(word完整版)高中数学必修五数列测试题

必修五阶段测试二(第二章 数列)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·山西朔州期末) 在等比数列{a
n
}中，公比q＝－2，且a
3
a
7
＝4a
4
，则a
8
等于( )
A．16 B．32 C．－16 D．－32
?
?
3n＋1?n为奇数?，
2．已知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝
?
则a
2
·a
3
等于( )
?
2n－2?n为偶数?，
?

A．8 B．20 C．28 D．30
3．已知等差数列{a
n
}和等比数列{b
n
}满足a
3
＝b
3
，2b
3
－b
2
b
4
＝0，则数列{a
n
}的前5项
和S
5< br>为( )
A．5 B．10 C．20 D．40
4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a
n
}中，a
n< br>＝－2n
2
＋29n＋3，则此数列最大项的值
是( )
965917
A．102 B.
C.
D．108
88
5．等比数列{a
n
} 中，a
2
＝9，a
5
＝243，则{a
n
}的前4项和为( )
A．81 B．120 C．168 D．192
6．等差数列{a
n
}中，a
10
<0, a
11
>0, 且a
11
>|a
10
|, S
n
是前n项的和，则( )
A．S
1,
S
2,
S
3,
…， S
10
都小于零，S
11
，S12
，S
13
，…都大于零
B．S
1
，S
2
，…，S
19
都小于零，S
20
，S
21
，…都大 于零
C．S
1
，S
2
，…，S
5
都大于零，S< br>6
，S
7
，…都小于零
D．S
1
，S
2< br>，…，S
20
都大于零，S
21
，S
22
，…都小于 零
7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a
n
}的前n项和S
n＝an
2
＋bn(a，b∈R)，且S
25
＝100，
则a12
＋a
14
等于( )
A．16 B．8 C．4 D．不确定
8．(2017·莆田六中期末)设{a
n
}(n∈N
*
)是等差数列，S
n
是其前n项和，且S
5
6
，S
6
＝S
7
>S
8
，
则 下列结论错误的是( )
A．d<0 B．a
7
＝0
C．S
9
>S
5
D．S
6
和S
7
均为S
n
的最大值
9． 设数列{a
n
}为等差数列，且a
2
＝－6，a
8
＝6，S
n
是前n项和，则( )
A．S
4
＜S
5
B．S
6
＜S
5
C．S
4
＝S
5
D．S
6
＝S
5

2112
10．(2017·西安庆安中 学月考)数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
2
＝，且＋＝(n ∈N
*
，n≥2)，
3
a
n
－
1
a
n
＋
1
a
n
则a
6
等于( )

1

127
A. B.
C. D．7
772
1nπ
11．(2017·安徽蚌 埠二中期中)设a
n
＝sin，S
n
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
n
，在S
1
，S
2
，…S
100
中，
n25
正数的个数是( )
A．25 B．50 C．75 D．100
12．已知数列{a
n
}的前n项 和为S
n
，且S
n
＝n
2
＋3n(n∈N
＋
)，数列{b
n
}满足b
n
＝
则数列{b
n
}的 前64项和为( )
63411
A. B.
C .
D.
5203333132
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13 ．等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
10
＋a
16< br>＝30，则a
18
－2a
14
的值为________．
1 4．在各项均为正数的等比数列{a
n
}中，若a
2
＝1，a
8＝a
6
＋2a
4
，则a
6
的值是________．
15．(2017·广东实验中学)若数列{a
n
}满足a
1
＝1， 且a
n
＋
1
＝4a
n
＋2
n
，则a
5
＝________.
16．若等差数列{a
n
}满足a
7< br>＋a
8
＋a
9
>0，a
7
＋a
10
<0，则当n＝________时，{a
n
}的前n
项和最大．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝3＋2
n
，求a
n
；
(2)已知数列的前n项和S
n
＝2n
2
＋n，求数列的通项公式．

18.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝1＋λa
n
，其中λ≠0.
(1)证明{a
n
}是等比数列，并求其通项公式；
31
(2)若S
5
＝，求λ.
32

19．(1 2分)(2017·唐山一中期末)已知等差数列{a
n
}满足：a
2
＝5， 前4项和S
4
＝28.
(1)求数列{a
n
}的通项公式； (2)若b
n
＝(－1)
n
a
n
，求数列{b
n
}的前2n项和T
2n
.

20.(12分)数列{a
n
}的前n项和记为S
n
，a
1
＝t，a
n
＋1
＝2S
n
＋1(n∈N
*
)．
(1)当t为何值时，数列{a
n
}是等比数列；
(2)在(1)的条件下 ，若等差数列{b
n
}的前n项和T
n
有最大值，且T
3
＝ 15，又a
1
＋b
1
，a
2
＋b
2
，a< br>3
＋b
3
成等比数列，求T
n
.
21．(12分) 等差数列{a
n
}的各项都是整数，首项a
1
＝23，且前6项和是正数，而 前7项
之和为负数．
(1)求公差d；
(2)设S
n
为其前n项 和，求使S
n
最大的项数n及相应的最大值S
n
.

2
1
，
a
n
a
n
＋
1

22.(12分)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
＝3
n，数列{b
n
}满足：b
1
＝－1，b
n
＋
1
＝b
n
＋(2n
－1)(n∈N
*
)．
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
；
(2)求数列{b
n
}的通项公式b
n
；
a
n< br>·b
n
(3)若c
n
＝，求数列{c
n
}的前n项和 T
n
.
n

答案与解析
1．A 在等比数列{a
n
}中，∵a
3
a
7
＝a
4
a
6
＝4a
4
，
∴a
6
＝4，∴a
8
＝a
6
q
2
＝4×(－2)
2
＝16.故选A.
2．B 由已知得a
2
·a
3
＝(2×2－2)(3×3＋1)＝20.
3．B 由2b
3
－b
2
b
4
＝0，
得 2b
3
＝b
2
3
，∴b
3
＝2，∴a
3< br>＝2，
5?a
1
＋a
5
?
故S
5
＝＝5a
3
＝10，故选B.
2
4．D 将a
n
＝－2n
2
＋29n＋3看作一个二次函数，
29
但n∈N
*
，对称轴n＝开口向下，
4
∴当n＝7时 离对称轴最近，∴a
n
的最小值为a
7
＝108，故选D.
5．B 设等比数列的公比为q，
∴a
5
＝a
2
·q
3
，
∴243＝9×q
3
，∴q＝3.
9
∴a
1
＝＝3.
3
3?1－3
4
?
S
4
＝＝120，故选B.
1－3
6．B ∵a
10
<0, ∴a
1
＋9d<0.
∵a
11
>0, ∴a
1
＋10d>0.
又a
11
>|a
10
|, ∴a
1
＋10d>－a
1
－9d.
∴2a
1
＋19d>0.
19×18
∴S
19
＝ 19a
1
＋d＝19(a
1
＋9d)<0.
2
排除A、D.
20×19
S
20
＝20a
1< br>＋d＝10(2a
1
＋19d)>0. 排除C.
2
故选B.
7．B 由题可知数列{a
n
}为等差数列，

3

25×?a
1
＋a
25
?
∴S
25
＝＝ 100，∴a
1
＋a
25
＝8，
2
∴a
12＋a
14
＝a
1
＋a
25
＝8，故选B.
8．C 由S
5
6
，得S
6
－S
5< br>＝a
6
>0，
由S
6
＝S
7
，得S
7
－S
6
＝a
7
＝0，
∴d<0，S
9
8
＝S
5
，故C错．
9．C 设等差数列的首项为a
1
，公差为d，
??
?
a
1
＋d＝－6，
?
a
1
＝－8，
则
?解得
?

?
a
1
＋7d＝6.
?
??
d＝2.

n?n－1?
∴S
n
＝－8n＋×2＝n
2
－9n，
2
S
4
＝－20，S
5
＝－20，
∴S
4
＝S
5
，故选C.
?
1
?
10．B 由已知可得数列
?
a
?
是等差数列．
?
n
?2113
∵a
1
＝1，a
2
＝，∴＝1，＝，
3a< br>1
a
2
2
311157
∴公差d＝－1＝，∴＝＋5d＝1＋ ＝，
22a
6
a
1
22
2
∴a
6
＝.
7
nπ
11．D f(n)＝sin的周期T＝50.
25
a1
，a
2
，…，a
24
>0，a
25
＝0，a
26
，a
27
，…，a
49
<0，a
50
＝0.
且sin
26ππ27π2π
＝－sin，sin＝－sin，…
25252525
∴S
1
，S
2
，…，S
50
都为 正，同理，S
51
，…，S
100
都为正，故选D.
12．B 由S
n
＝n
2
＋3n，可得a
n
＝2(n＋1)，
1
11
1
∴b
n
＝＝
?
n＋1
－
n＋2
?
，
?
2?n＋1?×2?n＋2?
4
?
则数列
{
b
n
}
的前64项和为T
64
＝ 11
1
?
1111
4
－＋－＋…＋－
?
＝，故 选B.
6566
?
334
?
2334
13．－10 解析：由等差数列的性质知，a
4
＋a
10
＋a
16
＝ 3a
10
＝30，
∴a
10
＝10.∴a
18
－ 2a
14
＝(a
10
＋8d)－2(a
10
＋4d)＝－a
10
＝－10.
14．4
解析：∵a
8
＝a
6
＋2a
4
，∴a
4
q
4
＝a
4
q
2
＋2a
4
.

4

∵a
4
>0，∴q
4
－q
2
－2＝0.解得q
2
＝2 .
又∵a
2
＝1，∴a
6
＝a
2
q
4< br>＝1×2
2
＝4.
15．496
解析：∵a
n＋1
＝4a
n
＋2
n
，∴a
2
＝4a
1
＋2 ＝6，a
3
＝4a
2
＋2
2
＝28；a
4
＝4a
3
＋2
3
＝120，a
5
＝4a
4
＋2
4
＝496.
16.8
解析：∵a
7
＋a
8
＋a
9
＝3a
8
>0，∴a
8
>0.
又∵a
7
＋a
10
＝a
8
＋a
9
<0，∴ a
9
<－a
8
<0.
∴数列{a
n
}的前8项和最大，即n＝8.
17．解：(1)当n＝1时，S
1
＝a
1
＝3＋2＝5；
当n≥2时，∵S
n
＝3＋2
n
，S
n
－
1＝3＋2
n
1
，
∴a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝2
n
1
，而a
1
＝5，
?
5，n＝1，
?
∴a
n
＝
?
n
－
1

?
2，n≥2.
?
－
－

(2)∵S
n
＝2n
2
＋n，当n≥2时，S
n
－
1
＝2(n－1)
2
＋(n－1)，
∴a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝(2n
2
＋n)－[2(n－1)
2
＋(n－1)]＝4n－1.
又当n＝1时，a
1
＝S
1
＝3，∴a
n
＝4n－1.
1
18．解：(1)证明：由题意得 a
1
＝S
1
＝1＋λa
1,
故λ≠1，a
1
＝，a≠0.
1－λ
1
由S
n< br>＝1＋λa
n
，S
n
－
1
＝1＋λa
n－
1
得a
n
＝λa
n
－λa
n
－1
，即a
n
(λ－1)＝λa
n
－
1
，由a< br>1
≠0，λ≠0
a
n
λ
得a
n
≠0.所以＝ .
a
n
－
1
λ－1
1
λ
1
?< br>λ
?
n
－
1
因此{a
n
}是首项为，公比为 的等比数列，于是a
n
＝.
1－λ
λ－1
1－λ
?
λ－1
?
λλλ
31311
(2)由(1)得S
n
＝1－
?
λ－1
?
n
，由S
5
＝得1－
?
λ－1
?
2
＝，即
?
λ－1
?
5
＝，解 得λ＝－1.
32
????
32
??
32

??
?
a
1
＋d＝5，
?
a
1
＝1，
19.解：(1)由题得
?
∴
?

?
4a
1
＋6d＝28，
?
??
d＝4，

∴a
n
＝1＋4(n－1)＝4n－3.
(2)b
n
＝(－1)
n
(4n－3)，
T
2n
＝b
1
＋b
2
＋b
3
＋b
4
＋… ＋b
2n
－
1
＋b
2n

＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋(－8n＋7＋8n－3)
＝4n.

5

20．解：(1)由a
n
＋
1
＝2S< br>n
＋1，可得a
n
＝2S
n
－
1
＋1(n≥ 2)．两式相减得a
n
＋
1
－a
n
＝2a
n
，即
a
n
＋
1
＝3a
n
(n≥2)．
a
2
2t＋1
∴当n≥2时，{a
n
}是等比数列．要使n≥1时， {a
n
}是等比数列，则只需＝＝3，
a
1
t
从而t＝1， 即当t＝1时，数列{a
n
}是等比数列．
(2)设{b
n
}的公 差为d，由T
3
＝15，得b
1
＋b
2
＋b
3＝15，于是b
2
＝5.
故可设b
1
＝5－d，b
3
＝5＋d，又a
1
＝1，a
2
＝3，a
3
＝9，由 题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)
＝(5＋3)
2
.
解得d
1
＝2，d
2
＝－10.
∵等差数列{b
n
}的前n项和T
n
有最大值，∴d<0，d＝－10.
n?n－1?∴T
n
＝15n＋×(－10)＝20n－5n
2
.
2

?
?
S
6
>0，
21.解：(1)由 题意，得
?

?
S
7
<0.
?

?
6a＋
2
×6×5d>0，
∴
?
1
7a＋
?
2
×7×6d<0.
1
1
1


4623
∴－53
∴d＝－8或d＝－9.
(2)当d＝－8时，
1
S
n
＝23n＋n(n－1)(－8)＝－4n
2
＋27n.
2
当 n＝3时，S
n
最大，(S
n
)
max
＝45.
当d＝－9时，
1955
S
n
＝23n＋n(n－1)×(－9) ＝－n
2
＋n.
222
当n＝3时，(S
n
)
max
＝42.
2 2．解：(1)S
n
＝3
n
，S
n
－
1
＝ 3
n
1
(n≥2)，∴a
n
＝3
n
－3
n
1
＝2×3
n
1
(n≥2)．
当n＝1时，a
1
＝S
1
＝3≠2×3
11
，
?
?
3，n＝1，
∴a
n
＝
?

－
?
2×3
n
1
，n≥2.
?
－
－－－< br>
(2)∵b
n
＋
1
＝b
n
＋(2n－1) ，∴b
2
－b
1
＝1，b
3
－b
2
＝3， b
4
－b
3
＝5，…，b
n
－b
n
－1
＝2n－3，
?n－1??1＋2n－3?
以上各式相加得，b
n－b
1
＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝＝(n－1)
2
.
2
又b
1
＝－1，故b
n
＝n
2
－2n.

6

a
n
·b
n
(3)由题意得 ，c
n
＝＝
n
?
?
－3，n＝1，
?

－
?
2?n－2?×3
n
1
，n≥2.
?

当n≥2时，T
n
＝－3＋2×0×3
1
＋2×1×3
2< br>＋2×2×3
3
＋…＋2×(n－2)×3
n
1
，
∴3T
n
＝－9＋2×0×3
2
＋2×1×3
3
＋2×2× 3
4
＋…＋2×(n－2)×3
n
.
两式相减得，－2T
n
＝6＋2×3
2
＋2×3
3
＋…＋2×3
n
1< br>－2×(n－2)×3
n
，
∴T
n
－
＝－(3＋3
2
＋3
3
＋…＋3
n
1
)＋(n－2)×3
n
＝(n－2)×3
n
－
－
－
3
n
－3 ?2n－5?3
n
＋3
＝.
22
?2×1－5?×3
1< br>＋3?2n－5?3
n
＋3
又T
1
＝－3＝，符合上式，∴T
n
＝(n∈N
*
)．
22

7