人教A版高中数学必修五数列学生版

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








数列（A班）
第1讲数列的概念
考点1数列的通项公式
题型1已知数列的前几项，求通项公式
【例1】求下列数列的一个通项公式：
⑴
⑵




变式1、求下列数列的一个通项公式：
（1）
（2）
1,3,6,10,15,21,?,






题型2已知数列的前
n
项和，求通项公式
【例2】已知下列数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，分别求它们的通项公式
a
n
.
2
⑴
S
n
?
2n
?
3n
；
⑵.
信达

------------------------- ------------------------------------------奋斗没有终点任何 时候都是一个起点------------------------------------------ -----------












变式1、已知






为数列
?
a
n
?
的前项和，且
，
求数列
?
a
n
?
的通项公式

题型3已知数列的递推公式，求通项公式
（应用迭加（迭乘、迭代）法求通项或者构造等差数列或等比数列求通项公式）
【例3】数列
?
a
n
?
中，












，求和数列
?
a
n
?
的通项公式
变式1、⑴已知数列
?
a
n
?
中，
⑵已知





信达
，求数列
?
a
n
?
的通项公式；

，，求数列
?
a
n
?
的通项公式.

为数 列
?
a
n
?
的前项和，

--------- -------------------------------------------------- --------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------------- ---------------------------












变式2、已知数列
?
a
n
?
中，










，求数列
?
a
n
?
的通项公式.

题型4已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项
【例4】数列
?
a
n
?
中，
⑴是数列中的第几项？
有最小值？并求最小值.
.
⑵为何值时，







变式1、数列
?
a
n
?
中，
⑴求这个数列的第10项；
⑵是否为该数列的项，为什么？
；
.
⑶求证：
⑷在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.
信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----


















第2讲等差数列
1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同 一个常数
这个数列叫做等差数列，常数为公差.
2、⑴通项公式
⑵前
n项和公式
S
n
?
，为首项，为公差
，
n(a
1
?
a
n
)
1
或
S
n
?na< br>1
?n
(
n?
1)
d
.
22
3. 等差中项：如果
a,A,b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与< br>b
的等差中项.即：
A
是
a
与
b
的等差中项
?
2A?a?b

4.等差数列的判定方法：⑴定义法：
a
n
?1
?
a
n
?
d
（
n?N
?< br>，是常数）
?
?
a
n
?
是等差数列；
⑵中 项法：
2a
n
?
1
5.等差数列的常用性质：⑴
a
n
?
a
n
?
a
n
?
2
(
n?N
?
)
?
?
a
n
?
是等差数列. < br>?a
m
?(n?m)d
；
a
n
?
an
?
b
(
a
,
b
是常数)；
S
n
?an
2
?bn
(
a
,
b
是常数，
a?0
)
⑵若
m?n?p?q
(
m
,
n
,
p
,
q?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
考点1等差数列的通项与前n项和
题型1已知等差数列的某些项，求某些项
【例1】已知
?
a
n?
为等差数列，
a
15






信达
?
8,
a
60
?
20
， 则
a
75
?

------- -------------------------------------------------- ----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------------ -----------------------------



变式 1：⑴已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
a
4




?
9,a
9
??
6,S
n
?
63
，求
n< br>；
⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数 列的项数
n
.






⑶ 数列
?
a
n
?
中，
a
n
?2n?49，当数列
?
a
n
?
的前
n
项和
Sn
取得最小值时，
n?
.





变式2
.
已知
5
个数成等差数列，它们的和为
5
，平方和为
165
，求这
5
个数.






题型2求等差数列的前n项和
2
【例2 】已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前n
项和，
S
n
?
12n
?
n
. ⑴求
a
1
?a
2
?a
3
；⑵求
a1
?a
2
?a
3
???a
10
；⑶求
a
1
?a
2
?a
3
???a
n
.







变式1、已知




S
n
为等差数列
?
a
n< br>?
的前
n
项和，
a
6
?
100
，则
S
11
?
；
信达

------------------------------------------------- ------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------- -------------------------------------



变式2、设
S
n
、
T
n
分别是等差数列
?
a
n
?
、
?
a
n
?
的 前
n
项和，






Sn
7n
?
2
a
?
，则
5
?
.
T
n
n
?
3
b
5
变式3、.含
2n?1
个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）
A.





2n?1n?1n?1
n?1

C.
B.D.
nnn2n
x
2
111
变式4、（倒序相加法求和）设< br>f(x)
?
，求：⑴
f
(
4
)
?f
(
3
)
?f
(
2
)
?f
(2)
? f
(3)
?f
(4)
；
2
1
?
x
⑵






111
f(
2010
)?f(
2009
)??? f(
1
3
)?f(
2
)?f(2)???f(2009)?f(20 10).


考点2等差数列的证明和综合应用
【例3】已知
S< br>n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和 ，
b
n
?






S
n
(
n?N
?
)
.求证：数列
?
bn
?
是等差数列.
n
变式1、
S
n
为数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和，
S
n
?
1
2
11
b
3
?
11
，
b< br>n
?2
?2b
n
?1
?b
n
，
数列
?
b
n
?
满足：前
9
项和为
153.
n
?
n
；
22
⑴求数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
的通项公式；
信达

--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------ -----------------------------------------------



⑵设
T
n
为数列
?
c
n
?
的前
n
项和，
c
n
?
整数
k< br>的值.











6
，
求使不等式
T
n
?
k< br>对
?n?N
?
都成立的最大正
(2a
n
?
11)(2b
n
?
1)
57




第3讲等比数列
1、等比数列的概念
一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比 等于同一个常数
q(q?0)
，这个数列叫做等比数列，
q
为公比.
n
?
1
2、⑴通项公式：
a
n
?
a
1< br>q
，
⑵前
n
项和公式：①当
q?1
时，
S
n
?
na
1
②当时，.
3.等比中项：如果成等比数列， 那么叫做
a
与
b
的等比中项.即成等比数列.
4.等比数列的判定 方法⑴定义法：（
n?N
?
，是常数）
?
?
a
n< br>?
是等比数列；
⑵中项法：
5.等比数列的常用性质⑴
(
n ?N
?
)且

?
?
a
n
?
是等比数列.
⑵若
m?n? p?q
(
m
,
n
,
p
,
q?N
?
)
，则
⑶若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则、、
；
、是等比数列.
考点1等比数列的通项与前n项和
题型1已知等比数列的某些项，求某项
【例1】已知
?
a
n
?
为等比数列，，则
信达

------------------------ -------------------------------------------奋斗没有终点任 何时候都是一个起点----------------------------------------- ------------







变式1、⑴已知





为等比数列
?
a
n
?
前项和，，，公比，则项数 .
⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为
两数之和为，求 这四个数.






，中间
变式2、已知



为等比数列
?
a
n
?
前项和，，，则 .
题型2求等比数列前项和
【例2】（1）等比数列



（2）已知

中从第5项到第10项的和.
为等比数列
?
a
n
?
前项和，，求


（3）（采用错位相减法求和）已知







为等比数列
?
a
n
?
前项和，，求
变 式1
.
已知
?
a
n
?
为等比数列，
信达
，求的值.

------------------------- ------------------------------------------奋斗没有终点任何 时候都是一个起点------------------------------------------ -----------










考点2等比数列的证明和综合应用
例3】已知数列








的首项，，…．证明：数列是等比数列；
变式1、已知数列
⑴求数列
满足，，
的前项和；
.
的通项公式；⑵求数列
信达