
3
log
3
a
1
＋log
3
a
2
＋…＋log
3a
7

＝log
3
(a
1
a
2
…a
7
)＝log
3
a
7
4

π7π
＝7log
3
3
＝，
33
故sin(lo g
3
a
1
＋log
3
a
2
＋…＋log< br>3
a
7
)＝
3
.
2
(2)由等比数列的性 质：S
3
，S
6
－S
3
，S
9
－S
6
仍成等比数列，于是(S
6
－S
3
)
2
＝S< br>3
·(S
9
－
S
6
)，
1S
9< br>3
将S
6
＝S
3
代入得
＝
.
2S
3
4
[答案] (1)B (2)C
由题悟法
等比 数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似
之处，其中等差数列中的 “和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注
它们之间的异同有助于我们从整体上把握 ，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列
项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a< br>n
＝f(n)的下标n的大小关系，可简化
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题目的运算．
以题试法
3．(1)(2012 ·新课标全国卷)已知{a
n
}为等比数列，a
4
＋a
7
＝ 2，a
5
a
6
＝－8，则a
1
＋a
10
＝
( )
A．7
C．－5
B．5
D．－7
1
(2)(2012·成都模拟)已知{a
n
}是等比 数列，a
2
＝2，a
5
＝，则a
1
a
2
＋ a
2
a
3
＋…＋a
n
a
n
＋
1< br>＝
4
( )
A．16(1－4
－
n
) B．16(1－2
－
n
)
C.
32
3
(1－4
－
n
) D.
32
3
(1－2
－
n
)
解析：(1)选D 法一：
由题意得
?
?
?
a
4
＋a
7＝a
1
q
3
＋a
1
q
6
＝2，
?
?
a
5
a
6
＝a
1
q
4×a
1
q
5
＝a
2

1
q
9
＝－8，

?
1
解得
?< br>?
?
q
3
＝－2，

?
q
3
＝－
2
，
?
或
?

?
a
1
＝1
?
?
a
1
＝－8，< br>
故a
1
＋a
10
＝a
1
(1＋q
9
)＝－7.
?
?
?
a
4
＋a
7
＝2，
?
?
a
4
＝－2，
?
?
a
4
＝4，
法二：由
?
解得
?
a
?
4

或
?

5
a
6
＝a
4
a
7
＝－8，
?
?
a
7
＝
?
?
a< br>7
＝－2.

则
?
?
3

?
?
q
＝－2，
?
q
3
1
?
或
?
＝－
2
，
故a
1
＋a
10
＝a
1
(1＋q
9
?
a＝1
?
)＝－7.
1
?
a
1
＝－8，

(2)选C ∵a，a
1
2
＝2
5
＝
11
4
，∴a
1
＝4，q＝
2
，a
n
a
n
＋
1
＝
?
?
2
?
?
2
n
－
5
.
8
?
故a
?
1－
1
4
n
?
?< br>1
a
2
＋a
2
a
3
＋…＋a
na
n
＋
1
＝＝
32
(1－4
－
n)．
1－
13
4
练习题
1．(教材习题改编)数列1，2345
3
，
5
，
7
，
9
…的一个通 项公式是 ( )
A．a
n
＝
n
2n＋1
B．a
n
＝
n
2n－1

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n
C．a
n
＝
2n－3
答案：B

n
D．a
n
＝
2n＋3
2．设数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n
2
，则a
8
的值为( )
A．15
C．49












B．16
D．64
解析：选A a
8
＝S
8
－S
7
＝64－49＝15.
n3．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝，则这个数列是( )
n＋1
A．递增数列
C．常数列








B．递减数列
D．摆动数列
n＋1?n＋1?
2
－n?n＋2?
n1
解析：选A a
n
＋
1
－a
n
＝－＝＝>0.
n＋2n＋1? n＋1??n＋2??n＋1??n＋2?
?
3
n
1
?n为偶数?，
?
2·
4．(教材习题改编)已知数列{a
n
}的通项公式是an
＝
?
则a
4
·a
3
＝
?
2 n－5?n为奇数?，
?
－

________.
解析：a
4
·a
3
＝2×3
3
·(2×3－5)＝54.
答案：54
q3
5．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝pn＋，且a
2
＝，
n2
3
a
4
＝，则a
8
＝________. < br>2
?
解析：由已知得
?
q3
4p＋
?
4＝
2
，
129
则a
n
＝n＋
，故a
8
＝.
4n4
9
答案：
4
q3
2p＋
＝，
22

1
?
?
p＝
4
，
解得
?

?
?
q＝2.

1．(2012·福建高考)等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
5
＝10，a
4
＝7，则数列{ a
n
}的公差为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
?
?
2a
1
＋4d＝10，
解析：选B 法一：设等差数列{a
n
}的公差为d，由题意得
?

a＋3d＝7.
?
1
?

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?
?
a
1
＝1，
解得
?
故d＝2. d＝2.
?
?
法二：∵在等差数列{a
n
}中，a
1< br>＋a
5
＝2a
3
＝10，∴a
3
＝5.
又a
4
＝7，∴公差d＝7－5＝2.
π
3π
2a
4
－
?
＝( ) 2．(教材习题改 编)在等差数列{a
n
}中，a
2
＋a
6
＝，则sin?
3
??
2
A.
3

2

3

2







1
B.
2

C．－
1
D．－
2
3π3π
解析：选D ∵a
2
＋a
6
＝
，∴2a
4
＝.
22< br>π3ππ
π
1
2a
4
－
?
＝sin
?
－
?
＝－cos＝－
.
∴sin
?
3
???
23
?
32
3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a
n< br>}中，已知a
4
＋a
8
＝16，则该数列前11项和S
11< br>＝
( )
A．58





B．88
C．143 D．176
11?a
1
＋a11
?11?a
4
＋a
8
?
解析：选B S
11
＝＝＝88.
22
4．在数列{a
n
}中，若a< br>1
＝1，a
n
＋
1
＝a
n
＋2(n≥1)， 则该数列的通项a
n
＝________.
解析：由a
n＋1
＝a
n
＋2知{a
n
}为等差数列其公差为2.
故a
n
＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案：2n－1
1< br>5．(2012·北京高考)已知{a
n
}为等差数列，S
n
为其前n 项和，若a
1
＝，S
2
＝a
3
，则a
2
＝
2
________，S
n
＝________.
解析：设{a
n
}的公差为d，
由S
2
＝a
3< br>知，a
1
＋a
2
＝a
3
，即2a
1
＋d＝a
1
＋2d，
11
又a
1
＝
，所以d＝， 故a
2
＝a
1
＋d＝1，
22
1111
S
n
＝na
1
＋n(n－1)d＝n＋(n
2
－n)×

2222
11
＝
n
2
＋
n.
44
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11
答案：1 n
2
＋n
44
1．(2011·江西高考 ){a
n
}为等差数列，公差d＝－2，S
n
为其前n项和．若S
1 0
＝S
11
，则
a
1
＝( )
A．18
C．22
B．20
D．24
解析：选B 由S
10
＝S
11
，得a
11
＝S
11
－S
1 0
＝0，a
1
＝a
11
＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2 )
＝20.
2．(2012·广州调研)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
5
＝8，S
3
＝6，则S
10
－S
7
的
值是( )
A．24
C．60










B．48
D．72
?
?
a
5
＝a
1
＋4d＝8，
解析：选B 设等差数列{a
n
}的公差为d，由题意可得
?
解得
?
S＝ 3a＋3d＝6，
?
31
?
a
1
＝0，
?
?
则S
10
－S
7
＝a
8
＋a
9
＋a
10
＝3a
1
＋24d＝48.
?
d＝2，
?


3．(2013·东北三校联考)等差数 列{a
n
}中，a
5
＋a
6
＝4，则log
2(2a
1
·2a
2
·…·2a
10
)＝( )
A．10
C．40










B．20
D．2＋log
2
5
10?a
1
＋a
10
?
＝5(a
5
＋a
6
)＝20，因此有
2
解析： 选B 依题意得，a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
10
＝
log
2
(2a
1
·2a
2
·…·2a
10
)＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a10
＝20.
2*
4．(2012·海淀期末)已知数列{a
n
}满足：a
1
＝1，a
n
>0，a
2
n
＋
1
－a
n
＝1(n∈N)，那么使
a
n
<5成立的n的最 大值为( )
A．4
C．24










B．5
D．25
222
解析：选C ∵a
2
n
＋
1
－a
n
＝1，∴数列{a
n
}是以a
1
＝1为首项，1为公差的等差数列． ∴
a
2
n
＝1＋(n－1)＝n.又a
n
>0，∴a
n
＝n.∵a
n
<5，∴n<5.即n<25.故n的最大值为24.
5 ．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，并且S
10
> 0，S
11
<0，若S
n
≤S
k
对n∈N
*
恒成
立，则正整数k的值为( )
A．5
C．4










B．6
D．7
解析：选A 由S
10
>0，S
11<0知a
1
>0，d<0，并且a
1
＋a
11
<0，即 a
6
<0，又a
5
＋a
6
>0，
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所以a
5
>0，即数列 的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S
5
最大，则k＝5.
6．数列{ a
n
}的首项为3，{b
n
}为等差数列且b
n
＝a
n
＋
1
－a
n
(n∈N
*
)．若b
3< br>＝－2，b
10
＝
12，则a
8
＝( )
A．0
C．8










B．3
D．11
解析：选B 因为{b
n
}是等差数列，且b
3
＝－2，b
10
＝12，
12－?－2?
故公差d＝＝2.于是b
1
＝－6，
10－3且b
n
＝2n－8(n∈N
*
)，即a
n＋1
－an
＝2n－8.
所以a
8
＝a
7
＋6＝a
6
＋4＋6＝a
5
＋2＋4＋6＝…＝a
1
＋(－6)＋(－4)＋( －2)＋0＋2＋4＋6
＝3.
7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
3
＝a
2
2
－4 ，则a
n
＝________.
22
解析：设等差数列公差为d，∵由a< br>3
＝a
2
2
－4，得1＋2d＝(1＋d)
－4，解得d＝4 ，即d
＝±2.由于该数列为递增数列，故d＝2.
∴a
n
＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案：2n－1
8． 已知数列{a
n
}为等差数列，S
n
为其前n项和，a
7
－ a
5
＝4，a
11
＝21，S
k
＝9，则k＝
__ ______.
解析：a
7
－a
5
＝2d＝4，则d＝2.a1
＝a
11
－10d＝21－20＝1，
k?k－1?
Sk
＝k＋×2＝k
2
＝9.又k∈N
*
，故k＝3.
2
答案：3
S
n
9．设等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
，若对任意自然数n都有 ＝
T
n
2n－3
a
9
a
3
，则＋的值为_ _______．
4n－3b
5
＋b
7
b
8
＋b
4
解析：∵{a
n
}，{b
n
}为等差数列，
a
9
a
3
a
9
a
3
a
9
＋ a
3
a
6
∴＋＝＋＝＝
.
2b2b2bb
666 6
b
5
＋b
7
b
8
＋b
4
S11
a
1
＋a
11
2a
6
2×11－3
19a
6
19
∵＝＝＝＝，∴＝
.
T
11
b< br>1
＋b
11
2b
6
4×11－3
41b
6< br>41
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19
答案：
41
10．(2011·福建高考)已知等差数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
3
＝－3.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若数列{a
n
}的前k项和S
k
＝－35，求k的值． 解：(1)设等差数列{a
n
}的公差为d，则a
n
＝a
1＋(n－1)d.
由a
1
＝1，a
3
＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而a
n
＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知a
n
＝3－2n，
n[1＋?3－2n?]
所 以S
n
＝
＝2n－n
2
.
2
由S
k
＝－35，可得2k－k
2
＝－35，
即k
2
－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N
*
，故k＝7.
11．设数列{a
n
}的前n项 积为T
n
，T
n
＝1－a
n
，
?
1
?
(1)证明
?
T
?
是等差数列；
?
n
?
?
a
n
?
(2)求数列
?
T
?
的前n项和S
n
.
?
n
?
解：(1)证明：由T
n
＝1－a
n
得，当n≥2时，T
n
＝1－
11
两边同除以T
n
得
－＝1.
T
nT
n－1
∵T
1
＝1－a
1
＝a
1
，
111
故a
1
＝
，＝＝2.
2T
1
a< br>1
?
1
?
∴
?
T
?
是首项为2，公 差为1的等差数列．
?
n
?
T
n
，
T
n－1
11
(2)由(1)知
＝n＋1，则T
n
＝
， T
n
n＋1
na
n
从而a
n
＝1－T
n
＝.故
＝n.
n＋1
T
n
?
a
n?
∴数列
?
T
?
是首项为1，公差为1的等差数列．
?
n
?
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n?n＋1?
∴S
n
＝.
2< br>12．已知在等差数列{a
n
}中，a
1
＝31，S
n
是它的前n项和，S
10
＝S
22
.
(1)求S
n
；
(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．
解：(1)∵S
10
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
10
，
S
22
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
22
，又S
10
＝S
22
，
∴a
11
＋a
12
＋…＋a
22
＝0，
即
12?a
11
＋a
22
?
＝0，故a
11
＋a
22
＝2a
1
＋31d＝0.
2
又∵a
1
＝31，∴d＝－2，
n?n－1?
∴Sn
＝na
1
＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n
2
.
2
(2)法一：由(1)知S
n
＝32n－n
2
，
故当n＝16时，S
n
有最大值，S
n
的最大值是256.
法二：由S
n
＝32n－n
2
＝n(32－n)，欲使S
n
有最大值，
应有1n
≤
?
?
n＋3 2－n
?
2
?
＝256，
2
??
当且仅当n＝3 2－n，即n＝16时，S
n
有最大值256.
1．(教材习题改编)等比数列{a
n
}中，a
4
＝4，则a
2
·a
6
等于( )
A．4
C．16
B．8
D．32
解析：选C a
2
·a
6
＝a
2
4
＝16.
2．已知 等比数列{a
n
}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a
n
＝( )
?
3
?
n
A．4·
?
2
?< br>?
3
?
n
－
1
C．4·
?
2
?










?
2
?
n
B．4·
?
3
?

?
2
?
n
－
1
D．4·
?
3
?
解析：选C (a＋1)
2
＝(a－1)(a＋4)?a＝5，
3
?
3
?
n
－
1
. a
1
＝4，q＝
，故a
n
＝4·
?
2
?
2
3 ．已知等比数列{a
n
}满足a
1
＋a
2
＝3，a
2
＋a
3
＝6，则a
7
＝( )
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A．64





B．81
C．128 D．243
a
2
＋a
3
解析：选A q＝＝2，
a1
＋a
2
故a
1
＋a
1
q＝3?a
1
＝1，a
7
＝1×2
71
＝64.
1
4．(20 11·北京高考)在等比数列{a
n
}中，若a
1
＝，a
4
＝4，则公比q＝________；a
1
＋
2
a
2
＋…＋ a
n
＝________.
1
?1－2
n
?
2< br>11
解析：a
4
＝a
1
q
3
，得4＝
q
3
，解得q＝2，a
1
＋a
2
＋…＋a
n＝
＝2
n
－
1
－
.
22
1－2
1
－
答案：2 2
n
1
－ < br>2
5．(2012·新课标全国卷)等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
3
＋3S
2
＝0，则公比q＝
________.
解析：∵S
3
＋3S
2
＝0，∴a
1
＋a
2
＋a
3
＋3(a
1
＋a
2
)＝0，
∴a
1
(4＋4q＋q
2
)＝0.
∵a
1
≠0，∴q＝－2.
答案：－2
1．设数列{a
n
}是等比数列，前n项和为S
n
，若S
3
＝3a
3
，则公比q为( )
1
A．－
2
1
C．－或1
2

B．1

1
D.
4
－
解析：选C 当q＝1时，满足S
3
＝3a
1
＝3a
3
.
a< br>1
?1－q
3
?
当q≠1时，S
3
＝
＝a< br>1
(1＋q＋q
2
)＝3a
1
q
2
，
1－q
11
解得q＝－，综上q＝－或q＝1.
22
S
4
2．(2012·东城模拟)设数列{a
n
}满足：2a
n
＝an
＋
1
(a
n
≠0)(n∈N
*
)，且前n项 和为S
n
，则
a
2
的值为( )
15
A.
2
C．4








15
B.
4
D．2
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a
1
?1－2
4
?
1－2
S
4
15
解析：选A 由题意知，数列{a
n
}是以2为公比的等比数列，故＝＝.
a
2
2
a
1
×2
3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a
n
}的各项都是正数，且a
3
a
11
＝16，则log
2a
10
＝( )
A．4
C．6










B．5
D．7
解析：选B ∵a
3
·a
11
＝16，∴a
2
7
＝16.
又∵等比数列{a
n
}的各项都是正数，∴a
7
＝4.
又 ∵a
10
＝a
7
q
3
＝4×2
3
＝25
，∴log
2
a
10
＝5.
4．已知数列{an
}，则“a
n
，a
n
＋
1
，a
n< br>＋
2
(n∈N
*
)成等比数列”是“a
2
n
＋
1
＝a
n
a
n
＋
2
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 显然，n∈N
*
，a
n
，a
n
＋1
，a
n
＋
2
成等比数列，则a
2
n
＋
1
＝a
n
a
n
＋
2
，反之，则不
一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…
5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
n
＝2，S
3n
＝
14，则S
4n
等于( )
A．80
C．26










B．30
D．16
解析：选B 设S
2n
＝a，S
4n
＝b，由等比数列的性质知：
2(14－a)＝(a－2)
2
，解得a＝6或a＝－4(舍去)，
同理( 6－2)(b－14)＝(14－6)
2
，所以b＝S
4n
＝30.
1m
6．已知方程(x
2
－mx＋2)(x
2
－nx＋2)＝0的 四个根组成以为首项的等比数列，则＝
2n
( )
3
A.
2
2
C.
3










32
B.或
23
D．以上都不对
解析：选B 设a，b，c，d是方程(x
2
－mx＋2)(x
2
－nx＋2)＝0的四个根，不妨设
1
a，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m
2
99m3m2
＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.
22n2n3
7．已知各项不为0的等差数列{a
n
}，满足2a< br>3
－a
2
7
＋2a
11
＝0，数列{b
n< br>}是等比数列，
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且b
7
＝a
7
，则b
6
b
8
＝_ _______.
2
解析：由题意可知，b
6
b
8
＝b< br>2
7
＝a
7
＝2(a
3
＋a
11
) ＝4a
7
，
∵a
7
≠0，∴a
7
＝4，∴b6
b
8
＝16.
答案：16
8．(2012·江西高考)等 比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，公比不为1.若a
1
＝ 1，则对任意的
n∈N
*
，都有a
n
＋
2
＋an
＋
1
－2a
n
＝0，则S
5
＝______ __.
解析：由题意知a
3
＋a
2
－2a
1
＝0 ，设公比为q，则a
1
(q
2
＋q－2)＝0.由q
2
＋q －2＝0解
a
1
?1－q
5
?1－?－2?
5
得q ＝－2或q＝1(舍去)，则S
5
＝
＝＝11.
3
1－q
答案：11
9．(2012·西城期末)已知{a
n}是公比为2的等比数列，若a
3
－a
1
＝6，则a
1
＝
111
________；
2
＋
2
＋…＋
2＝________.
a
1
a
2
a
n
解析： ∵{a
n
}是公比为2的等比数列，且a
3
－a
1
＝6，∴ 4a
1
－a
1
＝6，即a
1
＝2，故a
n
＝
1
?
n
1
?
1
?
n
1
?
1
?
11
?
2
?
是首项为，公比为的等比数列，
a
1
2
n
－
1
＝2
n
，∴＝?
，＝，即数列
2
a
n
?
2
?
an
?
4
?
44
?
a
n
?
1< br>1
?
1－
n
?
1
111
4
?
4
?
1
?
∴
2
＋
2
＋…＋
2< br>＝＝
?
1－
4
n
?
?
.
a
1
a
2
a
n
13
1－
4
1
1< br>1－
n
?
答案：2
?
3
?
4
?
10．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝ 1，且数列{S
n
}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求a
1
＋a< br>3
＋…＋a
2n
＋
1
.
解：(1)∵S
1
＝a
1
＝1，且数列{S
n
}是以2为公比的等比数列，∴S
n
＝2
n
－
1
，
又当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝2
n
－
2
(2－1) ＝2
n
－
2
.
?
?
1，n＝1，
∴a
n
＝
?

n
－
2
2
，n≥2.
?
?
(2)a
3，a
5
，…，a
2n＋1
是以2为首项，以4为公比的等比数列， 2?1－4
n
?2?4
n
－1?
∴a
3
＋a< br>5
＋…＋a
2n＋1
＝
＝
.
3
1－4

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2?4
n
－1?
2
2
n
＋
1
＋1
∴a
1
＋a
3
＋…＋a
2n＋1
＝1＋
＝
.
33
11．设数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，其中a
n
≠0，a
1
为常数，且－a< br>1
，S
n
，a
n
＋
1
成等差数
列．
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)设b
n
＝1－S< br>n
，问：是否存在a
1
，使数列{b
n
}为等比数列？若存在 ，求出a
1
的值；
若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，得2S
n
＝a
n＋1
－a
1
.
?
?
2S
n
＝a
n＋1
－a
1
，
当n≥2时，有
?

?
?
2S
n－1
＝a
n
－a
1
.
两式相减，得a
n＋1
＝3a
n
(n≥2)．
又因为a
2
＝2S
1
＋a
1＝3a
1
，a
n
≠0，
所以数列{a
n
}是首项为a
1
，公比为3的等比数列．
因此，a
n
＝a
1
·3
n
－
1
(n∈N< br>*
)．
a
1
?1－3
n
?
11
( 2)因为S
n
＝
＝
a
1
·3
n
－
a
1
，
22
1－3
11
b
n
＝1－S< br>n
＝1＋a
1
－a
1
·3
n
.
2 2
1
要使{b
n
}为等比数列，当且仅当1＋a
1
＝0，即 a
1
＝－2.
2
所以存在a
1
＝－2，使数列{b
n
}为等比数列．
12． (2012·山东高考)已知等差数列{a
n
}的前5项和为105，且a< br>10
＝2a
5
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)对任意m∈N
*
，将数列{a
n
}中不大于7
2
m
的项的个数记为b
m< br>.求数列{b
m
}的前m项和
S
m
.
解：(1)设数列{a
n
}的公差为d，前n项和为T
n
，
由T
5
＝105，a
10
＝2a
5
，
5 －1?
?
5a＋
5×?
2
d＝105，
得
?
?
a＋9d＝2?a＋4d?，
1
11



解得a
1
＝7，d＝7.
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因此a
n
＝a
1
＋(n－1)d ＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N
*
)．
(2)对m∈N
*
，若 a
n
＝7n≤7
2
m
，则n≤7
2
m
－< br>1
.
因此b
m
＝7
2
m
－
1
.
所以数列{b
m
}是首项为7，公比为49的等比数列，
b
1?1－q
m
?7×?1－49
m
?7×?7
2
m
－1?
7
2
m
＋
1
－7
故S
m
＝
＝＝＝
.
4848
1－q1－49


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