数学必修五数列解题技巧

高考数学数列部分知识点梳理
一数列的概念
?
S
1(n?1)
1）数列的前
n
项和与通项的公式①
S
n
? a
1
?a
2
???a
n
；
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
< br>2）数列的分类：①递增数列:对于任何
n?N
?
,均有
a
n ?1
?a
n
.②递减数列:对于任何
n?N
?
,均有
a
n?1
?a
n
.③摆动数列:例如:
?1,1,?1,1,? 1,?.
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数
M
使a
n
?M,n?N
?
.⑥无界数列:对于任何正数
M
, 总有项
a
n
使得
a
n
?M
.
一、等差数列
n(a
1
?a
n
)
1）通项公式
a
n?a
1
?(n?1)d
，
a
1
为首项，
d为公差。前
n
项和公式
S
n
?
或
2
1
S
n
?na
1
?n(n?1)d
.
2
2）等差中项：
2A?a?b
。

3）等差数列的判定方 法：⑴定义法：
a
n?1
?a
n
?d
（
n?N?
，
d
是常数）
?
?
a
n
?
是等差数列；⑵中
项法：
2a
n?1
?a
n
?a
n ?2
(
n?N
?
)
?
?
a
n
?< br>是等差数列.
4）等差数列的性质：
⑴数列
?
a
n
?
是等差数列，则数列
?
a
n
?p
?
、
?
pa
n
?
（
p
是常数）都是等差数列；
⑵在等 差数列
?
a
n
?
中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a
n
,a
n?k
,a
n?2k
,a
n?3k< br>,?
为等差数列，
公差为
kd
.
⑶
a
n< br>?a
m
?(n?m)d
；
a
n
?an?b
(
a
,
b
是常数)；
S
n
?an
2
?bn
(
a
,
b
是常数，
a?0
)
⑷若
m?n?p?q(m,n,p,q?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
?
S
?
⑸若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和S
n
，则
?
n
?
是等差数列；
?
n
?
S
偶
a
n?1
⑹当项数为
2n(n?N
?
)
，则
S
偶
?S
奇
?nd,
； 当项数 为
2n?1(n?N
?
)
，则
?
S
奇
a< br>n
S
n?1
.
S
奇
?S
偶
?a< br>n
,
偶
?
S
奇
n
(7)设
(8)设
(9)
是等差数列，则
，
是等差数列的前项和，则
（是 常数）是公差为
，
；
的等差数列；
，则有；
(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列
①．
②．
，公差为，前项和为
；
，则
为等差数列，公差为
（即）为等差数列，公差；
③．（即）为等差数列，公差为.
二、等比数列
1）通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1
，< br>a
1
为首项，
q
为公比 。前
n
项和公式：①当q?1
时，
S
n
?na
1
②当
q?1
时，

a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
.
S
n
??
1?q1?q
2 ）等比中项：
G
2
?a?b
。
3）等比数列的判定方法：⑴定义法：
2
；

a
n?1
?q
（
n?N
?
，
q?0
是常数）
?
?
a
n
?
是 等比数列；⑵中项
a
n
法：
a
n?1
?a
n
?a
n?2
(
n?N
?
)且
a
n
?0< br>?
?
a
n
?
是等比数列.
4）等比数列的性质：
⑴数列
?
a
n
?
是等比数列，则数列
?
p a
n
?
、
?
pa
n
?
（
q?0< br>是常数）都是等比数列；
n?m
a?a?q(n,m?N
?
)

nm
（2）
（3）若
m?n?p?q(m,n,p,q?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
（4）若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项 和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S< br>k
、
S
3k
?S
2k
、
S
4k?S
3k
是等比数列.
（5）设
（6）设
，是等比数列，则也是等比数列。
则也是等比数列（即等比数列中等距离是等比数列 ，是等差数列，且
分离出的子数列仍为等比数列）；
（7）设
（8）设
是正项等比数列，则
，
是等差数列；
，
，公比为，前项和为
；
）为等比数列，公比为；
，则
，则有；
（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列
①．
②．
为等比数列，公比为
（即
三、解题技巧：
A、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项 相减法：适用于差比数列（如果
?
a
n
?
等差，
?
b
n
?
等比，那么
?
a
n
b
n
?
叫做差比数列）
即把每一项都乘以
?
b
n
?
的公 比
q
，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即 把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列
??
?
1
?
1
1111
??
?(?)
，和（其中等差）。可裂项为 ：
a
?
n
?
??
??
a
n
?a< br>n?1
da
n
a
n?1
?
?
a
n< br>?a
n?1
?
?
a
n
?a
n?1
?
?
11
?(a
n?1
?a
n
)

a
n
?a
n?1
d
B、等差数列前
n
项和的最值问 题：
1、若等差数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?0
，公差
d?0
，则前
n
项和
S
n< br>有最大值。
?
a?0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则< br>S
n
最大
?
?
n
；
a?0
?n?1

（ⅱ）若已知
S
n
?pn
2
?q n
，则当
n
取最靠近
?
q
的非零自然数时
S
n
最大；
2p
2、若等差数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?0
，公差
d?0
，则前
n
项和
S
n
有最小值
?
a?0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n
最小
?
?
n
； ?
a
n?1
?0
（ⅱ）若已知
S
n
?pn2
?qn
，则当
n
取最靠近
?
q
的非零自然数 时
S
n
最小；
2p
C、根据递推公式求通项：
1、构造法：
1°递推关系形如“
a
n?1
?pa
n< br>?q
”，利用待定系数法求解
【例题】已知数列
?
a
n< br>?
中，
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除
p
n?1
或待定系数法求解
【例题】a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
n
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
3°递推已知数列?
a
n
?
中，关系形如“
a
n?2
?p?a< br>n?1
?q?a
n
”，利用待定系数法求解
4°递推关系形如a
n
?pa
n?1
?qa
n
a
n?
, 两边同除以
a
n
a
n?1

（
1
p,q?0)
【例题】已知数列
?
a
n?
中，
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
【例题】已知数列
?
a
n
?
中 ，
a
n
?a
n?1
?2a
n
a
n?
（a
n
?
的通项公式.
1
n?2),a
1
?2
，求数列
?
2a
n
【例题】数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
?(n?N
?
)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
4?a
n
2、迭代法：
a、⑴已知关系式
a
n?1?a
n
?f(n)
，可利用迭加法或迭代法；
a
n
?( a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n?2
?a
n?3
)?
?
?(a
2?a
1
)?a
1

【例题】已知数列
?
an
?
中，
a
1
?2,a
n
?a
n?1
?2n?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公 式
aaaa
a
b、已知关系式
a
n?1
?a
n
?f(n)
，可利用迭乘法.
a
n
?
n
?n?1
?
n?2
?
?
?
3
?
2
?a
1
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a< br>2
a
1

a
n?1
【例题】已知数列
?a
n
?
满足：
n
?(n?2),a
1
?2，求求数列
?
a
n
?
的通项公式；
a
n?1
n?1
3、给出关于
S
n
和
a
m
的关系
【例题】设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
?a,a
n?1
?Sn
?3
n
(n?N
?
)
，设
b
n?S
n
?3
n
，
求数列
?
b
n
?
的通项公式．
五、典型例题：
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
【例题】已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的 前
n
项和，
a
4
?9,a
9
??6,S
n
?63
，求
n
；
2）根据数列的性质求解（整体思想）
【例题】已知
S
n
为等比数列
?
a
n
?
前
n
项和，
S
n
?54
，
S
2n
? 60
，则
S
3n
?
.
B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
S
【例题】已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
b
n
?
n
(n?N
?
)
.求证：数列
?
b
n?
是等差数列.
n
2）证明数列等比

【例题】数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，数列{b
n
}中，若a
n
+S
n
=n.设c
n
=a
n
－1，求证：数列{ c
n
}是等比数列；
D、求数列的前n项和
【例题1】求数列
{ 2
n
?2n?3}
的前
n
项和
S
n
.（拆 项求和法）
【例题2】求和：S=1+
111
??
?
?
（裂项相消法）
1?21?2?31?2?3???n
x
2
11
【例题3】设
f(x)?
，求：⑴
f(
1
4
)?f(
3
)?f (
2
)?f(2)?f(3)?f(4)
；
2
1?x
111
⑵
f(
2010
)?f(< br>2009
)???f(
1
)?f(2010).
（
倒序相加法
）

3
)?f(
2
)?f(2)???f(2009
【例题4】若数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?(2n?1)?3
n
，求此数列的前
n
项和
S
n
.（错位相减法）
【例题5】已知数列{a
n
}的前n项和S
n
= 12n－n
2
，求数列{|a
n
|}的前n项和T
n
.
E、数列单调性最值问题
【例题】数列
?
a
n
?
中，
a
n
?2n?49
，当数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
取得最小值时，
n?