高中数学简约教学-高中数学学习计划怎么写
精品字里行间
2.(2014?成都模拟)等比数列{a
n
}的各项
均为正数,且2a
1
+3a
2
=1,a
3
=9a
2
a
6
,
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(
Ⅱ)设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
,求数列{
2
2<
br>}的前n项和.
222
解:(Ⅰ)设数列{a
n
}的公比为q,由a
3
=9a
2
a
6
有a
3
=9a
4
,∴q=.
由条件可知各项均为正数,故q=.
由2a
1
+3a
2
=1有2a
1
+3a
1
q=1,∴a
1
=.
故数列{a
n
}的通项式为a
n
=
(Ⅱ)b
n
=
故
则
=﹣
++…+
+
.
=﹣(1+2+…+n)=﹣
)
)]=﹣,
,
+…+
=﹣2(﹣
=﹣2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣
. ∴数列{
}的前n项和为﹣
7.(2013?江西)正项数列{a
n
}满足
(1)
求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)令b
n
=
﹣(2n﹣1)a
n
﹣2n=0.
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
解:(1)由正项数
列{a
n
}满足:
可有(a
n
﹣2n)(a
n
+1
)=0
∴a
n
=2n.
(2)∵a
n
=2n,b
n
=,
﹣(2n﹣1)a
n
﹣2n=0,
∴b
n
=
=
=
T
n
=
=
,
放心做自己想做的
精品字里行间
=.
.
数列{b
n
}的前n项和T
n
为
6.(2013?山东)
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
4
=4S2
,a
2n
=2a
n
+1.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{b
n
}满足=1﹣,n∈N,求{b
n
}的前n项和T
n
.
*
解:(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,由S
4<
br>=4S
2
,a
2n
=2a
n
+1有:
解有a
1
=1,d=2.
*
∴a
n
=2n﹣1,n∈N.
(Ⅱ)由已知++…+=1﹣,n∈N,有:
*
,
当n=1时,=,
当n≥2时,=(1﹣)﹣(1﹣)=,∴,n=1时符合.
∴=,n∈N
*
*
由(Ⅰ)知,a
n
=2n﹣1,n∈N.
∴b
n
=,n∈N.
*
又T
n
=+++…+,
∴T
n
=++…++,
两式相减有:T
n
=+(++…+)﹣
=﹣﹣
∴T
n
=3﹣
.
放心做自己想做的
精品字里行间
28.(2010?山东)已知等差数列{a
n
}满足:a3
=7,a
5
+a
7
=26.{a
n
}的前n
项和为S
n
.
(Ⅰ)求a
n
及S
n
;
(Ⅱ)令(n∈N),求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
*
解:(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为d,
∵a
3
=7,a
5
+a
7
=26,
∴有,
解有a
1
=3,d=2,
∴a
n
=3+2(n﹣1)=2n+1;
S
n
==n+2n;
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a
n
=2n+1,
∴b
n
====,
∴T
n
=
即数列{b
n
}的前n项和T
n
=
25.(2008?四川)在数列{an
}中,a
1
=1,
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)令
.
==,
.
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
;
(Ⅲ)求数列{a
n
}的前n项和T
n
.
解:(Ⅰ)由条件有,又n=1时,,
故数列构成首项为1,公式为的等比数列.∴,即.
放心做自己想做的
精品字里行间
(Ⅱ)由
两式相减,有:
(Ⅲ)由
有
,∴
,
.
有.
,
∴T
n
=2S
n
+2a
1﹣2a
n+1
=
.
3.(2010?四川)已知等差数列{a
n
}的前3项和为6,前8项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
n
﹣
1*
(
Ⅱ)设b
n
=(4﹣a
n
)q(q≠0,n∈N),求数列{b
n<
br>}的前n项和S
n
.
解:(1)设{a
n
}的公差为d,
由已知有
解有a
1
=3,d=﹣1
故a
n
=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n;
n
﹣
1
(2)由(1)的解答有,b
n
=n?q,于是 <
br>012n
﹣
1
S
n
=1?q+2?q+3?q+…+n?q.
若q≠1,将上式两边同乘以q,有
123n
qS
n
=1?q+2?q+3?q+…+n?q.
上面两式相减,有
(q﹣1)S
n
=nq﹣(1+q+q+…+q
=nq﹣
n
n2n
﹣
1
)
于是S
n
=
若q=1,则S
n
=1+2+3+…+n=
∴,S
n
=.
放心做自己想做的
精品字里行间
4.(2010?四川)已知数列{a
n
}满足a
1
=0,a
2
=2,且对任意m、n∈N都有a
2m
﹣
1
+a
2n
﹣
1
=2a
m+n
﹣1
+2(m﹣n)
(1)求a
3
,a
5
;
*
(2)设b
n
=a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
(n∈N),证明:{b
n
}是等差数列;
n
﹣
1*<
br>(3)设c
n
=(a
n+1
﹣a
n
)q(q≠0,n
∈N),求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
解:(1)由题意,令
m=2,n=1,可有a
3
=2a
2
﹣a
1
+2=6 再令m=3,n=1,可有a
5
=2a
3
﹣a
1
+8=
20
*
(2)当n∈N时,由已知(以n+2代替m)可有
a
2n+3<
br>+a
2n
﹣
1
=2a
2n+1
+8
于是[
a
2
(
n+1
)
+1
﹣a
2
(
n
+1
)﹣
1
]﹣(a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
)=8
即b
n+1
﹣b
n
=8
∴{b
n
}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn
}是首项为b
1
=a
3
﹣a
1
=6,公差为
8的等差数列
则b
n
=8n﹣2,即a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
=8n﹣2
另由已知(令m=1)可有
a
n
=﹣(n﹣1).
2
*2
∴a
n+1
﹣a
n
=
n
﹣
1
﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c
n
=2nq.
当q=1时,S
n
=2+4+6++2n=n(n+1)
012n
﹣
1
当q≠1时,S
n
=2?q+4?q+6?q+…+2n?q.
两边同乘以q,可有
123n
qS
n
=2?q+4?q+6?q+…+2n?q.
上述两式相减,有
(1﹣q)S
n
=2(1+q+q+…+q
2n
﹣
1
)﹣2nq
n
放心做自己想做的
精品字里行间
=2?﹣2nq
n
=2?
∴S
n
=2?
综上所述,S
n
=
.
16.(2009?湖北)已知数列{a
n
}是一个公差大于0的等差数列,且满足a
3
a
6
=55,a
2
+a
7
=16
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)数列{a
n
}
和数列{b
n
}满足等式a
n
=
解:(1)设等差数列{a
n
}的公差为d,
则依题意可知d>0由a
2
+a
7
=16,
有,2a
1
+7d=16①
由a
3
a
6
=55,有(a
1
+2d)(a
1
+5d)=55②
由①②联立方程求,有
d=2,a
1
=1d=﹣2,a
1
=(排除)
(n∈N),求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
*
∴a
n
=1+(n﹣1)?2=2n﹣1
(2)令c
n
=,则有a
n
=c
1
+c
2
+…+c
n<
br>
a
n+1
=c
1
+c
2
+…+c
n+1
两式相减,有
a
n+1
﹣a
n
=cn+1
,由(1)有a
1
=1,a
n+1
﹣a
n
=2
∴c
n+1
=2,即c
n
=2(n≥2),
即当n≥2时,
n+1
b
n
=2,又当n=1时,b
1<
br>=2a
1
=2
放心做自己想做的
精品字里行间
∴b
n
=
34n+1
于是S
n
=b
1<
br>+b
2
+b
3
+…+b
n
=2+2+2+…2
.
=2
n+2
﹣6,n≥2,
放心做自己想做的