最新人版高中数学必修五数列知识点和习题详解

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人教版数学高中必修5数列习题及知识点

第二章 数列

aadan等于( )． ＝2 005＝1，公差为，则序号＝3{1．的等差数列，如果}是首项A．667
nn1
B．668 C．669 D．670
aaaaa＝( )＋．中，首项＋＝3，前三项和为21，则2．在各项都为正数的等比数列
{ }
n5413
A．33 B．72 C．84 D．189
812
aaad≠0，则( )3．如果，．，…， 为各项都大于零的等差数列，公差aaaaaaaaaaaaaaaa
＜B．．＜＋＝ C． DA．＋＞
5485 854181118445
1nxxmxx的等差数列，则 ＝－24．已知方程(0－2
22
＋＋的四个根组成一个首项为)()

4nm －．｜｜等于( )313D． ．． C1
A． B

824aaaa}的前4项和为＝243．等比数列{，则}中，{＝9，( ). 5A．81
nn52
B．120 C．168 D．192
aaaaaanSn是0项和成立的最大自然 数＞0，＞·6．若数列{＜}是等差数列，首项0＞0，＋，
则使前
nn00400312 2 0042 0032

( )．
A．4 005
B．4 006
C．4 007
D．4 008
aaaaa＝( )．，若, ，则， 7．已知等差数列{成等比数列}的公差为2
6 C．－8 D． －10
aS5
5
nSa＝( )．8．设 是等差数列{＝}的前项和，若，则
9nn
n2314
A．－4 B．－

aS9
3
1 A．1
5
D．2 C B．－1 ．

2a?a
12
aabbb，－4，4成等差数列，－ 1，成等比数列，则．已
知数列－的值是( )． 91，，，，－

b
2
11111 D．或 B．－ C．－ A．

32121

42222anSn＝( )．38＝，则2)＝0(＋≥，若 aaaa－10．在等差数列，0
2
nn121＋－nnn1－n
中，}{≠ 精品文档．
精品文档9
． D C．10 A．38 B．20
二、填空题1nfffxf(0)＋…＋4)5))＋＝＋…＋，利用课本中推导等差数列前(项和公 式的
方法，可求得－11．设((－
x
22?ff(6)的值为＋ .
(5)

a}中，{ 12．已知等比数列aaaaaaaa
n
65543342
652413
＝ ·．＝8，则··(1)若·· ·
＋ .
＝6，则＋若(3)＋＝2，
＝ ．＋324， ＋＝(2)若36＋，则＝

aaaaaa

SSaaaa＝

82713．在和之间插入三个数，使这五
个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．

23

aaaaaa)＝24，则此数列
前＋13}中，3(＋项之和为)＋2( . ．在等差数列14{＋

aaaaaa＝，则＋…
2081841719
n1 375310
＋＋}中，＝3， .
＝－．在等差数列15{2
n105654

nnfnn表示这，其中有且仅 有两条直线互相平

行，任意三条直线不过同一点．若用．设平面内有)条直线((≥3) 16fnfn)＝ ．＞4时，
条直线交点的个数，则；当(4)＝ (
annnaS.
2

nnn

三、解答题

}，求证数列项和{＝3－2成等差数列{17．(1)已知数列的前}b?cc?aa?b111，， 成等差数列，
求证已知(2)，，也成等差数列.










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abccba
aqaaa成等差数列． 的等比数列，且，，18．设{}是公比为
为时，比较，当 (2)设{}是以







n?2SanSana＝1，2，，已知，＝13＝…()． 19．数列{}的前项和记为
数列是等比数列．{










nnnn1＋1

n213
q
的值； (1)求bqnSnSb的大 小，并说明理由．与≥2为首项，2为公差的等差数列，其前项和
nnnn


nS
n
}求证：

n
SaanaSaa，．已知数列2 0{3，2为其前项和，1}是首项为且公比不等于的等比数列，，成等差

数列，求证： 12
，
6126
nn3741
SSS成等比数列－.
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第二章 数列

参考答案

一、选择题
1．C
aandnn＝699，∴．1＋3(＝ ＋(－－1)1)，即2 005＝解析：由题设，代入通项公式2．C
n1
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
aqqaaa＝21＋0)，由题意得设等比数列{，}的公比为＋( ＞
11
n31222
qaqaqq ＋7＋．)＝21，又
222
＝＝3即，∴(1＋1＋qq )，＝－3(不合题意，舍去解得＝2或qqaqaaa 84．2)＝∴3＋
＋×＝×7(1＋＝＋ B．3．aaaa ＝C＋＋．，∴排除解析：由
153451482
daaaadaa 又＝·＝，(＋
C 4． 解析：＋77)
22
11811122
adaddaaaadaa ＞12．＋7∴··＝(＋3 )(＋＋4)＝
85111411
1111adadadaxx mxxn＝0＋－2，而方程2－中＋，＝1解法：设＝0中两根之和为2，＝＋，
＝＋2，＝＋32， 两根之和也为daaaa ，4＋＝＋∴＋＋16＝11735aadaa

4444
＝是另一个方程的两个根．，，，＝∴＝ ＝是一个方程的两个根，＝

24444715mn，
分别为 或∴，

，故选C

2 精品文档．

16161mn｜＝－∴｜．
4213

4132
3141
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xxxxxxxxxxmxxn．·，·，且＝＋ ＝，＋＝解法2：设方程的四个根为＝，2，，443312342112
7xxaaxspqaa，于是可得等＋＋＝必为第四项，则＋，若设， 则＝＋为第一项，＝由等
差数列的性质：若


qsp

212
，，，差数列为

41357，

16161mn｜＝∴｜－．

25．B
a243
5
qaa＝＝27＝9，，＝243，＝解析：∵

a9
2
qaqa＝3，＝9 ∴，＝3，
5
33
－240S＝＝＝∴120．

1－326．B

35211
4

4444715nm＝∴，＝，
解析：
aaaaaaa＞0和·，则公差为负数 ，否则＜0解法1：由，知＋0＞，两项中有一正数一负数，又
12 0032 0032 0042 0042 0032 004
aaaa＜0.
2 0042 0042 0032 003
各项总为正数，故＞＞0，即，4006(a＋a)4006(a＋a)
1
S＞0， ＝∴＝
·(2＋ ∴＝)

2240074007aSaa＜0，＝·
n
4 006


＋，＞0的分析得·0＜解法2：由
2 00414 0074 007

22S＞0的最大自然数. 选B故4 006为． aaaaaaa，＞10，同解，＞0法
2 0032 0032 0032 12 0042 004004

，＜0SS 中的最大值．∴为
第(6题
n2 003
nS 是关于的二次函数，如草图所示，∵ 2 004到对称轴的
n
距离小，∴2 003到对称轴的距离比0074 在对称轴的右侧．∴
)
0074 006根据已知条件及图象的对称性可得在图象中右侧4 的左侧，

2B0084 ，
n
零点S 4 0060＞都在其右侧，的最大自然数是． 精品文档．
精品文档B
7．aaaaa ＋4，6}是等差数列，∴＝＝，＋解析：∵{
1111
n1431
aaa ，成等比数列，又由，aaaa ＝
4312
－，解得＝4)8(，＋∴(6)＋a ．2＝－6∴＝－8＋A
2
．8)a(a?9
91
a?9S59

)?a5(aa5?S95
513
4
5

2
5
，∴选A．＝＝·＝解析：∵1＝

2A
9

2

9．qddq (－解析：设1)和，分别为公差和公比，则－4＝－1＋3且－4＝qd ＝，∴2＝－1，
daa?1
12
∴．＝＝

2
qb?2
2
C
10．aaa ＝，＋，∴＝2aaa为等差数列，∴{解析：∵}
22nnn1＋－1nnn
aaa ≠0，∴＝2又，{为常数
数列，}38S
1?2n
na －1＝＝而，即＝219，
nnn
x
n

x
＝10∴ 二、填空题 ．11．231xf

212n?n ．
解析：∵，(＝)
x
2?21
x
2122xf ＝)＝∴，(1－ ＝
x1?x
22?2?22?22?111
xxx
)(2??21?2?21 2222xffx ．＝
＝(1－＝)＋＝∴(＋)
＋…＋(5)
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精品文档fffffS －5)(－4)则＋＝(6)＋，(5)＋…＋((0)＋…＋ffffSff ＝，(－5)[－
5) ]＋＋(5)＋6(－4)]∴2＋…＋＝[[(6)＋(6)](2fffffS ＝＋…＋．(5)＋＝3(－5)＋
(－4)＋…＋(6)∴(0)2 ．3）32（2）4；（12．（1）32；a ，＝2，得aaa＝解析：（1）由· ．＝
245345

2
xxxx
22?2?22?22?2Sfff ff(6)，＋＋…＋－5)设＝(－＋(4)(0)
324??aa?1?q? ，2）（?

936?)q(a?a?qaaaa ．∴)＋4＝(＝＋2a
＝a＋a＋S＝a＋??
442314
q? （3），2＝?
4
?q＋Sa＝S＋a＋???＋S＝a?
284418
qaaaSa ＋＝ ＝32∴．＋
32aaaaaa＝····∴
＋
624534212
2214 2156
16
419201817
．216．13827同号，由等比中项的，解析 ：本题考查等比数列的性质及计算，由插入
三个数后成等比数列，因而中间数必与
×6＝216 ．


6＝?插入的三个数之积为×中间数为

23827278
?
，

323214．26．
10713345
aaaaaa，2＋解析：∵ ＋＝2＝，aaaa＝4，＋＋ )＝24， ∴6(
104104
?
)aa＋aa
＋)13(13(413
101 413
S＝＝＝∴＝26．
56
13

10 45

7(a＋a)
104
＝

22215．－49．

27(a－d＋a＋5d)
55
＝daa＝－5－，解析：∵ ＝aaa＋…＋＋∴

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ad) ＋＝7(2＝－49．
5
1nn－2)．＋16．5，1)((

2f k)(解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增
加一条直线一定与前面已有的每条直线都 相交，∴＝fkk－1)．＋(( －1)f(3)＝2由，
ff(3)＋3＝2＋＝3＝5， (4)ff(4)＋4＝2＋3＋4＝9，(5)＝
……
fnfnn－1)(，( －1)(＋)＝1nnfnn－2)．＝( ＋＝2＋3＋4＋…＋(1)(－相加得(1))

2
三、解答题 项开始每项与其前一项差为常数．17．分析：判定给定数列是否为等差数列 关键看
是否满足从第2San ＝1，＝3－证明：（1）2＝1时，＝nSnnnnanS ＝32－ ，－[3(－－－
1122
1)－2(5－1)]当2≥时，＝＝6
nnn1－
nann∈N*)．－5(＝1时，亦满足，∴ ＝6aaannn∈N*)，
n
nn11－
常数)( －1)－首项5]＝1，＝－6(＝6－5－[6(
n1
aa＝1，公差为6．∴数列{ }成等差数列
且111，，成等差数列，（2）∵

abc211acbac)．2＋＝ ∴ (＝＋化简得

bac
22222 2
b＋ca＋ba＋c)(a＋bc＋ca＋＋＋abb(ac)＋ac＋c)(a＋c ＋＝＝＝＝＝2·，




1213112


1

2

b(a＋c)acacacacb
，也成等差数列．

2b＋cc＋aa＋b∴，
18（1）由题设＋＝＋，即
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2
2．解：

abcqaaqaaaa ＝2，
qqa ，20－－1＝，∴≠∵01q．或－1∴＝

2 精品文档．
n
＋3nn)－1n(nqSn＋＝．＝2（2）若 ＝1，则
nnnnn1－

0，

22(n－1)(n＋2)nS< br>－
bSS
＞
b．
n
nnn1－
故＝ ＝当＞≥2时，则．＝2若

2
2
＋9n－nn(n－1)11qSn＋ (－)＝＝－，

4222(n－1)(10－n)nS
－
bS＝，≥2时，＝ 当

4nnSbnSbnSb． ＜时，；当＞≥；当11＝10时，故对于时，∈N，当2≤＝≤9n＋2 SaaSS
，
，
nnnnnn+
19．证明：∵＝＝ －
＋
nnnnn1＋1＋＋1
S2S
n1n＋
．所以＝


nnSnSSnSn S，1)2(＝＝( －＋)∴(，整理得＋2)
故aqaaq，

n＋1nS
n
}是以{2为公比的等比数列．

naaaaaa
nnnnn1＋1
63

＋，即．证明：由4，23，3成等差数列，得4＝＝ ＋320
形得(41qq＝1(舍) ∴或＝－．

4
6
)q1?a(
1
33
qq ＝0＋1)(，－1) 变


3
q?1S11?q 由＝＝＝；
6

SS?S1q?1
63126

612126

6

3
)?q12a(112S1216
1

3
q－1＝；＝1 ＋＝ －1＝－1

3

1?q
12
)q1a(?
1



6
)?qa(1SS16
1
66

1?qS?SS
126
． 得＝





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，－

S12S
6
SSSS成等比数列．12∴ ，
数列基础知识点和方法归纳

1. 等差数列的定义与性质
?
??
da?a?
为常数），（d??a?1na
d
定义：
nn?11n
等差中项：成等差数列
y??x?2Ax，A，

y
????
1nnn??aa
n1
d??S?na
n项和前
n

1n
22
??
a是等差数列 性质：
a?a?a?a；
， 则）若（1q??pnm?
qnmp
??????
2
aaa,,……S，S? S，S?S
仍为等差数列，
公差为仍为等差数列，
dn
；）数列 （2
1n2n?2n?12n2nn2n3n
（3）若三个成等差数列，可设
为 d?，aa?d，a
aS
2m?1m
n
?TSb，a，
是等差数列，且前，则项和分别为）若（4

nnnn
bT
2m?1m

?

??
n
bnan???S
a 0为常数，是关于（的二次函数）为等差数列的常数项为ba，）（5
?
2nn
??
Sbn?San?
a中的正、负分界项，的最值可求二次函数的最值；或者求出
2nnn


a?0?
n
n
S0?0，da?
值，解不等式组.
达到最大值时的可得即：当
?
n1
a?0?
1n?


a?0?
n
n
S0，d??a0
值.
达到最小值时的，由可得当
?
n1
a?0?
1n?
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?
??
a有 (6)项数为偶数的等差数列
n2
，
)a为中间两
n
项)(a,n ???(a?a)S?n(a?a?n(a?a)
1nn2nn?n12n2n?11?2
Sa
奇n
ndS?S?
?. ，

奇偶
aS
n?1偶
??
a的等
差数列7）项数为奇数有 （1?2n
n
，

S?(2n?1)a(a为中间项)
，
nn2n?1

Sn
奇
a?S?S
?. ，

n偶奇
n?S1
偶
2. 等比数列的定义与性质


.
1n
a
n



a
n?11n?
q?
，为常数，）（q
0q?
qa?a 定义：
2
xyG??
，或xy?G? 等比中项：成等比数列
yG、x、
.na(q?1)?
1
?

1?q?
?
n
??
?Sn（要注意！）
n
前 项和：qa?1?
n1
(q?1)?
??
a是等比数列 性质：

·a?a·aa
，则1）若（q???mnp
mpnq
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n
. 公比为仍为等比数列,
……SSS，S?，S? q
）（2
nn32nnn2
Sa
时应注意什么？ 求：由
注意
nn
a?S
；时， 1?n
11
时，
a?S?S
2n? .
1n?nn

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