高中数学必修5高中数学必修5《数列、等差数列复习》教案

课题：数列、等差数列复习
教学目标
（一） 知识与技能目标
1． 知识的网络结构；
2． 重点内容和重要方法的归纳．
（二） 过程与能力目标
1． 熟练掌握数列、等差数列及等差数列前
n
项和等知识的网络结构及相互关系.
2． 理解本小节的数学思想和数学方法．
（三） 情感与态度目标
培养学生归纳、整理所学知识 的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，并培养良好的学
习品质．
教学重点
1. 本章知识的网络结构，及知识间的相互关系；
2. 掌握两种基本题型．
教学难点
知识间的相互关系及应用．
教学过程
一、知识框架图
基本概念
定义
分类
数列
通项公式
一般数列 递推公式
图象法
特殊函数——等差数列
定义
通项公式
等差中项
前项和公式
性质

二、 基本题型
1．题型一：求数列通项公式的问题.
例1．已知数列{
a
n
}的 首项
a
1
=1,其递推公式为
a
n?1
?
通项公式 .
解法一:
a
1
=1,
a
2
?
2a
n
(n?N
*
且
n?2)
.求其前五项,并归纳出
a
n
?2
2a
1
22a
2
12a
3
22a
4
1
2
?,a
3
??,a
4
??,a
5??,
归纳得
a
n
?

a
1
?23a
2
?22a
3
?25a
4
?23
n?1
解 法二:
?a
n?1
?
2a
n
111111

又
a
1
?0,?a
n
?0

??????

a
n
?2
a
n?1
2a< br>n
a
n?1
a
n
2
故
{
1111n ?1
1
}
是以1为首项,为等差的等差数列
???(n?1)?
< br>a
n
a
n
a
1
22
2

?a
n
?
22121
.令
n
=1,2,3,4,5得a
1
=1,
a
2
?,a
3
?,a
4< br>?,a
5
?,

n?13253
*
例2．数列{a
n
}中,已知
a
1
?1,a
n
?a
n?1
?2n?1(n?N
且
n?2).
求此数列的通项公式.
解:
?
a
n
?a
n?1
?2n?1(n?N且
n?2),
且
a
1
?1.

*
?a
2
?a
1
?2?2?1,
a
3
?a
2?2?3?1,
a
4
?a
3
?2?4?1,

??
a
n
?a
n?1
?2n?1.
把这
n
-1个式子两边分别相加可得
a
n
?a
1
?2[2?3?4 ?
?
?n]?(n?1).

?a
n
?n
2
(n?2,且n?N
*
).而a
1
?1也适合a
n
?n< br>2
.
故数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
?n
2
(n?N
*
).

例3．数列{
a
n
}中,
a
1
?1,
a
n
n
?(n?N
*
且
n?2),
求此数列的通项公 式.
a
n?1
n?1
解:
?
a
n
na 2a3a4an
?(n?N
*
且
n?2)
且
a
1< br>?1,

?
2
?,
2
?,
2
? ,
?
,
n
?
.

a
n?1
n?1 a
1
3a
1
4a
1
5a
n?1
n?1把这
n
-1个式子两边分别相乘可得
a
n
234n2
2
????
?
,?.
即
a
n
?
,
而
n
?
1
也适合
.

a
1
345 n?1n?1
n?1
故{
a
n
}的通项公式为
a
n
?
2
.

n?1
2．题型二：等差数列的证明与计算.
例4．设
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和,已知
S
1
=1,且
S
n?1
?S
n
?2S
n
?S
n ?1
(n?2),

(1)求证
{
1
}
是等差数列;
S
n
(2)求数列{
a
n
}的通项公式.
(1)证明:
?n?2时,S
n?1
?S
n
?2S
n
?S
n?1
,

?
11
??2(x?2),

S
n
S
n? 1
?{
11
}
是以
?1
为首项,以2为公差的等差数列.
S
n
S
1
(2)解:
?
1
1
?1 ?(n?1)?2?2n?1,

?S
n
?
,

S
n
2n?1

?a
n
?S
n
?S
n?1
?
112???(n?2),

2n?12n?3(2n?1)(2n?3)
?
1 (n?1),
?
2
?a
n
?
?
.

? (n?2)
?
?
(2n?1)(2n?3)
五、课堂小结
从知识结构、数学思想、数学方法和题型变化等四个方面进行复习总结．
六、课外作业
1．阅读教材；
2． 作业：《学案》P41---P42面的双基训练。
思考题 ．设函数
f(x)?log
2
x?log
x
2(0?x?1).数列{
a
n
}满足
f(2
n
)?2n(n?N).
(1)求数列{
a
n
}的通项公式; (2)证明数列{
a
n
}为
n
的单调函数.
解:(1)
f(2
n
)?2n
得
a
a
log
22
a
n
?log
2
a
n
2?2n
, 即
a
n
?
又
?0?x?1,0?2
a
n
1
2
?2n

?a
n
?2n?a
n
?1?0.?a
n
?n?n
2
?1.

a
n
?1?2
0
,

?a
n
?0.
故{
a
n
}的通项 公式
a
n
?n?n
2
?1.

(2)证明:
?
a
n?1
?a
n

?[n ?1?(n?1)
2
?1]?(n?n
2
?1)
?1?n
2
?1?(n?1)
2
?1

2n?1
?1??1?1?0< br>22
(n?1)?1?n?1
?a
n?1
?a
n
.< br>?
数列{
a
n
}为
n
的单调递增数列.