人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解

人教版数学高中必修5数列习题及知识点

第二章 数列 1．{a
n
}是首项a
1
＝1，公差为d＝3的等差数列，如果a
n
＝2 005，则序号n等于( )．
A．667 B．668 C．669 D．670
2．在各项都为正数的等比数列{a
n
}中，首项a
1
＝3，前三项和为21，则a
3
＋a
4
＋a
5< br>＝( )．
A．33 B．72 C．84 D．189
3．如果a
1
，a
2
，…，a
8
为各项都大于零的等差数 列，公差d≠0，则( )．
A．a
1
a
8
＞a
4
a
5
B．a
1
a
8
＜a
4
a
5
C．a
1
＋a
8
＜a
4
＋a
5
D．a
1
a
8
＝a
4
a
5

4． 已知方程(x
2
－2x＋m)(x
2
－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项 为
｜m－n｜等于( )．
A．1 B．
1
的等差数列，则
4
3

4
C．
1

2
D．
3

8
5．等比数列{a
n
}中，a
2< br>＝9，a
5
＝243，则{a
n
}的前4项和为( ).
A．81 B．120 C．168 D．192
6．若数列{a
n
}是等差数列，首项a
1
＞0，a
2 003
＋a
2 004
＞0，a
2 003
·a
2 004
＜0，则使前n项和S
n
＞0成立的最大自然数n
是( )．
A．4 005 B．4 006 C．4 007 D．4 008
7．已知等差数列{a
n
}的公差为2，若a
1
，a
3
，a
4
成等比数列, 则a
2
＝( )．
A．－4 B．－6 C．－8 D． －10
8．设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若
A．1 B．－1
a
5
S
5
＝，则
9
＝( )．
a
3
S
5
9
C．2 D．
1

2
a
2
?a
1
的值是( )．
b
2
9．已知数列－1，a
1
，a
2
，－4 成等差数列，－1，b
1
，b
2
，b
3
，－4成等比数列， 则
A．
1

2
B．－
1

2
C．－
11
或
22
D．
1

4
2
10．在等差数列{a
n
}中，a
n
≠0，a
n
－
1
－
a
n
＋a
n
＋
1
＝0(n≥2)，若S
2n
－
1
＝38，则n＝( )．
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A．38 B．20 C．10 D．9
二、填空题
11．设f(x)＝
1
2?2
x
，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋ …＋f(5)
＋f(6)的值为 .
12．已知等比数列{a
n
}中，
(1)若a
3
·a4
·a
5
＝8，则a
2
·a
3
·a
4
·a
5
·a
6
＝ ．
( 2)若a
1
＋a
2
＝324，a
3
＋a
4
＝36，则a
5
＋a
6
＝ ．
( 3)若S
4
＝2，S
8
＝6，则a
17
＋a
18< br>＋a
19
＋a
20
＝ .
8
27
13．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．
2
3
14．在等差数列{a
n
}中，3(a
3
＋a
5
)＋2(a
7
＋a
10
＋a
13
) ＝24，则此数列前13项之和为 .
15．在等差数列{a
n
}中，a< br>5
＝3，a
6
＝－2，则a
4
＋a
5
＋…＋ a
10
＝ .
16．设平面内有n条直线(n≥3)， 其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n
条直线交点的个数， 则f(4)＝ ；当n＞4时，f(n)＝ ．
三、解答题
17．(1)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝3n
2
－2n，求证数列{a
n
}成等差数列.
(2)已知











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111
b?cc?aa?b
，，成等差数列，求证，，也成等差数列.
abc
abc

18．设{a
n
}是公比为 q?的等比数列，且a
1
，a
3
，a
2
成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{b
n
}是以2为首项，q为公差的等差数列， 其前n项和为S
n
，当n≥2时，比较S
n
与b
n
的大小， 并说明理由．








19．数列{a
n
}的前n项和记为S
n
，已知a
1
＝1 ，a
n
＋
1
＝
求证：数列{











20．已知数 列{a
n
}是首项为a且公比不等于1的等比数列，S
n
为其前n项和，a< br>1
，2a
7
，3a
4
成等差数列，求证：12S
3< br>，
S
6
，S
12
－S
6
成等比数列.

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n?2
S
n
(n＝1，2，3…)．
n
S
n
}是等比数列．
n

第二章 数列
参考答案
一、选择题
1．C
解析：由题设，代入通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．
2．C
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
设等比数列{a
n
}的公比为q(q＞0)，由题意得a
1
＋a
2
＋a
3
＝ 21，
即a
1
(1＋q＋q
2
)＝21，又a
1
＝3，∴1＋q＋q
2
＝7．
解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，
∴a
3
＋a
4
＋a
5
＝a
1
q
2
(1＋q＋q
2
)＝3×2
2
×7＝84．
3．B．
解析：由a
1
＋a
8
＝a
4
＋a
5
，∴排除C．
又a
1
·a
8
＝a
1
(a
1
＋7d)＝a
1
2
＋7a
1
d，
∴a
4
·a
5
＝(a
1
＋3d)(a
1
＋4d)＝a
1
2
＋7a
1
d ＋12d
2
＞a
1
·a
8
．
4．C
解析：
解法1：设a
1
＝
两根之和也为2，
∴a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝1＋6d＝4， ∴d＝
∴
1111
，a
2
＝＋d，a
3
＝＋2 d，a
4
＝＋3d，而方程x
2
－2x＋m＝0中两根之和为2，x
2
－2x＋n＝0中
4444
11735
，a
1
＝，a4
＝是一个方程的两个根，a
1
＝，a
3
＝是另一个方程的两个 根．
24444
715
，分别为m或n，
1616
1
，故选C．
2
∴｜m－n｜＝
解法2：设方程 的四个根为x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，且 x
1
＋x
2
＝x
3
＋x
4
＝2，x
1
·x
2
＝m，x
3
·x
4
＝n．
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由等差数列的性质：若
?
＋s＝p＋q，则a
?
＋a
s
＝a
p
＋a
q
，若设x
1
为第一项，x
2
必为第四项，则x
2
＝
数列为
7
，于是可得等差
4
1357
，，，，
4444
715
，n＝，
1616
1
．
2
∴m＝
∴｜m－n｜＝
5．B
解析：∵a
2
＝ 9，a
5
＝243，
a
5
243
＝q
3
＝ ＝27，
a
2
9
∴q＝3，a
1
q＝9，a
1
＝3，
3－3
5
240
∴S
4
＝＝＝120．
1－3
2
6．B
解析：
解法1：由a
2 003
＋a
2 004
＞0，a
2 003
·a
2 004
＜0，知a
2 003
和a
2 004
两项中有一正数一负数 ，又a
1
＞0，则公差为负数，否
则各项总为正数，故a
2 003
＞a
2 004
，即a
2 003
＞0，a
2 004
＜0.
∴S
4 006
＝
∴S
4 007
＝
4006(a
1
＋a
4006
)
2
＝
4 006(a
2003
＋a
2004
)
2
＞0，
40074007
·(a
1
＋a
4 007
)＝·2a
2 004
＜0，
22
故4 006为S
n
＞0的最大自然数. 选B．
解法2：由a
1
＞0，a
2 003
＋a
2 004
＞0，a
2 003
·a
2 004
＜0，同
a
2 004
＜0，
∴S
2 003
为S
n
中的最大值．
∵S
n
是关于n的二次函数，如草图所示，
∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，
∴
4007
在对称轴的右侧．
2
(第6题)
解法1的分析得a
2 003
＞0，
根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧
都在其右侧，S
n
＞0的最大自然数是4 006．
7．B
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零点B的左侧，4 007，4 008

解析：∵{a
n
}是等差数列，∴a
3＝a
1
＋4，a
4
＝a
1
＋6，
又由a
1
，a
3
，a
4
成等比数列，
∴ (a
1
＋4)
2
＝a
1
(a
1
＋6)，解 得a
1
＝－8，
∴a
2
＝－8＋2＝－6．
8．A < br>9(a
1
?a
9
)
9?a
5
S
95
2
解析：∵
9
＝＝＝·＝1，∴选A．
5(a
1
?a
5
)
5?a
3
S
5
59
2
9 ．A
解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q
4
，
∴d＝－1，q
2
＝2，
∴
a
2
?a
1
d
1
＝＝．
b
2
?q
2
2
10．C
22
解析：∵{ a
n
}为等差数列，∴
a
n
＝a
n
－
1< br>＋a
n
＋
1
，∴
a
n
＝2a
n，
又a
n
≠0，∴a
n
＝2，{a
n
}为常数数列，
而a
n
＝
38
S
2n?1
，即2n－1＝＝19，
2
2n?1

∴n＝10．
二、填空题
11．
32
．
解析：∵f(x)＝
1
，
x2?2
x
1
x
2
1
2
∴f(1－x)＝
1?x
＝＝
2
x
，
x
2?2
2?2?2
2?2
111
?2
x
1??2
x
(2?2
x)
1
2
222
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．
xxx
2
2?2
x
2?22?22?2
设S＝f(－5)＋f(－4)＋… ＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，
则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
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∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－ 4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6
2
，
∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3
2
．
12．（1）32；（2）4；（3）32．
2
解析：（1）由a
3
·a
5
＝
a
4
，得a
4
＝2，
5∴a
2
·a
3
·a
4
·a
5
·a6
＝
a
4
＝32．
?
a
1
?a2
?324
1
2
（2）
?
，
?q?
2
9
(a?a)q?36
?
12
∴a
5
＋a
6
＝(a
1
＋a
2
)q
4
＝4．
?< br>?
S
4
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝2
4
（3）
?
?q＝2
，
4
?
?
S
8
＝a
1
＋a
2
＋??? ＋a
8
＝S
4
＋S
4
q
∴a
17
＋a
18
＋a
19
＋a
20
＝S
4
q16
＝32．
13．216．
8
27
解析：本题考查等比数 列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的
2
3中间数为
827
27
8
?
＝6，
?
插入的三个 数之积为××6＝216．
32
2
3
14．26．
解析：∵a< br>3
＋a
5
＝2a
4
，a
7
＋a
13
＝2a
10
，
∴6(a
4
＋a
10
)＝ 24，a
4
＋a
10
＝4，
∴S
13
＝
13(a
1
＋a
13
)13(a
4
＋a
10
)
13
?
4
＝＝＝26．
2
22
15．－49．
解析：∵d＝a
6
－a
5
＝－5，
∴a
4
＋a
5
＋…＋a
10
7(a
4
＋a
10
)

2
7(a
5
－d＋a
5
＋5d)
＝
2
＝
＝7(a
5
＋2d)
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＝－49．
16．5，
1
(n＋1)(n－2)．
2
解析：同一平面内两条直 线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k
－1 )＋(k－1)．
由f(3)＝2，
f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，
……
f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，
相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝
三、解答题
17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．
证明：（1）n＝1时，a
1
＝S
1
＝3－2＝1，
当n ≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝3n< br>2
－2n－[3(n－1)
2
－2(n－1)]＝6n－5，
n＝1时，亦满足，∴a
n
＝6n－5(n∈N*)．
首项a
1< br>＝1，a
n
－a
n
－
1
＝6n－5－[6(n－1) －5]＝6(常数)(n∈N*)，
∴数列{a
n
}成等差数列且a
1
＝1，公差为6．
（2）∵
∴
1
(n＋1)(n－2)．
2
111
，，成等差数列，
abc
211
＝＋化简得2ac＝b(a＋c)．
bac
bc＋c
2
＋a
2
＋abb(a＋c)＋a
2
＋c
2
(a＋c)
2
(a＋c)
2
b＋ca＋ba＋c
＋＝＝＝＝＝2·，
b(a＋c)
acacac
acb
2
∴
b＋cc＋aa＋b
，，也成等差数列．
abc
18．解：（1）由题设2a3
＝a
1
＋a
2
，即2a
1
q
2＝a
1
＋a
1
q，
∵a
1
≠0，∴2q
2
－q－1＝0，
∴q＝1或－
1
．
2
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n(n－1)
n
2
＋3n
（2）若q＝1 ，则S
n
＝2n＋＝．
2
2
(n－1)(n＋2)
当n≥ 2时，S
n
－
b
n
＝S
n
－
1
＝ ＞0，故S
n
＞
b
n
．
2
－n
2
＋9n
n(n－1)
11
若q＝－，则S
n
＝2n＋ (－)＝．
4
22
2
(n－1)(10－n)
当n≥2时，S
n
－
b
n
＝S
n
－
1
＝，
4
故 对于n∈N
+
，当2≤n≤9时，S
n
＞b
n
；当n＝10 时，S
n
＝b
n
；当n≥11时，S
n
＜b
n．
19．证明：∵a
n
＋
1
＝S
n
＋
1
－S
n
，
a
n
＋
1
＝
n＋2
S
n
，
n
∴(n＋2)S
n
＝n(S
n
＋
1
－S
n
)，整理得nS
n
＋
1
＝2(n＋1) S
n
，
所以
故{
S
n＋1
2S
＝
n
．
n＋1n
S
n
}是以2为公比的等比数列．
n
20．证明 ：由a
1
，2a
7
，3a
4
成等差数列，得4a
7
＝a
1
＋3a
4
，即4 a
1
q
6
＝a
1
＋3a
1
q
3
，
变形得(4q
3
＋1)(q
3
－1)＝0，
∴q
3
＝－
1
或q
3
＝1(舍)．
4
a
1
(1?q
6
)
S
6
1
1?q
3
1?q
由＝＝＝；
12a
1
(1?q
3
)
12S
3
16
12
1?q
a
1
(1?q
12
)
S?S
6
S
1
1?q
6< br>
12
＝
12
－1＝－1＝1＋q－1＝；
S
6
S
6
a
1
(1?q
6
)
16
1?q
S?S
6
S
得
6
＝
12
．
S
6
12S
3
∴12S
3
，S
6
，S
12
－S
6
成等比 数列．






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数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?a
n?d
（
d
为常数），
a
n
?a
1
?< br>?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和S
n
a
1
?a
n
?
n
?
??na
2
n
?
n?1
?
d
1
?
2
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1 ）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；

（2）数列
?
a
2n?1< br>??
,a
2n
??
,a
2n?1
?
仍为等差 数列，
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n?S
2n
……
仍为等差数列，公差为
n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m?1

?
b
m
T
2m?1
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界项，
?
a?0
即：当
a
1
?0，d?0
，解不等式组
?
n
可得< br>S
n
达到最大值时的
n
值.
?
a
n?1
?0
?
a?0
当
a
1
?0，d?0
，由< br>?
n
可得
S
n
达到最小值时的
n
值. < br>?
a
n?1
?0
(6)项数为偶数
2n
的等差数列< br>?
a
n
?
，
有
S
2n
?n(a< br>1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1
)? ??n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n?1为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd
，
S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1
，
有 （7）项数为奇数
2n?1
的等差数列?
a
n
?
S
2n?1
?(2n?1)a
n(a
n
为中间项)
，
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S
奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇
S
偶
?
n
.
n?1
2. 等比数列的定义与性质
定义：
a
n?1
，< br>a
n
?
?q
（
q
为常数，
q?0
）
aq
1
a
n
n?1
.

等比中项：
x、G、y
成等比数列
?G
2
?xy
，或
G??xy.

?
na
1
(q?1)
?
前
n项和：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
（要注意！）
(q?1)
?
1?q
?
性质 ：
?
a
n
?
是等比数列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
·a
n
?a
p
·a
q< br>
（2）
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等比数列,公比为
q
n.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1

.

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