人教A版高中数学必修五数列通项公式的求法.doc

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数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是 在一些综合性比较强的数
列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几 种求解数列通
项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、观察法
范例：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式
⑴ 3，33，333，…… ⑵
1,

?2,

3
4916
,

?4,
……
1017
5
33
2
3
3
3
n
解： ⑴
?3?(10?1),33?(10?1),333?(10?1),
∴
a
n
?(10?1)

9999
⑵观察各项的符号是“+”“-”号相间，用< br>(?1)
n?1
n?1
1
2
表示各项符号。
a
n
?(?1)
n
2
(n?
2
)

n?1
点评：这类问题主要是观察数列中的
a
n
与项数n的关系，发现规律，写出通 项。
二、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应 于已知数列类
型的题目．

2
范例．等差数列
?
a
n
?
是递增数列，前n项和为
S
n
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，
S
5
?a
5
．求数列
?
a
n
?
的通项公式.
解：设数列
?
a
n
?
公差为
d(d?0)

2
∵
a
1
,a
3
,a
9
成等比数 列，∴
a
3
?a
1
a
9
，
即
( a
1
?2d)?a
1
(a
1
?8d)?d?a
1< br>d

∵
d?0
， ∴
a
1
?d
………………………………①
2
∵
S
5
?a
5
∴
5a
1
?
22
5?4
?d?(a
1
?4d)
2
…………②
2
33
，
d?

55
333
∴
a
n
??(n?1)??n

555
由①②得：
a
1
?
点评：利用定义法求数列通项时要注意不 用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写
二、利用
S
n
和
a
n
的关系求
a
n
的通项公式

要点：已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可用公式
[来源:Z,xx,]
?
S
1
????????????????n?1< br>a
n
?
?
求解。
?
S
n
?S
n?1
???????n?2
当n =1时，
s
n
?s
n?1
=s
1
成立，则两式合一
n
范例．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
?2a
n
?(?1) ,n?1
．求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解：由
a
1
?S
1
?2a
1
?1?a
1
?1

n
a?S?S?2(a?a)?2?(?1),
nnn?1nn?1< br>当
n?2
时，有
来源学。科。网。。。

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?a
n
?2a
n?1
?2?(?1)
n?1
,

a
n?1
?2a
n?2
?2?(?1)
n?2
,
……，
a
2
?2a
1
?2.

?a
n?2
n?1
a
1
?2
n?1
?(?1)?2
n ?2
?(?1)
2
?L?2?(?1)
n?1

?2
n?1
?(?1)
n
[(?2)
n?1
?(?2)
n?2
???(?2)]
?2
n?1
2[1?(?2)
n?1
]< br>?(?1)
3
n
2
?[2
n?2
?(?1)
n?1
].
3
经验证
a
1
?1
也满足上式，所以< br>a
n
?
2
n?2

[2?(?1)
n?1< br>]
3
?
S
n
????????????????n?1
点评：利用公式
a
n
?
?
求解时，要注意对n分类讨论，但若能合 写时
?
S
n
?S
n?1
???????n?2
[来 源:学科网ZXXK]

一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递 推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比
数列问题，有时也用到 一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为
a
n?1
?a
n
?f(n)

解法：把 原递推公式转化为
a
n?1
?a
n
?f(n)
，利用累加法 (逐差相加法)求解。
范例 已知数列
?
a
n
?
满足< br>a
1
?
解：由条件知：
a
n?1
?a
n?
1
1
，
a
n?1
?a
n
?
2
，求
a
n
。
2
n?n
[来源:学科网ZXXK]

1111
???

n
2
?n
n(n?1 )nn?1
分别令
n?1,2,3,??????,(n?1)
，代入上式得
(n?1)
个等式累加之，
即
(a
2
?a
1
)? (a
3
?a
2
)?(a
4
?a
3
)??? ?????(a
n
?a
n?1
)

1111111
?(1?)?(?)?(?)????????(?)

22 334n?1n
1
所以
a
n
?a
1
?1?
n

1
1131
?a
1
?
，
?a
n
??1???

2
2n2n
由
类型2 （1）递推公式为
a
n?1
?f(n)a
n

解法：把原递 推公式转化为
a
n?1
?f(n)
，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
a
n
范例. 已知数列
?
a
n
?
满足a
1
?
2
n
a
n
，求
a
n< br>。 ，
a
n?1
?
3
n?1
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解：由条件知
即
a
n?1
n
?
，分别令
n?1,2,3,??????,(n?1)
，代入上式得
(n?1)
个等式累乘之，
a
n
n?1
aa
a
2
a
3
a4
1
123n?1
?
n
?

???????? ??
n
???????????
a
1
n
a
1
a
2
a
3
a
n?1
234n
又
?a1
?
22
，
?a
n
?

33n
3n?1
a
n

(n?1)
，求
a
n
。
3n?2
变式：已知a
1
?3
，
a
n?1
?
解：
a
n
?
3(n?1)?13(n?2)?13?2?13?1
???????a
1

3(n?1)?23(n?2)?23?2?23?2
3n?43n?7526
??
L
??3?
853n?1
。
3n?13n?4
?
类型3 递推式：
a
n?1
?pa
n
?f
?
n
?

1、当
f(n)为常数时，即
a
n?1
=p a
n
+q
（
p
≠1，
pq
≠0）
解法： 可转化为特殊数列{
a
n
+k
}的形式求解。一般地，形如
a
n?1
=p a
n
+q
（
p
≠1，
pq
≠0）型
的递推式均可通过待定系数法对常数
q
分解法：设
a
n?1
+k=p
（
a
n
+k
）与原式比较系数可得
pk< br>－k
=
q
，即
k=
q
，从而得等比数列{
a
n
+k
}。
p?1
1
a
n?1
+1（< br>n
≥2），求数列{
a
n
}的通项公式。
2
11< br>解：由
a
n
=
a
n?1
+1（
n
≥ 2）得
a
n
－2=（
a
n?1
－2），而
a
1
－2=1－2=－1，
22
1
∴数列{
a
n
－2}是以为公比，－1为首项的等比数列
2
1
n?1
1
n?1
∴
a
n
－2=－（） ∴
a
n
=2－（）
22
范例1：数列{a
n
}满 足
a
1
=1，
a
n
=
说明：这个题目通过对常数1 的分解，进行适当组合，可得等比数列{
a
n
－2}，
从而达到解决问题的目的。
范例2：数列{
a
n
}满足
a
1
=1，
3a
n?1
?a
n
?7?0
,求数列{
a
n
}的通项公式。
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7

3
1k77
设
a
n?1
?k??(a
n
?k)
，比较系数得
?k??
解得
k??
3334
71773
∴{
a
n
?
}是以
?为公比，以
a
1
??1???
为首项的等比数列
4
3 444
731
n?1
731
n?1
∴
a
n
????(?)?a
n
???(?)

443
443
解：由
3a
n?1
?a
n
?7?0
得
a
n?1< br>??a
n
?
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
1
3
点评：求递推式形如
a
n?1
?pa
n
?q
（p、q为常 数）的数列通项，可用迭代法或待
定系数法构造新数列
a
n?1
?
q q
?p(a
n
?)
来求得,也可用“归纳—猜想—
p?11?p证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
2、当
f
?
n< br>?
为n的一次式时，可转化为特殊数列{
a
n
+An+B
}的 形式求解
[来源:学科
范例．设数列
?
a
n
?
：
a
1
?4,a
n
?3a
n?1
?2n?1,(n? 2)
，求
a
n
.
解: 设
a
n
?An?B?3[a
n?1
?A(n?1)?B]

整理得
a
n
?3a
n?1
?2An?3A?2B

∴2A=2且-3A+2B=-1,得A=1，B=1
n?1n
?取
设b
n
?a
n
?n?1
则
b
n
?3b< br>n?1
,又
b
1
?6
，故
b
n
?6 ?3?2?3
代入（１）
n
得
a
n
?2?3?n?1

[来源:学科网ZXXK]
本题也可由
a
n
?3a
n? 1
?2n?1
,
a
n?1
?3a
n?2
?2(n ?1)?1
（
n?3
）两式相减得
a
n
?a
n?1
?3(a
n?1
?a
n?2
)?2
转化为
b
n
?pb
n?1
?q
进而求出
a
n

利用代定
2
说明：若
f(n)
为
n
的二次式，则可设
b
n
?a
n
?An?Bn?C

系数法进而求解
n
n
3、 当
f(n)?q
时，则递推公式 为
a
n?1
?pa
n
?q
（其中p，q均为常数）
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解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以
q
n?1
，得：a
n?1
p
a
n
1
??
n
?

n?1
q
q
q
q
从而化归为
a
n?1?pa
n
?q
（p、q为常数）型．
n
范例1：已知数列?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n
?3?2a
n?1

(n?2)
，
求
a
n
．
a
n
2 a
n?1
a
n
2
a
n?1

?1??1?
?
nnnn?1
3
3333
a
n
2221
设
b
n
?
n
，则
b
n
?1?b
n ?1
．令
b
n
?t?(b
n?1
?t)
?
b
n
?b
n?1
?t

3333
3
a282
?
t?3
．条件可化成
b
n
?3?(b
n?1
?3)
，数列
?
b
n
?3
?
是以< br>b
1
?3?
1
?3??
为首项，
333
3< br>a
n
82
n?1
为公比的等比数列．
b
n
? 3???()
．因
b
n
?
n
,
33
3< br>82
?a
n
?b
n
3
n
?3
n(??()
n?1
?3)
?
a
n
?3
n?1< br>?2
n?2
．
33
5
11
n?1
范例2： 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?
,
a
n?1
?a
n
?()
，求
a
n
。
6
32
11
n?1
2
nn?1
n?1
解：在
a
n?1
?a
n
?()
两边乘以
2
得：
2?a
n?1
?(2?a
n
)?1

323< br>22
n
n
令
b
n
?2?a
n
，则< br>b
n?1
?b
n
?1
,应用例7解法得：
b
n
?3?2()

3
3
b
1
n
1
n
所以
a
n
?
n
?3()?2()
n
23

2
n
n
解：将
a
n
?3?2a
n?1
两边同除
3
，得
类型4 递推公式为
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
（其中p，q均为常数）。
解法：先把原 递推公式转化为
a
n?2
?sa
n?1
?t(a
n?1?sa
n
)

其中s，t满足
?
?
s?t?p
，再应用前面类型3的方法求解。
?
st??q
21
a
n?1
?a
n
，求< br>a
n
。
33
范例1：已知数列
?
a
n?
中，
a
1
?1
,
a
2
?2
,
a
n?2
?
解：由
a
n?2
?
21a
n?1
?a
n
可转化为
a
n?2
?san?1
?t(a
n?1
?sa
n
)

33即
a
n?2
2
?
1
s?t?
?
s?1
?
?
s??
?
??
3
?(s?t)a
n? 1
?sta
n
?
?
?
?
3

1< br>或
?
1
t??
?
st??
?
3
?< br>??
t?1
?
3
?
这里不妨选用
?
s?1< br>?
?1
t??
?
3
?
（当然也可选用
1?
s??
?
3
?
?
?
t?1
），则< br>鑫达捷

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11
a
n?2
?a
n?1
??(a
n?1
?a
n
)
?
?
a
n?1
?a
n
?
是以首项为
a
2
?a
1
?1
，公比为
?< br>的等比数列,所
3
3
1
n?1
以
a
n?1< br>?a
n
?(?)
,应用类型1的方法，分别令
n?1,2,3,??? ???,(n?1)
，代入上式得
(n?1)
个
3
1
1?( ?)
n?1
1
0
1
1
1
n?2
3
等式累加之，即
a
n
?a
1
?(?)?(?)????????(? )

?
1
333
1?
3
731
n?1又
?a
1
?1
，所以
a
n
??(?)
。
443
范例2 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
得
?2,3a
n?2
?2a
n?1
?a
n
，求数列
?
a
n
?
的通项 公式。
解：由
3a
n?2
?2a
n?1
?a
n< br>a
n?2
?
21
a
n?1
?a
n
,
a?ka?h(a?ka)
n?1n?1n

33
设
n?2
11
21
k?h?，?kh?k?1,h??k??,h?1
33
， 解得
3
或
3
比较系数得
k?1,h??
若取
1< br>1
a
n?2
?a
n?1
??(a
n?1
?a
n
)
3
3
，则有
?
1
{a?a
n
}
∴
n?1
是以
3
为公比，以
a
2?a
1
?2?1?1
为首项的等比数列
1
a
n?1< br>?a
n
?(?)
n?1
3
∴
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2< br>)???(a
2
?a
1
)?a
1
由逐差法可得 1111
(?)
n?2
?(?)
n?3
???(?)
2
?(?)?1?1
333
=
3
[来源:学科网]

1
1?(?)
n?1
3
?1
31
n?1
?
731
n?1
?
1
1?(?)?1???(?)
1?
??< br>43443
?
3
==
?

类型5 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
范例. 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
；数列
?
b
n
?
中，
b
1
?0
。 当
n?2
时，
11
a
n
?(2a
n?1
? b
n?1
)
,
b
n
?(a
n?1
?2b< br>n?1
)
，求
a
n
,
b
n
.
33
鑫达捷

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解：因
a
n
?b
n
?
11
(2a
n?1
?b
n?1
)?(a
n?1
?2b
n ?1
)
?a
n?1
?b
n?1

3
3所以
a
n
?b
n
?a
n?1
?b
n? 1
?a
n?2
?b
n?2
?????a
2
?b2
?a
1
?b
1
?1

即
a
n
?b
n
?1
…………………………………………（1）
111< br>(2a
n?1
?b
n?1
)?(a
n?1
?2bn?1
)?(a
n?1
?b
n?1
)

333
11
2
1
n?1
所以
a
n
?b< br>n
?
(a
n?1
?b
n?1
)?()a
n? 2
?b
n?2
)?
……
?()(a
1
?b
1
)

33
3
11
?()
n?1
.即a
n
?b
n
?
?()
n?1
…………………… …（2）
33
11
n?1
11
n?1
由（1）、（2）得 ：
a
n
?[1?()]
，
b
n
?[1?()]
23
23

又因为
a
n
?b
n
?
*四、特征根法
1 、设已知数列
{a
n
}
的项满足
a
1
?b,an?1
?ca
n
?d
x
0
?a
1
时，
,其中
c?0,c?1,
求这个数列的通项公式。
作出一个方程
x? cx?d,
则当
其中
a
n
为常数列，即
a
n
?a
1
;当x
0
?a
1
时,a
n
?b< br>n
?x
0
，
{b
n
}
b
n
?b
1
c
n?1
,b
1
?a
1
?x
0
c
是以为公比的等比数列，即.
1
a??a
n
?2, n?N,a
1
?4,
a.
n?1
{a
n
}
3
范例．已知数列满足：求
n

13
x??x?2,则x
0
??.
32
解：作方程
当
a
1
?4
时，
a
1
?x
0
, b
1
?a
1
?
311
?.
22

1
{b}
数列
n
是以
3
为公比的等比数列.于是
?
111133111
b
n
?b
1
(?)
n?1
?(?)
n?1
,a
n
???b
n
???( ?)
n?1
,n?N.
3232223

2、对于由递推公式
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
?
a
?
，
a
1
?
?
,a
2
?
?
给出的数列
n
，方程
x
2
?px?q?0
，叫做数列
?
a
n
?
的特征方程。若
x
1
,x
2< br>是特征方程的两个根，当
x
1
?x
2
时，
?
a
?
a
数列
n
的通项为
n
n?1
?Ax< br>1
n?1
?Bx
2
，其中A，B由
a
1
?< br>?
,a
2
?
?
决定（即把
a
1
,a
2
,x
1
,x
2
和
n?1n?1
?
a
?
n?1,2
，代入
a
n
?Ax
1
? Bx
2
，得到关于A、B的方程组）；当
x
1
?x
2
时，数列
n
的通
项为
a
n
?(A?Bn)x
1< br>n?1
，其中A，B由
a
1
?
?
,a
2?
?
决定（即把
a
1
,a
2
,x
1< br>,x
2
和
n?1,2
，代入
鑫达捷

& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &

a< br>n
?(A?Bn)x
1
n?1
范例：已知数列
，得到关于A、 B的方程组）。
?
a
n
?
满足
a
1
?a ,a
2
?b,3a
n?2
?5a
n?1
?2a
n< br>?0(n?0,n?N)
，求数列
?
a
n
?
的
通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由
3a
n?2
?5 a
n?1
?2a
n
?0
，得
a
n?2
? a
n?1
?
2
3
(a
n?1
?a
n
)
，
且
a
2
?a
1
?b?a
。 则数列
?
2
a
n?1
?a
n
?
是以< br>b?a
为首项，
3
为公比的等比数列，于是
a?a
2
n?1
n?1n
?(b?a)(
3
)
。把
n?1,2,3 ,???,n
代入，得
a
2
?a
1
?b?a
，
aa)?(
2
3
?a
2
?(b?
3
)，
a?a
2
43
?(b?a)?()
2
3
，
……
a?a
2
nn?1
?(b?a)(
3
)n?2
。
把以上各式相加，得
1?(
2
)
n?1< br>a?ab?a)[1?
222
?
3
(b?a)
n?
2
3
?(
3
)?????(
2
n1
?(
3< br>)]
1?
3
。
?a3(
22
n
?[3?< br>3
)
n?1
](b?a)?a?3(a?b)(
3
)
n?1
?3b?2a
。
解法二（特征根法）：数列
?
a
n
?
：
3a
n?2
?5a
n?1
?2a
n< br>?0(n?0,n?N)
，
特征方程是：
3x
2
?5x?2? 0
。
鑫达捷
a
1
?a,a
2
?b
的

& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &

?x
1
?1,x
2
?
2
3
,
? Bx
n?1
2
?
a
n
?Ax
n?1
12
?A?B?()
n?1
3
。
又由
a
1
?a,a
2
?b
，于是
?a?A?B
?
A?3b?2a
?
?
2
??
b? A?B
?
B?3(a?b)
?
3
?

2
a
n
?3b?2a?3(a?b)()
n?1
3
故
[来源:学 科网]

3、如果数列
{a
n
}
满足下列条件：已知
a
1
的值且对于
n?N
，都有
a
n?1
?
pa
n
?q
ra
n
?h
（其中p、q、
r、h均 为常数，且
ph?qr,r?0,a
1
??
hpx?q
x?
r
）
rx?h
,当特征方程，那么，可作特征方程
?
1
?< br>??
a
n
?x
0
?
x
0
?
有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根
?
1
、
?
2
时，则
?
a
n
?x
1
?
??
a?x
?
n2
?
是等比数列。
范例1：
数列
{ a
n
}满足a
1
?1且8a
n?1
a
n
? 16a
n?1
?2a
n
?5?0(n?1).
求数列
{a< br>n
}
的通项公式.
a
n?1
?
解：由已知，得< br>2a
n
?5
2x?515
x?x?或x?
16?8a
n
，其特征方程为
16?8x
，解之，得
24

15
6(a
n
?)12(a
n
?)
15
24
?an?1
???a
n?1
??
216?8a
n
，
416?8a
n
[来源:学科网ZXXK]

11
11
a< br>n
?a
n
?a
1
?
2
?
1
2
?
2
?
2
?(
1
)
n?1
??
4
?
n
5
2
555
22
a
n?1
?a
n
?
a
n
?a
1
?
44，
44

a
n?1
?
2
n?1
?5< br>a
n
?
n
2?4
。
鑫达捷

& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &

范例 2、已知数列
{a
n
}
n?N,a
n?1
?
满足性 质：对于
a
n
?4
,
2a
n
?3
且
a
1
?3,
求
{a
n
}
的通项公式.
解: 数列
{a
n
}
x?
的特征方程为
x?4,
2
2x?3
变形得
2x?2x?4?0,
其根为
?< br>1
?1,
?
2
??2.
故
特征方程有两个相异的根， 使用定理2的第（2）部分，则有
c
n
?
a
1
?
?
1
p?
?
1
r
n?1
3?11?1?2
n?1
?()??(),n?N.
a
1
?
?
2
p?
?
2
r3?21?2?2

∴
c
n
?21
n?1
(?),n?N.
55

21
?2?(?)
n?1
?1
?
c?
?
1
55
a
n
?
2n
?,n?N.
21
n?1
c
n
?1
(?)?1
55
∴
(?5)
n
?4
a
n
?,n?N.
n
2?(?5)
即
a
n
?
1
?
?
?
b
n
15n?43
?5?,n?N.n?1
n?7
1?
8

?a
n
?
1< br>3n?2
?1?(n?1)?3
[来源:Z&xx&]

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