高一必修五数学数列全章知识点

高一数学数列知识总结


知 识 网 络

二、知识梳理


定义
递推
公式
通项
公式

前
n

项和

中项
公式
1
2
等差数列
a
n?1
?a
n
?d
< br>a
n
?a
n?1
?d
；
a
n
?a< br>m?n
?md

a
n
?a
1
?(n?1)d

等比数列
a
n?1
?q(q?0)

a
n
a
n?a
n?1
q
；
a
n
?a
m
q
n?m

a
n
?a
1
q
n?1
（
a
1
,q?0
）
?
na
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1
1?q
n
a
1
?a
n
q
?(q?2)
?
1?q
?
1?q
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)

2
n(n?1)
d

2
??
S
n
?na
1
?

A=
a?b

2
G
2
?ab

推广：
a
n
?a
n?m
?a
n?m
若m+n=p+q，则
a
m
a
n
?a
p
aq
。
若
{k
n
}
成等比数列 （其中
kn
?N
），
则
{a
k
n
}
成等比数列 。
2
推广：2
a
n
=
a
n?m
?an?m

若m+n=p+q则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
若
{k
n
}
成等差数列（其中
k
n
?N
）
则
{a
k
n
}
也为A.P。
3
4
性
质
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
< br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)

2
②
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)
a
m
?0
的项数m使三、在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的 最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
?
?a
m?1
?0
?
a
m
?0
得
s
m
取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时，满足
?
的 项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值
a?0
?
m?1< br>
．
s
n
,s
2n
?s
n
,s3n
?s
2n
成等差数列。
s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
成等比数列。
a?a
1
a
m
?a
n
d?
n
?(m?n)

n?1m?n
q
n?1
?
a
n
a
n?m
，
q?
n

(m?n)

a
1
a
m

的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
四.数列通项的常用方法：
（1）利用观察法求数列的通项.
S（
1
n?1)
（2）利用公式 法求数列的通项：①
a
n
?
?
?
?
S
n< br>?S
n?1
(n?2)
；②
?
a
n
?
等差、等比数列
?
a
n
?
公式.
（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：
①
a
n?1
?a
n
?f(n)
；②
a
n?1
?a
n
f(n ).
（4）造等差、等比数列求通项：
①
a
n?1
?pa
n
?q
；②
a
n?1
?pa
n
?q
n< br>；③
a
n?1
?pa
n
?f(n)
；④
a< br>n?2
?p?a
n?1
?q?a
n
.

第一节通项公式常用方法
题型1 利用公式法求通项
例1：1.已知{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+2，而且a
1
=1。求 a
n
。
2.已知
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，求下列数列
?
a
n
?
的通项公式：
⑴
S
n
?2n
2
?3n?1
； ⑵
S
n
?2
n
?1
.
总结:任何一个数列，它的 前
n
项和
S
n
与通项
a
n
都存在关系：< br>a
n
?
?
合
a
n
，则把它们统一起来，否则 就用分段函数表示.
题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
例2：⑴已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n
? a
n?1
?2n?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式；
⑵已知
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
a
1
?1
，
S< br>n
?n
2
?a
n
，求数列
?
a
n< br>?
的通项公式.
总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“
a
n?1< br>?a
n
?f(n)
”； 迭乘法适用于求递推关系形如
“
a< br>n?1
?a
n
?f(n)
“；⑵迭加法、迭乘法公式：
①
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n?2
?a
n?3
)?
?
?(a
2
?a
1
)?a
1

② < br>a
n
?
?
S
1
(n?1)
若
a1
适
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
a
n
a
n?1
a
n?2
a
a
???
?
?
3
?
2
?a
1
.
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
2
a
1
题型 3 构造等比数列求通项
例3已知数列
?
a
n
?
中，a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
，求数列< br>?
a
n
?
的通项公式.

总结：递推关系形如“
a
n?1
?pa
n
?q
” 适用于待定系数法或特征根法：

①令
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?
)
；
② 在
a
n?1
?pa
n
?q
中令
a
n?1
?a
n
?x?x?
q
，
?
a
n?1
?x?p(a
n
?x)
；
1?p
③由
a
n?1
?pa
n
?q
得
a
n
?pa
n?1
?q
，
?
a
n?1
?a
n
?p(a
n
?a
n? 1
)
.
例4已知数列
?
a
n
?
中，a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
n
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.



总结：递推关系形如“
a
n?1
?pa
n
?q
n< br>”通过适当变形可转化为：
“
a
n?1
?pa
n
? q
”或“
a
n?1
?a
n
?f(n)
n
求 解.
例5已知数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>?1,a
2
?2,a
n?2
?3a
n?1
?2an
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.


，通过适当变形转化为可求和的数列.

总结：递推关系形如“
a
n?2
?p?a
n?1
?q?a
n
”
强化巩固 练习
1、已知
S
n
为数列
?
a
n
?的前
n
项和，
S
n
?3a
n
?2(n?N< br>?
,n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式 .
2、已知数列
?
a
n
?
中，
a
1?2,(n?2)a
n?1
?(n?1)a
n
?0(n?N
?< br>)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
小结： 数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶
应用迭加（迭乘、迭 代）法求数列的通项：①
a
n?1
?a
n
?f(n)
；②< br>a
n?1
?a
n
f(n).
（4）构
造等差、等比数 列求通项：
④
a
n?2
?p?a
n?1
?q?a
n
.
3、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n
?n(a
n?1
?a
n
)
，则 数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?

。
；②
a
n?1
?pa
n
?q
n
；③
a
n?1
?pa
n
?f(n)
；
a?pa?q
n?1n
①
4、数列
?
a
n
?
中，
a
n?1
?3a
n
?2(n?N
?
)
,且
a
10
?8
，则
a
4
?
。


22
5、设
?
a
n
?是首项为1的正项数列，且
(n?1)a
n?1
?na
n
?a< br>n?1
a
n
?0(n?N
?
)
，
则数列< br>?
a
n
?
的通项
a
n
?
.
6、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
?
2a
n
(n?N
?
)
，则
?
a
n
?
的通项
a
n
?
.
2?a
n
7、设数列
?
a
n
?
的前< br>n
项和为
S
n
，已知
a
1
?a,a
n?1
?S
n
?3
n
(n?N
?
)
，设< br>b
n
?S
n
?3
n
，求
数列
?b
n
?
的通项公式．

第二节数列求和的常用方法
一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n ?1)
?na
1
?d

22
(q?1)
?< br>na
1
?
n
2、等比数列求和公式：
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1?q
?
1?q
n
11
3、
S
n
?
?
k?n(n?1)
4、
S
n
?
?
k
2
?n(n?1)(2n?1)< br>
26
k?1k?1
n
1
S
n
?
?
k
3
?[n(n?1)]
2

2
k?1
巩 固练习：设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N,求
f(n)?
*
n
S
n
的最大值.
(n?32)S
n?1
?
c?
二.裂项相消法:适用于
??
其中{
a
n
}是各项 不为0的等差数列，c为常数；部分无理数
aa
?
nn?1
?
列、含 阶乘的数列等。
例2 求数列

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分
解 ，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）
a
n
?
1
的前n项和
n(n?1)
111

??
n(n?1)nn?1
2
(2n)111
（2）
a< br>n
??1?(?)
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
1111（3）
a
n
??[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)

??
巩固练习：1.在数列 的前n项 和为
1
n(n?1)
1
n
1
n?1
s
n< br>，则
s
99
?

2.数列的通项公式是
a
n
?
1
n?n?1
,若前n项和为10，则项数为
6666,,,
??
,
,??
1?22?33?4n(n?1)
3.求数 列前n项和
三.错位相减法:可以求形如

的数列的和，其中

为等差数列，

为等比数列.
例1：求和：

.
例2:数列1，3x，5x
2
,…,(2n-1)x
n-1
前n项的和．
小结：错位相减法类型题均为：
等差数列a
n
等比数列b
连续相加。

n
四.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n(n?1)
2

2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
2

2
3）
1< br>3
?2
3
???n
3
?
?
?
1?
2
n(n?1)
?
?
?

4）
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?
1
6
n(n?1)(2n?1)

5）
1
n(n?1)
?
1
n
?
1
n?1

1
n(n?2)
?
1
2
(
1
n
?
1
n?2
)

单元练习

一、选择题：
1．数列1，3，6，10，……的一个通项公式是（ ）
A．n－n+1
2
B．
n(n?1)

2
C．n(n－1) D．
n(n?1)

2
2．已知数列的通项公式为a
n
=n(n－1),则下述结论正确的是 （ ）
A．420是这个数列的第20项 B．420是这个数列的第21项
C．420是这个数列的第22项 D．420不是这个数列中的项
3．在数列{ a
n
}中，已知a
1
=1,a
2
=5, a
n+2
=a
n+1
－a
n
,则a
2000
= （ ）
A．4 B．5 C．－4 D．－5
2
4．设数列{ a
n
}的首项为1，对所有的n≥2，此数列的前n项之积为n，则这个数列的第3
项 与第5项的和是 ( )
A．
25

9
B．
21

25
C．
61

16
D．
256

275
4、设
{a
n
}
是等差数列，若
a
2
?3,a
7
?13
,则数列
{a
n
}
前8项的和为( )
A.128 B.80 C.64 D.56
5记等差数列的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
?4,S
4
?20< br>，则该数列的公差
d?
（ ）
A、2 B、3 C、6 D、7
6设等比数列
{a
n
}
的公比
q?2
，前n项和为
S
n
，则
A．
2
B．
4

S
4
?
（ ）
a
2
C．
15

2
D．
17

2
7若等差数列
{a
n}
的前5项和
S
5
?25
，且
a
2
? 3
，则
a
7
?
（ ）
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
8知
?
a
n
?
是等比数列，
a
2
?2，a
5
?
1，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
? ?a
n
a
n?1
=( )
4
3232
?n?n?n?n
（A）16（
1?4
） （B）16（
1?2
） （C）（
1?4
） （D）（
1?2
）
33
9常数数列
{a
n
}是等差数列，且
{a
n
}
的第5、10、20项成等比数列，则此等比数 列的公比为
（ ） A．
11
B．5 C．2 D．
52
10等差数列
{a
n
}
的 前
n
项和为
S
n
，若
S
3
?9
，
S
6
?36
，则
a
7
?a
8
?a
9
?
（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
二、填空题
11．已知
?
a
n
?
为等 差数列，
a
3
?a
8
?22
，
a
6
?7
，则
a
5
?
____________

12．设数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2 ,a
n?1
?a
n
?n?1
，则通项
a
n
?
___________。
13．设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，
a
12
??8,
S
9
??9
,则
S
16
?

三、解答题
1、设等差数列{a
n
}满足a
3
＝5，a< br>10
＝－9.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)求{ a
n
}的前n项和S
n
及使得S
n
最大的序号n的值


a
n
＋a
n
＋
1
2、已知数 列{a
n
}满足a
1
＝1，a
2
＝2，a
n
＋
2
＝，n∈N
*
.
2
(1)令b
n
＝a
n
＋
1
－a
n
，证明：{b
n
}是等 比数列；
(2)求{a
n
}的通项公式．



3、已知数列{x
n
}的首项x
1
＝3，通项x
n
＝2< br>n
p＋nq(n∈N
*
，p，q为常数)，且x
1
，x
4
，
x
5
成等差数列．求：
(1)p，q的值；
(2)数列{x
n
}前n项和S
n
的公式．



4、已知等差数列{a
n
}满足a
2
＝0，a
6
＋a
8
＝－10.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
?
?
a
n
?
?
(2)求数列
?
2
n
－
1
?
的前
??
??
n项和



111
5、已知数列{a
n
}是首项为a
1< br>＝
4
，公比q＝
4
的等比数列，设b
n
＋2＝3lo g
4
a
n
(n∈N
*
)，
数列{c
n}满足c
n
＝a
n
·b
n
.
(1)求数列{b
n
}的通项公式；
(2)求数列{c
n
}的前n项和S
n
.