高中数学 必修五 数列 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)

2020年9月20日发(作者：谢启发)

【学习目标】
1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.
2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.
3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.
4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.
【学习策略】
数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来 理解。关于数列的一
些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.
【要点梳理】
要点一、数列的概念
数列概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
要点诠释：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不 同，那么它们就是
不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项， …；排在第
n
位的数
称为这个数列的第
n
项.其中数列的第1项也叫 作首项.
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项 数是指
这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.
数列的一般形式：
数列的一般形式 可以写成：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，或简记为
{a
n
}
.其中
a
n是数列的第
n
项.
要点诠释：
{a
n
}
与< br>a
n
的含义完全不同，
{a
n
}
表示一个数列，a
n
表示数列的第
n
项.
要点二、数列的分类
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
要点三、数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式
如果数列
?
a
n
?
的第
n
项
a
n
与
n之间的关系可以用一个公式
a
n
?f(n)
来表示，那么这个公式就叫做 这
个数列的通项公式.
数列的概念与简单表示法

如数 列：
0,1,2,3,...
的通项公式为
a
n
?n?1
（
n?N
）；
*
1,1,1,1,...
的通项公式为
a< br>n
?1
（
n?N
*
）；
1
111
,,,...
的通项公式为
a
n
?
（
n?N
*）；

1,
n
234

要点诠释：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。
如数列：1，0，1，0，1，0，…
n?1
1?(?1)
n?1
?
|
. 它的通项公式可以是< br>a
n
?
，也可以是
a
n
?|cos
2
2
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的 第
n
项，又是这个数列中所有各项的一般表示．
数列
{a
n
}
的前n项和
数列
{a
n
}
的前
n
项和：指数列
{a
n
}
的前n
项逐个相加之和，通常用
S
n
表示，即
S
n
?a
1
?a
2
?...?a
n
；
a
n
与
S
n
的关系
当
n?1
时
a
1
?S
1
；
当< br>n?2
时，
a
n
?(a
1
?a
2
? ...??a
n?1
?a
n
)?(a
1
?a
2?...?a
n?1
)?S
n
?S
n?1

n ?1
?
S
1
,
故
a
n
?
?
.
*
?
S
n
?S
n?1
,n?2且n?N要点四、数列的表示方法
通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与 项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的
每一项．反之，根据通项公式，可以判 定一个数是否为数列中的项。
列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用
a
1
表示第一项，用
a
2
表示第二项，……，用
a
n
表示第
n
项，……，依次写出得数列
{a
n
}< br>．
1 2 …
n

…
…
a
1

a
2

a
n

…
图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．

< br>具体方法：以项数
n
为横坐标，相应的项
a
n
为纵坐标，即以
(n,a
n
)
为坐标在平面直角坐标系中做出点。
所得的数列的图形 是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在
y
轴的右侧，而点的个数取决
于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法 < br>递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且 任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。如：
数列：-3，1，5，9，13，…，
可 用递推公式：
a
1
??3,a
n
?a
n?1
?4( n?2)
表示。

数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?3)
表示。

要点五、数列与函数
（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。
数列可以看成以正整数集
N
（或它的有限子集
{1,2,3,...,n}
）为定义域的函数
a
n
?f(n)
，当自变量
从小到大依次取值时对 应的一列函数值。反过来，对于函数
y?f(x)
,如果
f(i)
（
i?1,2,3,...,n,...
）有
意义，那么我们可以得到一个数列
f(1)
，
f(2)
，
f(3)
，…，
f(n)
，…；
（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列通项公式反 映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的
每一项．反之，根据 通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
（3）数列的图象是落在
y
轴右侧的一群孤立的点
数列
a
n
?f(n)
的图象是以项数
n
为横坐标，相应的项
a
n< br>为纵坐标的一系列孤立的点
(n,a
n
)
，这些点
都落在函数
y?f(x)
的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在
y
轴的右侧， 从图象中可以直观
地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】
类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
?
3815
,,,…；
2
3
4
?35?7
(2) 1, ,,,…；
4
9
16
(1) 0,
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
【解析】

1
2
?1
2
2
?1
3
2
?1
42
?1
（1）将数列改写为，，，，…，
24
13
n
2
?1
故
a
n
?
.
n
（2）此数列奇数 项为正，偶数项为负，可用
(?1)
n?1
来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故
a
n
?(?1)
n?1
?
2n?1
.
2
n
1234
（3）将数列改写为
10?1
,
10?1
,
10?1
,
10?1
，…，
故
a
n
?10
n
?1
.
（4）将数列每 一项减去6与1的平均值
故
a
n
?
75555
得新数列, -,, -,…，
22222
7575
?(?1)
n?1
?
或
a
n
??cos(n?1)
?
.

2222
【总结升华】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先 观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分
后的结果，要根据观察还原分数 ；
nn
②注意(－1)在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1) 作指数，让数列中隔项
出现倒数；
③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊 中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律
明朗化.
⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：
数列-1，1，-1，1，…的通项公式为a
n
?(?1)
n
；
数列1，2，3，4，…的通项公式为
a
n
?n
；
数列1，3，5，7，…的通项公式为
a
n
?2n?1
；
数列2，4，6，8，…的通项公式为
a
n
?2n
；
数列1，4，9，16，…的通项公式为
a
n
?n
2
；
数列1，
1111
，，，…的通项公式为
a
n
?
。
n
2
3
4
举一反三：
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 1, 1, 1, 1,…；

(2) -1, 1, -1, 1, …；
(3) 1, -1, 1, -1, …；
-，，-
, …； (4)
1，
(5) 2，0，2，0，….
【答案】
(1)
a
n
?1
；
(2)
a
n
?(?1)
n?2
；
(3)
a
n
?(?1)
n?1
；
(4)
a
n
?(?1)
n?1
11
23
1
4
1
；
n
(5)
a
n
?1?(?1)
n?1
；
类型二：通项公式的应用
例2.设数列
{a
n
}
满足a
n
?
n
，写出这个数列的前五项。
n?2
【思路点 拨】只需在给出数列
{a
n
}
的通项公式中依次取
n?1,2,3, 4,5
，便可以求解.
【解析】数列
?
a
n
?
的 前五项为：
a
1
?
1213425
；
a
2
??
；
a
3
?
；
a
4
??
；a
5
?
.
425637
3
【总结升华】根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项。
举一反三：
(?1)
n
【变式1】设数列
{a
n
}
满足
a
n
?
，写出这个数列的前五项。
n
【答 案】
?1
，
1111
，
?
，，
?
. 3
4
5
2
【变式2】根据下列数列
{a
n
}< br>的通项公式，写出它的第五项.
nn
?
； （2）
a
n
?nsin
，
2n?12
5
【答案】（1）；（2）5.
9
（1）
a< br>n
?
例3．已知数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?3n?2
, 试问下列各数是否为数列
{a
n
}
的项，若是，是第几项？
(1) 94；(2) 71.
【思路点拨】
先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的 脚标
n?N
?
，那么是数列中的项，否则，不是.

【解析】
（1）设
94?3n?2
, 解得
n?32
.
故94是数列
{a
n
}
的第32项.
（2）设
71?3n?2
，解得
n?24?N
.
故71不是数列
{a
n
}
的项.
【总结升华】方程思想是 解决数列中未知量的主要方法，
n,a
n
,d,S
n
,a
1
中知三求二，就是采用了方程
的思想.
举一反三：
【变式】已知数列{a
n
}
的通项公式
a
n
?(n?1)(n?2),
（1）若
a
n
?9900
，试问
a
n< br>是第几项？
（2）56和28是否为数列
{a
n
}
的项？
【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.
类型三：递推公式的应用
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】
例4. 设数列
{a< br>n
}
满足：
a
1
?1
，
a
n
?1?
【思路点拨】
题中已给出
{a
n
}
的第1项a
1
?1
和递推公式：
a
n
?1?

【解析】据题意可知：
a
1
?1
，
a
2
?1?1
3
?
1
(n?2)
，写出这个数列的前五项。
a
n?1
1
，故可以依次写出下列各项.
a
n?1
8
11315
?2
，
a
3
?1??
，
a
4
?1??
，
a
5
?

5
a1
a
2
2a
3
3
故数列的前5项为:1，2，
358
，，.
2
35
【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据 数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。
举一反三：
【变式1】已知数列
{ a
n
}
满足：
a
1
?1
，
a
2< br>?3
，
a
n?2
?a
n?1
?2a
n
(n?1)
，写出前6项.
【答案】
a
1
?1
，
a
2
?3
，
a
3
?5
，
a
4< br>?11
，
a
5
?21
，
a
6
?43
.
【变式2】已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
，写出前5项，并猜 想
a
n
．
【答案】
法一：
a
1
?2
，
a
2
?2?2?2
，
a
3
?2?22
?2
3
，观察可得
a
n
?2
n
< br>2

法二：由
a
n?1
?2a
n
，∴< br>a
n
?2a
n?1
即
a
n
?2

a
n?1
∴
a
n
a
n?1
a< br>n?2
a
???
??
?
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n
类型四：前
n
项和公式
S
n
与通项
a
n
的关系
例5．已知数列
{a
n
}
的前
n项和公式
S
n
，求通项
a
n
.
（1）
S
n
?2n
2
?n?1
， (2)
S
n
?log
2
(n?1)
.
【思路点拨】
先由
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
，求出
a
n
；再由当
n?1
时，
a
1
?S
1
，求出
a
1
，并验证a
1
是否符合所求
出的
a
n
.
【解析】
(1) 当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S< br>n?1
?(2n
2
?n?1)?[2(n?1)
2
?(n?1 )?1]?4n?3
，
当
n?1
时，
a
1
?S< br>1
?2?1
2
?1?1?2?4?1?3
，
?
2,(n?1)
∴
a
n
?
?

*
4n?3,(n?2且n?N)
?
(2)当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?log
2
(n?1 )?log
2
n?log
2
当
n?1
时，
a
1
?S
1
?log
2
(1?1)?1?log
2
∴
a
n
?log
2
n?1
，
n
1?1
，
1
n?1
?
(
n?N
)为所求.
n
【总 结升华】已知
S
n
求出
a
n
依据的是
S
n
的定义：
S
n
?a
1
?a
2
?...?a
n
，分段求解，然后检验结果能
否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的 形式.
举一反三：
【变式1】（海淀区2015年高三年级第二学期期末练习）已知数列< br>?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，且
a
n
?0(n?N
?
)
，又
a
n
a
n?1
?S
n
,
则
a
3
?a
1
?
。
【答案】因为
a
1
a
2
?S
1
?a
1
,
解得
a
2
?1,
又
a
2
a
3
?S
2
?a
1
?a
2< br>,
解得
a
3
?a
1
?
1.
【变式 2】已知数列
{a
n
}
的前
n
项积
S
n< br>?n?2
，求通项
a
n

【答案】当
n?2
时，
a
n
?
S
n
n?2
，
?
S
n?1
n?1
1?2
，
1?1
当< br>n?1
时，
a
1
?S
1
?1?2?3?
?< br>3,(n?1)
?
∴
a
n
?
?
n?2
.
*
,(n?2且n?N)
?
?
n?1
类型五：数列与函数
例6．已知数列
{a
n
}
中
a
n
?
3n?2
,判断数列
{a
n
}
的单调性，并给以证明.
n?3
【思路点拨】选择数列中任意相邻两项作差比较即可.
【解析】∵
a
n
?
3(n?3)?1111
?3?
，
n?3n?3∴
a
n?1
?a
n
?(3?
111111
)? (3?)??0
（
n?N
*
）
n?4n?3(n?3)(n?4)
∴数列
{a
n
}
是递增数列.
【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.
举一反三：
【变式1】数列
{a
n
}
中：
a
1
?1
,
a
n?1
?
2a
n
*
（
n?N
）
a
n
?2
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性.
【答案】
（1）
a
1
?1,
a
2
?
2122122
,
a
3
??
,
a
4
?
,
a
5
??
,∴
a
n
?
；
324536n?1
（2）方法一：∵
a
n?1
?a
n
?
222
????0
，
n?2n?1(n?2)(n?1)
∴ 数列
{a
n
}
是递减数列.
方法二：∵函数
f(x)?< br>2
在
x?[1,??)
上单调递减，
x?1
∴数列
{a
n
}
是递减数列.
n
*
【变式2】数列
{a
n
}
中：
a
n
?a ?()
（
n?N
，
a?0
且
a
为常数），判断数列
{a
n
}
的单调性.
1
2
【答案】∵
a
n?1
?a
n
?a?()
1
2
n?1
1a 1
?a?()
n
???()
n
，
222
当
a?0
时
a
n?1
?a
n
?0
， ∴数列
{a
n
}
是递减数列；

当
a?0
时
a
n?1
?a
n
?0
， ∴数列
{a
n
}
是递增数列.
【巩固练习】
一、选择题
1.数列1,2,4,8,16,32，……的一个通项公式是
A.
a
n
?2n?1
B.
a
n
?2
n?1
C.
a
n
?2
n
D.
a
n
?2
n?1

2.已知数列
,,,,…< br>……，
1234
2345
n
则0.96是该数列的（ ）
n?1
A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项
3．已知数列的通项公式：
a
n
?
?
A．70
C．20
4．已知a
n
＝n
2
＋n，那么( )
A．0是数列中的项
C．3是数列中的项
B．20是数列中的项
D．930不是数列中的项
?
3n?1(n为奇数)
?
2n?2(n为偶数)
B．28
D．8
则a
2
·a
3
等于( )
5．设数列
2
，
5
，
22
，
11
，…则
25
是这个数列的( )
A．第6项
C．第8项
二、填空题
6.已知数列
{a
n
}
的前n项和S
n
=3+2, 则a
n
=__________.
n
B．第7项
D．第9项
7.已知数列
{a
n
}
前n项和S
n
=5n-n, 则a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10
=_________.
2
8.已知数列
{a
n
}< br>中，
a
1
?1
,
a
n?1
?2?
2
4
. 那么数列
{a
n
}
的前5项依次为_________.
a
n
?2
9.数列{a
n
}的通项公式a
n
=n+n+1; 则273是这个数列的第_______项.
10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:
14916
, -,, -,……；
2510
17
2468
(2) , , , ,……;
315
3563
(1)
(3) 5, 55, 555, 5555, ……;
(4) 3,5,3,5,…….
三、解答题
11．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=n+?n, 若数列{a
n
}为递增数列，试求最小的整数?.
12．已知数列{a
n< br>}的前n项和S
n
满足关系式lg(S
n
-1)=n， 求a
n
.
2

13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (
n?N
*
)；
(2)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (
n?N
*
).
14．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝n
2
－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，a
n
有最小值？并求出最小值．
15.已知数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?(m
2< br>?2m)(n
2
?2n)
且为递减数列，求m的取值范围

【答案与解析】
1.答案：B
解析：容易观察，从第二项开始，每一项都是前一项 的2倍，故，
a
n
?2
n?1
,
故选B.
2.答案：C
解析：易知数列的通项公式
a
n
?
3. 答案： C
解析： a
2
＝2×2－2＝2
a
3
＝3×3＋1＝10
a
2
·a
3
＝20.故选C.

4. 答案： B
解析： 令n
2
＋n＝0，得n＝0或n＝－1，∵n?N
*
，故A错．
令 n
2
＋n＝20，即n
2
＋n－20＝0，∴n＝4或n＝－5(舍)，
∴a
4
＝20.故B正确．
令n
2
＋n＝3，即n
2
＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C错．
令n
2
＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30或n＝－31(舍)，∴a
30
＝930，故D错．

5. 答案： B
解析： 该数列通项公式为
a
n
?3n?1
.
令
3n?1?25
，得n＝7.
9624n
n
，把0.96化为通项的形式
0.96?
，故n=24
??
10025n?1
n?1
?
5(n?1)
6.答案：
a
n
?
?
n?1
;
?
2(n?2)< br>?
5(n?1)
解析：利用
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?1)
可求
a
n
?2
，另n=1时，< br>a
1
?5,
∴
a
n
?
?
n?1
2(n?2)
?
n?1
7.答案： 370;

解析：a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10
=S
10
- S
5
,可求a
6
+a< br>7
+a
8
+a
9
+a
10
=370
8.答案 1,
2121
,,,;
3253
解析：∵
a
1
?1
,
a
n?1
?2?
9. 答案：16.
4
42
. ∴
a
2
?2??
，同理可求其它项.
a
1
?23
a
n
?2
解析：令
n
2
?n?1?273
；求得
n?16

10．答案(1)
a
n
?(?1)
n?1
n
2
2n
?
2
; (2)
a
n
?
;
n?1
(2n?1)(2n?1)< br>5(10
n
?1)
n
(3)
a
n
?
; (4) a
n
=4+(-1)
9
11．解析:依题意有:a
n+1
-a
n
>0, 即[(n+1)+?(n+1)]-(n+?n)>0.
解得 ?>-(2n+1),
n?N
*
.
∵-(2n+1)(
n?N
*
)的最大值为-3，
∴ 满足条件的最小整数?=-2.
22
?
11,(n?1)
12．答案：
a
n
?
?

n?1
9?10,(n?2)
?
解析：

n?1 时，a
n
?S
n
?S
n?1
?10
n
?1 0
n?1
?9?10
n?1

?
11,(n?1)
n?1
时，
a
n
?S
1
?11
，所以
a< br>n
?
?

n?1
?
9?10,(n?2)
13．解析:
(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
?(n?1)
2
；
(2)
a
1?3?1?2?3
0
,
a
2
?7?1?2?3
1
,
a
3
?19?1?2?3
2
,
a
4
?55?1?2?3
3
,
a
5
?163?1?2?3
4

∴
a
n
?1?2?3
n?1
.
14.解析：
(1)由n
2
－5n＋4<0，解得1∵n∈N
*
，∴n＝2,3.
∴数列有两项是负数．

5
?
9
?
(2)方法一：∵
a
n
?n?5n? 4?
?
n?
?
?
，
2
?
4
?< br>5
可知对称轴方程为
n??2.5
.
2
2
2
又因n∈N
*
，故n＝2或3时，a
n
有最小值，其最小值为
2
2
－5×2＋4＝－2.
方法二：设第n项最小，
?
a
n
?a
n?1
由
?

a?a
n?1
?
n
22
?
?
n?5n?4?(n?1)? 5(n?1)?4
得
?
2

2
?
?
n?5 n?4?(n?1)?5(n?1)?4
解这个不等式组得2≤n≤3，
∴n＝2,3，
∴a
2
＝a
3
且最小，
∴a
2
＝a
3
＝2
2
－5×2＋4＝－2.
15.解析：∵数列为递减数列，∴
a
n?1
?a
n
∴
a
n?1
?a
n
?(m
2
?2m)[(n? 1)?2(n?1)?n
2
?2n]

?(m
2
?2m)( 3n
2
?3n?1)?0
?
n?N
*

1
2
7
?3n?3n?1?3(n?)??5?0
24
?m
2
?2m?0
解得
0?m?2

2
等差数列
【学习目标】
1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系；
2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题.
3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
【要点梳理】
要点一：等差数列的定义
文字语言形式
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通 常用字母
d
表示。
要点诠释：
⑴公差
d
一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数
d
（即公差）；
符号语言形式

对于数列
{a
n
}
,若a
n
?a
n?1
?d
(
n?N
?
，< br>n?2
,
d
为常数)或
a
n?1
?a
n?d
(
n?N
?
，
d
为常数)，则此
数列是等 差数列，其中常数
d
叫做等差数列的公差。
要点诠释：定义中要求“同一个常数
d
”，必须与
n
无关。
等差中项
如果
a
,
A
,
b
成等差数列， 那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，即
A?
要 点诠释：
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.
②三个数
a
,
A
,
b
成等差数列的充要条件是A?
要点二：等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首相为
a1
，公差为
d
的等差数列
{a
n
}
的通项公式 为：
a?b
.
2
a?b
.
2
a
n< br>?a
1
?(n?1)d
（
n?N
*
）
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义
a
n
?a
n?1
?d
可得：
a
n
?a
n?1
?d< br>，
∴
a
2
?a
1
?d?a
1
?( 2?1)d
，
a
3
?a
2
?d?(a
1
?d)?d?a
1
?2d?a
1
?(3?1)d
，
a4
?a
3
?d?(a
1
?2d)?d?a
1
? 3d?a
1
?(4?1)d
，
……
a
n
?a
1
?(n?1)d


当n=1 时，上式也成立
∴归纳得出等差数列的通项公式为：
a
n
?a
1?(n?1)d
（
n?N
?
）。

（2）叠加法：
根据等差数列定义
a
n
?a
n?1
?d
，有：
a
2
?a
1
?d
，
a
3
?a
2
?d
，

a
4
?a
3
?d
，
…
a
n
?a
n?1
?d

把这
n?1
个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得
a
n
?a
1
?( n?1)d
，
∴
a
n
?a
1
?(n?1)d
.
(3)迭代法：
a
n
?a
n?1
?d?(a
n? 2
?d)?d?
?
?(a
2
?d)?d?
?
?d? a
1
?(n?1)d

???????
n?2
∴
a
n
?a
1
?(n?1)d
.
要点诠释：
①通项 公式由首项
a
1
和公差
d
完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差 确定，该等差数列就唯一确
定了。
②通项公式中共涉及
a
1
、n
、
d
、
a
n
四个量，已知其中任意三个量，通过解方 程，便可求出第四个
量。
等差数列通项公式的推广
已知等差数列
{an
}
中，第
m
项为
a
m
，公差为
d< br>，则：
a
n
?a
m
?(n?m)d

证明 ：∵
a
n
?a
1
?(n?1)d
，
a
m< br>?a
1
?(m?1)d

∴
a
n
?a
m
?[a
1
?(n?1)d]?[a
1
?(m?1) d]?(n?m)d

∴
a
n
?a
m
?(n?m)d

由上可知，等差数 列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
可以看
成是
m?1
时的特殊情况。
要点三：等差数列的性质
等差数列
{a
n
}
中，公差为
d
，则
① 若
m,n,p,q?N
?
，且
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，
特别地，当
m?n?2p
时
a
m
?a
n
?2a
p.

②下标成公差为
m
的等差数列的项
a
k,
a
k?m
,
a
k?2m
,…组成的新数列仍为等差数 列，公差为
md
.
③若数列
?
b
n
?
也 为等差数列，则
?
a
n
?b
n
?
，
?ka
n
?b
?
，（k,b为非零常数）也是等差数列.
④a
1
?a
2
?a
3
,a
4
?a
5
?a
6
,a
7
?a
8
?a
9
,……
仍是等差数列.
⑤数列
?
?
a
n
+b?
（
?
，b
为非零常数）也是等差数列.
要点四：等差数列< br>{a
n
}
的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)
等差数列< br>{a
n
}
中，
a
n
?a
1
?(n? 1)d?dn?(a
1
?d)
，令
a
1
?d?b
, 则：
a
n
?dn?b
（
d
,
b
是常数且
d
为公差）
（1）当
d?0
时，
a
n
? b
为常数函数，
{a
n
}
为常数列；它的图象是在直线
y? b
上均匀排列的一群孤
立的点。
（2）当
d?0
时，
a< br>n
?dn?b
是
n
的一次函数；它的图象是在直线
y?dx? b
上均匀排列的一群孤立
的点。
①当
d?0
时，一次函数单调增，
{a
n
}
为递增数列；
②当
d
＜0时，一次函 数单调减，
{a
n
}
为递减数列。
【典型例题】
类型一：等差数列的定义
例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【思路点拨】
（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；
（ 2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数
n
值，使得< br>a
n
等
于这一数.
【解析】
（1）根据题意可知：
a
1
?3
,
d?7?3?4
.
∴该数列的通项公式为：
a
n
?3?4(n?1)?4n?1
（
n?1
,
n ?N
?
）
∴
a
11
?3?4(11?1)?43
.
（2）根据题意 可得：
a
1
?2
,
d?9?2?7
.

∴此数列通项公式为：
a
n
?2?7(n?1)?7n?5
（
n?1
,
n?N
?
）.
令
7n?5?100
,解得：
n?15
,
∴100是这个数列的第15项.
【总结升华】
1.根据所给数列的前2项求得首 项
a
1
和公差
d
，写出通项公式
a
n
.
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项
【答案】由
a
1
? 8
，
d?5?8?2?5??3
，∴
a
21
?8?(21? 1)?(?3)??52
.
【变式2】－20是不是等差数列0，
?
7，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
2
【答案】由题意可知：
a
1
?0
,
d??
777
，∴此数列的通项公式为 ：
a
n
??n?
,
222
令
?20??
7747
n?
,解得
n??N
，所以－20不是这个数列的项.
2 27
【变式3】求集合
M?{m|m?7n,n?N
*
,m?100}
的元素的个数，并求这些元素的和
【答案】∵
7n?100
， ∴
n?14
2
*
， ∵
n?N
，∴
M
中有14个元素符合条件，
7
又∵满足条 件的数7，14，21，…，98成等差数列，即
a
1
?7
，
d?7
，
a
14
?98
，
∴
S
14
?
14(7?98)
?735
.
2
例2.已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n< br>?3n?5,
这个数列是等差数列吗？
【思路点拨】由等差数列的定义，要判定
{a
n
}
是不是等差数列，只要看
a
n
?a
n? 1
（
n?2
）是不是一
个与
n
无关的常数。
【解析】因为
n?2
时，
a
n
?a
n?1
?3n?5?[3(n?1)?5]?3,

所以数列
{a
n
}
是等差数列，且公差为3.
【总结升华】

1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.
2. 一般地，如果一个数列
{a
n
}
的前
n
项和 为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中
p
、< br>q
、
r
为常数，且
p?0
，
那么当常数项
r ?0
时，这个数列一定是等差数列；当常数项
r?0
时，这个数列不是等差数列，但从 第二
项开始的新数列是等差数列.
举一反三：
【变式1】(2015 北京)设{a
n
}是等差数列，下列结论中正确的是
A．若a
1
+ a
2
＞0，则a
2
+a
3
＞0
B．若a
1
+a
3
＜0，则a
1
+a
2
＜0
C． 若0＜a
1
＜a
2
，则
a
2
?a
1
a
3

D．若a
1
＜0，则(a
2
－a
1
)(a
2
－a
3
)＞0
【答案】分析四个答案，A举一 反例，如
a
1
?2
，
a
2
??1
，
a
3
??4
，a
1
+a
2
＞0，而a
2
+a
3
＜0，A错误；
同样B，如
a
1
?2，
a
2
??1
，
a
3
??4
，a1
+a
3
＜0，则a
1
+a
2
＞0，B错误；
对于C，{a
n
}是等差数列，若0＜a
1
＜a
2
，则a
1
＞0，设公差为d，则d＞0 ，数列各项均为正，
2
22
a
1
a
2
?(a
2
?d)(a
2
?d) ?a
2
?d
2
，∵
a
2
?a
2
?d
2
，∴
a
2
?a
1
a
3
；
对于D，
( a
2
?a
1
)(a
2
?a
3
)??d2
?0

故选：
C．
【变式2】已知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?
2a
n
1
*
（
n?N
），求证：
{}< br>是等差数列。
a
n
?2a
n
证明：∵
a
n ?1
?
2a
n
a?2
111
，∴
?
n??

a
n
?2a
n?1
2a
n
2a
n
∴
1
1111
??
，∴
{}
是公差为的 等差数列。
2
a
n?1
a
n
2a
n
类型 二：等差数列通项公式的应用
例3．已知等差数列
{a
n
}
中，< br>a
15
?33
，
a
45
?153
，试问21 7是否为此数列的项？若是，说明是第几
项？若不是，说明理由。
【思路点拨】等差数列的计 算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a
1
、d的问题，
列出 a
1
、d的方程组。
【解析】

方法一：由通项公式得：< br>?
?
a
15
?a
1
?14d?33
?
a
1
??23
，解得
?
，
?
d?4
?
a
45
?a
1
?44d?153
∴
a
n
??23?4(n?1)?4n?27
（
n?1
,
n? N
?
）,
∴
217?4n?27
,解得
n?61
.
方法二：由等差数列性质 ，得
a
45
?a
15
?30d
,即
153?33? 30d
，解得
d?4
,
∴
a
n
?a
15
?4(n?15)
， ∴
217?33?4(n?15)
,解得
n?61
.
方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，
∵点
P( 15,33)
、
Q(45,153)
、
R(n,217)
在同一条直 线上，
∴
153?33217?153
?
，解得
n?61
。
45?15n?45
【总结升华】
1. 等差数列的关键是首项
a
1
与公差
d
；五个基本量
a
1
、
n
、d
、
a
n
、
S
n
中，已知三个基本量便可求< br>出其余两个量；
2.列方程（组）求等差数列的首项
a
1
和公差d
，再求出
a
n
、
S
n
，是数列中的基本方法 .
举一反三：
【变式1】在等差数列
{a
n
}
中，已知
a
5
?10,a
12
?31,
求首项
a
1
,
与公差
d
.
【答案】由
?
?
5a
1
?4d?10
解得；
a
1
??2,d?5

12a?11d?31
?1
【变式2】等差数列
{a
n
}
中,
d?4
,
a
n
?18
,
S
n
?48
,求
a
1
的值.
?
a
n
?a
1
?(n?1)d?18
?
a
1
?4(n?1)?18
?
【答案】
?
即，
n(n?1)
?
S
n
?na
1
?d?48
?
na
1
?2n(n?1)?48
?
?2
?
a
1
?6
?< br>a
1
??2
解得：
?
或
?
.
n? 4n?6
??
【变式3】已知等差数列
{a
n
}
，
a
3
?
【答案】
方法一：设数列
{a
n
}
首项为
a
1
,公差为
d
，则
53
，
a
7
??
，则
a
15
= 。
44

51
??
a?2d?d??
1
??
42
??
， 解得
?
，
?
?
a?6d? ?
3
?
a?
9
11
??
44
??
∴
a
15
?a
1
?14d?
9119
?14?(? )??
。
424
方法二：∵
a
7
?a
3
?4d
, ∴
?
351
??4d
，解得：
d??
，
442
∴
a
15
?a
7
?(15?7)d??
19
. < br>4
方法三：∵
{a
n
}
为等差数列，∴
a
3
,
a
7
,
a
11
,
a
15
，…，也成新的等差数列，
由
a
3
?
535< br>，
a
7
??
知上述新数列首项为，公差为-2
444
519
?(4?1)(?2)??
.
44
∴
a
15
?
类型三：活用等差数列的性质解题
例4. 已知等差 数列
{a
n
}
中，若
a
3
?a
8
?a
13
?12
,
a
3
a
8
a
1 3
?28
,求
{a
n
}
的通项公式。
【思路点拨 】可以直接列方程组求解
a
1
和
d
；同时留意到脚标
3?1 3?8?2
，可以用性质：当
m?n?2p
时
a
m
?an
?2a
p
解题.
【解析】∵
a
3
?a13
?2a
8
，∴
a
3
?a
8
?a< br>13
?3a
8
?12
即
a
8
?4
,
?
a
3
?a
13
?8
?
a
3?1
?
a
3
?7
代入已知，有
?
,解得
?
或
?
，
?
a
3
?a
13
? 7
?
a
13
?7
?
a
13
?1
当
a
3
?1
,
a
13
?7
时，
d?
a
13
?a
3
7?13
334
??
，∴< br>a
n
?a
3
?(n?3)?n?
；
555
13?3105
当
a
3
?7
,
a
13
?1
时，
d?
a
13
?a
3
1?73344
? ??
, ∴
a
n
??n?
.
13?310555
【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.
举一反三：
【变式1】在等差数列
{a
n
}
中，
a
2
?a
8
?18
，则
a
5
=

【答案】9
【变式2】在等差数列
{a
n
}
中，
a
2
?a
5
?a
8
?a
11
?20
，则
a
6
+a
7
=
【答案】10
【变式3】在等差数列
{a
n
}
中，若a
1
?a
6
?9
,
a
4
?7
, 则
a
3
= ,
a
9
=
【答案】∵
a
1
?a
6
?a
4
?a
3
?9
，
a
4
?7
，∴
a
3
? 9?a
4
?9?7?2
，
∴
d?a
4
? a
3
?5
，∴
a
9
?a
4
?(9?4)d ?32
.
【巩固练习】
一、选择题
1.(2014 重庆)在等差数 列{a
n
}中，a
1
＝2，a
3
＋a
5
＝ 10，则a
7
＝( )
A． 5 B．8 C． 10 D． 14
2．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的递增等差数列
C．是首项为7的递减等差数列
A．20
C．60
A．4
C．8
A．12
C．14
B．是公差为5的递增等差数列
D．是公差为2的递减等差数列
B．48
D．72
B．6
D．12
B．13
D．15
3.已知{a
n
}是等差数列，a
3
＋a
11
＝40，则a
6
－a
7
＋a
8
等于( )
4. 已知等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0)，且a
3
＋a< br>6
＋a
10
＋a
13
＝32，若a
m
＝8， 则m等于( )
5. 若等差数列{a
n
}中a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
＝25，且a
2< br>＝3，则a
7
＝( )
6．若
lg2,lg(2
x
?1),lg(2
x
?3)
成等差数列，则
x
的值等于（ ）
A．
1
B．
0
或
32
C．
32
D．
log
2
5

二、填空题
7．等差数列
?
a
n
?
中,
a
2
?9,a
5
?33,
则
?
a
n
?
的公差 为______________。
8．已知数列
?
a
n
?
是等差数列，若
a
4
?a
7
?a
10
?17,
a
4
?a
5
?a
6
???a
12< br>?a
13
?a
14
?77
且
a
k
? 13
,则
k?
_________。
9.把20分成四个数成等差数列，使 第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四
个数从小到大依次为________ ____.
10．在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
1
,a
10
是方程
3x?2x?6?0
的两根，则
a
4
?a
7
=___________.
2
11. （2015 新课标Ⅱ）设S
n
是数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=－1，a
n+1
=S
n
S
n+1
，则S
n
=________．

三、解答题
12.在等差数列{a
n
}中，a
3
+a
4
+a
5
+a
6+a
7
=450，求a
2
+a
8
.
2213．已知数列{a
n
}是等差数列，令
b
n
?a
n? 1
?a
n
，求证：{b
n
}也是等差数列.
14. 在等差数列
?
a
n
?
中,
a
5
?0.3 ,a
12
?3.1,
求
a
18
?a
19
? a
20
?a
21
?a
22
的值。
15. 己知< br>{a
n
}
为等差数列，
a
1
?2,a
2?3
，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构
成一个新的等差数列，求：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】∵等差数列{a
n
}中，a
1
＝ 2，a
3
＋a
5
＝10
∴2＋2d＋2＋4d＝10，解得d＝1，
∴a
7
＝2＋6×1＝8．
故选：B．

2. 【答案】A
【解析】∵a
n
－a< br>n
－
1
＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，
∴{a
n
}是公差为2的递增等差数列．

3.【答案】A
【解析】∵a
6
＋a
8
＝2a
7
，
又a
3
＋a
11
＝2a
7
＝40.∴a
7
＝2 0.
∴a
6
－a
7
＋a
8
＝2a
7－a
7
＝a
7
＝20，故选A.

4.【答案】C
【解析】因为a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
1 3
＝4a
8
＝32，所以a
8
＝8，即m＝8.

5.【答案】B
【解析】
5a
5
?25

∴a< br>1
＋a
5
＝10，又∵a
1
＋a
5
＝2a< br>3

∴a
3
＝5，a
2
＝3，∴d＝2
∴a
7
＝a
3
＋(7－3)d＝5＋4×2＝13.故选B.

6.【答案】D
【解析】
lg2?lg(2?3)?2lg(2?1),2(2?3)?(2?1)

x2

(2)?4?
x
2?5?0
x
, 2?x5,?
2
xxxx2

og5l
7.【答案】
8

a
5
?a
2
33?9
??d?8

5?25?2
8.【答案】
18

172
,11a
9
?77,a
9
?7,d?,a
k
?a
9
?(k? 9)d
【解析】
3a
7
?17,a
7
?
33
2

35?7?(k?9)?,k?18

3
【解析】

9.【答案】2，4，6，8；
【解析】设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.易知x=5，d=1或-1
10.【答案】
2

3
2

3
【解析】
a
4
?a
7< br>?a
1
?a
10
?

11.【答案】
?
1

n
【解析】 由已知得
a< br>n?1
?S
n?1
?S
n
?S
n?1
?S< br>n
，两边同时除以
S
n?1
?S
n
，得
?< br>1
?
11
故数列
??
???1
，
S
n?1
S
n
?
S
n
?
是以－1为首项，－1为公差 的等差数列，则
12.【解析】
1
1
??1?(n?1)??n
， 所以
S
n
??
．
n
S
n
解法一：统一成关于a
1
，n，d的表达式.
设{a
n
}的首项和公差分别为a
1
和d，则
a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
= 5a
1
+20d=450
a
2
?a
8
?2a1
?8d?
22
?(5a
1
?20d)??450?180.
55
解法二：a
m
+a
n
=a
p
+a
q
?
m+n=p+q
由等差数列的性质可知
a
2< br>+a
8
=a
3
+a
7
=a
4
+a< br>6
=2a
5

∴
a
2
?a
8
?2a
1
?8d?

13.【解析】设{a
n
}公差为d，则
2222
b
n? 1
?b
n
?a
n?2
?a
n?1
?(a
n ?1
?a
n
)

22
?(a
3
?a
7
?a
4
?a
6
?a
5
)??450?180< br>.
55
=(a
n+2
+a
n+1
)·d-(a
n+1
+a
n
)·d
=d·[(a
n+2
+a
n+1
)-(a
n+1
+a
n
)]
=d·(a
n+2
-a
n
)=d·2d=2d
2

∵2d
2
是与n无关常数
∴{b
n
}是等差数列.
14.【解析】
a
18
?a
19
?a
20
?a
21
?a
22
?5 a
20
,a
12
?a
5
?7d?2.8,d?0.4

a
20
?a
12
?8d?3.1?3.2?6.3
< br>∴
a
18
?a
19
?a
20
?a
2 1
?a
22
?5a
20
?6.3?5?31.5

15.【解析】设新数列为
?
b
n
?
,则b
1
?a
1
?2,b
5
?a
2
?3,根据b
n
?b
1
?(n?1)d,有b
5
?b
1
?4d,
即3=2+4d，∴
d?
1
，∴
b
n
?2?(n?1) ?
1
?
n?7

4
44
(4n?3)?7
，∴
a?b
又?a
n
?a
1
?(n?1)?1?n?1?< br>n4n?3

4



即原数列的第n项为新数列的第4n－3项．
（1）当n=12时，4n－3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；
（2）由4n－3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
等差数列及其前n项和
【学习目标】
1.掌握等差数列的前
n
项和公式；
2.体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.
3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
【要点梳理】
要点一：等差数列的前
n
项和公式
等差数列的前
n
项和公式
公式一：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
证明：倒序相加法 S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n?1
?a
n
①
S
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
?
?
?a
2
?a
1
②
①+②：
2S
n
?(a
1
?a
n
)?(a
2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)???(a
n
?a
1
)

∵
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
????a
n
?a
1< br>
∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)

由此得：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2

公式二：
S
n
?na
1?
n(n?1)d

2
证明：将
a
n
?a< br>1
?(n?1)d
代入
S
n
?
要点诠释：
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
可得：
S
n
?na
1
?

2
2
①倒序相加是数列求和的重要方法之一。
②上面两个公式均为等差数列 的求和公式，共涉及
a
1
、
n
、
d
、
a< br>n
、
S
n
五个量，已知其中任意三个
量，通过解方程组，便可 求出其余两个量。
要点二：等差数列的前
n
项和的有关性质
等差数列
{a
n
}
中，公差为
d
，则
① 连续
k
项的和依然成等差数列，即
S
k
,
S
2k< br>?S
k
,
S
3k
?S
2k
，…成等差数列， 且公差为
kd
.
2
S
奇
a
②若项数为2n，则< br>S
2n
?n(a
n
?a
n?1
)
，
S
偶
?S
奇
?nd
，
?
n

S< br>偶
a
n?1
③若项数为2n-1，则
S
2n?1
?( 2n?1)a
n
，
S
奇
?na
n
，
S偶
?(n?1)a
n
，
S
奇
?S
偶
? a
n
，
S
奇
n
?
S
偶
n?1
要点三：等差数列
{a
n
}
的前
n
项和公式 是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由
S
n
?na
1
?
dd
n(n?1)dd
d?n
2
?(a
1< br>?)n
，令
A?
，
B?a
1
?
，则： 22
222
S
n
?An
2
?Bn
（
A
,
B
为常数）
（1）当
d?0
即
A?0
时，
S
n
?Bn?na
1
，
S
n
是关于< br>n
的一个一次函数；它的图象是在直线
y?a
1
x
上的一群孤 立的点。
（2）当
d?0
即
A?0
时，
S
n是关于
n
的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线
y?Ax
2
?Bx
上的一群孤立的点。
①当
d?0
时
S
n
有最小值
②当
d?0
时，
S
n
有最大值
要点诠释： < br>1.公差不为0的等差数列
{a
n
}
的通项公式是关于n的一次函数。

2.
a
n
?pn?q
（
p
,
q
是常数）是数列
{a
n
}
成等差数列的充要条件。
3 .公差不为0的等差数列
{a
n
}
的前
n
项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数。
2
S?An?Bn
(其中
A
,B
为常数)是数列
{a
n
}
成等差数列的充要条件.
n
4.
【典型例题】
类型一：前n项和公式及性质的运用
例1.已知等差数列
?10,?6,?2,2,…
……,则它的前多少项和是54？
【解析】设题中的等差数列为
{a
n
}
中，前n项和为
S< br>n
，则
a
1
??10,d??6?(?10)?4

设
S
n
?54,
根据等差数列的前n项和公式，
得
?10n?
n(n?1)
?4?54.

2
求得
n
1
?9,n
2
??3
（舍去）
因此等差数列
?10,?6,?2,2,…
……,的前9项和是54.
【总结升华】利用等差数列的有关公式，结合条件列出满足条件的方程，是解决这类问题的常用办法.
举一反三：
【变式1】等差数列{a
n
}中，若a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
=30, a6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10=80, 则
a
11
+a
12
+a
13
+a< br>14
+a
15
=___________.
【答案】比较对应项可知 后一段中每一项总比前段每一项多5d，故后一段和比前一段和多25d，故三
段依然构成等差数列，故 由等差中项公式可知:a
11
+a
12
+a
13
+a
14
+a
15
=2×80-30=130.
【变式2】等差数列
{a
n
}
中，若
a
4
?9
, 则
S
7
=_________.
【答案】由
S
2n?1< br>?
(2n?1)(a
1
?a
2n?1
)
?(2n?1 )a
n
，得
S
7
?7a
4
?7?9?63
.
2
S
n
4n?3
a
，则
10
= .
?
T
n
5n?2b
10
【变式3】已知两等差数列{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
、
T
n
，且
【答案】
a< br>10
S
19
4?19?379
.
???
b
10
T
19
5?19?293
【变式4】等差数列
{a
n< br>}
前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.

【答案】 < br>方法一：利用等差数列的前n项和公式
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d
求解。
2

m(m?1)
?
S?ma?d?30
m1
?
102040
2
?
?
2
,d?
2
， 由已知得
?
，解得
a
1
?
m
mm
?
S?2ma?
2m(2m?1)
d?100
2m1
?
2
?
∴
S
3m
?3ma
1?
3m(3m?1)
d?210
。
2
n(a
1
?a
n
)
及性质
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
求解。
2
方法二 ：利用等差数列前n项和公式
S
n
?
....(1)
?
m( a
1
?a
m
)?60..........
?
.(2)?
m(a
1
?a
2m
)?100..........
由已知得
?

3m(a?a)?2S........(3)
13m3m?
?
a?a?a?a.........(4)
2m2mm
?
3 m
由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S
3m
=210.
方法三：根据性质：“已知{a
n
}成等差数列，则S
n
,S
2n< br>-S
n
, S
3n
-S
2n
,……,S
kn
-S
(k-1)n
,……(k≥2)成等差数列”
解题。
由上述性 质，知S
m
,S
2m
-S
m
,S
3m
-S
2m
成等差数列。
∴S
m
+(S
3m
-S
2m
)=2(S
2m
-S
m
), ∴ S
3m
=3(S
2m
-S
m
)=210.
方法四 ：由
S
n
?na
1
?
S
n(n?1)
d< br>d
的变形式解题，由上式知，
n
?a
1
?(n?1)

2
n2
∴数列
{
S
n
SSS
}
也 成等差数列，即
m
,
2m
,
3m
成等差数列，
m2m3m
n
∵
2S
2m
S
m
S
3m
??
，又S
m
=30, S
2m
=100, ∴S
3m
=210.
2mm3m
方法五：∵{a
n
}为等差数列， ∴设
S
n
?An
2
?Bn

∴S
m
=am
2
+bm=30,S
2m
=4m
2
a+2mb=1 00, 得
A?
∴S
3m
=9m
2
a+3mb=210.
例2.
（2014 浙江）已知等差数列{a
n
}的公差d＞0，设{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，S
2
?S
3
＝36．
(Ⅰ)求d及S
n
；
(Ⅱ)求m，k( m，k∈N
*
)的值，使得a
m
＋a
m
＋
1
＋a
m
＋
2
＋…＋a
m
＋
k
＝65．
【思路点拨】（1）利用S
2
?S
3
＝36求得d,然后利用等差数 列的求和公式求S
n
；（2）利用前n项和公
式求和，然后对k,m进行讨论。
2010
B?
，
m
2
m

【答案】 (Ⅰ)d＝2；
S
n
?na
1
?
n
?
n? 1
?
?d?n
2
n?N
*
.(Ⅱ)k＝4，m＝5
2
??
【解析】(Ⅰ)由a
1
＝1，S
2
?S
3
＝36得，
(a
1
＋a
2
)(a
1
＋a
2
＋a
3
)＝36，
即(2＋d)(3＋3d)＝36，化为d
2
＋3d－10＝0，解得d＝2或－5，
又公差d＞0，则d＝2，
所以
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?
?d?n
2
n?N
*
．
2
??
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，a
n
＝1＋2(n－1)＝2n－1，
由a
m
＋a
m
＋
1
＋a
m
＋2
＋…＋a
m
＋
k
＝65得，
?
k?1
??
a
m
?a
m?k
?
＝65
，
2
即(k＋1)(2m＋k－1)＝65，
又m，k∈N
*
，则( k＋1)(2m＋k－1)＝5×13，或(k＋1)(2m＋k－1)＝1×65，
下面分类求解：
当k＋1＝5时，2m＋k－1＝13，解得k＝4，m＝5；
当k＋1＝13时，2m＋k－1＝5，解得k＝12，m＝－3，故舍去；
当k＋1＝1时，2m＋k－1＝65，解得k＝0，故舍去；
当k＋1＝65时，2m＋k－1＝1，解得k＝64，m＝－31，故舍去；
综上得，k＝4，m＝5．
【总结升华】本题考查等差数列的前n项和公式，熟练应用公式解题。
举一反三：
【高清课堂：等差数列及其前n项和379548 练习5】
【变式1】一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。
【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为
a
,
a?d
，
a?2d
，但不如用对称设法设为
a?d
,
a
,
a?d
。

【解析】设这三个数分别为
a?d
,
a
,
a?d
，则
?
(a?d)?a?(a?d)?9

?
，解得
a?3
,
d??2
.
222
(a?d)?a?(a?d)?35
?
∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。
【总结升华】 三个数成等差数列时，可设其分别为
x?d
,
x
,
x?d
；若四个数成等差数列，可设其
分别为
x?3d
,
x?d
,
x?d
,
x?3d
.
【变式2】已知四个数成等差数列，且其平方和为9 4，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个
数。
【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8
类型二：等差数列前n项和的最值问题
例3．已知数列
{a
n
}< br>是等差数列，
a
1
?0
,
S
9
?S
17
，试问
n
为何值时，数列的前
n
项和最大？为什么？
【思路点拨】要研究一个等差数列的前
n
项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用
S
n
是
n
的二

次函数关系来考虑；其二是通过考察 数列的单调性来解决。
【解析】
方法一：∵
S
9
?S
17
, ∴
9a
1
?36d?17a
1
?136d
即
8a
1
??10 0d
,
∵
a
1
?0
， ∴
d??
2
a
1
?0
，
25
又
S
n
?na
1
?
aa
n(n?1)n(n?1)2169
d?na
1
?(?a
1
)??
1
(n
2< br>?26n)??
1
(n?13)
2
?a
1
，
2225252525
∵
a
1
?0
，∴ 当
n?13
,
S
n
有最大值为
169
a
1
.
25方法二：要使
S
n
最大，
n
必须使
a
n
?0
且
a
n?1
?0
，
227
?
a? a?(n?1)d??an?a
1
?0
11
?
n
2525< br>?
227
?
即
?
a
n?1
??
< br>a
1
(n?1)?a
1
?0
2525
?
?< br>a
1
?0
?
?
解得
2527
?
?n ?
， ∵
n?N
，
22
13?12169
d?a
1
.
225
∴n?13
时，
S
n
最大为
S
13
?13a1
?
【总结升华】
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
1. 利用
a
n
:
当
a
n
?0
，
d? 0
时，前
n
项和有最大值。可由
a
n
?0
，且a
n?1
?0
，求得
n
的值；
当
a
n
?0
，
d?0
时，前
n
项和有最小值。可由
a< br>n
?0
，且
a
n?1
?0
，求得
n
的值.
2. 利用
S
n
：由
S
n
?
举一反三：
【变式 】设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
, 已知
a
3
?12
,
S
12
?0
,
S
13
?0
.
（1）求公差
d
的取值范围；
d
2
d
n?(a< br>1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时
n
的值
22

（2）指出
S
1
，
S
2
，…，
S
12
中哪一个值最大，并说明理由.
【答案】
12?(12?1)
?
S?12a?d?0
1
?
12
2
?
2a
1
?11d?0
?
13?(13?1)
?
?
d?0
，即
?
a
1
?6d?0
， （1）依题意，有
?
S
13
?13a
1
?
2
?
a?12?2d
?
?
1
?
a
3
?a
1
?2d?12
?
?
解得
?
24
?d??3
.
7
（2 ）法一:由
d?0
，可知
a
1
?a
2
?a
3
?...?a
12
?a
13
.
设存在自然数
n
,使得
S
n
就是
S
1
，
S
2，…，
S
12
中的最大值，只需
a
n
?0
,< br>a
n?1
?0
,
12(a
1
?a
12)
?
S??6(a
6
?a
7
)?0
12
?
?
a
6
?a
7
?0
?
a
6< br>?0
?
2
?
?
?
?
由
?
，
?
a
7
?0
?
a
7
?0
?
S?
13(a
1
?a
13
)
?13a?0
137
?
?2
故
S
6
是
S
1
，
S
2
，…，
S
12
中的最大值.
法二:
S
n
?na
1
?
n(n?1)d124d24
d??[n?(5?) ]
2
?(5?)
2

222d8d
∵
d?0
, ∴
[n?
124
(5? )]
2
最小时，
S
n
最大，
2d
∵
?
24124
?d??3
, ∴
6?(5?)?6.5
，
72d
124
(5?)]
2
最小，
2d
∴
n?6
时，
[n?
故
S
6
是
S
1
，
S
2
，…，
S
12
中的最大值.
【巩固练习】
一、选择题
1．设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，若
a
5
5
S?,则
9
?
（ ）
a
3
9S
5

A．
1
B．
?1
C．
2
D．
1

2
2.（2015 新课标Ⅱ） 设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,若a
1
+a
3
+a
5
=3,则S
5
=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3. 设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若
S
3
1
S
?
，则
6
等于( )
S
6
3
S
12
1

3
1
D.
9
B.
3

10
1
C.
8
A.
二、填空题
4．数列{
a
n
}是等差数列，
a
4
?7
，则
s7
?
_________
5．两个等差数列
?
a
n< br>??
,b
n
?
,
a
1
?a
2
?...?a
n
7n?2
a
?,
则
5
=____ _______.
b
1
?b
2
?...?b
n
n ?3
b
5
6.
(2014 北京)若等差数列{a
n
} 满足a
7
＋a
8
＋a
9
＞0，a
7
＋a< br>10
＜0，则当n＝ 时，{a
n
}的前n项和
最大．
7 .在公差d=
1
的等差数列{a
n
}中，已知S
100
=1 45，则a
1
+a
3
+a
5
+……+a
99
的值为_____.
2
8.已知数列{a
n
}的前n项和S
n< br>＝n
2
－9n，第k项满足5k
<8，则k＝________.
9．等差数列中,若
S
m
?S
n
(m?n),
则< br>S
m?n
=_______。
10．已知数列
?
a
n
?
是等差数列，若
a
4
?a
7
?a
10
?17
,
a
4
?a
5
?a
6
?? ?a
12
?a
13
?a
14
?77
且
a< br>k
?13
,则
k?
_________。
三、解答题 11．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，求证：S
n< br>，S
2n
-S
n
，S
3n
-S
2n
，……成等差数列.
12．已知等差数列{a
n
}满足，S
p
=q ，S
q
=p，(p≠q)，求S
p+q
.
13．已知等差数列{a
n
}中，a
1
＜0，S
9
=S
12
，求S
n
何时取最小值.
14.在等差数列
?
a
n
?
中,
a
5< br>?0.3,a
12
?3.1,
求
a
18
?a
19
?a
20
?a
21
?a
22
的值。
15．已知数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
??2n?11
，如果
b
n
?a
n
(n?N)
，求 数列
?
b
n
?
的前
n
项和。


【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】
S
9
9a
5
95
????1

S
5
5a
3
59

2. 【答案】 A
【解析】
a
1
?a
3
?a
5
?3a< br>3
?3?a
3
?1
,
S
5
?
故选A .

3.【答案】A
【解析】设S
3
＝m，∵
5
?
a
1
?a
5
?
?5a
3
?5
.
2
S
3
1
?
，
S
6
3∴S
6
＝3m，∴S
6
－S
3
＝2m，
由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，
得S
3
＝m，S
6－S
3
＝2m，S
9
－S
6
＝3m，S
12< br>－S
9
＝4m，
∴S
6
＝3m，S
12
＝10m，
∴
S
6
3
?
，故选A.
S
12
10

4.【答案】
49

【解析】
S
7
?

5.【答案】
7
(a< br>1
?a
7
)?7a
4
?49

2
65

12
9
a
5
2a
5a
1
?a
9
2
(a
1
?a
9
)
S
9
7?9?265
【解析】
??????
b
5
2b
5
b
1
?b
9
9
(b?b)
S

9
9?312
19
2

6.【答案】8 【解析】由等差数列的性质可得a
7
＋a
8
＋a
9
＝3 a
8
＞0，
∴a
8
＞0，又a
7
＋a
1 0
＝a
8
＋a
9
＜0，∴a
9
＜0，
∴等差数列{a
n
}的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列{a
n
}的前8项和最大，
故答案为：8．


7.【答案】60；
【解析】设
a
2
?a
4< br>?a
6
???a
100
?A
,
a
1
?a
3
?a
5
???a
99
?B
,

由题有
A?B?145,B?A?50d

故B=(145－50d)×=60.

8.【答案】8
【解析】由S< br>n
＝n
2
－9n，得此数列为等差数列，计算得a
n
＝2n－ 10，由5<2k－10<8，得7.5k＝8.
9.【答案】
0

【解析】
S
n
?an
2
?bn
该二次函数经过
(m?n,0)
，即
S
m?n
?0


10.【答案】
18

1
2
1 72
,11a
9
?77,a
9
?7,d?,a
k
? a
9
?(k?9)d

33
2

35?7?(k?9)?,k?18

3
【解析】
3a
7
?17,a
7
?

11．【解析】
取数列S
n
，S
2n
-S
n，……中的第k+1项和第k项作差：
(S
(k+1)n
-S
kn)-(S
kn
-S
(k-1)n
)
=a
kn+1+a
kn+2
+…+a
(k+1)n
-(a
(k-1)n+1< br>+…+a
kn
)
=(a
kn+1
-a
(k-1)n +1
)+(a
kn+2
-a
(k-1)n+2
)+…+(a
(k+1)n
-a
kn
)
2
?nd?
?
nd?< br>?
?
?
?
?
nd
?????
?nd

n个
故S
n
，S
2n
－S
n
，……成公差 为n
2
d的等差数列.

12．【解析】
p(p?1)d
?q
①
2
q(q?1)d
S
q
?qa
1
??p
②
2
d
22
①－②得
(p?q)a
1
?(p?p ?q?q)?q?p

2
d
即
(p?q)a
1
?( p?q)(p?q?1)?q?p

2
d
p≠q，∴
a
1< br>?
(
p?q?
1)
??
1

2
d< br>S
p?q
?(p?q)a
1
??(p?q)(p?q?1)??(p? q).

2
S
p
?pa
1
?

13.【解析】
S
12
－S
9
=a
10
+a
11
+a
12
=0 ∴3a
1
+30d=0 ∴a
1
=－10d，a
1
＜0，∴d＞0
n(n?1)d
d
2
d
??n?(a
1
?)?n
，d＞0，
22 2
d
2
d
∴
f(x)?x?(a
1
?)x
是开口向上的二次函数且
f(9)?f(12)

22
d
a
1
?
9?121
2
?10
1

?10
，∴
?
∴
f(x)
的图象对称轴为
x?
d
22
2
2?
2
S
n
?na
1
?
又n∈N
*
，故n=10或11时S
n
最小
∴S
10
和S
11
最小.

14. 【解析】< br>a
18
?a
19
?a
20
?a
21
?a
22
?5a
20
,a
12
?a
5
?7 d?2.8,d?0.4

a
20
?a
12
?8d?3.1?3.2?6.3

∴
a
18
?a
19
?a
20
?a
21< br>?a
22
?5a
20
?6.3?5?31.5


15. 【解析】
b
n
?a
n
?
?
?11?2n,n?5
n
2
，当
n?5
时，
S
n
?(9?11?2n)?10n?n

2
?
2n?11,n?6n?5
(1?2n?11)?n
2
?10n?50

2
当
n?6
时，
S
n
?S
5
?S
n?5?25?
2
?
?
?n?10n,(n?5)
∴
S
n
?
?
2

?
?
n?10n?50,(n?6)

等比数列
【学习目标】
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；
2.掌握等比数列的性质，会用它们灵活解决有关等比数列的问题；
3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等比数列与指数函数的关系.
【要点梳理】
要点一：等比数列的定义 < br>一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示（
q?0
），即：
a
n?1
?q(q?0)
.
a
n

要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；
②“从第二项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
q
”，这里的项具有任意性和有序性，常数
是同一个；
③隐含条件：任一项
a
n
?0
且
q?0；“
a
n
?0
”是数列
{a
n
}
成等 比数列的必要非充分条件；
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为0的常数列是公比为1的等比数列；
⑤证明一个数列为等比数列，其依据
要点二：等比中项
如果三个数
a
、
G
、
b
成等比数列，那么称数
G
为
a
与
b
的等比中项.其中
G??ab
。
要点诠释：
①只有 当
a
与
b
同号即
ab?0
时，且
a
与b
有两个互为相反数的等比中项. 当
aa
与
b
才有等比中项，
与
b
异号或有一个为零即
ab?0
时，
a
与
b
没有等比中项。
②任意两个实数
a
与
b
都有等差中项 ，且当
a
与
b
确定时，等差中项
c?
a
n?1?q(n?N
*
，q?0)
.利用这种形式来判定，就便于操作了.
a
n
a?b
唯一. 但任意两个实数
2
a
与
b
不一定有等比中项，且当
a
与
b
有等比中项时，等比中项不唯一 。
Gb
??G
2
?ab?G??ab
。 ③当
ab?0< br>时，
a
、
G
、
b
成等比数列
?
aG
④
G?ab
是
a
、
G
、
b
成等比 数列的必要不充分条件。
要点三：等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
首相 为
a
1
，公比为
q
的等比数列
{a
n
}< br>的通项公式为：
2
a
n
?a
1
?q
n?1
(n?N*，a
1
?q?0)

推导过程：
（1）归纳法：
根据等比数列的定义
a
n
?q
可得
a
n
?a
n?1
q(n?2)
：
a
n?1∴
a
2
?a
1
q?a
1
q
2?1；
a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
?a
1
q
3?1
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1q
3
?a
1
q
4?1
；
……

a
n
?a
n?1
q???a
1
q
n?1
(n?2)


当n=1时，上式也成立
∴归纳得出：
a< br>n
?a
1
?q
n?1
(n?N*，a
1
?q ?0)

（2）叠乘法：
根据等比数列的定义
a
n
?q
可得：
a
n?1
a
2
?q
，
a
1
a
3
?q
，
a
2
a
4
?q
，
a
3
……
a
n
?q
，
a
n?1
把以上
n?1< br>个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：
又a
1
也符合上式
∴
a
n
?a
1
?q
n?1
(n?N*，a
1
?q?0)
.
(3)迭代法：
a
n
?q
n ?1
，即
a
n
?a
1
q
n?1
(n?2)

a
1
a
n
?a
n?1
q?a
n ?2
q
2
???a
2
?q
n?2
?a
1< br>q
n?1

∴
a
n
?a
1
?qn?1
(n?N*，a
1
?q?0)
.
要点诠释：
①通项公式由首项
a
1
和公比
q
完全确定，一旦一个等比数列的首项 和公比确定，该等比数列就唯一确
定了。
②通项公式中共涉及
a
1
、
n
、
q
、
a
n
四个量，已知其中任意三个量，通 过解方程，便可求出第四个量。
等比数列的通项公式的推广
已知等比数列
{an
}
中，第
m
项为
a
m
，公比为
q< br>，则：

a
n
?a
m
?q
n?m

证明：∵
a
n
?a
1
?q
n?1
，
am
?a
1
?q
m?1

a
n
a
1
?q
n?1
∴
??q
n?m

m?1
a
m
a
1
?q
∴
a
n
?a
m
?q
n?m

由上可知，等 比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式
a
n
?a
1
?q
n?1
(n?N*，a
1
?q?0)
可以看成是
m?1
时的特殊情况。
要点四：等比数列的性质
设等比数列
{a
n
}
的公比为
q

①若< br>m,n,p,q?N
?
，且
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，
特别地，当m?n?2p
时
a
m
?a
n
?a
p
2
.
②下标成等差数列且公差为
m
的项
a
k
,a
k?m
,
a
k?2m
,…组成的新数列仍为等比数列，公比为
q
.
③若
{a
n
}
，
{b
n< br>}
是项数相同的等比数列，则
?
a
2n
?
、
?
a
2n?1
?
、
?
ka
n
?
（
k
是常数且
k?0
）、
{
m
1
}
、
a
n
a
m
{a
n
}
(
m?N< br>?
,
m
是常数)、
?
a
n
?b
n< br>?
、
{
n
}
也是等比数列；
b
n
【典型例题】
类型一：等比数列的定义
【高清课堂：等比数列及其前n项和381054 典型例题例1】
例1．设
?a
n
?
是公比为
q
的等比数列，
q?1
，令< br>b
n
?a
n
?1
，
n?1,2,?
， 若数列
?
b
n
?
有连续四项在集合
?
?53, ?23,19,37,82
?
中，则
6q?

【答案】9
【解析】由题知
?
a
n
?
有连续的四项在集合
?
? 54,?24,18,36,81
?
中，则必有-54，-24为相隔两项，
又∵
q?1

3
?549
?
，
q?

?244
2
∴
6q?9

∴
q
2
?

【总结升华】此例中要注意等比数列项的特征，找到关键的两项
?54,?2 4
，问题就可迎刃而解了.
举一反三：
【变式】如果
?1,a,b,c,?9
成等比数列，那么（ ）
A.
b?3,ac?9
B.
b??3,ac?9

C.
b?3,ac??9
D.
b??3,ac??9

【答案】B
2a
n
2
例2.已知数列
{a
n
}
的首项为
a
1
?,a< br>n?1
?,n?1,2,3,
……，
3a
n
?1
证 明：数列
{
1
?1}
是等比数列.
a
n
【思路点拨】本题的变形中要有正确的目标，需要从等比数列的定义考虑。 【解析】由
a
n?1
?
2a
n
a?1
1111
,
得，
?
n
???.

a
n
?1 a
n?1
2a
n
22a
n
∴
111212
?1?(?1),
又
a
1
?,??1?

a
n?1
2a
n
3a
1
3
1
11
?1}
是 首项为，公比为的等比数列.
a
n
22
∴数列
{
【总结升 华】证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里是采用了转化与化归的策略.
举一反三：
【变式】已知数列
{a
n
}
中
a
1
?1,a
n
?2a
n?1
?3?0(n?2).

判断数列
{a
n
?1}
是等比数列，并说明理由
【答案】
{a
n
?1}
是等比数列
∵
a
1
?1,a
n
?2a
n?1
?3?0(n?2).

∴
a
n
?1??2(a
n?1
?1)
，
∴数列
{a
n
?1}
是首项为2，公比为-2的等比数列
类型二：等比数列通项公式的应用
例3．已知等比数列
{a
n
}< br>，若
a
1
?a
2
?a
3
?7
，a
1
a
2
a
3
?8
，求
a
n
.
【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，使计算简捷。
【解析】
a
n
?2
n?1
或
a
n
?2
3? n
；

23
法一：∵
a
1
a
3?a
2
，∴
a
1
a
2
a
3
? a
2
?8
，∴
a
2
?2

从而
?
?
a
1
?a
3
?5
,
解之得
a< br>1
?1
，
a
3
?4
或
a
1
?4
，
a
3
?1

aa?4
?
13
当
a
1
?1
时，
q?2
；当
a
1
?4
时，
q?
故
a
n
?2
n?1
或a
n
?2
3?n
。
1
。
2
法二： 由等比数列的定义知
a
2
?a
1
q
，
a
3
?a
1
q
2

2
?
?
a
1
?a
1
q?a
1
q?7
代入已知得
?

2
?
?
a
1
?a
1
q?a
1q?8
2
?
?
a
1
(1?q?q
2
) ?7,(1)
?
a
1
(1?q?q)?7,
?
?
?
?
33

(2)
?
?
a
1
q?2
?
a
1
q?8
将
a
1
?
2
代入（1）得
2q
2
?5q?2?0
，
q
1

2
解得
q?2
或
q?
?
a?4
?
a
1
?1
?
1
由（2）得
?
或
?
1
，以下同方法一
q?2
q?
?
?
?2
【总结升华】
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具 体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除
式不为零）.
举一反三：
【变式1】{a
n
}为等比数列，a
1
=3， a
9
=768，求a
6
。
【答案】±96
法一：设公比 为q，则768=a
1
q
8
，q
8
=256，∴q=±2， ∴a
6
=±96；
法二：a
5
2
=a
1
a
9
?
a
5
=±48
?
q=±2，∴a
6
=±96。
【变式2】{a
n
}为等比数列，a
n
＞0， 且a
1
a
89
=16，求a
44
a
45
a
46
的值。
【答案】64；
2
∵
a
1
a
89
?a
45
?16
，又a
n
＞0，∴a
45
=4
3
∴
a
44
a
45
a
46
?a
45
?64
。

例4. (2015 北京)已知等差数列{a
n
}满足
a
1
?a
2
?1 0
，
a
4
?a
3
?2
．
（Ⅰ）求{
a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{
b< br>n
}满足
b
2
?a
3
，
b
3
?a
7
，问：
b
6
与数列{
a
n
}的第 几项相等？
【思路点拨】第一问，利用等差数列的通项公式，将
a
1
,a< br>2
,a
3
,a
4
转化成
a
1
和d
，解方程得到
a
1
和
d
的值，
直接写出等差 数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到
b
2
和
b
3
的值，再利用等比数列的通
项公式，将
b
2
和
b
3
转化为
b
1
和
q
，解出
b
1
和< br>q
的值，得到
b
6
的值，再代入到上一问等差数列的通项公式
中，解出
n
的值，即项数．
【答案】（1）
a
n
=4+2 (
n
－1)=2
n
+2；（2）
b
6
与数列{a
n
}的第63项相等．
【解析】（Ⅰ）设等差数列{
a
n
}的公差为
d
．
因为
a
4
?a
3
?2
，所以
d
=2．
又因为
a
1
?a
2
?10
，所以
2a1
?d?10
，故
a
1
=4．
所以
a
n
=4+2(
n
－1)=2
n
+2(
n
=1，2 ，…)．
（Ⅱ）设等比数列{
b
n
}的公比为
q
． 因为
b
2
?a
3
?8
，
b
3
?a
7
?16
，
所以
q
=2，
b
1
=4．
所以
b
6
=4×2
6－1
=128．
由128=2
n
+2，得
n
=63．
所以
b
6
与数列{
a
n
}的第63项相等．
举一反三：
【变式】
(2014 重庆)对任意等比数列{a
n
}，下列说法一定正确的是( )
A． a
1
，a
3
，a
9
成等比数列 B． a
2
，a
3
，a
6
成等比数列
C． a
2
，a
4
，a
8
成等比数列 D． a
3
，a
6
，a
9
成等比数列

【答案】D
【解析】A项中a
3
＝a
1
?q
2< br>，a
1
?a
9
＝a
1
2
·q
8，(a
3
)
2
≠a
1
?a
9
，故A项 说法错误，
B项中(a
3
)
2
＝(a
1
?q2
)
2
≠a
2
?a
6
＝a
1
2
?q
6
，故B项说法错误，
C项中(a
4
)
2
＝(a
1
?q
3
)
2
≠a
2
?a
8
＝a
1
2
?q
8
，故B项说法错误，
D项中(a
6
)
2
＝(a
1
?q
5
)2
＝a
3
?a
9
＝a
1
2
?q
10
，故D项说法正确，
故选D．

类型三：灵活运用等比数列的性质
例5.在
827
和之间插入三个数，使这 五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。
32
【思路点拨】等比数列 的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a
1
、q的
问题， 列出a
1
、q的方程组。
【答案】216；
【解析】
法一：设这个等比数列为
{a
n
}
，其公比为
q
，
∵
a
1
?
8278819
?a
1
q
4
??q
4
，∴
q
4
?
，
q
2
?
，
a
5
?
23164
3
3
?
8
?
∴
a
2
?a
3
?a
4
?a
1
q?a
1
q?a
1
q?a?q
?
??
?
3
?
233
1
6
?
9
?< br>?
??
?6
3
?216
。
?
4
?
827
，
a
5
?
， 2
3
3
法二：设这个等比数列为
{a
n
}
，公 比为
q
，则
a
1
?
加入的三项分别为
a
2
，
a
3
，
a
4
，
由题意
a1
，
a
3
，
a
5
也成等比数列，∴
a
3
?
23
∴
a
2
?a
3
?a4
?a
3
?a
3
?a
3
?216

2
827
??36
，故
a
3
?6
，
32
【总结升华】法一注重了等比数列中的特征量q的求解，；法二中注重了等比中项的特征.
举一反三：
【变式1】等比数列
{a
n
}
中，若
a
5
?a
6
?9
,求
log
3
a
1
?log
3
a
2
?...?log
3
a
10
.
【答案】 10
∵
{a
n
}
是等比数列 ，∴
a
1
?a
10
?a
2
?a
9
?a
3
?a
8
?a
4
?a
7
?a
5
?a
6
?9

∴
log
3
a
1
?log
3
a
2
???log
3
a
10< br>?log
3
(a
1
?a
2
?a
3
? a
10
)?log
3
(a
5
?a
6
)5
?log
3
9
5
?10

【变式2】若等 比数列
?
a
n
?
满足
a
n
a
n? 1
?16
n
，则公比为（ ）
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
【答案】B
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015 新课标Ⅱ）已知等比数列{a
n
}满足
a
1
?
1
,
aa?4(a
4?1)
,则
a
2
=（ ）
4
35

A．2 B．1 C．

11
D．
28

2．已知{a
n
}是等比 数列，a
2
＝2，a
5
＝
A．
?
1
，则公 比q＝( )
4
B．－2
D．
1

2
C．2
1

2
3．等比数列{a
n
}中，a
3
＝12，a
2
＋a
4
＝30，则a
1 0
的值为( )
A．3×10
5

－
B．3×2
9

D．3×2
－
5
C．128 或3×2
9

4 ．等比数列{a
n
}中，a
2
=9，a
5
=243，则{a
n
}的前4项和为( )
A．81 B．120 C．168 D．192
5．已知一等比数列的前三项依次为
x,2x?2,3x?3
，那么?13
A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

二、填空题
6．(2015 广东)若三个正数
a
，
b
，
c
成等比数列，其中
a?5?26
，
c?5?26
，则
b
= ．
7．已知一个等比数列的第9项是
1
是此数列的第（ ）项
2
41
，公比是－，则它的第1项等于 .
93
2
8．在等比数列
?
a
n
?
中, 若
a
1
,a
10
是方程
3x?2x?6?0
的两根， 则
a
4
?a
7
=___________.
9.在等比数 列{a
n
}中，a
1
＝1，公比|q|≠1，若a
m
＝a< br>1
·a
2
·a
3
·a
4
·a
5，则m＝________.
10．已知1，a
1
，a
2
，4 成等差数列，1，b
1
，b
2
，b
3
，4成等比数列，则
三、解答题
11.在等比数列{a
n
}中，已知：a
1
=2, S
3
=26,求q与a
3

12．有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数. < br>13.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为
q
，求
q
的取值 范围.
14. 三个数成等差数列，其比为
3:4:5
，如果最小数加上
1
，则三数成等比数列，那么原三数为什么？
15. 一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，求公比
q
.

【答案与解析】
1.
【答案】C
a
1
?a
2
的值为________．
b
22
aa?a?4
?
a
4
?1
?
?a
4
?2
354
【解析】由题意可得
,所以
q
3
?1
a
4
a
2
?a
1
q?
?8?q?2
,故
2
,选
a
1
C.

2. 【答案】 D
【解析】 根据a
n
＝a
m
·q
n-m< br>，得a
5
＝a
2
·q
3
.
111
??
.
428
1
∴
q?
.
2
∴
q?
3

3. 【答案】 D
【解析】 ∵
a
2
?
∴
a
2
?
∴
a
3
，a
4
＝a
3
q，
q
12
，a
4
＝12q.
q
12
?12q?30
.即2q
2
－5q＋2＝0，
q
1
或q＝2.
2
7
∴
q?
?
1
?
a
10
?a
3
?q
7
?12?
??
?3?2
?5

?
2
?
或a
10< br>＝12×2
7
＝3×2
9
.故选D.

4．【答案】B
【解析】设公比为q，则
q?
5. 【答案】B
【解析】
x(3x?3)?(2x?2)
2
,x??1或x??4,而x??1?x ??4


q?
3
a
5
?27
，∴q=3，则前4项的和为：3+9+27+81=120，故选B.
a
2
3x? 3313
?,?13??4?()
n?1
,n?4

2x?2222
6．【答案】1
【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以
b?ac?5?26
以b=1。
7．【答案】
a
1
=2916
【解析】由
a
9< br>?a
1
q
8
?,
及
q??
，解得
a
1
=2916
8. 【答案】
?2

【解析】
a
4
a
7
?a
1
a
10
??2

2
???
5?26
?
?1
，因为b＞0，所
49
1
3

9. 【答案】 11
【解析】 a
m
＝a
1
·a
2
·a
3
·a
4
·a
5

＝a
1
5
· q
1
＋
2＋
3
＋
4
＝a
1
5
q
10
＝ a
1
·q
10

∴m＝11.
10.【答案】
2.5

【解析】 ∵a
1
＋a
2
＝1＋4＝5，
b
2
2
＝1×4＝4，且b
2
与1,4同号，
∴ b
2
＝2，∴
a
1
?a
2
5
??2.5< br>.
b
2
2
11.【解析】2(1+q+q
2
)=26, 解得q=3或q=-4.当q=3时a
3
=18；当q=-4时, a
3
=32.
12．【解析】依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d，
∵后三个数和为12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得x=4.
又前三个数成等比且和为19，
?
(4?d)
2
?4y
?
y?9
?
y?25
∴
?
, 解得
?
或
?
，
d??2d?14
y?4?d?4?19< br>?
??
∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18.
?
a?aq?aq
2
?
q
2
?q?1?0
??
213.【解析】设三边为
a,aq,aq
2
,
则
?
a? aq?aq
，即
?
q
2
?q?1?0

?
aq?aq
2
?a
?
q
2
?q?1?0
?
?
?
1?51?5
?q?
?
22
?
?1?51?5
?
得
?
q?R
，即
?q?
22
?
?
q?
?1?5
,或q?
?1?5
?
22?
2
14．【解析】 设原三数为
3t,4t,5t,(t?0)
，不妨 设
t?0,
则
(3t?1)5t?16t,t?5


3t?15,4t?20,5t?25,
∴原三数为
15,20,25
。 < br>15．【解析】设
a
n
?a
n?1
?a
n?2
?qa
n
?qa
n
,q?q?1?0,q?0,q?
等比数列及其 前n项和
【学习目标】
1.掌握等比数列前n项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；
2.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.了解等比数列与函数的关系.
【要点梳理】
要点一：等比数列的前n项和公式
1等比数列的前n项和公式
22
?1?5

2

?
na
1
?
S
n
?
?
a
1< br>(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
?1?q
?
1?q
?
推导过程：
（1）利用等比性质
由等比数列的定义，有
(q?1)
(q?1)

a
a
2
a
3
??
?
?
n
?q

a< br>1
a
2
a
n?1
根据等比性质，有
a
2?a
3
?
?
?a
n
S?a
1
?
n
?q
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q

a
1
?a
2
?
?
?a
n?1
S
n
?a
n
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
∴当
q?1
时，S
n
?
或
S
n
?
.
1?q
1?q
（2）错位相减法
等比数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?a
1
?a
2
?a3
???a
n
，
①当
q?1
时，
a
n
?a
1
，
S
n
?a
1
?a
2< br>?a
3
???a
n
?na
1
；
②当
q?1
时，由
a
n
?a
1
q
n?1
得：
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q< br>2
???a
1
q
n?2
?a
1
q
n ?1

qS
n
?a
1
q?a
1
q
2
?a
1
q
3
???a
1
q
n?1
?a
1
q
n

n

?(1?q)S
n< br>?a
1
?a
1
q
n
?a
1
?an
q?a（
1
1?q）
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
∴
S
n
?或
S
n
?
.
1?q
1?q
?
na< br>1
?
即
S
n
?
?
a
1
(1 ?q
n
)
a
1
?a
n
q
?
1?q
?
1?q
?
要点诠释：
①错位相减法是一种非常常见和重要 的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的
积组成的数列求和问题，要求理解并掌握 此法.
②在求等比数列前
n
项和时，要注意区分
q?1
和
q?1
.
③当
q?1
时，等比数列的两个求和公式，共涉及
a1
、
n
、
q
、
a
n
、
Sn
五个量，已知其中任意三个量，
通过解方程组，便可求出其余两个量.
(q?1)
(q?1)

要点二：等比数列连续
k
项和的性质
连续
k
项和（不为零）仍是等比数列.即
S
k
,
S
2k
?Sk
,
S
3k
?S
2k
，…成等比数列.
要点三：等比数列中的函数关系
等比数列
{a
n
}
中，< br>a
n
?a
1
?q
n?1
?
a
a1
n
?q
，若设
c?
1
,则：
a
n< br>?c?q
n

q
q
（1）当
q?1
时，a
n
?c
，等比数列
{a
n
}
是非零常数列。 它的图象是在直线
y?c
上均匀排列的一群
孤立的点.
（2）当
q ?0且q?1
时，等比数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?c?q
n
是关于
n
的指数型函数；它的图象是分
布在曲 线
y?
a
1
x
?q
（
q?0且q?1
）上 的一些孤立的点.
q
①当
q?1
且
a
1
?0时，等比数列
{a
n
}
是递增数列；
②当
q?1且
a
1
?0
时，等比数列
{a
n
}
是 递减数列；
③当
0?q?1
且
a
1
?0
时，等比 数列
{a
n
}
是递减数列；
④当
0?q?1
且< br>a
1
?0
时，等比数列
{a
n
}
是递增数列 。
（3）当
q?0
时，等比数列
{a
n
}
是摆动 数列。
要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
【典型例题】
类型一：等比数列的前n项和公式
例1．求等比数列
1,,,
?
的前6项和。
【答案】
11
39
364
；
243
1
，
n?6

3
【解析】∵
a1
?1
，
q?
?
?
1
?
6
?
1?
?
1?
??
?
6
3
??
36 4
??
31
??
??
??
∴
S
6
?

??
?
1?
??
?
?
1
23 243
?
?
??
?
?
1?
3
【总结升华】 等比数列中
a
1
,n,q,S
n
,a
n
中的“知三 求二”主要还是运用方程的思想解决.
举一反三：

【变式1】（2015 安徽卷）已知数列{
a
n
}是递增的等比数列，
a
1
+a
4
＝9，
a
2
a
3
=8,则数列{
a
n
}的前
n
项和
等于________．
【答案】 < br>a
1
?a
1
q
3
?9
a?q?8
由 ②式得
q
3
?
2
1
3
①
②

8
代入①式
a
1
2
得a
1
＝1，q＝2
1?2
n
?2
n
?1
∴
S
n
?
1?2
【变式2】设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
3
+S
6
=2S
9
，求数列的公比q.
【解析】若q=1，则有S
3
=3a
1
，S
6
=6a
1
，S
9
=9a
1
.
3
【答案】
q??
4

2
因a
1
≠0，得S
3
+S
6
≠2S
9
，显然q=1与题设矛盾，故 q≠1.
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)2a
1
(1?q
9
)
由
S
3
?S
6
?2S
9
得，，
??
1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
-q
3
-1)=0，
由q ≠0，得2q
6
-q
3
-1=0，从而(2q
3
+1)(q
3
-1)=0，
3
1
4
因q
≠1，故
q ??
，所以
q??
。
2
2
3
3
【变式3 】在等比数列
{a
n
}
中，
a
1
?a
n< br>?66
，
a
2
?a
n?1
?128
，
S
n
?126
，求
n
和
q
。
【答案】
q?
1
或2，
n?6
；
2
∵< br>a
2
?a
n?1
?a
1
?a
n
，∴
a
1
a
n
?128

解方程组
?
?
a
1
a
n
?128
?
a
1
?6 4
?
a
1
?2
，得
?
或
?

?
a
n
?2
?
a
n
?64
?a
1
?a
n
?66
?
a
1
?64a?a
n
q
1
①将
?
代入
S
n
?
1
，得
q?
，
2
1?q
?
a
n
?2
由
a
n
?a
1
q
n?1
，解得
n?6
；

②将
?
?
a
1< br>?2
a?a
n
q
代入
S
n
?
1，得
q?2
，
1?q
?
a
n
?64
由
a
n
?a
1
q
n?1
，解得
n?6。
∴
q?
1
或2，
n?6
。
2
类型二：等比数列前n项和公式的性质
例2．已知等比数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
, 且S
10
=10, S
20
=40,求：S
30
=？ 【思路点拨】等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项
和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。
【答案】130；
【解析】
法一：S
10
，S
20
-S
10
，S
30
-S
20
构成等比数列，∴(S
20
-S
10
)
2
=S
10
·(S
30
-S
20
)
即30
2
=10(S
30
-40),∴S
3 0
=130.
法二：∵2S
10
≠S
20
，∴
q?1
, ∵
S
10
a
1
(1?q
10
)
a1
(1?q
20
)
?40
,
??10
,S
20
?
1?q
1?q
a
1
1?q
1 0
1
10
∴∴,∴
??5

?,
q?3
1?q
1?q
20
4
∴
S< br>30
a
1
(1?q
30
)
??(?5)(1?33
)?130
.
1?q
【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷.
举一反三：
【变式1】等比数列
{a
n
}
中，公比q=2, S
4
=1,则S
8
=___________.
【答案】17；
S
8
=S
4
+a
5
+a
6
+a< br>7
+a
8
=S
4
+a
1
q
4
+a
2
q
4
+a
3
q
4
+a
4
q
4
=S
4
+q
4
(a
1
+a< br>2
+a
3
+a
4
)=S
4
+q
4< br>S
4
=S
4
(1+q
4
)=1×(1+2
4
)=17
【变式2】在等比数列
{a
n
}
中，已知
S
n
?48
，
S
2n
?60
，求
S3n
。
【答案】63
例3．等比数列
{a
n
}中，若a
1
+a
2
=324, a
3
+a
4
=36, 则a
5
+a
6
=_____________.
【答案】4； < br>【思路点拨】等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比
数列。

【解析】令b
1
=a
1
+a
2< br>=a
1
(1+q)，b
2
=a
3
+a
4=a
1
q
2
(1+q),b
3
=a
5
+a
6
=a
1
q
4
(1+q),
b
2
2
36
2
易知：b
1
, b
2
, b
3
成等比数列，∴b
3
===4,即a
5
+a
6
=4.
b
1
324
【总结升华】灵活应用性质有些时候会更方便快捷.
举一反三：
【变式】等比数列
{a
n
}
中，若a
1
+a
2
+a
3
=7,a
4
+a
5
+a
6
=56, 求a
7
+a
8
+a
9
的值。
【答案】448；
∵{a
n
}是等比数列，∴(a
4
+a
5
+a6
)=(a
1
+a
2
+a
3
)q
3< br>,∴q
3
=8,
∴a
7
+a
8
+a< br>9
=(a
4
+a
5
+a
6
)q
3< br>=56×8=448.
类型四：等比数列的综合应用
例4．已知三个数成等比数列， 若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第
二项减去4，则又成等比数列. 求原来的三个数.
【思路点拨】恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的 未知数，并将其设
为整式形式.
【解析】
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.
2
?
.(1)
?
a?(a?d)(a?d?3 2).........
∴
?

2
?
.(2)
?< br>(a?4)?(a?d)(a?d).........
d
2
?16
由 (2)得a=...........(3)
8
由(1)得32a=d
2
+32d ..........(4)
(3)代(4)消a，解得
d?
∴当
d?
8
或d=8.
3
826
时,
a?
；当d=8时,a=10
39
226338
∴原来三个数为,,或2,10,50.
9
99
法二：设原来三个数为a, aq, aq
2
，则a, aq,aq
2
-32成等差数列，a, aq-4, aq
2
-32成等比数列
2
?
1)
?
2aq?a ?aq?32........(
∴
?

22
?
2)
?
(aq?4)?a(aq?32)......(
由(2)得
a?
2，代入(1)解得q=5或q=13
q?4
2
.
9
当q=5 时a=2；当q=13时
a?

∴原来三个数为2，10，50或
226 338
，,.
99
9
【总结升华】选择适当的设法可使方程简单易解。一般 地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；
若三数成等比数列，可设此三数为
决问题反而简便。
举一反三：
【变式】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这
个 等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【答案】为2，6，18或
x
，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首 项a，公比q来解
y
21050
,?,
；
999
n
2
?n
例5. (2014 湖南)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝，n∈N
*
．
2
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式；
(Ⅱ)设b
n＝
2
a
n
?(?1)
n
a
n
，求数列 {b
n
}的前2n项和．
?
a
1
(n?1)
【思 路点拨】（1）利用前n项和公式求出通项公式，即
a
n
?
?
；（2 ）利用分组求和法，
s?s(n?2)
?
nn?1
分别求出数列的和然后相加 。
【答案】 (Ⅰ) a
n
＝n，(Ⅱ) 2
2n+1
+n－2

【解析】(Ⅰ)当n＝1时，a
1
＝s
1
＝1，
n
2
?n(n?1)
2
?(n?1)
?
当n≥2时，a< br>n
＝s
n
－s
n
－
1
＝＝n，
22
∴数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝n．
( Ⅱ)由(Ⅰ)知，b
n
＝2
n
+(－1)
n
n，记数列{b
n
}的前2n项和为T
2n
，则
T
2n
＝(2< br>1
+2
2
+…+2
2n
)+(－1+2－3+4－…+2n)
2(1?2
2n
)
＝+n＝2
2n+1
+n－2．
1?2
∴数列{b
n
}的前2n项和为2
2n+1
+n－2．

【总结升华】本题考查等比数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式等知识，要 熟练掌
握这些公式。
举一反三：
【高清课堂：等比数列及其前n项和381054 典型例题例2】

【变式】已知
?
a
1
n
?
是各项均为正数的等比数列，且
a
1
?a
2
?2(
a
?
1
)
，
1
a
2
a
1
3
?a
64
(
1
4
?a
5
?
a
?
1
?
1
)
，
3
a
4
a
5
(1)求
?
a
n
?
的通项公式.
( 2)设
b
n
?(a
1
2
n
?
a
)
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
.
n
【答案】(1)由题中条件可得
?
?
a
?
1
?a
1
q?2(
1
a
?
1< br>?
1
a
1
q
)
?
a
1
?1
?
aq
2
?aq
3
?aq
4
?
1
?
111
?
解得：
?
?
q?2

?
?
111
64
?
2
?
a
?
?< br>a
?
1
q
1
q
3
a
1
q< br>4
?
∴数列
?
a
n?1
n
?
的通项 为
a
n
?2

（2）由（1）知数列
?
a
n
?
的通项为
a
n
?2
n?1
，
∴b
2
1
n?
1
n
?a
n
?
a
2
?2?4
1
?
?1
?2

n
4
n
∴
T
n
?(4
0
?4
1
?…… ?4
n?1
)?(
1
4
0
?
1
4
1
?……?
1
4
n?1
)?2n

?4
n
1?(
1
?
4
)
n
1
1?4
?? 2n

1?
1
4

【巩固练习】
一、选择题
1．等比数列
?
a
n
?
中,
a
2
?9,a
5
?243,
则
?
a
n
?
的前
4
项和为（ ）
A．
81
B．
120
C．
168
D．
192

2．在公比为整数的等比数列
?
a
n
?
中，如果
a
1
?a
4
?18,a
2
?a
3
?12,
那么该数列的前
8
项之和为（
A．
51 3
B．
512
C．
510
D．
225
8

3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝ 0，则
S
5
S
＝( )
2
）

A．11 B．5 C．－8 D．－11
4．（2014 新课标Ⅱ）等差数列{a
n
}的公差为2，若a
2
，a
4
，a
8
成等比数列，则{a
n
}的前n项和S
n
＝( )
A． n(n＋1) B． n(n－1) C．
n(n?1)

2
D．
n(n?1)

2< br>5．等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知S
4
=10，S
8
=110，则S
16
=( )
A．10000 B．11110 C．1110 D．111110
6 ．设等比数列{a
n
}的公比为q(q≠1)，则数列a
3
，a
6< br>，a
9
，…，a
3n
，…的前n项和为( )
a
1
1?q
2n
A.
1?q
a
1
1?q
3n
B.
1?q
3
a
1
3
1?q
3n
C.
3
1?q
5
，则S
5
＝( )
4
a
3
1?q
3n
D.
3
1?q
7．已知数列{a
n
}为等比数列，S
n
是它的前n项和，若a
2
·a
3
＝2a
1
，且a
4
与2a
7
的等差中
项为
A．35 B．33 C．31 D．29
二、填空题
8．在等比数列
{a
n
}
中，若
a< br>1
?
1
,a
4
?4
，则公比
q
= ；
a
1
?a
2
???a
n
= .
2
1
S
9.设等比数列{a
n
}的公比
q?< br>，前n项和为S
n
，则
4
＝________.
2
a
4
10．等比数列中S
n
＝48，S
2n
＝60，则S< br>3n
等于________．
11.在等比数列{a
n
}中，若公比 q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a
n
＝________.
三、解答题
2
12.已知：对任意自然数n都有a
1
+a
2
+……+a
n
=2
n
-1，求
a
1
?a
2
+……+
a
n
.
22
13．在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
a
3
?36 ,a
2
?a
4
?60,S
n
?400,
求
n
的范围。
14．已知{a
n
}为等比数列，若a
1
+a
2
+a
3
=2，a
7
+a
8
+a
9
=8，求a
1
+a
2
+a
3
+…+a
3 m-2
+a
3m-1
+a
3m
.
15．(2014 湖 北)已知等差数列{a
n
}满足：a
1
＝2，且a
1
，a< br>2
，a
5
成等比数列．
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式；
(Ⅱ)记S
n
为数列 {a
n
}的前n项和，是否存在正整数n，使得S
n
＞60n＋800？若存 在，求n的最小值；若
不存在，说明理由．
16．（2014 新课标Ⅱ）已知数列{an
}满足a
1
＝1，a
n
＋
1
＝3a
n
＋1．
（Ⅰ）证明{a
n
＋
（Ⅱ）证明：

1
}是等比数列，并求{a
n
}的通项公式；
2
3
111
＋＋…＋＜．
2
a
1
a
2
a
n

【答案与解析】
1．【答案】B
a
5
a< br>2
3(1?3
4
)
3
【解析】
?27?q,q?3, a
1
??3,S
4
??120

a
2
q1?3

2．【答案】C
1?q
3
31
【解析】
a
1
(1?q)?18,a
1
(q?q)? 12,?,q?或q?2,

2
q?q22
32
2(1?2
8
)
?2
9
?2?510
而
q?Z,q?2,a
1
?2,S
8
?
1?2

3．【答案】D
【解析】
由8a
2
＋a
5
＝0， 得8a
1
q＋a
1
q＝0，所以q＝－2，则

4．【答案】A．
2
【解析】由题意可得a
4
＝a
2?a
8
，
2
即a
4
＝(a
4
－4) (a
4
＋8)，解得a
4
＝8，
∴a
1
＝a
4
－3×2＝2，
4
S
5
＝－11.

S
2
n(n?1)
d，
2
n(n?1)
＝2n＋×2＝n(n＋1)，
2
∴S
n
＝na
1
＋
故选：A．
5．【答案】B
【解析】S
4
，S
8
-S
4，S
12
-S
8
，S
16
-S
12
， ……是等比数列，首项为S
4
=10，公比
q?
所以S
16
=10+100+1000+10000=11110，故选B.

6. 【答案】 D
110?10
?10
，
10
a
3
1?q
3n
【解析】由于
a
3
?a
6
?a
9
?< br>?
?a
3n
?
.故选D.
3
1?q

7. 【答案】 C

【解析】
设公比为q(q≠0)，则由a
2
·a
3
＝2a
1
知a
1
q＝2，
3
∴a
4
＝2.
511
又a
4
＋2a< br>7
＝，∴a
7
＝.∴a
1
＝16，q＝.
242< br>a
1
(1?q
5
)
∴
S
5
??31

1?q

8．【答案】2，
2
n?1
?
1
.
2
1
n
?(1?2)
1
3
1
【解析】
a
4??q?4
，解得
q?2
，
a
1
?a
2
?
?
?a
n
?
2
?2
n?1
?

2
1?22

9．【答案】15
S
4
a
1
(1?q
4
)
【解析】
??15

3
a
4
a
1
q(1?q)

10. 【答案】 63
【解析】∵S
n
，S
2n
－S
n
，S
3n
－S
2n
构成等比数列．
又S
n
＝48 ，S
2n
＝60，∴S
3n
－S
2n
＝S
3n－60
∴12
2
＝48(S
3n
－60)
∴S
3n
＝63.

11. 【答案】
4
n
－
1

【解析】
∵等比数列{a
n
}的前3项之和为21，公比q＝4，
不妨设首项为a
1
，则a
1
＋a
1
q＋a
1
q
2
＝a
1
(1＋4＋16)＝21a
1
＝21， ∴a
1
＝1，∴a
n
＝1×4
n
－
1
＝4
n
－
1
.

2
12.【解析】依题意Sn
=2
n
-1,易求得a
n
=2
n-1
, a
1
=1且公比为2，可知
a
1
，
a
2
，… …
a
n
成等比数列，公
22
4
n
?1
1< br>n
比为4.∴
a
+
a
+……+
a
==
(4?1)
.
4?1
3
2
1
2
2
2
n

13．【解析】
a
1
a
3
?a
2
2
?3 6,a
2
(1?q
2
)?60,a
2
?0,a
2< br>?6,1?q
2
?10,q??3,

2(1?3n
)
?400,3
n
?401,n?6,n?N
； 当
q?3
时，
a
1
?2,S
n
?
1?3
?2 [1?(?3)
n
]
当
q??3
时，
a
1
??2,S
n
??400,(?3)
n
?801,n?8,n
为偶数 ；
1?(?3)
∴
n?8,且n为偶数
.

14.【解 析】
a
1
?a
2
?a
3
?2?a
1
(1?q?q
2
)?2

a
7
?a
8
? a
9
?8?a
1
q
6
(1?q?q
2
)? 8

∴
q
6
?4?q
3
??2
，
由A
1
=a
1
+a
2
+a
3
=2
?
a
1
(1+q+q
2
)=2，A
2
=a
4
+a
5
+a
6
=a
1
q
3
( 1+q+q
2
)，
A
3
=a
1
q
6(1+q+q
2
)，A
1
，A
2
，A
3
成等比数列，且首项为A
1
公比为q
3
，
由前面得q
3
=±2，
则
S
3m

15 ．【解析】(Ⅰ)设数列{a
n
}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故 有(2＋d)
2
＝2(2＋4d)，
化简得d
2
－4d＝0，解得d＝0或4，
当d＝0时，a
n
＝2，
当d＝4时，a
n
＝2＋(n－1)?4＝4n－2．
(Ⅱ)当a
n
＝2时，S
n
＝2n，显然2n＜60n＋800，
此时不存在正整数n，使得S
n
＞60n＋800成立，
当a
n< br>＝4n－2时，S
n
＝
2[1?(?2)
m
]
A1
(1?q
3m
)
m
.
??2(2?1)
或
3
1?q
3
n[2?(4n?2)]
＝2n
2
，
2
令2n
2
＞60n＋800，即n
2
－30n－400＞ 0，
解得n＞40，或n＜－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得S
n
＞60n＋800成立，n的最小值为41，
综上，当a
n
＝2时，不存在满足题意的正整数n，
当a
n
＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41。

111
3a
n
?1?3(a
n
?)
2
?
2
?
2
＝3， 16. 证明：（Ⅰ）
111
a
n
?a
n
?a
n
?
222
13
∵
a
1
??
≠0，
22
a
n?1
?

∴ 数列{a
n
＋
13
}是以首项为，公比为3的等比数列；
223
n
?1
1
3
n－1
3
n
∴a
n
＋＝
?3＝
，即
a
n
＝
；
2
22
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
12
，
＝
n
a
n
3－1
当n≥2时，
21
12
＝
＜< br>n
，
＝
n
a
n
3－1
3－3
n－ 1
3
n－1
∴当n＝1时，
13
＝1＜
成立，
a
1
2
1
n
1－（）
11113
111
3< br>＝
3
（1?
n
）＜
． 当n≥2时，＋＋…＋＜1＋
?
2
??＋
n－1
＝
1
333232
a
1
a
2
a
n
1?
3
∴对n∈N
＋
时 ，

《数列》全章复习巩固

【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式 与前
n
项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式
a< br>n
与前
n
项和公式
S
n
的关系，能通过前
n
项和公式
S
n
求出数列的通项公式
3
111
＋＋… ＋＜．
2
a
1
a
2
a
n
a
n
；
4．掌握常见的几种数列求和方法.
【知识网络】









等比数列
数列
通项公式
等比中项
前n项和公式
数列前n项和
性质
等差数列
等差中项
前n项和公式
性质
?
S
1
,
当
n?1
时
数列的通项
a
n
?
?

S?S,
当
n?2
时
n?1
?
n
通项公式
数列的递推公式

应



用

【要点梳理】
要点一：数列的通项公式
数列的通项公式
一个数列
{a
n
}
的第n项
a
n
与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式
a
n
?f(n)
来表示，我们就
把这个公式叫做这个数列的通项公式。
要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； < br>②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公< br>式可以写成
a
n
?(?1)
n
，也可以写成
a
n
?cosn
?
；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
通项
a
n
与前n项和
S
n
的关系：
任意 数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?a
1?a
2
???a
n
；
?
?
S
1a
n
?
?
?
?
S
n
?S
n? 1
要点诠释：
(n?1)
(n?2)

由前n项和
S
n
求数列通项时，要分三步进行：
（1）求
a
1
?S
1
，
（2）求出当n≥2时的
a
n
，
（3）如果令n≥2时得出的a
n
中的n=1时有
a
1
?S
1
成立，则最后 的通项公式可以统一写成一个形式，
否则就只能写成分段的形式。
数列的递推式：
如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项
a
n
与它的前一项
a
n ?1
或前若干项间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简 称递推式。
要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.

要点二：等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：
a
n?1
?a
n
?d
（常数）
?
{an
}
是等差数列；
②中项公式法：
2a
n?1
?a< br>n
?a
n?2
(n?N*)?{a
n
}
是等差数列；
③通项公式法：
a
n
?pn?q
（p，q为常数）
?
{a
n
}
是等差数列；
④前n项和公式法：
S
n
?An
2
?Bn
（A，B为常数）
?
{a
n
}< br>是等差数列。
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：
a
n
?a
m
+(n－m）d

（2）若
m?n?p?q(m、n、p、q?N
*
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
特别，若
m?n?2p
，则
a
m
? a
n
?2a
p

（3）等差数列
?
a
n< br>?
中，若
m、n、（pm、n、p?N
*
）成等差数列，则
a
m
、a
n
、a
p
成等差数列
.
（4）公 差为d的等差数列中，连续k项和
S
k
,S
2k
?S
k,S
3k
?S
2k
，… 组成新的等差数列。
（5）等差数列
{a
n
}
，前n项和为
S
n

①当n为奇 数时，
S
n
?n?a
n?1
；
S
奇
?S< br>偶
?a
n?1
；
22
S
奇
S
偶?
n?1
；
n?1
a
n
?a
n
②当 n为偶数时，
S
n
?n?(
22
?1
2
)
；
S
偶
?S
奇
?
S
1
dn
；奇
?
2
。
2
S
偶
a
n
2< br>?1
a
n
（6）等差数列
{a
n
}
，前n项 和为
S
n
，则
S
m
?S
n
S
?< br>m?n
（m、n∈N*，且m≠n）。
m?nm?n
S
m
? S
n
S
p
?S
q
（7）等差数列
{a
n< br>}
中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则。
?m?np?q
（8）等差数列
{a
n
}
中，公差d，依次每k项 和：
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S< br>3k
?S
2k
成等差数列，新公差
d'?kd
.
等差数列前n项和
S
n
的最值问题：
等差数列
{a
n
}
中
2

① 若a
1
＞0，d＜0，
S
n
有最大值，可由不等式组
?
?
a
n
?0
来确定n；
?
a
n?1
?0
?
a
n
?0
② 若a
1
＜0，d＞0，
S
n
有最小值，可由不等式组
?来确定n，也可由前n项和公式
a?0
?
n?1
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
来确定n.
22
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
要点三 ：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：
a
n?1
?q
（q是不为0的常数，n∈N*）
?{a
n
}
是等比数 列；
a
n
（2）通项公式法：
a
n
?cq
n（c、q均是不为0的常数n∈N*）
?{a
n
}
是等比数列；
2
n?N*
）
?{a
n
}
是等比数列. （3） 中项公式法：
a
n?1
?a
n
?a
n?2
（
a
n
?a
n?1
?a
n?2
?0
，
等比 数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：
a
n
?a
m
q
n?m

（2）若
m?n?p?q(m、n、p、q?N
*
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
.
特别，若
m?n?2p
，则
a
m
?a
n
?a
p

（4）等比数列
?
a
n
?中，若
m、n、（pm、n、p?N
*
）成等差数列，则
a
m< br>、a
n
、a
p
成等比数列
.
（5）公比为q的等比 数列中，连续k项和
S
k
,S
2k
?S
k
,S3k
?S
2k
，… 组成新的等比数列。
（6）等比数列
{a
n
}
，前n项和为
S
n
，当n为偶数时，
S
偶
?S
奇
q
。
（7）等比数列
{a
n
}
中，公比为q，依次每k项和：
S
k
，
S
2k
? S
k
，
S
3k
?S
2k
…成公比为q
k< br>的等比数
列。
（8）若
{a
n
}
为正项等比数列， 则
{log
a
a
n
}
（a＞0且a≠1）为等差数列；反之 ，若
{a
n
}
为等差数列，
则
{a
n
}< br>（a＞0且a≠1）为等比数列。
（9）等比数列
{a
n
}
前n项积为
V
n
，则
V
n
?aq
等比数列的通项公 式与函数：
n
1
n(n?1)
2
2
a
(n?N*)

a
n
?a
1
q
n?1

①方程观点：知二求一；
②函数观点：
a
n
?a< br>1
q
n?1
?
a
1
n
?q

q
q?0且q?1
时，是关于n的指数型函数；
q?1
时，是常数函数；
要点诠释：
当
q?1
时，若
a
1?0
，等比数列
{a
n
}
是递增数列；若
a
1
?0
，等比数列
{a
n
}
是递减数列；
当
0?q?1
时，若
a
1
?0
，等比数列
{a
n< br>}
是递减数列；若
a
1
?0
，等比数列
{a
n
}
是递增数列；
当
q?0
时，等比数列
{a
n
}
是摆动数列；
当
q?1
时，等比数列
{a
n
}
是非零常数列。
要点四：常见的数列求和方法
公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和。
分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：
a< br>n
=2n+3
n
.
裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两 项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为
非常数列的等差数列的 两项积的形式.
若
a
n
?
1
，分子为非零常数，分母为非 常数列的等差数列的两项积的形式,
(An?B)(An?C)
11
1111
1
??
?(?)
，如a
n
=
(An?B)(An? C)C?BAn?BAn?C
n(n?1)
nn?1
则
a
n
?
错位相减求和法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：
a
n
?b
n
?c
n
, 其中
?
b
n
?
是公差d≠0等
差数列，
?
c
n
?
是 公比q≠1等比数列，如a
n
=(2n-1)2
n
.

一般步骤：
S
n
?b
1
c
1
?b
2
c
2
???b
n?1
c
n?1
?b
n
c
n
，则

qS
n
?b
1
c
2
????b
n?1
c
n
?b
n
cn?1

所以有
(1?q)S
n
?b
1
c1
?(c
2
?c
3
???c
n
)d?b
n
c
n?1

要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
【典型例题】
类型一：数列的概念与通项
例1．写出数列：
?
1 357
，，
?
，，……的一个通项公式.
5
1017
26
【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号
(?1)
n
表示；数列各项 的分子：1，3，5，7，……
22
是个奇数列，可用
2n?1
表示；数列各 项的分母：5，10，17，26，……恰是
2?1
,
3?1
,
4 ?1
,
5?1
,…
22
可用
(n?1)
2
?1
表示；
【解析】通项公式为：
a
n
?(?1)
【总结升华】
①求 数列的通项公式就是求数列中第
n
项与项数
n
之间的数学关系式。如果把数列 的第1，2，3，…
项分别记作
f(1)
，
f(2)
，
f( 3)
，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数
n
(项数)为自变量的函数
f(n)
的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：
?1
，
n
2n?1
.
(n?1 )
2
?1
81524
，
?
，，……的一个通项公式是（ ）
59
7
n
2
?n
n
n(n?3)
A.
a
n
?(?1)
B.
a
n
?(?1)

2n?1
2n?1
n
(n?1)
2
?1
n
n(n?2)
C.
a
n?(?1)
D.
a
n
?(?1)

2n ?1
2n?1
n
【答案】采用验证排除法，令
n?1
,则A、B、C 皆被排除，故选D.
【变式2】给出数表：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

… … … …
（1）前
m
行共有几个数？
（2）第
m
行的第一个数和最后一个数各是多少？
（3）求第
m
行的各数之和；
（4）数100是第几行的第几个数？
【答案】
1
m(m?1)
；
2
11
（2）
m(m?1)?1
，
m(m?1)
；
22
1
2
（3）
m(m?1)
；
2
（1）
（4）第14行的第9个数。
类型二：等差、等比数列概念及其性质
例2. 已知等差数列
{a
n
}
，
S
n
?25
,
S
2n
?100
, 则
S
3n
?
（ ）
A.125 B.175 C.225 D.250
【答案】C
【解析】
方法一：∵
{a
n
}
为等差数列，
∴
S
n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
成等差数列，即
2(S
2n
?S
n
)?S
n
?(S
3n
?S
2n
)

∴
2(100?25)?25?(S
3n
?100)
，
解得
S
3n
?225
,
∴选C.
方法二：取特 殊值，令
n?1
，由题意可得
S
n
?S
1
?a1
?25
,
S
2n
?S
2
?a
1?a
2
?100
,
∴
a
2
?75
，
d?a
2
?a
1
?50
，
∴
S
3n
?S
3
?3a
1
?
∴选C.
3?(3?1)
d?225
,
2
n(n?1)2n(2n?1)
d?25
,
S
2n
?2na
1
?d?100
,
22
n(3n?1)
d?75
， 两式相减可得
na
1
?
2
方法三：
S
n
?na
1
?

∴
S
3n
?3na
1
?
∴选C.
3n(3n?1)
d?75?3?225
.
2
【总结升华】解法一 应用等差数列性质，解法二采用特殊值法，解法三运用整体思想，注意认真体会
每一种解法，灵活应用.
举一反三：
【变式】 (2015 福建)若a，b是函数f(x)=x-px+q(p＞0，q＞0) 的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】由韦达定理得a+b=p ，a·b=q，则a＞0，b＞0，当a，b，-2适当排序后成等比数列时，-2
2
4
．当适当排序后成等差数列时，-2必不是等差中项，当a是等差中项
a
448
时，
2a??2
，解得a=1，b=4；当是等差中项时，
?a?2
，解得a=4 ，b=1，综上所述，a+b=p=5，
aaa
必为等比中项，故a·b=q=4，
b ?
所以p+q=9，选D．
例3． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶 数项的和与奇数项的和之比为32：27，求
公差.
【解析】设等差数列首项为
a
1
，公差为d，则
1
?12a?
?
1
2
?12?11?d?354
?
?
12a
1
?66d?354
?
a
1
?2
1
?
?
?

?
6(a
1
?d)??6?5?2d< br>32
?
?
5a?2d?0
2
d?5
?
?1
?
?
27
?
6a?
1
?6?5?2d
1
?
2
?
【总结升华】
1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要。
2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键。
举一反三：
【变式1】已知：三个数成等比数 列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这
三个数。
【答案】设这三个数为
a
、
a
、
aq
，
q
由题知
a
?a?aq?216
，解得
a?6
，
q

又∵
6
，
6?4
，
6q
构成等差数列，
q
6
?6q
，即
3q
2
?10q ?3?0
，
q
1
，
3
∴
2?(6?4)?解得
q?3
或
q?
∴这三个数为2，6，18或18，6，2。
【高清课堂：数列综合381084 例1】
【变式2】已知两个等比数列
?
a
n
?
，
?
b
n
?
，满足
a< br>1
?a(a?0)
，
b
1
?a
1
?1
，
b
2
?a
2
?2
，
b
3
? a
3
?3
.
（1）若
a?1
，求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）若数列
?
a
n
?
唯一，求
a
的值.
【答案】（1）
a
n
?(2?2)
n?1
或
an
?(2?2)
n?1

（2）
a?
1
3
例4．等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?13
,
S
3
?S
11
，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【答案】7，49
【解析】设公差为d, 由题意得3a
1
+
∴
S
n
有最大值.
3?211?10
d=11a
1
+d，得d=-2,
22
3?11
=7，
2
7?6
∴S
7
为最大值，即S
7
=7×13+(-2)=49.
2
又S
3
=S
11
,可得n=
【总结升华】等差数列的前n项和公式是一个二次的函数，当< br>d?0
时，函数有最大值。
举一反三：
【变式】若数列{a
n}是等差数列，数列{b
n
}满足b
n
=a
n
·an+1
·a
n+2
(n∈N)，{b
n
}的前n项和用S
n
表示，若
{a
n
}中满足3a
5
=8a
12< br>>0，试问n多大时，S
n
取得最大值，证明你的结论.
【答案】∵3a5
=8a
12
>0，∴3a
5
=8(a
5
+7 d),解得a
5
=-
∴d<0，∴a
1
=-
56
d >0
5
76
d，
5
故{a
n
}是首项为正的递减数列.

?
76
?d?(n?1)d?0
?
a
n
?a
1
?(n ?1)d?0
?
?
5
则有
?
,即
?
?
a
n?1
?a
1
?nd?0
?
?
7 6
d?nd?0
?
?
5
解得：15
11
≤n≤16
，∴n=16，即a
16
>0，a
17
<0
55
即：a
1
>a
2
>…>a
16
>0>a
17
>a
18
>…
于是b
1
>b
2
>…>b
14
>0>b
17
>b
18
>……
而b
15
=a
15
·a
16
·a
17
<0 b
16
=a
16
·a
17
·a
18
>0
∴S
14
>S
13
>…>S
1
,S
14
>S
15
，S
15
16

又a
15
=-
69
d>0，a
18
=d<0
5
5
∴a
15
<|a
18
|，∴|b
15
|16
，即b
15
+b
16
>0
∴S
16
>S
14
，故S
n
中S
16
最大
例5．设S
n
、T
n
分别为等差数列{a
n
}，{ b
n
}的前n项和，满足
S
n
7n?1a
，求
11
.
?
T
n
4n?27b
11
【思路点拨】用好等 差数列中S
n
与a
n
的一个关系： S
2n+1
=(2n+1) a
n
是解好本题的一个关键
【答案】
【解析】
a
11
4
?

b11
3
21
(a
1
?a
21
)
Sa< br>11
2a
11
a
1
?a
21
7?21?14
2
????
21
??
方法一：
21
b
1 1
2b
11
b
1
?b
21
(b
1
?b
21
)
T
21
4?21?273
2
方法二：设
S
n
?k(7n?1)n,T
n
?k(4n?27)n
(k ≠0)，
∴a
11
=S
11
-S
10
=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k
b
11=T
11
-T
10
=11k(4×11+27)-10k(4×10+2 7)=111k
∴
a
11
148k4
??
. < br>b
11
111k3
【总结升华】等差数列的中项在前n项和式中的应用是解决本 例的关键，也应注意到前n项和与通项
公式的联系.
举一反三：
【变式】等差数列 {a
n
}中，S
n
=50，
a
1
?a
2< br>?a
3
?a
4
?30
，
a
n?3
? a
n?2
?a
n?1
?a
n
?10
，求项n. < br>【答案】
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?30(1)
，

a
n?3
?a
n?2?a
n?1
?a
n
?10(2)
，
由（1）+（2） 得:
4(a
1
?a
n
)?40?(a
1
?a
n
)?10
，
?S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n?10
?50??n?10
.
22
类型三 ：
a
n
与
S
n
的关系式的综合运用
2
例6. 已知正项数列{a
n
}，其前n项和S
n
满足< br>10S
n
?a
n
?5a
n
?6
，且a
1
，a
3
，a
15
成等比数列，求数
列{a
n< br>}的通项a
n
.
【思路点拨】已知
S
n
与a
n
的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为
a
n
的递推关系式
2
【解析】∵
10S
n
?a
n
?5a
n
?6
， ①
2
∴
10a
1
?a
1
?5a
1
?6
，解之得a
1
=2或a
1
=3. < br>2
又
10S
n?1
?a
n?1
?5a
n?1
?6(n?2)
， ②
22
由①-②得
10a
n< br>?(a
n
?a
n?1
)?5(a
n
?a
n? 1
)
，即
(a
n
?a
n?1
)(a
n?a
n?1
?5)?0

∵a
n
+a
n-1< br>＞0，∴a
n
-a
n-1
=5(n≥2).
当a
1
=3时，a
3
=13，a
15
=73，a
1
，a< br>3
，a
15
不成等比数列
∴a
1
≠3；
当a
1
=2时，a
3
=12，a
15
=72，有a
3
2
=a
1
a
15
，
∴a
1
=2，∴a
n
=5n-3.
【总结升华】等比数列 中通项与求和公式间有很大的联系，它们是
a
n
?
?
意首项与其他各 项的关系.
举一反三：
(n?1)
?
a
1
，尤其注S?S(n?2)
n?1
?
n
3
n
?2
n【变式1】已知数列{a
n
}的前n项和公式分别为（1）S
n
=n-2 n+2.（2）S
n
=分别求它们的通项
n
2
2
公式.
【答案】
(1)当n=1时, a
1
=S
1
=1；
当n≥2时, a
n
=S
n
-S
n-1
=(n2
-2n+2)-[(n-1)
2
-2(n-1)+2]=2n-3,
又n=1时，2n-3≠a
1
,

∴
a
n< br>?
?
(n?1)
?
1

?
2n?3(n?2)
1
；
2
3313
n-1
当n≥2时, a
n
=S
n-S
n-1
=[()
n
-1]-[()
n-1
-1]= ×(),
2222
131
又n=1时, ()
0
==a
1
,
222
13
n?1
（）
(n∈N). ∴
a
n??
22
1
【变式2】已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
n
?(a
n< br>?1)(n?N*)
。
3
（2）当n=1时, a
1
=S< br>1
=
（1）求
a
1
,a
2
；
（2）求证：数列
{a
n
}
是等比数列。
【答案】 （1）由
S
1
?
∴
a
1
??
又
S
2
?
11
(a
1
?1)
，得
a
1
?(a
1
?1)
，
33
1
，
2< br>111
(a
2
?1)
，即
a
1
?a
2
?(a
2
?1)
，得
a
2
?
。
334
11
(a
n
?1)?(a
n?1
?1)
，
33
（2）证明：当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?
得
a
n
a
11
? ?
，又
2
??
，
a
n?1
2a
1
2
11
，公比为
?
的等比数列。
22
所以
{a
n
}
为首项为
?
类型四：特殊数列的求和
例7. (2015 安徽)已知数列{a
n
}是递增的等比数列，且a
1
+a4
＝9，a
2
a
3
＝8
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设S
n
为数列 {a
n
}的前n项和，
b
n
?
a
n?1
， 求数列{b
n
}的前n项和T
n
。
S
n
S
n?1
2
n?1
?2
.
【答案】(1)
a
n
?2
；(2)
T
n
?n?1
2?1
n?1

【思路点拨】(Ⅰ){a
n
}是递增的等比数列，且a
1
+a
4
＝9，a
2
a
3
=8
?
a
1
?a
4
?9
?
a
1
?1
?
?
?
∴
?
a
1
?a
4
即可求出结果；
a?8
?
4
?
aa?8
?
14
2
n
11
( Ⅱ)由(Ⅰ)可知
S
n
?2?1∴b
n
?
n
，利用 裂项相消即可求出结果．
??
(2?1)(2
n?1
?1)2
n< br>?12
n?1
?1
n
解析：(Ⅰ){a
n
}是递增的 等比数列，且a
1
+a
4
=9，a
2
a
3
＝8
?
a
1
?a
4
?9
?
a
1
?1
a
?
∴
?
a
1
?a
4
?
?
?q
3
?
4
?8?q?2?a
n
? a
1
q
n?1
?2
n?1

a
1
?
a
4
?8
?
aa?8
?
14
a
1
(1?q
n
)
1?2
n
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
S< br>n
???2
n
?1

1?q1?2
2
n11
∴b
n
?
n
??
(2?1)(2
n?1< br>?1)2
n
?12
n
1111111
∴T
n
?1??????……?
n
?
n?1
3377152?12?1
12
n?1
?2
?1?
n?1
?.
2?12
n?1
?1

【总结升华】1. 本题考查特殊数列求和的一种方法：裂项分解相消法.一般地，对于裂项后有明显相
消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相
消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.
2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：
①
1111
?
?
(?)
；
n(n?k)knn?k
1111
?(?)
；
a
n
?
a
n?1
da
n
a
n?1
②若
{a< br>n
}
为等差数列，公差为d，则
③

1
n?1?n< br>?n?1?n
，
1
n?k?n
?
1
(n?k?n)< br>.
k
举一反三：
【变式1】求数列
{(1?
1111)?(1?)...(1?)?()}
的前n项和。
2222
23n(n?1)

【答案】
a
2
2
?13
2
?1n
2
?11
n
?
2
2
?
3
2
...
n
2
?
(n?1)2
?
1?3
2
?
2?4(n?1)(n?1)1
23
2
...
n
2
?
(n?1)
2
?< br>1

2n(n?1)
?
111
2
(
n
?
n?1
)
所以可以得到：
S
1n
n
?
1
2
(1?
n?1
)?
2(n?1)
。
【变式2 】求和：
S
n
a
n?12
n
?a?b?a
n?2< br>b
2
?
?
?ab
n?2
?ab
n?1
?b
n
(n?N
*
)

【答案】a=0或b=0时，S
n
?b
n
(a
n
)

当a=b时，
S
n
?(n?1)a
n
；
n?1< br>当a
?
b时，
S?
a?b
n?1
n
a?b< br>
【巩固练习】
一、选择题
1.已知数列
{a
n
?
n
}
的通项公式为
a
n
?cos
2
，则 该数列的首项
a
1
和第四项
a
4
分别为
A.0,0 B.0,1 C.-1,0 D.-1,1
2.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)
第1行
1
第2行 2 3
第3行
4 5 6 7
… …
则第9行中的第4个数是( )
A．132 B．255 C．259 D．260
3.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(
A．5 B．4
C．3 D．2
4.在等差数列{a
n
}中，a
m
=n，a
n
=m(m，n∈N
*
)，则a
m+n
= ( )
A．mn B.m－n C.m+n D.0
)

5 ．在等比数列{a
n
}中，a
n
>0，且a
2
＝1－a1
，a
4
＝9－a
3
，则a
4
＋a
5
的值为( )
A．16
C．36
二、填空题
6． 在数列{a
n
}中，a
1
＝2，且对任意自然数n,3a
n
＋
1
－a
n
＝0，则a
n
＝________.
7．若数列{a
n
}是公差为d的等差数列，则数列{a
n
＋2a
n
＋
2
}是公差为________的等差数列．
8．在等差数列{a
n
}中，若S
4
＝1，S
8
＝4，则a
17
＋a
18
＋a
19
＋a
20
的值为________．
9．在等比数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＋a
3
＝1，a
4
＋a
5
＋a
6
＝－2，则该数列的 前15项和S
15
＝________.
10．(2015 浙江)已知{an
}是等差数列，公差d不为零．若a
2
，a
3
，a
7
成等比数列，且2a
1
+a
2
=1，则
a
1
= ，d= ．
三、解答题
11.在等比数列{a
n< br>}中，已知
a
5
?a
1
?15,a
4
?a< br>2
?6
，求
a
3
.
12.求等差数列5，8，11 ，……，302与等差数列3，7，11，…299中所有公共项的项数.
13.对数列{n}加括号 如下：（1），（2，3），（4，5，6），…….判断：100是第几个括号中的第几项？
14. 已知数列{a
n
}满足
4S
n
?(a
n
?1)2
，求a
n
和S
n
.
15.
(2015 山东)
已知数列{a
n
}是首项为正数的等差数列，数列
?
（I）求 数列{a
n
}的通项公式；
（II）设
b
n
?
?
a
n
?1
?
?2
n
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
a
B．81
D．27
?
1
?
n
.
?
的前n项和为
2n?1< br>?
a
n
?a
n?1
?
16.
(2014 山东)在等差数列{a
n
}中，已知公差d＝2，a
2
是a
1
与a
4
的等比中项．

(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式；
(Ⅱ)设
b
n
?a
n
?
n?1
?
，记T
n
＝－b
1< br>＋b
2
－b
3
＋b
4
－……＋(－1)
n< br>b
n
，求T
n
．
2

【答案与解析】

1.【答案】B
【解析】
?a
n
?f(n)?cos

2.【答案】C < br>【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列．前8行数的个数共
n
?
?
，
?a
1
?f(1)?cos?0,a
4
?f(4)?cos2
?
?1,

22
1?2
8
有＝255(个)，故第9行中的第4个数是259.
1?2

3.【答案】C
【解析】 ∵S
偶
－S
奇
＝5d，

∴5d＝15，∴d＝3.

4.【答案】D．
【解析】由a
m
=n，a
n
=m，得
d?

5.【答案】D
a
n
?a
m
??1
，a
m+n
=a
m
+nd=n－n=0．
n?m
1
?
?
a
1
q?1?a
1
a?
?
1
【解析】
?
3
即
4

?
2
?
a
1
q?9?a
1
q
?
?
q?3
∴
a4
?a
5
?

1
3
1
4
?3??3?27
.
44
n? 1
?
1
?
6.【答案】
2?
??
?
3?

n?1
a
1
?
1
?
【解析】 由 3a
n
＋
1
－a
n
＝0得
n?1
?
，∴
a
n
?2?
??
a
n
3
?
3
?

7.【答案】 3d

【解析】 (a
n
＋
1
＋2a
n
＋
3
)－(a
n
＋2an
＋
2
)＝(a
n
＋
1
－a
n
)＋2(a
n
＋
3
－a
n
＋
2
)＝d＋ 2d＝3d.

8.【答案】 9
【解析】 S
4
＝1，S
8
－S
4
＝3，
而S
4< br>，S
8
－S
4
，S
12
－S
8
，S
16
－S
12
，S
20
－S
16
成等差数 列．
即1,3,5,7,9成等差数列．
∴a
17
＋a
18＋a
19
＋a
20

＝S
20
－S
16
＝9.

9.【答案】 11
【解析】 设数列{a
n
}的公比为q，则由已知，得q
3
＝－2.
又
a
1
?a
2
?a
3
?
∴
a
1
(1?q
3
)?1
，
1?q
a
1
1
?
，
1?q3
a
1
a
1
(1?q
15
)?
1
[1?(q
3
)
5
]??[1?(?2)
5
]?11
.故填11. 1?q1?q3
∴
S
15
?
2
10.【答案】
,?1

3
【解析】 由题可得，(a
1
+2d)
2=(a
1
+d)(a
1
+6d)，故有3a
1
+2d= 0，又因为2a
1
+a
2
=1，即3a
1
+d=1，所以< /p>

d??1,a
1
?

2
.
3
11.【答案】
a
3
??4

【解析】
422
?
?
a
1
q?a
1
?15
??
a
1
(q?1)(q?1)?15
?
?
方法一：由已 知得：
?
32
?
a
1
q?a
1
q?6?
?
a
1
q(q?1)?6
?

q
2
?1151
当
q?1?q??1
时，
??2q
2
? 5q?2?0?q?
或q=2，
q62
2
?q?
1
?a< br>1
??16?a
3
??4
；
2
q?2?a
1
?1?a
3
?4
.
当q=±1时不合题意，舍去。
方法二：由
a
5
?a
1< br>?15
，
a
4
?a
2
?6

??
2
1
?
?
2
a
3
?
a3
q?
q
2
?15
?
a
3
?
q?
q
2
?
?15
????
?
?
?
?
?a
3
??4

a
?
aq?
3
?6
?
a
?
q?
1
?
?6
3
?
??
3
?
q
q
?
??
?

12．【解析】
{a
n
}中，a
1
=5，d=3，a< br>n
=5+(n-1)×3=3n+2，a
100
=302，
数列{b
n
}中，b
1
=3，d=4，b
m
=3+(m-1)×4= 4m-1，b
75
=299.
∴
3n?2?4m?1?n?
4m
?1
，则m为3的整倍数，
3
且所有公共项构成一个新的等差数列{c
n
}，其中c
1
=11，公差为12，
∴
c
n
?11?12(n?1)?c
n?12n?1
，299为最后一项，
则有：299=12n-1，∴共有n=25项.

13．【解析】
n(n?1)
?100?n
2
?n?200?0
，
2
14(14?1)
?105?100
，n=13共91项.
?1 4?n?15,
又n=14，
2
1?2?3?????n?100?
所以10 0是第14个括号中的第9项.

类似问题：
1,,,,,,,,,

14．【解析】
111111111
……的第100项是多少？
2233 34444
当n=1时，
a
1
?S
1
?4a
1?(a
1
?1)
2
?(a
1
?1)
2
?0?a
1
?1
，
当
n?2
时，
4S
n
?(a
n
?1)
2
,4S
n?1
?(a
n ?1
?1)
2
?4a
n
?(a
n
?a
n? 1
?2)(a
n
?a
n?1
),

2222
?(a
n
?a
n
)?2(a?a)?4a?0?(a?a
?1nn ?1nnn?1
)?2(a
n
?a
n?1
)?0

?(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?2)?0?a
n
??a
n?1
或a
n
?a
n?1
?2
，
?
a
n
?(?1)
n?1
?a
n
?2n?1
?
a?a?2?
或 .
?a< br>n
??a
n?1
?
?
?
0,n偶
?
nn?1
2
?
S
n
?n
?
S
n
?
?
1,n奇
?
?

15.
【解析】
（I）设数列{a
n
}的公差为d，
令n=1，得
11< br>?
，所以a
1
a
2
=3.
a
1
a
2
3
112
??
，所以a
2
a
3
=15.
a
1
a
2
a
2
a
3
5
令n=2，得
解得a
1
=1，d=2，所以a
n
=2n－1 .
（II）由（I）知
b
n
?2n?2
2n?4
?n?4
n
,
所以
T
n
?1?4
1
?2?4
2
?......?n?4
n
,

所以
4T
n< br>?1?4
2
?2?4
3
?......?(n?1)?4
n< br>?n?4
n?1
,

两式相减，得
?3T
n
?4
1
?4
2
?
?
?4
n
?n?4n?1
4(1?4
n
)1?3n
n?1
4

n?1
??n?4??4?,
1?433
3n?1
n ?1
44?(3n?1)?4
n?1
?4??.
所以
T
n
?
999
16．【解析】
(Ⅰ)∵a
2
是a
1
与a
4
的等比中项，
∴a
2
2
＝a
1
a
4
，
∵在等差数列{a
n
}中，公差d＝2，
∴(a
1
＋d)
2
＝a
1
(a
1
＋3d)，即(a
1
＋2 )
2
＝a
1
(a
1
＋3×2)，

化为，解得a
1
＝2．
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n． (Ⅱ)∵
b
n
?a
n
?
n?1
?
?n
?
n?1
?
，
2
∴T
n
＝－b
1
＋b
2
－b
3
＋b
4
－……＋(－1)
n
b
n
＝－1×(1＋1)＋2×(2＋1)－……＋(－1)
n
n ?(n＋1)．
当n＝2k(k∈N
*
)时，b
2k
－b
2k
－
1
＝2k(2k＋1)－(2k－1)(2k－1＋1)＝4k
T< br>n
＝(b
2
－b
1
)＋(b
4
－b
3
)＋……＋(b
2k
－b
2k
－
1
)
＝4(1＋2＋……＋k)
k
?
k?1
?
2
＝2 k
?
k?1
?

n
?
n?2
?
＝
2
＝4?
当n＝2k－1(k∈N
*
)时，
T
n
＝(b
2
－b
1
)＋(b
4
－b
3
)＋……＋(b
2k
－
2
－b
2k
－
3
)－b
2k
－
1

?
?
n?1
??
n?1
?
?n
?
n?1
?

2
?
n?1
?
2

??
2
?n
?
n?2
?
，n?2k　　k?N
*
?
?< br>2
故
T
n
?
?
．
2
?
?
?
n?1
?
，n?2k?1　　k?N
*
?
2　< br>?
??
??