高中数学必修五数列知识点归纳

数列知识点总结

等差数列



一、等差数列与等比数列


等比数列

定义







a
n 1

-
a
n

=d


a
n 1
=q(q 0)

a
n

a
n

=
a
1

+（

n-1

）

d



通项公式


a
n

=
a
1
q
n 1

(q 0)

a
n

=
a
n 1

q

G
2

N

+



m
递推公式


a
n

=
a
n 1

+d,

a
n

=
a
m

+(n-m)d


A=

+
a
n

=
a
m
q
n


中项








a b

2


a

推广： A=

a
n k
n
k
（ n,k

2





ab
。推广：G=

a
n k

a
n k
（

n,k

;n>k>0 ）。任意两数 a
、
c 不一定








N n>k>0 ）



S
n

=

（
a
1

+














有等比中项， 除非有 ac＞ 0，则等比中

项一定有两个


前 n 项和









性质
n

2

a
n

）

S
n

=


a
1
(1

q
n )




S
n

=n
a
1

+


n(n 1)
2












1

q

1

q







d





S
n

=



a
1

a
n
q




（ 1）若
m n

p q
，则

a
m

a
n


a
p
a
q
；
, a
2n

1
仍为等差数


（
1
） 若
m n



p q
， 则

（ 2 ）数列
a
2n 1

, a
2n

a
m
· a
n

a
p
· a
q


列，
S
n
， S
2 n

S
n
， S
3 n

S
2 n
??
仍为等差数

2
列，公差为
n d
；



（

3）若三个成等差数列，可设为



（ 2）
S
n
，

S
2n

S
n
， S
3n

为等比数列 ,公比为
q

n


S
2n
??
仍

a d，a，a

d

（ 4）若
a
n
，

b
n
是等差数列，且前

为
S
n
， T
n

，则

n
项和分别



a
m

b
m

S
2 m 1
T
2 m 1




（ 5）
a
n
为等差数列
S
n
an
2

bn

（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为

0

的二
次函数）
（ 6） d=
a
m
a
n


(m n)



m n

(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列

二、求数列通项公式的方法


1、通项公式法：

等差数列、等比数列


2、涉及前ｎ项和 S
n
求通项公式，利用

a
n
与 S
n
的基本关系式来求。 即
a

n

s
1

a
1
( n

1)

s
n

s
n 1
(n













2)

例 1、在数列｛
a
n
｝中，
S
n
表示其前ｎ项和，且

例 2、在数列｛
a
n
｝中，
S
n
表示其前ｎ项和，且

3、已知递推公式，求通项公式。

（ 1）叠加法： 递推关系式形如
a
n 1


S
n

S
n



n
2

, 求通项
a
n
.

2

3a
n

,

求通项
a
n



a
n
f n
型

例 3、已知数列｛
a
n
｝中，
a
1

练习 1、在数列｛
a
n
｝中，
a
1

（ 2）叠乘法： 递推关系式形如


1
，
a
n 1


a
n

n
，求通项
a
n



a
3
，
a
n 1


a
n

2
n

，求通项
a
n

n 1
a
n


f n




例 4、在数列｛
a
n
｝中，
a
1


1
，


练习 2、在数列｛
a
n
｝中，
a
1

n

1


n
2
，求通项
a
n

3
，
a
n 1


a
n


n

a

，求通项
a

n
n



型




（ 3）构造等比数列：

递推关系式形如

a
n

1
例 5、已知数列｛
a
n
｝满足
a
1

练习 3、已知数列｛
a
n
｝满足
a
1

（ 4）倒数法


Aa
n

B
(A,B

均为常数，

A≠

1,B

≠0)

3a
n 1

2
，求通项
a
n

2a
n

3
，求通项

a
n






4
，
a
n

3
，
a
n 1


例 6、在数列 {a
n
} 中，已知
a
1

1
,
a
n 1

,



2a
n


求数列的通项
a
n











四、求数列的前 n 项和的方法

1、利用常用求和公式求和：

等差数列求和公式：




a
n

2



















S
n

n( a
1

a
n
)

na
1

n(n

1)
d

2


2


na
1

S
n


(q

(q


1)

1)




等比数列求和公式：



a
1
(1

q
n
)



1

q


a
1

a
n
q

1

q


2、错位相减法： 主要用于求数列

{a
n
·b
n
} 的前 n 项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n

}
分别是等差数列和等比数列

.[例 1] 求数列

2
,

4
2

,
3
,


6
,
2n
2

n

,
前

n

项的和

.








1



2

2

2

[例 2]

求和：
S
n

1

3x

5x
2

7x
3


( 2n

1)x
n

3、倒序相加法： 数列｛
a
n
｝的第 m项与倒数第 m项的和相等。 即：
a
1

a
n

a
2

a
n 1

2
2
[例 3]

求
sin 1

sin 2

aa
mn m 1
sin
2

3


sin
2
88

f

1

x

1

2

f 1




sin
2
89
的值

，求：








[例 4]

函数
f

x

对任
x





R
都有

f x

f
f 0


f
1


2





f
n 1


n

n

n


4、分组求和法： 主要用于求数列

{a
n
b
n
} 的前 n 项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n

}
分别是等差数列和等比数列

[例 5]

求数列：
1


1
2

,2

1
4

,3

1
,

8

a
3


, n

3


1
n
,

的前 n 项和



2



[例 6]

求和：
a

1

a
2

2

a
n

n

5、裂项相消法：

通项分解

（ 1）
a
n



1

11

n(n 1) n n 1

1

1







（ 2）
a
n

1

1
(
11
)

n(n k) k n n k

（ 3）
a
n



n 1

n

1


n

2








（ 4）
a
n

n


1

n k

2

1
n k

( n kn )

n

[例 7]

在数列 {a
n
} 中，
a
n


，又
b
n


n 1 n 1


n 1

a
n
1
且

[例 8]

已知正项数列 {a
n
} 满足
a
1

a
2

n 1
a
2
n
1 n N
*


（Ⅰ）求数列 {a
n
} 的前 n 项的和


（Ⅱ）令
b

1


n

，求数列 {b
n
} 的前 n 项的和
T
n


a



a
n

n 1

五、在等差数列｛

a
n

｝中

,

有关

S
n

的最值问题



： (1)当
a
>0,d<0 时，满足
a
m

0

1


的项数 m 使得
s
m
取最大值 .

a

m 1
0


a
m

0

(2)当
a
1
<0,d>0 时，满足

的项数 m 使得
s
m
取最小值。

a


m 1
0

，求数列 {b
n
} 的前 n 项的和 .

a
n 1