高中数学必修5数列知识点总结及题型归纳

数列

一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
（2）通项公式的定义：如果数列{a
n
}
的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫
这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：
1，，，，
…
（3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9

（4）数列分 类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关
系分：单调数 列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…
1111
2345
(n?1)
?
S
1
（5）数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与 通项
a
n
的关系：
a
n
?
?

S ?S(n≥2)
n?1
?
n
例：已知数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n
2
?3
，求数列
{ a
n
}
的通项公式
二、等差数列
题型一、等差数列定义：一般地 ，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。用递推公式表示为a
n
?a
n?1
?d(n?2)
或
a
n?1< br>?a
n
?d(n?1)
。
例：等差数列
a
n
?2n?1
，
a
n
?a
n?1
?

题型二、等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
；
等差数列（通常可称为
AP
数列）的单调性：
d
?0< br>为递增数列，
d?0
为常数列，
d?0
为递减数列。
例： 1.已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
7
?a
9
?16，a
4
?1，则a
12
等于（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
2.
{a
n
}
是首项
a
1
?1
，公差
d?3
的等差数列，如 果
a
n
?2005
，则序号
n
等于
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670


1

题型三、等差中项的概念：
定义：如果
a
，A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。其中
A?

a
，
A
，
b
成等差数列
?
A?
a?b

2
a?b
即：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
2
（
2a
n
?a
n?m
?a
n?m
）
例： 1．设
?
a
n
?
是公差为正数的等差数列，若
a
1
?a
2
?a
3
?15
，
a
1
a< br>2
a
3
?80
，则
a
11
?a
12
?a

13
?
（ ）
A．
120
B．
105
C．
90
D．
75

2.设数列
{a
n
}
是单调递增的等差 数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列
?
a
n
?
中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2 ）在等差数列
?
a
n
?
中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3）在等差数列
?
a
n
?
中，对任意
m
，
n?N
?
，
a
n
?a
m
?(n?m)d
，
d?
a
n
?a
m
n?m
(m?n)；
（4）在等差数列
?
a
n
?
中，若
m，
n
，
p
，
q?N
?
且
m?n?p? q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
题型五、等差数列的前
n
和的求和公式：
S
n(a1
?a
n
)
2
n
?
2
?na
n(n?1)
1
1
?
2
d
?
2
n?（a< br>d
1
?
2
）n
。
(
S
n
? An
2
?Bn(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是等差数列 )
递推公式：
S
(a
1
?a
n
) n
(a
m
?a
n?(m?1)
n
?
2
?< br>)n
2

例：1.如果等差数列
?
a
n?
中，
a
3
?a
4
?a
5
?12，那么
a
1
?a
2
?...?a
7
?

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
2.设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，已知
a
2
?3
，
a
6
? 11
，则
S
7
等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
3.设等差数列
?
an
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
?72
,则
a
2
?a
4
?a
9
=
4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为39 0，则这个数列有（
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
5.设等差数列
?
a
S
9
n
?
的前
n项和为
S
n
，若
a
5
?5a
3
则S
?

5
6.已知
?
a
n
?
数列是等差数列，
a
10
?10
，其前10项的和< br>S
10
?70
，则其公差
d
等于( )
A．?
2
3
B．?
1
3
C.
1
2
3
D.
3


2
）

7．设｛
a
n
｝ 为等差数列，
S
n
为数列｛
a
n
｝的前
n
项和，已知
S
7
＝7，
S
15
＝75，
T
n
为数列｛
项和，求
T
n
。

题型六.对与一个 等差数列，
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
仍成等差数列。
例：1.等差数列{
a
n
}的前
m
项和为30，前2
m
项和为100，则它的前3
m
项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
S
n
｝的前
n
n
2.一个等差数列前
n
项的和为48，前2
n
项的和为60，则前3
n
项的和为 。
3.设
S
n
为等差数列
?
a
n
?的前
n
项和，
S
4
?14，S
10
?S
7
?30，则S
9
=
4．（06全国II）设S
n
是等差数列｛
a
n
｝的前
n
项和，若S
3
1
S
＝，则
6
＝
S
6
3
S
12
D．A．
11
3
B． C．
38
10
1

9
题型七．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an?1
?a
n
?d(常数）（n?N
?
）
?
?
a
n
?
是等差数列
②中项法：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
③通项公式法：
a
n
?kn?b
（n?N
?
)
?
?
a
n
?
是等差数列
(k,b为常数)
?
?
a
n
?
是等差数列
(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是等差数列 ④前
n
项和公式法：
S
n
?An
2
?Bn例：1.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n
2
?4
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n
2
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.数列
?
a
n
?
满足
a
1
=8 ，
a
4
?2，且a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
（
n?N
）
?
①求数列
?
a
n
?
的通项公式；
题型八.数列最值 （1）
a
1
?0
，
d?0
时，
S
n< br>有最大值；
a
1
?0
，
d?0
时，
S
n
有最小值；
（2）
S
n
最值的求法：①若已知
Sn
，
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an2
?bn
的最值；
可用二次函数最值的求法（
n?N
?
）；②或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界项，即：

3

?
a
n
?0
?
a< br>n
?0
若已知
a
n
，则
S
n
最值时
n
的值（
n?N
?
）可如下确定
?
或
?< br>。
a?0a?0
?
n?1
?
n?1
例：1 ．等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0，S< br>9
?S
12
，则前 项的和最大。
2 ．设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S< br>n
，已知
a
3
?12，S
12
?0，S
13
?0

①求出公差
d
的范围，
②指出
S
1
，S
2
，?，S
12
中哪一个值最大，并说明理由。
3.已知
{a
n
}
是等差数列，其中
a
1
?31
，公差d??8
。
（1）数列
{a
n
}
从哪一项开始小于0？
（2）求数列
{a
n
}
前
n
项和的最大值，并求出对应
n
的值．

(n?1)
?
S
1
题型九.利用
a< br>n
?
?
求通项．
S?S(n?2)
?
nn?11．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n
2
?4n?1
则
，
2.设数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
=2n，求数列
{a
n
}
的通项公式；
2
3.已知数列< br>?
a
n
?
中，
a
1
?3，
前
n
和
S
n
?
1
(n?1)(a
n
?1) ?1

2
①求证：数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
4.设数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?n
2
，则< br>a
8
的值为（ ）
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64

等比数列
等比数列定义：……
一、递推关系与通项公式
递推关系：a
n?1
?a
n
q
通项公式：a
n
?a
1
?q
n ?1

推广：a
n
?a
m
?q
n?m
1． 在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?4,q? 2
，则
a
n
?

2．在等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
??2
，
a< br>5
?54
，则
a
8
=

4

3.在各项都为正数的等比数列
{a
n
}
中，首项
a
1
?3
，前三项和为21，则
a
3< br>?a
4
?a
5
?
（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189

二、等比中项：若三个数
a ,b,c
成等比数列，则称
b
为
a与c
的等比中项，且为
b ??ac，注：b?ac
2
是成等比数列的必要而不充分条件.
例：1.
2?3
和
2?3
的等比中项为( )
(A)1

(B)?1

(C)?1

(D)2

三、等比数列的基本性质，
1.（1）
若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(其中m,n,p,q?N
?
)

（2）
q
n?m
?
a
n
，a
2
?
a
n
?a
n?m
?a
n?m
(n?N)

m
（3）
?
a
n
?
为等比数 列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
（4）
?
a
n
?既是等差数列又是等比数列
?
?
a
n
?
是各项不为零的 常数列.
例：1．在等比数列
?
a
中,
a
2
n< br>?
1
和
a
10
是方程
2x?5x?1?0
的 两个根,则
a
4
?a
7
?
( )
(A)?
5
2

(B)
2
11
2

(C)?
2

(D)
2

2 .在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a6
?33，a
3
a
4
?32，a
n
?a
n?1

①求
a
n

②若
T
n
?lga
1
?lga
2
???lga
n
,求Tn

3.等比数列
{a
n
}
的各项为正数，且
a
5
a
6
?a
4
a
7
?18,则log< br>3
a
1
?log
3
a
2
??log
3
a
10
?
（
A．12 B．10 C．8 D．2+
log
3
5

?
na
1
(q?1)
四、等比数列的前n项和，
S?
n
n
?
?
a
1
(1?q)
a
(q?1)

?
?
1?q
?
1
?a
n< br>q
1?q
例：1.已知等比数列
{a
n
}
的首相a
1
?5
，公比
q?2
，则其前n项和
S
n< br>?

2.设等比数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，已
a
2
?6,
6a
1
?a
3
?30
，求
a
n
和
S
n< br>

5
）

3．设
f(n)?2 ?2
4
?2
7
?2
10
?
A．
?2
3n?10
(n?N)
，则
f(n)
等于（ ）
2
n
(8?1)

7
B．
2
n?1
22
(8?1)
C．
(8
n?3
?1)
D．
(8
n?4
?1)

777

五. 等比数列的前n项和的性质
若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列.
例：1.一个等比数列前
n
项的和为48，前2
n
项的和为60，则前3
n
项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
2.已知数列
?
a
n
?
是等比数列，且
S
m
?10，S
2m
?30，则 S
3m
?


六.等比数列的判定法
（1）定义法：
a
n?1
?q（常数）?
?
a
n
?
为等比数列；
a
n
2
（2）中项法：
a
n?1< br>?a
n
?a
n?2
(a
n
?0)?
?
a
n
?
为等比数列；
（3）通项公式法：
a
n
?k?q
n
(k,q为常数）?
?
a
n
?
为等比 数列；
（4）前
n
项和法：
S
n
?k(1?q
n
)（k,q为常数）?
?
a
n
?
为等比数列。
S
n
?k?kq
n
（k,q为常数）?
?
a
n< br>?
为等比数列。
(n?1)
?
S
1
七.利用
a
n
?
?
求通项．
S?S(n?2)
?
nn?1

例：1.数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
=1，
a
n?1
?
{
a
n
}的通项公式．

2.已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?5,
前
n
项和为
S
n
，且
S
n?1
?S
n
?n?5
证明数列
?
a
n
?1
?
是
(n?N)
*
，
等比数列．








1
S
n
，
n
=1，2，3，……，求
a
2
，
a
3
，
a
4
的值及数列
3

6

求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：1已知等差数列
{a
n
}
满足：
a
3
?7,a
5
?a< br>7
?26
， 求
a
n
；

2.已知数列< br>{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?a
n?1
?1(n?1)
，求数列
{a
n
}
的通项公 式；


3.数列
?
a
n
?
满足
a
1
=8，
a
4
?2，且a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
（
n?N
?< br>），求数列
?
a
n
?
的通项公式；

4. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,

5. 设数列
{a
n
}
满足
a
1
?0
且

6. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2, a
n
?3a
n?1
(n?1)
，求数列
{a
n}
的通项公式；

7. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2，a
2
?4且a
n?2
?a
n
?a
n?1
（
n?N
），求数列
?
a
n
?
的通项公式； 2
?
1
a
n?1
?
1
?2
，求数列< br>?
a
n
?
的通项公式；
a
n
11
??1
，求
{a
n
}
的通项公式
1?a
n?1
1?a
n

8. 已知数列
{an
}
满足
a
1
?2，
且
a
n?1?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
（
n ?N
），求数列
?
a
n
?
的通项公式；
?

?
9. 已知数列
{a
n
}
满足a
1
?2，
且
a
n?1
?5?2
n?1
?2?3(a
n
?5?2
n
?2)
（
n?N
）， 求数列
?
a
n
?
的通
项公式；

（2）累加法
1、累加法 适用于：
a
n?1
?a
n
?f(n)

a
2
?a
1
?f(1)
若
a
n?1
?a
n
?f(n)
(n?2)
，则
a
3
?a
2
?f(2)

a
n?1
?a
n
?f(n)


7

两边分别相加得
a
n?1
?a
1
?
例：1.已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?

?
f(n)

k?1
n
1
,
2
a
n?1
?a
n
?
1
4n?1
2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
2. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n? 1，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
3. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
? a
n
?2?3
n
?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
4. 设数列
{a
n
}< br>满足
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n< br>?3?2
2n?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式

（3）累乘法
适用于：
a
n?1
?f(n)a
n

若
a
n?1< br>a
a
?f(n)
，则
2
?f(1)，
3
?f (2)，
a
n
a
1
a
2
a
，
n? 1
?f(n)

a
n
例：1. 已知数列
{a
n< br>}
满足
a
n?1
?2(n?1)5
n
?a
n
，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式 。

2.已知数列
?
a
n
?
满足
a1
?

3.已知
a
1
?3
，
a
n?1
?

（4）待定系数法
适用于
a
n?1
?qa
n
?f(n)

解题基本步骤：
1、确定
f(n)

2、设等比数列< br>?
a
n
?
?
1
f(n)
?
，公比为
3、列出关系式
a
n?1
?
?
1
f(n?1)?< br>?
2
[a
n
?
?
2
f(n)]

2n
a
n
，求
a
n
。 ，
a
n? 1
?
3
n?1
3n?1
a
n

(n?1)
，求
a
n
。
3n?2

8

4、比较系数求
?
1
，
?
2

5、解得数 列
?
a
n
?
?
1
f(n)
?
的通 项公式
6、解得数列
?
a
n
?
的通项公式
例：1. 已知数列
{a
n
}
中，
a
1
? 1,a
n
?2a
n?1
?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
2．在数列
?
a
n
?
中，若
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
? 3(n?1)
，则该数列的通项
a
n
?
_____________ __
3.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?5
n
，a
1
?6
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解：设
a
n?1
?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5
n
)
4．已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?< br>511
n?1
,
a
n?1
?a
n
?()，求
a
n

6
32
5． 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?4?3
n ?1
，a
1
?1
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。

（5）递推公式中既有
S
n
又有
a
n

?
S
1
,n?1
把已知关系通过
a
n
?
?
转化为数列
?
a
n
?
或
S
n
的递推关系，然后采用相应的方法求解。
S?S,n?2
?
nn?1
1.数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
， 且
a
1
=1，
a
n?1
?
的通项公式．

2.已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，
前
n
和
S
n
?
1
Sn
，
n
=1，2，3，……，求
a
2
，
a3
，
a
4
的值及数列{
a
n
}
31
(n?1)(a
n
?1)?1

2
①求证：数列
?
a
n
?
是等差数列 ②求数列
?
a
n
?
的通项公式
3．已知数列
{a
n
}
的各项均为正数，且前n项和
S
n
满足
Sn
?
求数列
{a
n
}
的通项公式。
（6）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例：1. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
1
(a
n
?1)(a
n
?2)
，且
a
2
,a
4
,a
9
成等比数列，
6
2a
n< br>,a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n
?2

9

数列求和
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
?
na
1
(q?1)
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?
Sn
??na
1
?d

S
n
?
?< br>a
1
(1?q
n
)
公比含字母时一定要讨论
(q ?1)
22
?
?
1?q
例：1。已知等差数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
2
?3
，求前n
项和
S
n

2．已知等比数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
2
?3
，求前
n< br>项和
S
n

3.设
f(n)?2?2
4
?2
7
?2
10
?


2．错位相减法求和：如：?
a
n
?
等差,
?
b
n
?
等 比,求a
1
b
1
?a
2
b
2
???an
b
n
的和.

例：1．求和
S
n
?1?2x?3x
2
?

2.求和：
S
n
?

3.设
{a
n
}
是等差数列，
{b
n
}
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
?b
1
?1
，
a
3
?b
5< br>?21
，
a
5
?b
3
?13

（Ⅰ ）求
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；（ Ⅱ）求数列
?


3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：< br>A.
?2
3n?10
(n?N)
，则
f(n)
等于（ ）
D.
2
n
22
(8?1)
B.
(8
n?1
?1)
C.
(8
n?3
?1)

777
2
n?4
(8?1)

7
?nx
n?1

123n
?
2
?
3
???
n

a
aaa
?
a
n
?
?
的前
n
项和< br>S
n
．
?
b
n
?
111
1111
??
?(?)

n(n?1)nn?1
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

11111111
?(?)?[?]

n(n?2)2nn?2

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)

n?n!?(n?1)!?n!

n11
i?1ii
??
C
n?1
?C
n
?C
n?1
(n?1)!n!(n ?1)!

数列
?
a
n
?
是等 差数列，数列
?
?
1
?
?
的前
n
项和
aa
?
nn?1
?

10

例：1.数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
n
?
1
，则
S
5
等于 ____________
n(n?1)
2.已知数列
{a
n
}< br>的通项公式为
a
n
?
1
，求前
n
项的和；
n(n?1)
1
n?n?1
，求前
n
项的和． 3.已知数 列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
4.求< br>1?

4．倒序相加法求和


综合练习：
1111
???
?
?,(n?N
*
)
。
1?21?2?31?2?3?41?2?3?
?
?n
1.等比数列
{an
}
的各项均为正数，且
2a
1
?3a
2
?1
，
a
3
?9a
2
a
6

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
a
1
a
2
（2）设
b
n
?log
3
，求数列
{
?log
3
?...?log
3
2
1
}
的前n项和
b
n


2.已知等差数列
{a
n
}
满足
a
2
?0
,
a
6
?a
8
??10
.
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式及
S
n

（2）求数列
{


3.设数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?3?2
2n?1

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式
（2）令
b< br>n
?na
n
，求数列
{b
n
}
的前n项和< br>S
n





a
n
}
的前n项和
2
n?1

11