高中数学必修5等比数列知识点总结及题型归纳

等比数列知识点总结及题型归纳
1、等比数列的定义：
2、通项公式： a
n
?a
1
q
n?1
?
a
1
n
q?A?B
n
?
a
1
?q?0,A?B?0
?< br>，首项：
a
1
；公比：
q

q
a
n
a
?q?
n?m
n

a< br>m
a
m
a
n
?q
?
q?0
?
?
n?2,且n?N
*
?
，
q
称为公比
an?1
推广：
a
n
?a
m
q
n?m
? q
n?m
?
3、等比中项：
（1）如果
a,A,b
成等比 数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，即：
A2
?ab
或
A??ab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列
?a
n
?
是等比数列
?a
n
2
?a
n? 1
?a
n?1

4、等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
（1）当
q?1
时，
S
n
?na
1
（2）当
q?1
时，
S
n
?
?
a
1< br>?
1?q
n
?
1?q
?
a
1
?a< br>n
q

1?q
a
1
a
?
1
q
n
?A?A?B
n
?A'B
n
?A'
（
A,B,A',B'
为常数）
1?q1?q
5、等比数列的判定方法：
（ 1）用定义：对任意的
n
，都有
a
n?1
?qa
n
或
a
n?1
?q(q为常数，a
n
?0)?{a
n
}
为等比数列
a
n
（2）等比中项：
a
n
2?a
n?1
a
n?1
(a
n?1
a
n?1?0)?{a
n
}
为等比数列
（3）通项公式：
a
n
?A?B
n
?
A?B?0
?
?{a
n
}< br>为等比数列
6、等比数列的证明方法：
a
依据定义：若
n
?q
?
q?0
?
?
n?2,且n?N
*
?
或
a
n?1
?qa
n
?{a
n
}
为等比数 列
a
n?1
7、等比数列的性质：
（2）对任何
m,n?N*
，在等比数列
{a
n
}
中，有
a
n
?a
m
q
n?m
。
（3）若
m?n?s?t(m,n,s ,t?N
*
)
，则
a
n
?a
m
?a
s
?a
t
。特别的，当
m?n?2k
时，得
a
n
?a
m
?a
k
2

注：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
a
n?2
???

a
k
（4）数列
{ a
n
}
，
{b
n
}
为等比数列，则数列
{ }
，
{k?a
n
}
，
{a
n
k
}
，
{k?a
n
?b
n
}
，
{
n< br>}
（
k
为非零
b
n
a
n
常数）均为 等比数列。
（5）数列
{a
n
}
为等比数列，每隔
k(k ?N
*
)
项取出一项
(a
m
,a
m?k
, a
m?2k
,a
m?3k
,???)
仍为等比数列
（6） 如果
{a
n
}
是各项均为正数的等比数列，则数列
{log
a
a
n
}
是等差数列
（7）若
{a
n
}
为等比数列，则数列
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
,???
，成等比数列
（8）若
{a
n
}
为等比数列，则数列
a
1
?a
2
?????a
n
，
a
n?1
?a
n?2
?????a
2n
，
a
2n?1
?a
2n?2??????a
3n
成等比数列

1

a1
?0，则{a
n
}为递增数列
{
（9）①当
q?1< br>时，
a
1
?0，则{a
n
}为递减数列

a
1
?0，则{a
n
}为递减数列
{
②当
0时，
a
1
?0，则{a
n
}为递增数列

③当
q?1
时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；
④当
q?0
时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列
{an
}
中，当项数为
2n(n?N
*
)
时，
S< br>奇
1
?

S
偶
q
二、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
14
1、数列
?
a
n
?
满足
a
n
??a
n?1
?
n?2
?< br>，
a
1
?
，则
a
4
?
______ ___．
3
3
2、在数列
?
a
n
?
中， 若
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?1
?
n?1
?
，则该数列的通项
a
n
?
______________．
考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列
?< br>a
n
?
的公差为
2
，若
a
1
，a
3
，
a
4
成等比数列，则
a
2
?< br>（ ）
A．
?4
B．
?6
C．
?8
D．
?10

2、若
a
、
b
、
c
成等比数列，则函数
y?ax
2
?bx?c
的图象与
x
轴交 点的个数为（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．不确定
20
3、已知数列
?
a
n< br>?
为等比数列，
a
3
?2
，
a
2
? a
4
?
，求
?
a
n
?
的通项公式．
3
考点三：等比数列及其前n项和的基本运算
291
1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）
383
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

2、已知等比 数列
?
a
n
?
中，
a
3
?3
，< br>a
10
?384
，则该数列的通项
a
n
?
_ ________________．
3、若
?
a
n
?
为 等比数列，且
2a
4
?a
6
?a
5
，则公比
q?
________．
4、设
a
1
，
a
2< br>，
a
3
，
a
4
成等比数列，其公比为
2，则
A．
2a
1
?a
2
的值为（ ）
2a
3
?a
4
111
B． C． D．
1

428
考点四：等比数列及其前n项和性质的应用
1、在等比数列
?
a
n
?
中，如果
a
6
?6
，
a
9
?9
，那么
a
3
为（ ）
316
C． D．
2

2
9
2、如果?1
，
a
，
b
，
c
，
?9
成 等比数列，那么（ ）
A．
b?3
，
ac?9
B．
b??3
，
ac?9

C．
b?3
，
ac??9
D．
b??3
，
ac??9

A．
4
B．
3、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>?1
，
a
10
?3
，则
a
2
a3
a
4
a
5
a
6
a
7
a8
a
9
等于（ ）
A．
81


B．
27
5
27
C．
3

2
D．
243

4、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
9
?a
10
?a
?
a ?0
?
，
a
19
?a
20
?b
，则
a
99
?a
100
等于（ ）
b
9
b< br>10
?
b
??
b
?
A．
8
B．
??
C．
9
D．
??

a
a
?
a
??
a
?< br>910
5、在等比数列
?
a
n
?
中，
a3
和
a
5
是二次方程
x
2
?kx?5?0的两个根，则
a
2
a
4
a
6
的值为（ ）
A．
25
B．
55
C．
?55
D．
?55

6、若
?
a
n
?
是等比数列 ，且
a
n
?0
，若
a
2
a
4
?2 a
3
a
5
?a
4
a
6
?25
，那 么
a
3
?a
5
的值等于
?
S,(n?1)
考点五：公式
a
n
?
?
1
的应用
?
S
n
?S
n?1
,(n?2)
1．等比数列前n 项和S
n
=2
n
-1，则前n项的平方和为( )
11
A.(2
n
-1)
2
B.(2
n
-1)
2
C.4
n
-1 D.(4
n
-1)
33
2. 设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
=3n
+r，那么r的值为______________.

3．设数列{an
}的前n项和为S
n
且S
1
=3，若对任意的n∈N
*
都有S
n
=2a
n
-3n.
(1)求数列{a
n
}的首项及递推关系式a
n+1
=f(a
n
);
(2)求{a
n
}的通项公式;
(3)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.

3