数学必修五数列知识点解题技巧

有德教育
数列部分知识点梳理
一数列的概念
?
S(n ?1)
1）数列的前
n
项和与通项的公式①
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
；
a
n
??
1
?
S
n
?S
n?1
(n?2)

2）数列的分类：①递增数列:对于任何
n?N
?
,均有
a
n?1
?a
n
.②递减数列:对于任何
n?N
?
,均有a
n?1
?a
n
.③摆动数列:例如:
?1,1,?1,1, ?1,?.
④常数数列:例如:6,6,6,6,??.⑤有界数列:存在
正数
M使
a
n
?M,n?N
?
.⑥无界数列:对于任何正数
M
,总有项
a
n
使得
a
n
?M
.

一、等差数列
n(a
1
?a
n
)
1）通项公式
a
n?a
1
?(n?1)d
，
a
1
为首项，
d为公差。前
n
项和公式
S
n
?
或
2
1
S
n
?na
1
?n(n?1)d
.
2
2）等差中项：
2A?a?b
。

3）等差数列的判定方 法：⑴定义法：
a
n?1
?a
n
?d
（
n?N?
，
d
是常数）
?
?
a
n
?
是等差数列；⑵
中项法：
2a
n?1
?a
n
?a
n ?2
(
n?N
?
)
?
?
a
n
?< br>是等差数列.
4）等差数列的性质：
⑴数列
?
a
n
?
是等差数列，则数列
?
a
n
?p
?
、
?
pa
n
?
（
p
是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列
?
a
n
?
中，等距离取出若干项也构成一个等差数列 ，即
a
n
,a
n?k
,a
n?2k
,a
n ?3k
,?
为等差
数列，公差为
kd
.
⑶
an
?a
m
?(n?m)d
；
a
n
?an?b< br>(
a
,
b
是常数)；
S
n
?an
2
?bn
(
a
,
b
是常数，
a?0
) ⑷若
m?n?p?q(m,n,p,q?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
?
S
?
⑸若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
?
n
?
是等差数列；
?< br>n
?
S
a
⑹当项数为
2n(n?N
?
)，则
S
偶
?S
奇
?nd,
偶
?
n?1
；
S
奇
a
n
S
偶
n?1
2n? 1(n?N)
当项数为.
?
?
，则
S
奇
?S< br>偶
?a
n
,
S
奇
n
(7)设
(8)设
；
(9)
是等差数列，则
，
（是常数）是公差为
，
的等差数列；
，则有
是等差数列的前项和，则；
，公差为，前项和为
；
）为等差数
，则 (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列
①．
②．

为等差数列，公差为
（即
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有德教育
列，公差；
③．（即）为等差数列，公差为.

二、等比数列
1）通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1
，< br>a
1
为首项，
q
为公比 。前
n
项和公式：①当q?1
时，
S
n
?na
1
②当
q?1
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
时，
S
n
?
.
?
1?q1?q
2）等比 中项：
G
2
?a?b
。
3）等比数列的判定方法：⑴定义法：
2
；

a
n?1
?q
（
n?N
?
，
q?0
是常数）
?
?
a
n
?
是等比数 列；⑵中
a
n
项法：
a
n?1
?a
n
?a
n?2
(
n?N
?
)且
a
n
?0
?
?
a
n
?
是等比数列.
4）等比数列的性质：
⑴数列
?
a
n
?
是等比数列，则数列
?
pan
?
、
?
pa
n
?
（
q?0
是常数）都是等比数列；
n?m
a?a?q(n,m?N
?
)

nm
（2）
（3）若
m?n?p?q(m,n,p,q?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
（4）若等比数列
?
a
n
?
的 前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S2k
?S
k
、
S
3k
?S
2k
、S
4k
?S
3k
是等比数列.
（5）设
（6）设
，是等比数列，则也是等比数列。
则也是等比数列（即等比数列中等距是等比数列， 是等差数列，且
离分离出的子数列仍为等比数列）；
（7）设
（8）设
是正项等比数列，则
，
是等差数列；
，
，公比为，前项和为
；
）为等比数列，公比
，则有
，则
；
（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列
①．
②．
为；
为等比数列，公比为
（即


三、解题技巧：
A、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项 相减法：适用于差比数列（如果
?
a
n
?
等差，
?
b
n
?
等比，那么
?
a
n
b
n
?
叫做差比数列）

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有德教育 < br>即把每一项都乘以
?
b
n
?
的公比
q
，向后 错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使 其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数
??
?
1
?
1
1111
??
列
?
和（其中等差）。可裂项为：
?(?)
，
a
??
??
?
n
a
n
?a
n? 1
da
n
a
n?1
??
?
a
n
? a
n?1
?
?
a
n
?a
n?1
?
11
?(a
n?1
?a
n
)

a
n
?a
n?1
d
B、等差数列前
n
项和的最值问题：
1、 若等差数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?0，公差
d?0
，则前
n
项和
S
n
有最大值。
?
a
n
?0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则< br>S
n
最大
?
?
；
a?0
?
n?1
（ⅱ）若已知
S
n
?pn
2
?qn
，则当
n
取最靠近
?
q
的非零自然数时
S
n
最大； 2p
2、若等差数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?0
，公差
d?0
，则前
n
项和
S
n
有最小值
?
a?0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则< br>S
n
最小
?
?
n
；
?
a
n?1
?0
（ⅱ）若已知
S
n
?pn
2
?qn，则当
n
取最靠近
?
q
的非零自然数时
S
n< br>最小；
2p
C、根据递推公式求通项：
1、构造法：
1°递推 关系形如“
a
n?1
?pa
n
?q
”，利用待定系数法求解
【例题】已知数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>?1,a
n?1
?2a
n
?3
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除
p
n?1
或待定系数法求解
【例题】a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
n
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
3°递推已知数列?
a
n
?
中，关系形如“
a
n?2
?p?a< br>n?1
?q?a
n
”，利用待定系数法求解
【例题】已知数列?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
4°递推关系形如
a
n
?pa
n?1
?qa
n
a
n?
,两边同除以
a
n
a
n?1

（
1
p,q?0)
【 例题】已知数列
?
a
n
?
中，
a
n
?a< br>n?1
?2a
n
a
n?
a
n
?
的通 项公式.
（
1
n?2),a
1
?2
，求数列
?< br>2a
n
【例题】数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
?(n?N
?
)
，求数列< br>?
a
n
?
的通项公式.
4?a
n
2、迭代法：
a、⑴已知关系式
a
n?1?a
n
?f(n)
，可利用迭加法或迭代法；
a
n
?( a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n?2
?a
n?3
)?
?
?(a
2?a
1
)?a
1

【例题】已知数列
?
an
?
中，
a
1
?2,a
n
?a
n?1
?2n?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公 式
aaaa
a
b、已知关系式
a
n?1
?a
n
?f(n)
，可利用迭乘法.
a
n
?
n
?n?1
?
n?2
?
?
?
3
?
2
?a
1
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a< br>2
a
1


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有德教育
【例题】已知数列
?
a
n
?满足：
3、给出关于
S
n
和
a
m
的关系 a
n
n?1
?(n?2),a
1
?2
，求求数列
?
a
n
?
的通项公式；
a
n?1
n?1
【例题】设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
?a,a
n?1
?S
n
?3
n
(n?N
?
)
，设
b
n
?S
n
?3
n
，
求数列
?
b
n
?
的通项公式．


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