(完整版)高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

数列知识点总结


一、等差数列与等比数列

定义
通项公式
递推公式
中项
等差数列
a
n?1
-
a
n
=d
等比数列
a
n?1
=q(q
?
0)
a
n
a
n
=
a
1
q
n?1
(q
?
0)
a
n
=
a
n?1
q
a
n
=
a
m
q
n?m

a
n
=
a
1
+（n-1）d
a
n
=
a
n?1
+d,
a
n
=
a
m
+(n-m)d
a?a
n?k
a?b
A= 推广：A=
n?k
（n,k
2
2
?
N
+
;n>k>0）
G
2
?ab
。推广：G=
?a
n ?k
a
n?k
（n,k
?
N
+
;n>k>0） 。任意两数a
、
c不一定
有等比中项，除非有ac＞0，则等比中
项一定有两 个
前n项和
性质
a
1
(1?q
n)
S
n
=
1?q
a?a
n
q
S
n
=
1
< br>1?q
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；

（1）若
m?n? p?q
，则
·a
n
?a
p
·a
q

（2）数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?
a
2n?1
?
仍为等差数
a
m
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等差数
（2）
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍< br>列，
n
2
为等比数列,公比为
q

列，公差为
nd
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别
为
S
n
，T
n
，则
n
S
n
=（
a< br>1
+
a
n
）
2
n(n?1)
S
n
=n
a
1
+d
2
a
m
S
2m?1
?

b
mT
2m?1
2
（5）
?
a
n
?
为等差 数列
?S
n
?an?bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二
次函数）
（6）d=
a
m
?a
n
(m
?
n)
m?n
(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列
二、求数列通项公式的方法
1、通项公式法：等差数列、等比数列
a
n< br>?
?
2、涉及前ｎ项和S
n
求通项公式，利用a
n
与 S
n
的基本关系式来求。即
?
s
1
?a
1
(n?1)
?
s
n
?s
n?1
(n?2)
例1、 在数列｛
a
n
｝中，
S
n
表示其前ｎ项和，且
S< br>n
?n
,求通项
a
n
.
2
例2、在数列｛
a
n
｝中，
S
n
表示其前ｎ项和，且
S
n
?2?3a
n
,求通项
a
n

3、已知递推公式，求通项公式。
（1）叠加法：递推关系式形如
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
型

例 3、已知数列｛
a
n
｝中，
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?n
，求通项
a
n

练习1、在数列｛
a
n
｝中，
a
1
?3
，
a
n?1
?a
n
?2
，求通项
a
n
< br>n
a
n?1
a
n
n
例4、在数列｛
a
n
｝中，
a
1
?1
，
a

?a
n
，求通项
a
n

n?1
n?1n
练习2、在数列｛
a
n
｝中，
a
1
?3，
a
n?1
?a
n
?2
，求通项
a
n

?f
?
n
?
型 （2）叠乘法：递推关系式形如
（3）构造等比数列：递推关系式形如
a
n?1
?Aa
n
? B
(A,B均为常数，A≠1,B≠0)
例5、已知数列｛
a
n
｝ 满足
a
1
?4
，
a
n
?3a
n?1
?2
，求通项
a
n

练习3、已知数列｛
a
n< br>｝满足
a
1
?3
，
a
n?1
?2a
n
?3
，求通项
a
n

（4）倒数法
a
n?1
?
例6、在数列{a
n
}中，已知
a
1
?1
, ,求数列的通项
a
n

四、求数列的前n项和的方法
1、利用常用求和公式求和：
等差数列求和公式：< br>S
n
?
2a
n
a
n
?2
n(a1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

22
(q?1)
?
na
1
?
n
等比数列求和公式：
S
n
?
?
a
1
(1?q)a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1? q
?
1?q
2、错位相减法：主要用于求数列{a
n
·b
n
}的前n项和，其中
{a
n
}
、
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.[例1] 求数列
2462n
,
2< br>,
3
,???,
n
,???
前n项的和.
2
222
23n?1
[例2] 求和：
S
n
?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x

a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
???am
?a
n?m?1
3、倒序相加法：数列｛
a
n
｝的第m项与倒数第m项的和相等。即：
[例3] 求
sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89
的值
[例4] 函数
f
?
x
?
对任
x?R
都 有
f
?
x
?
?f
?
1?x
?
?< br>
f
?
0
?
?f
?
2?2?2 ?2?2?
1
，求：
2
?
1
??
2
??
n?1
?
?
?f
??
???f
??
?f< br>?
1
?

nnn
??????
4、分组求和法：主要 用于求数列{a
n
?
b
n
}的前n项和，其中
{a
n
}
、
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列
[例5] 求数列：
1?
1111
,2?,3?,?,n?
n
,?< br>的前n项和
2482
[例6] 求和：
?
a?1
?
?a?2?a?3???a?n

23n
??????

5、裂项相消法：通项分解
（1）
a
n
?
1111111
???(?)
（2）
a
n
?
n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k
111
?n?1?n
（4）
a
n
??(n?k?n)

n?1?nn?k?n
k
2
12n
，又
b
n
?
，求数列{b
n}的前n项的和.
????
a
n
?a
n?1
n?1n?1n?1
（3）
a
n
?
[例7] 在数列{a
n
}中，
a
n
?
[例8] 已知正项数列{a
n
}满足
a1
且
a
2
1
?
n?1
?a
2
n
?1
?
n?N
*
?

（Ⅰ）求数列{a
n
}的前n项的和
（Ⅱ）令
b
1< br>n
?
aa
，求数列{b
n
}的前n项的和
T
n

n
?
n?1
五、在等差数列｛
a
n
｝ 中,有关S
n
的最值问题
：(1)当
a
时，满足
??
a
m
?0
1
>0,d<0的项数m使得
s
?
a
m
取最大值.
m?1
?0
(2)当
a
?
a
m
?0
1
<0,d>0时，满足
?
的项数m 使得
s
?
a0
m
取最小值。
m?1
?