高中数学公开课课教案模板-高中数学老师支教年度工作总结
2.1 数列的概念与简单表示法
2.1.1
数列的概念与简单表示法(一
从容说课
本节课先由教师提供日常生活实
例,引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念,
再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究,
认识数列是一种特殊的函数,最后师生共
同通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式.
通过本节课的学习使学生能理
解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,
并会用通项公式
写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式
教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用
教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
教具准备 课件
三维目标
一、知识与技能
1.理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;
2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;
3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式
二、过程与方法
1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;
2.发挥学生的主体作用,作好探究性学习;
3.理论联系实际,激发学生的学习积极性
三、情感态度与价值观
1.通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验.理论联系实际,
激发学生对科学的探究精
神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点;
2.通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣
教学过程
导入新课
师 课本图211中的正方形数分别是多少?
生 1,3,6,10,
师 图212中正方形数呢?
生 1,4,9,16,25,
师
像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些?
生 -1的正整数次幂:-1,1,-1,1,
无穷多个数排成一列数:1,1,1,1,
生
一些分数排成的一列数:
246810
,,,,,
315356399
推进新课
[合作探究]
折纸问题
师
请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次?请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣
一定很浓
生 一般折5、6次就不能折下去了,厚度太高了
师
你知道这是为什么吗?我们设纸原来的厚度为1长度单位,面积为1面积单位,随依次折
的次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样?
生
随着对折数厚度依次为:2,4,8,16,…,256,…;
随着对折数面积依次为
11111
, , , ,…,
24816256
生
对折8次以后,纸的厚度为原来的256倍,其面积为原来的分 1[]256式,再折下去太困
难了
师 说得很好,随数学水平的提高,我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的
这
一列一列的数,看它们有何共同特点?
生 均是一列数
生 还有一定次序
师
它们的共同特点:都是有一定次序的一列数
[教师精讲]
1.数列的定义:按一定顺序排列着的一列数叫做数列
注意:
(1)数列的数是按
一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那
么它们就是不同的数列;
(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
2.
数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首
项),第2项
,…,第
n
项,….同学们能举例说明吗?
生 例如,上述例子均是数列,其中①中
,“2”是这个数列的第1项(或首项),“16”是这
个数列中的第4项
3.数列的分类:
1)根据数列项数的多少分:
有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列
无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列
2)根据数列项的大小分:
递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列
递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列
常数数列:各项相等的数列
摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
请同学们观察:课本P
33
的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列?
生 这六组数列分别
是(1)递增数列,(2)递增数列,(3)常数数列,(4)递减数列,(5)摆动数
列,(6)1.
递增数列,2.递减数列
[知识拓展]
师
你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项?能否写出它的第
n
项?
n
生
256是这数列的第8项,我能写出它的第
n
项,应为
a
n
=2
[合作探究]
同学们看数列2,4,8,16,…,256,…①中项与项之间的对应关系,
项 2 4 8 16
序号
你能从中得到什么启示?
*
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集
N<
br>(或它的有限子集{1,2,3,…,
n
})的函数
a
n
=f
(
n
),
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(
x),如果f(i)(i=1、
2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一
个数列f(1),f(2),f(3),…,f(
n
师 说的很好.如果数列{a
n
}的第
n
项
a
n
与
n
之
间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式
就叫做这个数列的通项公式
[例题剖析]
1.根据下面数列{
a
n
}的通项公式,写出前5项:
(1)a
n
=
n
n
;(2)
a
n
=(-1)
·
n
n?1
师 由通项公式定义可知,只要将通项公式中
n
依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5
项
生 解:(1)
n
=
1,2,3,4,5.
a
1
=
12345
;
a
2<
br>=;
a
3
=;
a
4
=;
a
5
=
23456
(2)
n
=1,2,3,4,5.
a1
=-1;
a
2
=2;
a
3
=-3;
a
4
=4;
a
5
=-
师 好!就这样解
2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)3,5,7,9,11,…;(2)
246810
,,,,,…;
3
15356399
(3)0,1,0,1,0,1,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,
…;
(5)2,-6,12,-20,30,-42,
师
这里只给出数列的前几项的值,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式?(给学生一定
的思考时间
生老师,我写好了!
2n
1?(?1)
n
解:(1)
a<
br>n
=2
n
+1;(2)
a
n
=;(3)
a<
br>n
=;
(2n?1)(2n?1)
2
(4)将数列变形为1+0,2
+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,
1?(?1)
n
∴
a
n
=
n
+;
2
(5)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,
n+1
∴
a
n
=(-1)
n
(
n
+
师 完全正确!这是由“数”给出数列的“式”的例子,解决的关键是要找出这列数呈现出的
规
律性的东西,然后再通过归纳写出这个数列的通项公式
[合作探究]
师
函数与数列的比较(由学生完成此表):
定义域
解析式
图象
函数
R或R的子集
y=f(x)
点的集合
数列(特殊的函数)
N
*
或它的有限子集{1,2,…,
n
}
a
n
=f(
n
)
一些离散的点的集合
师 对于
函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公式
来画出其对应图象,
下面同学们练习画数列
4,5,6,7,8,9,10…;② 1,
111
, ,
,…③的图象
234
生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为
师
数列4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关?
生
与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关
111
, ,
,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关?
234
1
生
与我们学过的反比例函数
y?
的图象有关
x
师 数列1,
师
这两数列的图象有什么特点?
生 其特点为:它们都是一群孤立的点
生
它们都位于y轴的右侧,即特点为:它们都是一群孤立的,都位于y轴的右侧的点
本课时的整个教学过
程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用,
体现新课程的理念
课堂小结
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据
数
列的前
n
项求一些简单数列的通项公式
布置作业
课本第38页习题2.1
A
组第1题
板书设计
数列的概念与简单表示法(一)
定义
1.数列
2.项
3.一般形式
4.通项公式
5.有穷数列
6.无穷数列
例1
例2 函数定义
备课资料
一、备用例题
1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
2
2
?
13
2
?14
2
?15
2
?1
;,;
(1
)1,3,5,7;(2)
2345
(3)
?
1111
,
?
,
?
,
?
1?22?33?44?5
分析:
(1)项:1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-
序号:
所以我们得到了
a
n
=2
n
-1;
(2)序号:
1 2 3 4
↓
↓ ↓ ↓
项分母: 2=1+1
3=2+1 4=3+1
22222222
项分子: 2-1=(1+1)-1 3-1=(2+1)-1
4-1=(3+1)-1 5-1=(4+1)-
(n?1)
2
(n?2)
?n
所以我们得到了
a
n
=或;
n?1
n?1
(3)序号: 1 2 3
?
1111
?
?
?
3?44?5
1?22?3
?
1111
?
?
?
2?(2?1)4?(4?1)
1?(1?1)3?(3?1)
1
n?(n?1)
所以我们得到了
a
n
=-
2.写出下面
数列的一个通项公式,使它的前
n
项分别是下列各数:
1?(?1)
n?1
*
(1)1,0,1,0;
〔
a
n
=,
n
∈
N
〕
2
(2)-
n?1
2
3
456
n
,
,
?
,,
?
;
〔
a
n
=(-1)·〕
3
8
152435
(n?
1)
2
?1
7
n
×(10-1)〕
9
n
(3)7,77,777,7 777;
〔
a
n
=
(4)-1,7,-13,19,-25,31;
〔
a
n
=(-1)(6
n
-5)〕
2
n
?1
35917
(5), , ,.
〔
a
n
=〕
2
n?1
2416256
2
点评:上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式,根据数列的前几项来写出
这数列的通项
公式时,常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候,常可根据
需要把分子和分母同时扩
大再来看看分子和分母中数的规律性,有时可直截了当地研究分子
和分母之间的关系
2
3.已知数列{
a
n
}的通项公式是
a
n
=2
n
-
n
,那么(
A
.30是数列{
a
n
}的一项
B
.44是数列{
a
n
}的一项
C.66是数列{
a
n
}的一项
D
.90是数列{
a
n
}的一项
分析:注意到30,44
,66,90均比较小,可以写出这个数列的前几项,如果这前几项中出现
了这四个数中的某一个,则问
题就可以解决了.若出现的数比较大,还可以用解方程求正整数
解的方法加以解决
答案:
点评:看一个数
A
是不是数列{
a
n}中的某一项,实质上就是看能不能找出一个非零自然数
n
,
使得
an
=
A
4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸,厚度为
1<
br>200
就是每200张叠起来刚好为1 cm,现
在把这张纸裁一为二,叠起来,它的厚
度记为
a
1
;再裁一为二,叠起来,它的厚度记为
a
2
,<
br>又裁一为二,叠起来,它的厚度记为
a
3
,这样一裁一叠,每次叠起来所得的厚
度依次排列,
就得到一个数列:
a
1
,
a
2
,a
3
,…,
a
k
你能求出这个数列的通项公式吗?你知道
a
,即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘
米吗?是否有10层楼高呢?
2
n
答案:这个数列的通项公式为
a
n
=,
200
裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12
cm>56 294 995 km,大于地球到
月球距离的146倍
二、阅读材料
无法实现的奖赏
相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔,据说是他发明了国际象棋,古印度
的舍罕王
学会了下国际象棋以后,非常激动,他要重赏他的宰相达依尔
达依尔对他的国王说:
陛下,我不要您的重赏,只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就
可以了:在我的棋盘上(它有64个格)
第一格赏1粒,第二格赏2粒,第三格赏4粒,第四格
赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一
格的两倍.国王答应了达依尔的要求,但是
几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏
请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢?
2.1.2 数列的概念与简单表示法(二
从容说课
这节课通过对数列通项公式的正确理解,让学生进一步了解数列的递推公式,明确递
推
公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;通过经历数列知识的感
受
及理解运用的过程,作好探究性教学.发挥学生的主体作用,提高学生的分析问题以及解决
问题的能力
教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点 理解递推公式与通项公式的关系
教具准备 多媒体
三维目标
一、知识与技能
1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项
二、过程与方法
1.经历数列知识的感受及理解运用的过程
2.发挥学生的主体作用,作好探究性实验
3.理论联系实际,激发学生的学习积极性
三、情感态度与价值观
通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣
教学过程
导入新课
师 同学们,昨天我们学习了数列的定义,数列的通项公式的意义等内容,哪
位同学能谈一谈
什么叫数列的通项公式?
生 如果数列{
a
n
}的
第
n
项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这
个数列的通项
公式
师 你能举例说明吗?
*
生 如数列0,1,2,3,…的通项公式为
a
n
=
n
-1(
n
∈
N
*<
br>1,1,1的通项公式为
a
n
=1(
n
∈
N
,1≤
n
1,
1111
*
, ,
,…的通项公式为
a
n
=
(
n
∈
N
234n
[合作探究]
数列的表示方法
师
通项公式是表示数列的很好的方法,同学们想一想还有哪些方法可以表示数列?
生 图象法,我们可仿
照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数
n
为横坐标,相应
的项
a
n
为纵坐标,即以(
n
,
a
n
)为坐标在平面直角
坐标系中作出点(以前面提到的数列1,
111
,,,…为例,作出一个数列的图象),所得
的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标
234
为正整数,所以这些点都在y轴的右侧,而点
的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地
看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势
师 说得很好,还有其他的方法吗?
生
师
下面我们来介绍数列的另一种表示方法:递推公式法
知识都来源于实践,同时还要应用于生活,用其来
解决一些实际问题.下面同学们来看右下图:
钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图,寻其规
律,看看能否建立它的一些数学模型.
生 模型一:自上而下
第1层钢管数为4,即=
第2层钢管数为5,即=
第3层钢管数为6,即=
第4层钢管数为7,即=
第5层钢管数为8,即=
第6层钢管数为9,即=
第7层钢管数为10,即=
若用
a
n
表示钢管数,
n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且
a
n
=
n
+3
(1≤
n
≤7).
师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了
数列模型,这完全正确,运用
这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来
很多方便.让同学
们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律
生
模型二:上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多
即
a1
=4;
a
2
=5=4+1=
a
1
+1;a
3
=6=5+1=
a
2
依此类推:
a
n
=
a
n
-1
+1(2≤
n
师
对于上述所求关系,同学们有什么样的理解
生
若知其第1项,就可以求出第二项,以此类推,即可求出其他项
师
看来,这一关系也较为重要,我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式
推进新课
1.递推公式定义:
如果已知数列{
a
n
}的第1项(或前几项)
,且任一项
a
n
与它的前一项
a
n
-1
(或前n
项)间的关系可
以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
注意:递推公式也是给出数列的一种方法
如下列数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,
递推公式为:
a
1
=3,
a
2
=5,
a
n
=
a
n
-1
+
a
n
-2
(3≤
n
2.数列可看作特殊的函数,其表示也应
与函数的表示法有联系,函数的表示法有:列表法、
图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几
种表示方法:即列表法、图象法、解析式
法
[例题剖析]
?
a
1
?1
?
【例1】 设数列{
a
n<
br>}满足
?
1
,n>1
.写出这个数列的前五项
a?1?
?
n
a
n?1
?
1
我们将如何应用呢
a
n?1
师 分析:题中已给出{
a
n
}的第1项即
a1
=1,题目要求写出这个数列的前五项,因而只要再求
出二到五项即可.这个递推公式:
a
n
=1+
生 这要将
n
的值2和
a
1
=1代入这个递推公式计算就可求出第二项,然后依次这样进行就可以
了
师
请大家计算一下
生 解:据题意可知:
a
1
=1,
a
2<
br>=1+
258
111
=2,
a
3
=1+
=,
a
4
=1+ =,
a
5
=
5
a
1
a
2
3
a
3
3
师 掌握递推公式很
关键的一点就是其中的递推关系,同学们要注意探究和发现递推公式中的
前项与后项,或前后几项之间的
关系
【例2】 已知
a
1
=2,
a
n
+1
=2
a
n
,写出前5项,并猜想
a
n
师
由例1的经验我们先求前5项
生 前5项分别为2,4,8,16,
师
对,下面来猜想第
n
项
223
n
生 由
a
1=2,
a
2
=2×2=2,
a
3
=2×2=2观察可得
,我猜想
a
n
=2
师 很好
生
老师,本题若改为求
a
n
是否还可这样去解呢
师 不能.必须有求解的过程
生 老师,我由
a
n
+1
=2
a
n变形可得
a
n
=2
a
n
-1
,即<
br>a
n
?2
,依次向下写,一直到第一项,然后将
a
n?1
a
n
a
n?1
a
n?2
a
2
它们乘起来,就有
???
…×
1
?2
n?1
,所以
a
n
=
a
1
·2
n
-1
=2
n
a
a
n?1
a
n?2
a
n?3
师
太妙了,真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法,这种方法在已知递推公式
求数列通项的问题中是比较常用的方法,对应的还有迭加法
[知识拓展]
已知a
1
=2,
a
n
+1
=
a
n
-4,求
a
n
师
此题与前例2比较,递推式中的运算改为了减法,同学们想一想如何去求解呢
生1 写出:
a<
br>1
=2,
a
2
=-2,
a
3
=-6,
a
4
=-10,
观察可得:
a
n
=2+(
n<
br>-1)(
n
-4)=2-4(
n
-
生2
他这种解法不行,因为不是猜出
a
n
,而是要求出
a
n
<
br>我这样解:由
a
n
+1
-
a
n
=-4依次向
下写,一直到第一项,然后将它们加起来
a
n
-
a
n
-1
=-
a
n
-1
-
a
n
-2
=-
a
n
-2
-
a
n
-3
=-
?) a
2
?a
1
??4
a
n
?a
1
??4(n?1)
∴
a
n
=2-4(
n
-
师 好极了,真是触类旁通啊,这种方法也请同学们课后多体会
[教师精讲]
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推
关系而无初始
值,那么这个数列是不能确定的
例如,由数列{
a
n
}中的递推公式
a
n
+1
=2
a
n
+1无法写出数
列{
a
n
}中的任何一项,若又知
a
1
=1,则
可
以依次地写出
a
2
=3,
a
3
=7,
a
4
(2)递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公式,也可能求不出
通
项公式
[学生活动]
根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.(投影片
(1)a
1
=0,
a
n
+1
=
a
n
+(2
n
-1)(
n
∈
N
);
(2)
a
1
=1,
a
n
+1
=
a
n
(
n
∈
N
);
a
n
?2
(3)
a
1
=3,
a
n
+1
=3
a
n
-
2(
n
∈
N
(让学生思考一定时间后,请三位学生分别作答 2
解:(1)
a
1
=0,
a
2
=1,
a
3
=4,
a
4
=9,
a
5
=16,∴<
br>a
n
=(
n
-1)
(2)
a
1
=1
,
a
2
=
2122122
,
a
3
==,
a
4
=,
a
5
= =,∴
a<
br>n
=
324536n?1
012
(3)
a
1
=3=1+2×3,
a
2
=7=1+2×3,
a
3
=19=
1+2×3,
a
4
=55=1+2×3
3
,
a
5
=163=1+2×3
4
,∴
a
n
=1+2·3
n
-1
注:不要求学生进行证明归纳出通项公式
[合作探究]
一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多能上跃起三级,从地面上到最
上一
级,你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗?
析:这题是一道应用题,这里难在爬梯子有
多种形式,到底是爬一级还是上跃二级等情况要
分类考虑周到
爬一级梯子的方法只有一种
爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种,还有一次爬二级,所以共有两种
若设爬一个
n
级梯子的不同爬法有
a
n
种
则a
n
=
a
n
-1
+
a
n
-2
+
a
n
-3
(
n
则得到
a1
=1,
a
2
=2,
a
3
=4及
a<
br>n
=
a
n
-1
+
a
n
-
2
+
a
n
-3
(
n
≥4),就可以求得
a
8
课堂小结
师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法,即递推公
式及其用法,要注意理解它与通
项公式的区别,谁能说说?
生 通项公式反映的是项与项数之
间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或
n
项)之间的关
系
生 对于通
项公式,只要将公式中的
n
依次取1,2,3…,即可得到相应的项.而递推公式则要
已知首项(或前
n
项),才可求得其他的项
(让学生自己来总结,将所学的知识,结
合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而达
到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达
能力
布置作业
课本第38页习题2.1
A
组第4、6题
预习内容:课本P
41
~P
44
板书设计
一、定义
7.递推公式:
数列的概念与简单表示法(二)
二、例题讲解 小结:
例通项公式与
例2
递推公式区别
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