高中数学应用竞赛决赛-2019高中数学竞赛初赛试题
第八讲 数列（四）
前
n
项和S
n
求法：
知识要点
1、公式法
2、分组求和法
3、裂项相消法
4、错位相减法
基础检测
1、等差数列
?
a
n
?<
br>的前
n
项和为
S
n
，若
a
2
?1,
a
3
?3,则S
4
＝
（
）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
2、已知数列的通项
a
n
=
-5
n
+2,则其前
n
项和为S
n
=
.
3、在等比数列
{a
n
}
中，
a
2
?4,a
3
?8
，则其前
n
项和为S
n
=
.
4、在等比数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
k
?243,q?3
，则
S
k
=
．
问题一：分组求和法
有一类数列,既不是等
差又不是等比数列,若将这数列适当拆开,可分成几个等差、等比
或常见的数列,即分别求和,然后再合
并.
1111
1
例1、已知数列1,2,3,4,……..，n+
n
，………，求数列前n项和
s
n
24816
2
变式练习
1、求数列9，99，999，9999，99999，……的前n项和
s
n
问题二：裂项相消法
①特别是对于｛
c
aa
n
｝，其中｛
a
n
｝是各项均不为O的等差数列，C为
常数型，通
n?1
常用裂项相消法，即利用于
②常见的拆项公式：
c
aa
n
=
n?1
c1
()
其中（d=<
br>a
n
?
a
n?1
)
.
d
a
n
?
a
n?1
111
??;
n(n?1)nn?1
1111
?(?);
(2n?1)(2n?
1)22n?12n?1
1
n?n?1
?n?1?n.
例2、求数列
变式练习
1
111
，，，…，的前n项和
s
n
n(n?2)
1?32?43?5
111
??
2、在数列
的前n项和为
s
n
，则
s
99
?
（
）
n(n?1)nn?1
10099
98
100
A. B. C.
D.
101100
99
99
1
3、数列的通项公式是
a<
br>n
?
,若前n项和为10，则项数为（ ）A.11
n?n?1
B.99 C.120 D.121
4、求数列
6666
,,,??,,??
前
n
项和
1?22?33?4n(n?1)
问题三：错位相减法
<
br>适用于｛
a
n
b
n
｝，其中｛
a
n
｝是等差数列，｛
b
n
｝是各项不为0的等比数列.
例3、已知数列
a
，
2a
2
，
3a
3
，…，
na
n
(a≠0),求其前n项的和.
变式练习
2
462n
5、求数列，
2
，
3
，……...,
n
,……的前n项的和.
2
222
课后作业
1、已知函数
f(X)?3x
2
?2x
，数列
{a
n
}
的前n项和为
s
n
,
点（n,
s
n
）均在函数
f(X)
的图
像上；（1）求数列的通项公式；（2）设
b
n
?
2、已知数列
{a
n
}
、
{b
n
}
满足
a
1
?1
，
a
2
?3
，
（1）求数列
{b
n
}
的通项公式；
（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（3）数列
{c
n
}
满足
c
n
?log
2
(
a
n
?1)
(n?N
*
)
，求
S
n
?
11
??
c
1
c
3
c
3
c<
br>5
?
1
。
c
2n?1
c
2n?1
3
aa
n
，
T
n
是数列
b
n
的前
n项和，求
T
n
n?1
b
n?1
?2(n?N<
br>*
)
，
b
n
?a
n?1
?a
n。
b
n
3
、在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?2
n
．
（Ⅰ）设
b
n
?
a
n
．证明：数列
?
b
n
?
是等差数列；
n?1
2
（Ⅱ）求数列
?
an
?
的前
n
项和
S
n
．
4、设数列
{b
n
}
(n?N
*
)
的前n项和为
S
n
，点<
br>(S
n
,b
n
)
恒在函数
f(x)??2x?2的图象上；数
列
{a
n
}
(n?N
*
)
为等差数列，且
a
3
?8,a
7
?20
.
（1）求数列
{b
n
}
的通项公式；
7
（2）若
c
n
?a
n
?b
n
(n?N
?
)
，
T
n
为数列
{c
n
}
的前n项和，求证：
T
n
?.
2