人教版高一数学必修5--第二章数列总结

人教版高一数学必修5第二章数列总结

1、数列的基本概念
(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．
(2)通项公式：如果数列{a
n
}的第n项a
n
与n之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式
就叫 做这个数列的通项公式．
(3)递推公式：如果已知数列{a
n
}的第一项(或前几 项)，且任何一项a
n
与它前一项a
n
－
1
(或前几
项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．

2、主要公式
(1)通项公式a
n
与前n项和公式S
n
间的关系：
?
n＝1
?
S
1

a
n
＝?
?
n≥2
?
S
n
－S
n
－
1


.
(2)等差数列
a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝a
m
＋(n－m)d.
11
S
n
＝
2
n(a
1
＋a
n
)，S
n
＝na< br>1
＋
2
n(n－1)d.
a＋b
A＝
2
(等差中项)．
（3）等比数列
－－a
n
＝a
1
q
n1
，a
n
＝a
m
·q
nm
.
na
1
q＝1
?
?
S
n
＝
?
a
1
－a
n
qa1
1－q
n
＝
?
1－q
?
1－q
q≠1

.
G＝±ab(等比中项)．

3．主要性质
(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N
*
)，
在等差数列{an
}中有：a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
；
在等比数列{a
n
}中有：a
m
·a
n
＝a
p
·a
q
.
(2)等差(比)数列依次k项之和仍然成等差(比)．

专题一 数列的通项公式的求法
1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． < br>579
(1)1,1，
7
，
15
，
31
，… ；
2．定义法
等差数列{a
n
}是递增数列，前n项和为S
n
，且 a
1
，a
3
，a
9
成等比数列，S
5
＝a
2
5
.求数列{a
n
}的
通项公式．
3．前n项和法
(1 )已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n
2
＋3n＋1，求 通项 a
n
；

(2)已知数列{a
n
}的前n项和 S
n
＝2
n
＋2，求通项 a
n
.
4．累加法
已知{a
n
}中，a
1
＝1，且a
n
＋
1
－a
n
＝3
n
(n∈N
*
)，求通项 a
n
.
5．累乘法
1
已知数列{a
n
}，a
1
＝
3
，前n项和S
n
与a
n
的关系是S
n
＝n(2n－1)a
n
，求通项a
n
.
6．辅助数列法
已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，a< br>n
＋
1
＝3a
n
＋2(n∈N
*
)．求数列 {a
n
}的通项公式．
7．倒数法
a
n
已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
＋
1
＝(n∈N
*
)．求通项a
n
.
a
n
＋1
专题二 数列的前n项和的求法
1．分组转化求和法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而 成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，
则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
1111
求和：S
n
＝1
2
＋2
4
＋3
8
＋…＋(n＋
2
n
)．
2．裂项求和法
对于裂项后明 显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此
法．可用待定系数法对通 项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保
留哪些项，常见的拆项公式有：
1111
(1)＝
k
·(
n
－)；
nn＋kn＋k
(2)若{a
n
}为等差数列，公差为d，
1111
则＝
d
(
a
－)；
a
n
·a
n
＋
1
n
a
n
＋
1
(3)
1
＝n＋1－n等．
n＋1＋n
3．错位相减法
若数列{an
}为等差数列，数列{b
n
}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新 数列为
{a
n
b
n
}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a
n
b
n
}的各项乘以等比数列{b
n
}的公比q，然
后错位一项与{a
n
b
n
}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和 ，所以这种数列求和的
方法称为错位相减法．
已知数列{a
n
}中，a1
＝3，点(a
n
，a
n
＋
1
)在直线y＝x ＋2上．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若b
n＝a
n
·3
n
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
4．分段求和法
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．
已知数列{a< br>n
}的前n项和为S
n
，且a
n
＋S
n
＝1 (n∈N
*
)．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
( 2)若数列{b
n
}满足b
n
＝3＋log
4
a
n
，设T
n
＝|b
1
|＋|b
2
|＋…＋|b
n
|，求T
n
.

附注：常用结论
1）1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =

3）
三、等差、等比数列的对比
（1）判断数列的常用方法
看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2
③(
()

为常数).
看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②
③
④正数列{
(
(，

)
为非零常数).
}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
（2）等差数列与等比数列对比小结：

定义
等差数列 等比数列
1．

1．

公式
2．
2．
，
与的等比中项
1．
性质
称为与的等差中项
，
1．
称为

2．若
）， 则
3．
列
，，
（、、

、2．若
），则
3．，，
（、

、、
成等差数成等比数列
4.
4.
（3）在等差数列｛
1）
2）
，

｝中,有关Sn 的最值问题：
时，有最大值；，时，
，
有最小值；
）；②若已知，则最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（
最值时



的值（

）可如下确定或。