人教A版高中数学必修五数列教师版

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------



?
S
n
?
18
n?
⑵
?
3
n(n?1)?63?n
1
?6,n
2
?7

2
a
1
?
a
2
?
a
3
?
a
4
?
36,a
n
?
a
n?
1< br>?
a
n?
2
?
a
n?
3
?
124

a
1
?
a
n
?
a
2?
a
n?1
?
a
3
?
a
n?2
?
a
4
?
a
n?3
?
4(a
1
?
a
n
)
?
160
?
a
1
?a
n
?
40

S
n
?
⑶由
a
n
n(a
1
?
a
n
)
?
780< br>?
20
n?
780
?n?
39
2

?2n?49
知
?
a
n
?
是等差数列，
a
n
?0?n?25.
?
n?24.

变式2
.已知
5
个数成等差数列，它们的和为
5
，平方和为
165
，求这
5
个数.
【解析】设这
5
个数分别为
a?2d,a?d,a,a? d,a?2d.
则
?
(a
?
2d)
?
(a
?
d)
?
a
?
(a
?
d)
?
( a
?
2d)
?
5
?
a
?
1
，解得
a?1,d??4

?
??
2222222
(a
?
2d)
?
(a
?
d)
?
a
?
(a
?
d)
?
(a
?
2d)
?
1655a?
10d
?
165
??
当
a?1,d?4
时， 这
5
个数分别为：
?7,?3,1,5,9
；当
a?1,d??4< br>时，这
5
个数分别为：
9,5,1,?3,?7.

题型2求等差数列的前n项和
【例2】已知
S
n
为等差数列
⑴求
?
a
n
?
的前
n
项和，
S
n
?
12n
?
n
2
.
；⑶求
a
1
?a
2
?a
3
；⑵求
a
1
?a
2
?a
3
???a
10
a
1
?a
2
?a
3
???a
n
.
【解析】当
n
当
n
当
n
?1
时，
a
1
?S
1
?< br>12
?
1
?
11
，
?2
时，
a< br>n
?
S
n
?
S
n
?
1
?< br>(12n
?
n
2
)
?
12(n
?
1 )
?
(n
?
1)
2
?
13
?
2n
，
?1
时，
13?2?1?11?a
1
，
?a
n
?13?2n
.
?13?2n?0
，得
n?由
a
n
⑴
⑵
13
，
?
当
1? n?6
时，
a
n
?0
；当
n?7
时，
a< br>n
?0
.
2
a
1
?a
2
?a3
?a
1
?a
2
?a
3
?S
3
?
12
?
3
?
3
2
?
27
；
a
1
?a
2
?a
3
???a
10
?a
1
?a
2
?a
3
???a
6
?(a< br>7
?a
8
?a
9
?a
10
)
?
2
S
6
?S
10
?
2(12
?6
?
6
2
)
?
(12
?
10
?
10
2
)
?
52
；
⑶当
1?
当
n
n?6
时，
a
1
?
a
2
?< br>a
3
???
a
n
?
a
1
?
a
2
?
a
3
???
a
n
?
12n
?
n
2
，
?7
时，
a
1
?a< br>2
?a
3
???a
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
6
?(a
7
?a
8
???a
n
)


?
2
S
6
? S
n
?
2(12
?
6
?
6
2
)< br>?
(12
n?n
2
)
?n
2
?
12
n?
72.
变式1
、已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
a
6
?< br>100
，则
S
11
?
；
信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----



解：
S
11
?
11(a< br>1
?
a
11
)
11
?
2a
6
??
11
a
6
?
1100
22
；
S< br>n
7n
?
2
a
5
?
，则
?
.
T
n
n
?
3
b
5
变式2、
设
S
n
、
T
n
分别是等差数列
?
a
n
?
、
?
a
n
?
的前
n
项和，< br>【解析】
a
n
S
2n
?
1
7(2n
?
1)
?
214n
?
5
a
14
?
5
?
565
????
5
??

b
n
T
2n
?
1
(2n
?
1)
?
32n?
2b
5
2
?
5
?
212
变式3、< br>.含
2n?1
个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）
2n?1n?1n?1
n?1

C.
B.D.
nnn2n< br>(n
?
1)(a
1
?
a
2n
?
1< br>)
【解析】
?
S
奇
?
a
1
?
a
3
?
a
5
?
?
?
a
2n?
1
?

2
A.
S
偶
?
a< br>2
?
a
4
?
a
6
???
a
2n
?
S
奇
n?1
n(a
2
?
a
2n
)
，
a
1
?
a
2n
?
1?
a
2
?
a
2n
?
.
?
选B .
?
2
S
偶
n
，求：⑴
11
f
(
1
4
)
?f
(
3
)
?f
(2
)
?f
(2)
?f
(3)
?f
(4)
；
变式4、（倒序相加法求和）
设
x
2
f(x)
?1
?
x
2
⑵
111
f(
2010
)? f(
2009
)???f(
1
3
)?f(
2
)?f (2)???f(2009)?f(2010).

x
2
【解析】
?
f(x)
?
1
?
x
2
⑴

，
?
1
f(x)?f(
)
?
1
.
x
11
f
(
1
4
)
?f
(
3< br>)
?f
(
2
)
?f
(2)
?f
(3 )
?f
(4)
?
1
?
4
?
4
⑵原 式
?1?(2010?1)?2009
.
考点2等差数列的证明和综合应用
S
n
(
n?N
?
)
.求证：数列
?
b< br>n
?
是等差数列.
n
S
11
【解析】方法1：设等 差数列
?
a
n
?
的公差为
d
，
S
n
?
na
1
?
n(n
?
1)d
，
?
b
n
?
n
?a
1
?
(
n?1)
d

2n2
11d
?
b
n
?1
?
b
n
?
a
1
?
nd
?< br>a
1
?
(n
?
1)d
?
（常数）
?
数列
?
b
n
?
是等差数列.
222
S< br>1
11
方法2：
?
b
n
?
n
?a
1
?
(n
?
1)d
，
?
b
n
?
1
?a
1
?nd
，
b
n
?< br>2
?
a
1
?
(n
?
1)d

n222
11
?
b
n
?
2
?
b
n
?
a
1
?
(n
?
1)d
?
a< br>1
?
(n
?
1)d
?
2a
1
?nd
?
2b
n
?
1
，
?
数列
?
b
n
?
是等差数列.变式
22
1
2
11
数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
S< br>n
?
n
?
n
；数列
?
b
n
?
满足：
b
3
?
11
，
b
n
?2
?2b
n
?1
?b
n
，前
9
项和为
153.

22
【例3】已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
b
n
?1、
S
n
为
⑴求数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
的通项公式；
信达

------------------------------------------------- ------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------- -------------------------------------



⑵设
T
n
为数列
?
c
n
?的前
n
项和，
c
n
?
6
k
，求使不等 式
T
n
?
对
?n?N
?
都成立的最大正整数
k
的值.
(2a
n
?
11)(2b
n
?
1)
57
【解析】⑴
?
S
n
?
1
211
n
?
n
，
?
当
n?1
时，
a
1
?S
1
?6
；
22
当
n?2时，
a
n
?
S
n
?
S
n
?< br>1
?
1
2
11111
n
?
n
?(n
?
1)
2
?
(n
?
1)
?
n
?
5

2222
当
n?1
时，
1?5 ?6?a
1
，
?
a
n
?n?5
；
?b
n
?
2
?
2b
n
?
1
?< br>b
n
?
b
n
?
1
?
则
?< br>b
n
?
b
n
?
2
2
，
?< br>?
b
n
?
是等差数列，设其公差为
d
.
?
b
1
?
2d
?
11
?
b
1
?
5,d
?
3
，
?
b
n
?5?3(n? 1)?3n?2
.
9b
?
36d
?
153
?1
c
n
?
⑵
?
211
66
????

(2a
n
?
11)(2b
n
?
1 )
?
2(
n
?5)?11
??
2(3
n
? 2)?1
?
(2n
?
1)(2n
?
1)2n
?12n
?
1
11111111
?
T
n
?
(1
?
)
?
(
?
)
?
(
?)
???
(

?
)
?
1
?
3 35572n
?
12n
?
12n
?
1
12
?
n?N
?
，
?
T
n
是单调递增数列.
?
当
n?1
时，
?
T
n
?
min
? T
1
?
1
??

33
kk2k
?
T
n
?
对
?n?N
?
都成立
?
?
T
n
?
min
????k?38
?
所求最大正整数
k
的值为
37
.
5757357
第3讲等比数列
1等比 数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数
q(q
这个数列叫做 等比数列，
q
为公比
.
2
?0)
，
⑴通项公式：< br>a
n
?
a
1
q
n
?
1
a< br>1
(1
?
q
n
)
a
1
?
a
n
q
，⑵前
n
项和公式：①当
q?1
时，
S
n
?
na
1
②当
q?1
时，
S
n
?
.

?
1
?
q1
?
q
2
3.等比中项：如果
a,G,b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项
.
即
a,G,b
成等比数列< br>?
G?a?b
.
4.等比数列的判定方法⑴定义法：
a
n< br>?1
?
q
（
n?N
?
，
q?0
是常 数）
?
?
a
n
?
是等比数列；
a
n2
⑵中项法：
a
n?1
5.等比数列的常用性质⑴
a
n
?
a
n
?
a
n?2
(
n?N
?< br>)且
a
n
?0
?
?
a
n
?
是等比数列.
?a
m
?q
n
?
m
(
n< br>,
m?N
?
)
⑵若
m?n?p?q
(
m,
n
,
p
,
q?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
⑶ 若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?
S
2k
、
S
4k
?S
3k
是等比数列.
考点1等比数列的通项与前n项和
题型1已知等比数列的某些项，求某项
【例1】已知
?
a
n
?
为等比数列，
a
2
?
2,
a
6
?162
，则
a
10
?


信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----



?
a
2
?
a
1< br>q
?
2
?
q
4
?
81
?
a
10
?a
1
q
9
?a
6
q
4?162?81?13122
【解析】方法1：
?
?
5
?
a
6
?
a
1
q
?
162
方法2：
?

q
4
?
a
6
162
??
8 1
，
?
a
10
?a
6
q
4
?162
?
81
?
13122
a
2
2

变式1、⑴
已知
S
n
为等比数列
?
a
n< br>?
前
n
项和
，
S
n
?93
，
a
n
?48
，公比
q?2
，则项数
n?

.
⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为
3 7
，中间两数之和为
36
，求这四个数.
?
a
1
(2
n
?
1)
?
93
n
?
2
?< br>32
?
n
?
5
.
【解析】
⑴由
S
n
?93
，
a
n
?48
，公比
q?2，
得
?
n
?
1
?
a
1
?2
?
48
?
2b
?
a
?
c
?
c
2
?
bd
?
⑵方法1：设这四个数分别为
a,b ,c,d
，则
?
；
?
a
?
b
?
37
?
?
b
?
c
?
36
方法2：设前2
个数分别为
a,b
，则第
3、4
个数分别为
36?b ，37?a
，则
?
?
2b
?
(36
?
b )
?
a
?
a
?
12
?
a
?
，解得
?
或
?
?
2
(36
?
b)
?
b(37
?
a)b
?
16
??
?
b< br>?
?
99
4
；
81
4
，则
c< br>2
方法3：设第
2、3
个数分别为
b，c
，则第
1< br>个数为
2b?c
，第
1
个数为
b
81
??
b
?
c
2
?
b
?
16
?< br>?
2b
?
c
?
4
；
?
b
?
?
c
?
20
或
?
63
?
??
b
?
c
?
36
c
?
?
?< br>4
变式2、
已知
S
n
为等比数列
?
a
n
?
前
n
项和
，
S
n
?54
，
S
2n
?
60
，则
S
3n
?
.

【解析】
?
?
a
n
?
是等比数列，< br>?
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n< br>?S
2n
为等比数列，
?
54(S
3n
?
6 0)
?
36
?
S
3n
?
182
.
3
题型2求等比数列前
n
项和
【例2】（1）等比数列
1,2,4,8,?
中从第5项到第10项的和
.
23n
?
1
（2）
已知
S
n
为等比数列< br>?
a
n
?
前
n
项和
，
a
n
?
1
?
3
?
3
?
3
?
?
?
3
，求
S
n

n
（3）（采用错位相减 法求和）
已知
S
n
为等比数列
?
a
n
?< br>前
n
项和
，
a
n
?(2n?1)?3
，求< br>S
n

1(1
?
2
10
)1(1
?
2
4
)
?1023
，
S
4
??15
，
?
S
10
?
?
S
10
?S
4
?1008.

【解析】（1）
由
a
1
?
1,
a
2
?
2
，
得
q?2
，
1< br>?
21
?
2
（2）
?
a
n
?
1
?
3
?
3
?
3
?
?
?
3
23n
?
1
1(1
?
3
n
)3
n
1
???
，
1
?
322
信达

--------------------------------------------- ----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------ -----------------------------------------



1113(1
?
3
n
)13
n
1323n
?n
即
S
n
??n?.

?
S
n
?
(3
?
3
?
3
???
3)< br>?n??
2221
?
32424
n23n
（3）
.< br>?
a
n
?(2n?1)?3
?
S
n
?
1
?
3
?
3
?
3
?
5
?
3
???
(2n
?
1)
?
3
，-------- --------①
3S
n
?
1
?
3
2
?
3
?
3
3
?
5
?
3
4
?
?
?
(2n
?
3)
?
3
n
?< br>(2n
?
1)
?
3
n
?
1
--②
①—②，得
?
2S
n
?
3
?
2(3
2
?
3
3
?
3
4
?
?
?
3
n
)
?
(2n
?
1)
?
3
n
?
1

9(1
?
3
n
?
1
)
?
3
?
2
??
(2n
?
1)
?
3
n
?
1
?
(2
?
2n)
?< br>3
n
?
1
?
6
?
S
n
?< br>(n
?
1)
?
3
n?
1
?
3.
1
?
3
变式1
.已知
?
a
n
?
为等比数列，
a
1
?a
2
?a
3
?< br>3,
a
6
?a
7
?a
8
?
6
，求
a
11
?a
12
?a
13
的值.
【解析】设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，
?
a
1
?a
2
?a
3
?
3,
a
6
?a
7
?a
8
?
6
，
?
q
5
?
a
4
?
a
5
?
a
6
a
1
?
a
2
?
a
3
?2，
?
a
11
?a
12
?a
13
=< br>q
10
a
1
?
a
2
?
a
3
考点2等比数列的证明和综合应用
例3】已知数列
{a
n
}
的首项
a
1
??
?4?3?12

?
2a
n
1
2
?
1}
是等比数列； ，
a
n
?
1
?
，
n?1,2,3,
… ．证明：数列
{
a
n
?
1
a
n
3
2a
n
a
?
1
1111111
2
?
n???
，
?
?
1
?
(
?
1)
，又
a
1
?
， ，
?
a
n
?
1a
n
?
1
2a
n
22a
n
a
n?
1
2a
n
3
111
11
?
?
1
?
，
?
数列
{
?
1}
是以
为 首项，为公比的等比数列.
a
1
2a
n
22
1741*
变式1、
已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
，
a
2
?
，
a
n
?
2
?
a
n
?
1
?
a
n
( n?N)
.
3933
⑴求数列
?
a
n
?
的通项公式；⑵求数列
?
na
n
?
的前
n
项和S
n
；
【解析】
Q
a
n
?
1
?
【解析】⑴由
a
n
?
2
411
a
n< br>?
1
?
a
n
，得
a
n
?
2
?
a
n
?
1
?
(a
n
?
1
?
a
n
)
，
333
714141
n< br>?
1
∴数列
?
a
n
?
1
?
a
n
?
是首项为
a
2
?a
1
???
，公比为的等比数列，∴
a
n
?
1
?
a
n
??
()
.

939393
144141
n
?< br>2
∴
a
n
?
a
1
?
(a
2
?
a
1
)
?
(a
3
?
a
2
)
?L?
(a
n
?
a
n
?
1< br>)
?????L??
()

399393
?
41(1
?
n
?
1
)
11212
3
??< br>9
??
(1
?
n
?
1
)
?
1
?
n
(n
?
2)
（*）
1
33333
1
?
3
12
也适合（*），故数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?1?
n
.

33
2n123n112n
?
1n
⑵解：
na
n
?n(1?
n
)?n?2?
n
.设
T
n
??
2
?
3
?L?
n
，①则
T
n
?
2
?
3
?L?
n
?
1
.②
n
3 3333333333
当
n?1
时，
a
1
?
信达

--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------ -----------------------------------------------



11
(1
?
n
)
21111n< br>33
?
n
?
1
?
2n
?
3
，∴
T
?
3
?
2n
?
3
. ①
?
②得：
T
n
??
2
?
3
?L?
n
?
n
?
1
?
n
n
n
?
1 n
?
1
1
33333344
?
3
322
?
3
1
?
3
n(n
?
1)32n
?
3(n
2
?
n
?
3)
?
3
n
?< br>2n
?
3
???
故
S
n
?
(1?
2
?
3
?
L
?
n)
?
2T
n
?

nn
222
?
32
?
3
信达