高中数学必修5 用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式
在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或 公差(或者通过计算可以
求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差 、等比数
列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造
法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同
的递推公式，我们当 然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种
我们常见的构造新数列的方法：
一．利用倒数关系构造数列。
例如：
数列{a
n
}
中，若
a
1
?2,
1
a
?
1
?4(n?N),< br>求a
n

n?1
a
n

设b
n?
1
a
,则b
n?1
?b
n
+4,
n
即
b
n?1
?b
n
＝４，
?{b
n
｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出
b
n
,然再求后数列{ a
n
}的通项。
练习：1)数列{ a
n
}中，a
n
≠0，且满足
a
11
1
?
2
,a
n?1< br>?
1
,(
n?N
),
求a
n
a
?3
n
2)数列{ a
a
n
}中，
a
n
1
?1,a
n?1
?
2
a2
,
求a
n
通项公式。
n
?
3)数列{ a
n
}中 ,
a
1
?1,a
n
?0,且a
n
?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
?0(n?2,n?N),
求an
.
二．构造形如
b
2
n
?a
n
的数列。
例：正数数列{ a
n
}中，若
a
22
1
?5, a
n?1
?a
n
?4(n?N),求a
n

解 ：设
b
2
n
?a
n
,则b
n?1
?bn
?4,即b
n?1
?b
n
??4

数列{b
2
n
}是等差数列，公差是?4，b
1
?a
1
?2 5

?b
n
?25?(n?1)?(?4)?29?4n
即a
2

n
?29?4n
?a
n
?29?4n,(1?n?7,n?N)练习：已知正数数列{ a
n
}中，
a
1
?2,a
n
?2a
n?1
(n?2,n?N)
,
求数列{ a
n
}的通项公式。
三．构造形如
b
n
?lga
n
的数列。
例：正数数列{ a
n
}中，若a
1
=10,且
lga< br>1
n
?
2
lga
n?1
,(n?2,n?N),求a
n
.
解：由题意得：
lga
n
lga
?
1
，?可设b
n
?lga
n
，
n?1
2
即
b
n
b
?
1
,

n?1
2
?b
1
n
是等比数列，公比为
2
，b
1
?lg1 0?1

?b?1?(
1
)
n?1
?(
1
?1
n
22
)
n
,(n?N)
.
1
即
lga
1
()
n?1
n?1
n
?(),?an
?10
2
2

练习：（选自2002年高考上海卷）
数列{ a
n
}中，若a
1
=3,
a
2
n?1
?a
n
,n是正整数，求数列{ a
n
}的通项公式。四．构造形如
b
n
?a
n
?m
的数列。
例：数列{ a
n
}中，若a
1
=6,a
n+1
=2a
n
+1, 求数列{ a
n
}的通项公式。
解：a
n+1
+1=2a
n
+2, 即a
n+1
+1=2（a
n
+1）
设 b
n
= a
n
+1, 则b
n
= 2 b
n-1
则数列{ b
n
}是等比数列，公比是2,首项b
１
= a
１
+1＝7,
?bn?1
n
?7?2,即a
n
?1?7?2
n?1

?a
n?1
n
?7?2?1
，
(n?N)

构造此种数列，往往它的递推公式形如：
a
n?1
?c?a
n?d,(c?1)和S
n
?a
n
?n?2的形式
。
如：a
n+1
＝c a
n
+d,设可化成a
n+1
+x=c(a
n
+x),
a
n+1
=c a
n
+(c-1)x
用待定系数法得： (c-1)x＝d

∴ x=
d
c?1
.
又如：Ｓ
n
+a
n
=n+2,
则 Ｓ
n-1
+a
n-1
=n+1,
二式相减得：Ｓ
n
－Ｓ
n-1
+a
n
－a
n-1
=１，即a
n
+a
n
－a
n-1
=１，
∴ 2 a
n
－a
n-1
=１，
a
n
=
11
2
a
n-1
+
2
.
如上提到b
n
= a
n
＋
1
c?1
d = a
n
–1
练习：1.数列{ a
n
}满足a
n+1
=3a
n
+2, 求a
n

2.数列{ a
n
}满足Ｓ
n
+a
n
=2n+1,求a
n
五．构造形如b
n
?a
n?1
?a
n
的数列。
例：数列{ a
n
}中，若a
1
=１，a
２
=3,a
n+2
+ 4 a
n+1
- 5a
n
=0 (n
?
N),求a
n
。

解： a
n+2
+ 4 a
n+1
- 5a
n
=0得： a
n+2
－ a
n+1
= - 5（a
n
＋１
－ a
n
）

设b
n
= a
n
＋１
－a
n
，

则数列{ b
n
}是等比数列，公比是-5,首项b
１
= a
2
- a
1
＝2,
∴a
n
＋１
－a
n
=2?(-5)
n-1

即a
２
－a
１
=2?(-5)
a －a=2?(-5)
２

３２
a
４
－a
３
=2?(-5)
３

┄

a
n
－a
n
n-2
－１
=2?(-5)
以上各式相加得：a
n
－a
１
=2?［（-5）＋(-5)
２
＋(-5)
３
＋┄＋（-5）
n- 1
］
n?1
即：a
n
－a
1?（?5）
１
=2?
1?(?5)

1?(?5)< br>n?1
4?(?5)
n?1
?a
n
?1?
3
，即
a
n
?
3
，（n
?N)

当递推公式 中，a
n
＋１
与a
n
的系数相同时，我们可构造b
n
= a
n
＋１
－a
n
，
然后用叠加
法得 ：b
1
+b
2
+b
3
+b
4
+┄+bn
= a
n
-a
1
通过求出数列｛b
n
｝前n-1项和的方法，求出数列{ a
n
}的通项公式。
1) 当递推公式中形如:
a
n+1
=a
n
+an+b a
n+1
=a
n
+q
n
(q≠1) a
n+1
=a
n
+q
n
+an+b 等情形时，
可以构造b
n
= a
n
＋１
－a
n
,得: b
n
= an+b； b
n
= q
n
; b
n
=q
n
+an+b。
求出数列前n-1项的和T
n-1
,
T
n-1
=
a(n?1)n
2
?(n?1)b
;
q(1?q
n?1
T
n-1
=
)
1?q
；
T
n-1
=
q(1?q
n?1
)
a(n?1)n< br>1?q
+
2
?(n?1)b

即： a
n
－a
a(n?1)n
１
=
2
?(n?1)b
;
a
n
－a=
q(1?q
n?1
)
１
1?q
;
a
n
－a
a(n?1)n
q(
１
=
2
? (n?1)b
+
1?q
n?1
)
1?q

从而求出 a
n
=a
a(n?1)n
１
+
2
?(n?1)b
;
a
n
= a
q(1?q
n?1
)
１
+
1?q
;
a
n
=a
a(n?1)n
q(1?
１
+
2
n?1)b
+
q
n?1
?(
)
1?q
。
2）当递推公式中形如:
a
n+1
=a
n
+
1
n(n?1)
；a
n+1
=a
n
+
11
（2n?1）(2n?1)
；a
n+1
=a
n
+
n?n?1
等情形
可以构造b
n
= a
n
1
＋１
－a
n
,得:：b
n
=
n(n?1)
；b
n
=
1
（2n?1）(2n?1)
；b
n
=
1
n?n?1
即b
n
=
1111
n
?
n?1
；b
n
=
2
(
2n?1
?
1
2n?1
)
；b
n
=
n?1?n

从而求出求出数列前n-1项的和T
n-1
,
T
n-1
=
1?
111
n
；T
n-1
=
2
(1?2n?1
)
；T
n-1
=
n?1

即： a
n
－a
1
１
=
1?
n
;
a
n
－a
11
１
=
2
(1?
2n?1
)
;
a
n
－a
１
=
n?1

从而求出 a
n
=a
1
１
+
1?
n
;
a
n
= a
11
１
+
2
(1?
2n?1
)
;
a
n
=a
１
+
n?1

练习：1）数列{ a
n
}中，若a
1
=1，a
n+1
-a
n
=2n, 求通项a
n.
2）数列{ a
n
}中，若a
1
=1，a
n+1
-a
n
=2
n
, 求通项a
n.
3) 数列{ a
n
}中，若a
1
=2，
a
n?1
?a
n
?2
n
?n
，求通项a
n.

六．构造形如b
a
?1
n
?
n
a
的形式。
n
例：数列{ a
n
}中，若a
1
=1，
(n? 1)a
n?1
?na
n
，求a
n.

解：由
(n?1)a
n?1
?na
得：
a
n?1
n
n< br>a
?

n
n?1
∴
a
2
a
?
1
2
，
a
3
a
?
2
，
a
4
?
3
a
n?1
4
，…
n
a
?

12
3a
3n?1
n
用累乘法把以上各式相乘得：
a
n
1
a
?
n

1
∴
a
n
?
1
n
。
当递推公式形如：
a< br>n?
?q
n
a
n
；
(n?1)a
n?1?na
n
；
na
n?1
?(n?1)a
n
等形 式，我们可
以构造
b
n
?
a
n?1
a
。
n
可得:
b
nn?1
n
?qn
;
b
n
?
n?1
;
b
n
?
n
.
然后用叠乘法得：
b
1
b
2
b3
?
b
a
n
n?1
?
a
。
1
令数列{b
n
}的前n-1项的积为A
n-1
,则
n(n?1)

A
n?1
?q
2
；
A
n?1
?
1
n
;
A
1
n? 1
?
n

从而得到：
a
n(n?1)
n
?
q
2
；
a
n
1
a
1
a
?
；
n
?

1
a
1
n
a
1
n
n(n?1)
a
1
n
?a
1
q
2
；
a
n
?a
1
?
n
；
a1
n
?a
1
?
n
。
练习：1）数列{ a
n
}中，若a
1
=2，
a
n?
?2
n
a
n
，求a
n.
七．构造形如
b
n
?a
n?1
?ma
n
的形式。
例：数列{ a
n
} 中，a
1
=2，S
n
=4a
n-1
+1，求a
n.
解：
S
n
=4a
n-1
+1，S
n-1
= 4a
n-2
+1
二式相减：
S
n
-S
n-1=4a
n-1
-4a
n-2

a
n
=4a
n-1
-4a
n-2

a
n
-2a
n-1
=2（a
n-1
-a
n-2
）
设b
n
=a
n+1
-2a
n
，

当递推公式形如 S
n+1
=4a
n
+2;a
n+2
=pa
n+1
+qa
n
(p+q=1)
a
n
- 2a
n+1
=2(a
n+1
-2a
n
);a
n+2
-a
n+1
=(p-1)(a
n+1
-a
n
),
我们构造b
n
=a
n+1
-2a
n
; b
n
=a
n+1
-a
n
,
由等比数列知识得b< br>n
=(a
2
-a
1
)·2
n-1
; bn
=(a
2
-a
1
)·(p-1)
n-1
< br>从而得到a
n+1
=2a
n
+(a
2
-a
1
)2
n-1
;a
n+1
=a
n
(a
2-a
1
)(1-q)
n-1

由类型四求出a
n
。

等形式时，因