高一数学必修5：等差数列的概念及通项公式

2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
双基达标
?限时20分钟?

1．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝2n＋5，则此数列
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
解析 ∵a
n
＋
1
－a
n
＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{a
n
}是公差为2的等差数列．
答案 A
2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为
A．a
n
＝2n－5 B．a
n
＝2n－3
C．a
n
＝2n－1 D．a
n
＝2n＋1
解析 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a
1
＝x－1＝－1 ，a
2
＝1，a
3
＝3，∴d＝2，
∴a
n
＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案 B
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 ∵A，B，C为等差数列，
( )．
( )．
( )．

A＋C
∴B＝，即A＋C＝2B.
2
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，
即B＝60°.
答案 B
4．在数列{a
n
}中，若a
1
＝1，a
n
＋
1
＝a
n
＋2，则该数列的通项a
n
＝________.
解析 由a
n
＋
1
＝a
n
＋2(n≥1)可得数列 {a
n
}是公差为2的等差数列，又a
1
＝1，所以a
n
＝ 2n
－1.
答案 2n－1
a
2
－a
1
5．若 x≠y，两个数列x，a
1
，a
2
，a
3
，y和x，b1
，b
2
，b
3
，b
4
，y都是等差数列，则 ＝
b
4
－b
3
________.
?
?
y－x＝4d
1
，
解析 设两个数列的公差分别为d
1
，d
2
，则
?

?
y－x＝5d
2
，
?

a
2
－ a
1
d
1
5d
1
5
∴＝，∴＝＝.
d< br>2
4
b
4
－b
3
d
2
4
5
答案
4
6．已知等差数列{a
n
}中，a
10
＝29，a
21
＝62，试判断91是否为此数列中的项．
解 设等差数列{a
n
}的公差为d，则有
?
?
a
10
＝a
1
＋9d＝29，
?

?
a
21
＝a
1
＋20d＝62，
?

解得a
1
＝2，d＝3，
∴a
n
＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
92
令a
n
＝3n－1＝91，得n＝?N
*
.
3
∴91不是此数列中的项．
综合提高
?限时25分钟?






2
D.
3
( )．
a
7．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于
b
1
A.
4

1
B.
2

1
C.
3

?
?
2x＝a＋b，
x3a1
解析
?
∴a＝，b＝x.∴＝.
22b3
?
2b＝x＋2x，
?

答案 C
8． 设函数f(x)＝(x－1)
2
＋n(x∈[－1,3]，n∈N
*
)的最小 值为a
n
，最大值为b
n
，记c
n
＝b
n
2
－a
n
·b
n
，

则{c
n
}是








( )．
A．常数列 B．摆动数列
D．递减数列 C．公差不为0的等差数列
解析 ∵f(x)＝(x－1)
2
＋n(x∈[－1,3])，
∴a
n
＝n，b
n
＝n＋4，
∴c
n
＝ b
n
2
－a
n
·b
n
＝b
n
(b
n
－a
n
)＝4(n＋4)＝4n＋16.
答案 C
9 ．已知数列{a
n
}满足a
n
＋
1
2
＝a
n
2
＋4，且a
1
＝1，a
n
>0，则a
n
＝________.
解析 由已知a
n
＋
1
2
－a
n
2
＝4， ∴{a
n
2
}是等差数列，且首项a
1
2
＝1，公差d ＝4，
∴a
n
2
＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又a
n
>0，∴a
n
＝4n－3.
答案 4n－3 10．若数列{a
n
}是公差为d的等差数列，则数列{a
n
＋2an
＋
2
}是公差为________的等差数列．
解析 (a
n
＋
1
＋2a
n
＋
3
)－(a
n
＋2a
n
＋
2
)＝(a
n
＋
1
－a
n
)＋2(a
n
＋
3
－a
n
＋
2
)＝d＋2d＝3d.
答案 3d
11．已知数列{a
n
}满足a1
＝2，a
n
＋
1
＝
2a
n
?
1
?
，则数列
?
a
?
是否为等差数列？说明理由． ?
n
?
a
n
＋2
?
1
?
解 数列
?
a
?
是等差数列，理由如下：
?
n
?2a
n
∵a
1
＝2，a
n
＋
1
＝，
a
n
＋2
a
n
＋2
111
∴＝＝＋， < br>2a
n
a
n
＋
1
2a
n
111∴－＝(常数)．
a
n
＋
1
a
n
2
?
1
?
111
∴
?
a
?
是以＝为首项，公 差为的等差数列．
a
1
22
?
n
?
12．(创新 拓展)对数列{a
n
}，规定{Δa
n
}为数列{a
n
}的 一阶差分数列，其中Δa
n
＝a
n
＋
1
－a
n.对
正整数k，规定{Δ
k
a
n
}为{a
n
} 的k阶差分数列，其中Δ
k
a
n
＝Δ
k
1
a
n
＋
1
－Δ
k
1
a
n
＝Δ(Δ
k
1
a
n
)(k≥2)．
－－－
(1)试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列；
(2)已知 数列{a
n
}的通项公式a
n
＝n
2
＋n，试判断{Δa< br>n
}，{Δ
2
a
n
}是否为等差数列，为什么？
解 (1)由题意，可以得到此数列的一阶差分数列为1,2,4,7,11.
(2)Δa
n＝a
n
＋
1
－a
n
＝(n＋1)
2
＋ (n＋1)－(n
2
＋n)＝2n＋2，
∴{Δa
n
}是首项为4，公差为2的等差数列．

Δ
2
a
n
＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，
∴{Δ
2
a
n
}是首项为2，公差为0的等差数列．