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高数学必修5数列
知识点总结
中
数列
1. 等差数列
?
通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d,n??
a?b
,那么A是a与b的等差中项
2
n(a
1
?an
)
n(n?1)
前n项和:
S
n
??na
1
?d
22
等差中项:如果
A?
若
a
n<
br>是等差数列,且
k?l?m?n
,则
a
k
?a
l?a
m
?a
n
?
等差数列的通项求法应该围绕条件结合
a
1
,d
,或是利用特殊项。
? 等差数列的最值问题求使
a
n
?
0(
a
n?
0)
成立的最大n值即可得
S
n
的最值。
例1.
?
a
n
?
是等差数列,
a
5
?8
,S
3
?6
,则
a
9
?
_________
解析:
a
5
?a
1
?4d?8,S
3
?3a
1
?
a
9
?16
3?2
d?3a
1
?3d?6
,解得
a
1
?0,d?2
,
2
例2.
?
a
n
?
是等差数列,
a<
br>1
?0,S
3
?S
11
,则当n为多少时,
S
n
最大?
2
a
1
,从而
13
aa
n(n?1)249
S
n
?na
1
??(?a
1
)??
1
(n?7)
2<
br>?a
1
,又
a
1
?0
所以
?
1?0
213131313
故
n?7
2. 等比数列
解析:由
S
3
?S
11<
br>得
d??
n?1
通项公式:
a
n
?a
1q(q?0)
2
等比中项:
G?ab
?
n
a
1
(q?1)
?
前n项和:
S
n
?
?<
br>a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
nq
?(q?1)
?
1?q1?q
?
若
?a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
例.
?
a
n
?
是由正数组成的等比数列,
a
2
a
4
?1,S
3
?7
,则
S
5
?
__________
24
2
解析:由
a
n
?0
,
a
2
a
4
?a
1q?1
,
S
3
?a
1
?a
1
q?a<
br>1
q?7
,解得
1131
a
1
?4,q?,?(舍去)。所以
S
5
?
224
3.
求数列的通项
? 利用
a
n
?S
n
?S
n?1<
br>,注意n=1时的情况。
? 形如
a
n
?a
n?1
?f(n)(n?2)
时,用累加法求解。
?
形如
a
n
?f(n)(n?2)
时,用累乘法求解。
a
n?1
?
形如
a
n
?a
n?1
?m(n?2)
时,构造等差数列求解
? 形如
a
n
?xa
n?1
?y(n?2)
时,构
造等比数列求解。
例.根据下列条件,求
?
a
n
?
的通项公式。
(1)数列
?
a
n
?
满足:
a
n?1
?a
n
?3n?2
,且
a
1
?2
。(转化后利用累加法
)
(2)
a
1
?1
,
a
n
?
n
?1
a
n?1
(n?2)
。(利用累乘法)
n
(3)a
1
?1
,
a
n?1
?3a
n
?2<
br>。(构造等比数列)
解析:(1)因为
a
n?1
?a
n?3n?2?3(n?1)?1
,所以
a
n
?a
n?1
?3n?1
所以
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?K?(a
2
?a
1
)?a
1
?
当
n?1
时,
a
1
?2
符合
a
n
通项公式。
n?
1n?21
a
n?1
(n?2)
,所以
a
n?1
?
a
n?2
,
K
a
2
?a
1
。
nn?12
12n?1
a
1
1
an
?a
1
???K???
,
a
1
符合通项公式
。
23nnn
n(3n?1)
2
(2)因为
a
n
?
(3)因为
a
n?1
?3a
n
?2
,所以
a
n?1
?1?3(a
n?1)
,由
a
1
?1
可知
a
n
?1?
0
所以
a
n?1
?1
?3
,
?
a
n
?1
?
为等比数列,公比
q?3
,
a
n
?1
a
1
?1?2,a
n
?1?2?3
n?1
?a
n
?2?3
n?1
?1
4.
求前n项和
S
n
? 公式法
? 分组求和
?
拆项相消
常见的拆项公式
(1)
111
??
n(n?1)nn?1
1111
?(?)
n(n?k)knn?k
1111
?(?)
(2n?1)(2n?
1)22n?12n?1
1
n?n?1
?n?1?n
(2)
(3)
(4)
例.正项数列
?
a
n
?
,
S
n
2
?(n
2
?n?1)S
n
?(n
2
?n)?0
求;
(1)通项
a
n
(2)令
b
n
?
n?1
,
T
n
为数列
?<
br>b
n
?
的前n项和,证明对于任意的
22
(n?2)a
n
n??
?
,都有
T
n
?
5
64
解析:(1)由
S
n
2
?(n
2
?
n?1)S
n
?(n
2
?n)?0
,得
[S
n?(n
2
?n)](S
n
?1)?0
由于
?
a
n
?
正项数列,
S
n
?0
,
S
n
?(n
2
?n)
,
a
n
?S
n
?S
n?1
?2n
(2)
a
n
?2n
,
b
n
?
T
n
?
1111111111
[1?
2
?
2<
br>?
2
?
L
?
2
?]?[1???]
<
2222
16324n(n?2)162(n?1)(n?2)
115
(1?
2
)?
16264
n?1111
?[?]
4n
2
(n?2)
2
16n
2
(n?2)
2
?
错位相减:适用于一个等差和一个等比数列对应项相乘构成的数列
例.数列
?
an
?
满足
a
1
?3a
2
?3
2
a
3
?L?3
n?1
a
n
?
求:(1)
?
a
n
?
的通项
(2)设
b
n
?
n
3
n
,求数
列
b
n
的前n项和
S
n
a
n
解析:由条件知
a
1
?3a
2
?3
2
a
3
?L?3
n?1
a
n
?
a
1
?3a
2
?3
2
a
3
?L?3
n?2<
br>a
n?1
?
n
,所以
3
n?11
,两式相
减得,
3
n?1
a
n
?
(n?2)
33
11
1
所以
a
n
?
n
(n?2)
,n=1,得
a
1
?
符合。
a
n
?
n
33
3
n
(2)
b
n
?n?3
,所以
23n234n?1
S
n
?3?2?3?3?3?L?n
?3
,
3S
n
?3?2?3?3?3L?n?3
,
相减得,
2S
n
?n?3
n?1
?(3?3?3?L3)
,
即
2S
n
?n?3
23n
n?1
3(1?3
n)
?
1?3
(2n?1)3
n?1
3
?
所以
S
n
?
44
? 倒序相加
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