高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法).

2．（2014?成都模拟）等比数列{a
n
}的各项均为正数，且 2a
1
+3a
2
=1，a
3
2
=9a
2< br>a
6
，
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ） 设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a2
+…+log
3
a
n
，求数列{}的前n项和．
解 ：（Ⅰ）设数列{a
n
}的公比为q，由a
3
2
=9a
2< br>a
6
有a
3
2
=9a
4
2
，∴q< br>2
=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a
1
+3 a
2
=1有2a
1
+3a
1
q=1，∴a
1
=．
故数列{a
n
}的通项式为a
n
=
（Ⅱ）b
n
=
故=﹣
+
．
=﹣（1+2+…+n）=﹣
）则
．
﹣（2n﹣1）a
n
﹣2n=0．
++…+
，
）]=﹣，
+…+
=﹣2（﹣=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
∴数列 {}的前n项和为﹣
7．（2013?江西）正项数列{a
n
}满足
（1）求 数列{a
n
}的通项公式a
n
；
（2）令b
n
= ，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
﹣（2n﹣1）a
n
﹣2n=0， 解：（1）由正项数列{a
n
} 满足：
可有（a
n
﹣2n）（a
n
+1）=0 ∴a
n
=2n．
（2）∵a
n
=2n，b
n
=< br>∴b
n
=
T
n
=
数列{b
n
}的前 n项和T
n
为．
=
，
=
=
，
=．

6．（2013?山东）设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n< br>，且S
4
=4S
2
，a
2n
=2a
n
+1．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b
n
}满足=1﹣，n∈N
*
，求{b
n
}的前n项和T
n< br>．
， 解：（Ⅰ）设等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差 为d，由S
4
=4S
2
，a
2n
=2a
n
+1有：
解有a
1
=1，d=2．
∴a
n
=2n﹣1，n∈N
*
．
（Ⅱ）由已知
当n=1时，
当n≥2时，
∴=
+
=，
=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．
+…+=1﹣，n∈N
*
，有：
，n∈N
*

由（Ⅰ）知，a
n
=2n﹣1，n∈N
*
．

∴b
n
=
又T
n
=+
∴T
n
=+
，n∈N
*
．
++…+
+…++
+
，
，
+…+）﹣=﹣﹣ 两式相减有：T
n
=+（
∴T
n
=3﹣．
28．（201 0?山东）已知等差数列{a
n
}满足：a
3
=7，a
5
+ a
7
=26．{a
n
}的前n项和为S
n
．（Ⅰ）求an
及S
n
；（Ⅱ）令
（n∈N
*
），求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
解：（Ⅰ）设等差数列{a
n
}的公差为d，
∵a
3
=7，a
5
+a
7
=26，
∴有，
解有a
1
=3，d=2，
∴a
n
=3+2（n﹣1）=2n+1；
S
n
==n
2
+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a
n
=2n+1，
∴b
n
=
∴ T
n
=
即数列{b
n
}的前n项和T
n
=

25．（2008?四川）在数列{a
n
}中，a
1
=1，
求数列{b
n
}的前n项和S
n
；（Ⅲ）求数列{a
n
}的 前n项和T
n
．

解：（Ⅰ）由条件有
故数列
（Ⅱ）由< br>两式相减，有：
（Ⅲ）由
∴T
n
=2S
n
+2a1
﹣2a
n+1
=．
，又n=1时，，
，即
，
，∴
有
．
．
．
，
．（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；（Ⅱ）令，
．
==
=
=
=
，
，
构成首项为1，公式为的等比 数列．∴
有
3．（2010?四川）已知等差数列{a
n
}的前3项和为6， 前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；（Ⅱ）设b
n
=
n
﹣
1*
（4﹣a
n
）q（q≠0，n∈N），求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
解：（1）设{a
n
}的公差为d，
由已知有

解有a
1
=3，d=﹣1
故a
n
=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
﹣
（2）由（1）的解答有，b
n
=n?q
n1
，于是 < br>﹣
S
n
=1?q
0
+2?q
1
+3?q2
+…+n?q
n1
．
若q≠1，将上式两边同乘以q，有
qS
n
=1?q
1
+2?q
2
+3?q
3
+…+n?q
n
．
上面两式相减，有
（q﹣1）S
n
= nq
n
﹣（1+q+q
2
+…+q
n1
）=nq
n
﹣
﹣

于是S
n
=
若q=1，则S
n=1+2+3+…+n=


∴，S
n
=．
4．（2 010?四川）已知数列{a
n
}满足a
1
=0，a
2
=2 ，且对任意m、n∈N
*
都有a
2m
﹣
1
+a
2n
﹣
1
=2a
m+n
﹣
1
+2（m﹣n）
2
（1）求
﹣
a
3
，a
5
；（2）设b
n< br>=a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
（n∈N
*），证明：{b
n
}是等差数列；（3）设c
n
=（a
n+1< br>﹣a
n
）q
n1
（q≠0，n∈N
*
），求数列{c
n
}
的前n项和S
n
．
解：（1）由题意，令m=2，n =1，可有a
3
=2a
2
﹣a
1
+2=6
再令m =3，n=1，可有a
5
=2a
3
﹣a
1
+8=20
（2）当n∈N
*
时，由已知（以n+2代替m）可有
a
2n+3
+a
2n
﹣
1
=2a
2n+1
+8
于是 [a
2
（
n+1
）
+1
﹣a
2
（
n+1
）﹣
1
]﹣（a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
）=8 即b
n+1
﹣b
n
=8
∴{b
n
}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{bn
}是首项为b
1
=a
3
﹣a
1
=6，公差为 8的等差数列
则b
n
=8n﹣2，即a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
=8n﹣2
另由已知（令m=1）可有
a
n
=
∴a
n+1
﹣a
n
=
﹣
﹣（n﹣1）
2
．
﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c
n
=2nq
n1
．
当q=1时，S
n
=2+4+6++2n=n（n+1）
﹣
当q≠ 1时，S
n
=2?q
0
+4?q
1
+6?q
2+…+2n?q
n1
．
两边同乘以q，可有
qS
n
=2?q
1
+4?q
2
+6?q
3
+…+2n?q
n
．
上述两式相减，有
（1﹣q）S
n
=2（1+q+q
2
+…+q
n1
）﹣2nq
n
=2?
﹣
﹣2nq
n
=2?
∴S
n
=2?
综上所述，S
n
=．
16．（2009?湖北）已知数列{a
n< br>}是一个公差大于0的等差数列，且满足a
3
a
6
=55，a
2
+a
7
=16（1）求数列{a
n
}的通项
公式；（2） 数列{a
n
}和数列{b
n
}满足等式a
n
=
解： （1）设等差数列{a
n
}的公差为d，
则依题意可知d＞0由a
2
+a
7
=16，
（n∈N
*
），求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

有，2a
1
+7d=16①
由a
3
a6
=55，有（a
1
+2d）（a
1
+5d）=55②
由①②联立方程求，有
d=2，a
1
=1d=﹣2，a
1
=（排除）
∴a
n
=1+（n﹣1）?2=2n﹣1
（2）令c
n
= ，则有a
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
< br>a
n+1
=c
1
+c
2
+…+c
n+1
两式相减，有
a
n+1
﹣a
n
=c
n+1
，由（1）有a
1
=1，a
n+1
﹣a
n
=2
∴c
n+1
=2，即c
n
=2（n≥2），
即当n≥2时，
b
n
=2
n+1
，又当n=1时，b1
=2a
1
=2
∴b
n
=
于是S
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=2+2
3
+2
4
+…2
n+1
=2
n+2﹣6，n≥2，
．