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高中数学--必修五数列导学案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 02:38
tags:高中数学必修5数列

高中数学月考试卷分析范文-高中数学全品学练考必修四答案

2020年9月20日发(作者:梅冲)


----















.

数列导学案

§
2.1

数列的概念及简单表示(一)

【学习要求】

1.理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型.

2.探索并掌握数列的几种简单表示法.

3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

【学法指导】







1.在理解数列概念时,应区分数列与集合两个不同的概念.

2.类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法.

3.由数列的前几项,写出数 列的一个通项公式是本节的难点之一,突破难点的方法:把序号标在

项的旁边,观察项与序号的关系,从而写出通项公式.

【知识要点】

1.按照一定顺序排列的一列数称为

,数列中的每一个数叫做这个数列的

项.


.数列中的每一项

都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第

1 2
,

?,a
n

1 项 (通常也叫做 ___项 ),排在第二位的数称



为这个数列的第 2 项, ?? ,排在第 n 位的数称为这个数列的第

2.数列的一般形式可以写成

3.项数有限的数列叫做


,?,简记为



a ,a


数列,项数无限的数列叫做

_____数列.







4.如果数列 { a
n
} 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,

的 公式.
【问题探究】
探究点一 数列的概念
问题 先看下面的几组例子:
(1)全体自然数按从小到大排成一列数:
0,1,2,3,4, ? ;

那么这个公式叫做这个数列

(2)正整数

1,2,3,4,5 的倒数排成一列数: 1, ,

1

1


1



2

3

4

5


(3) π精确到 1,0.1,0.01,0.001 ,? 的不足近似值排成一列数:

3,3.1,3.14,3.141 , ? ;

(4)无穷多个 1

排成一列数: 1,1,1,1,1, ? ;

(5)当 n 分别取

n

1
1,2,3,4,5, ? 时, (- 1) 的值排成一列数:-

1,1,- 1,1,- 1, ?.


请你根据上面的例子尝试给数列下个定义.

探究点二

数列的几种表示方法

探究 数列中的项与数集中的元素进行对比,数列中的项具有怎样的性质?





问题 数列的一般形式是什么?回忆一下函数的表示方法,想一想除了列举法外, 数列还有哪些表示
方法?

探究 下面是用列举法给出的数列,请你根据题目要求补充完整.



( 1)数列: 1,3,5,7,9, ?









①用公式法表示:

a
n


②用列表法表示:

..

-----


----





.


( 2)数列: 1, ,, , , ?
2345
①用公式法表示: a
n


②用列表法表示:

探究点三

问题

探究

式吗?






















1111
.










③用图象法表示为 (在下面坐标系中绘出

数列的通项公式


):



什么叫做数列的通项公式?谈谈你对数列通项公式的理解?

根据所给数列的前几项求其通项公式时,

需仔细观察数列的特征,

并进行联想、 转化、 归纳,

同时要熟悉一些常见数列的通项公式.下表中的一些 基本数列,你能准确快速地写出它们的通项公














数列


通项公式

a
n


a
n


a
n


a
n


a
n


a
n


a
n











- 1,1,- 1,1, ?

1,2,3,4,?

1,3,5,7,?

2,4,6,8,?

1,2,4,8,?

1,4,9,16, ?

1, , ,, ?

2

3

4

111

【典型例题】



例 1

根据数列的通项公式,分别写出数列的前







5 项与第 2 012 项.





(1) a
n
= cos

2
(2) b
n


+++?+

1

.

1×2 2×3 3×4

n n+


小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项,要注意

杂,应考虑运算化简后再求值.

跟踪训练 1


n
1
11


n= 1,2,3, ?.如果数列的通项公式较为复


根据下面数列的通项公式,写出它的前


1
4 项.


(1)
n






(1) a
n
= 2 + 1;(2) b
n



例 2 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1) 1,- 3,5,- 7,9, ? ;



1925
( 2)
2
, 2,
2
, 8,
2
, ? ;
( 3) 9,99,999,9 999, ? ;
( 4) 0,1,0,1, ?.
小结 据所 给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、
分母的特征; ②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进
行联想、转化、归纳 .






..

-----


----







.

跟踪训练 2

写出下列数列的一个通项公式:

( 1)2, 4,6,8 ,?;
2

4

8

16

( 2) 0.9,0.99,0.999,0.999 9 ,? ;
( 3)- ,,- , , ?.
2



1111



1111
6



12

20




n
















例 3 已知数列 { a
n
} 的通项公式 a
n




n-




n+

n+

.





(1)写出它的第

10 项;


2
(2)判断

是不是该数列中的项.


33


小结 判断某数列是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求

明该数是数列中的项,否则就不是该数列中的项.


跟踪训练













n 的值,若存在正整数

n,则说



3 已知数列 { a
n
} 的通项公式为

a
n


n


1

n+

(n∈ N

) ,那么


*
1

是这个数列的第 ______项.

120


【当堂检测】


1.下列叙述正确的是 ()

A .数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列



B.数列 0,1,2,3, ? 可以表示为 { n}

n



D.数列 {
n


1
} 是递增数列

C.数列 0,1,0,1,? 是常数列

2.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:1, 3, 5, 7, ___,

3.已知下列数列:


11,?.



( 1) 2 000,2 004,2 008,2 012 ;
( 2)0, , , ? ,
2

3


12n

1
, ? ;

n 1
n


·
,? ;

(3) 1, , , ? ,
n

1
, ? ; ( 4)1,- ,, ? ,

2n- 1


2 4

2

3

5



11123
n








(5) 1,0,- 1, ?, sin

2

?

; (6)

6,6,6,6,6,6.

其中,有穷数列是

________,无穷数列是 ________,递增数列是 ________,递减数列是 ________,

常数列是 ________,摆动数列是 ________,周期数列是 ________. (将合理的序号填在横线上 )

【拓展提高】



4.写出下列数列的一个通项公式:

( 1) a, b, a, b,? ;
( 2)- 1,,- ,, ?.
5

7

9


81524

【课堂小结】








1. { a
n
} 与 a
n
是不同的两种表示, { a
n
} 表示数列 a
1
, a
2
,? ,a
n
,? ,是数列的一种简记形式.而

a
n

..

-----


----














































































































.

只表示数列 { a
n
} 的第 n 项, a
n
与 { a
n
} 是 “个体 ”与 “整体 ”的从属关系.

2.数列的表示方法:①图象法;②列表法;③通项公式法;④递推公式法.

3.由 数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系.同时,要

善于利用我们熟知的一些基本数列,通过合理的联想、转化而达到问题的解决.

..

-----


----







.

§
2.1






数列的概念及简单表示(二)

【学习要求】

1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.

2.能从函数的观点研究数列,掌握数列的一些简单性质.

【学法指导】



1.数列的递推公式是给出数列的另一重要形式.一般只要给出数列的首项或前几 项以及数列的相
邻两项或几项之间的运算关系,就可以依次求出数列的各项.

2.由 于数列可以看作是一类特殊的函数,因此许多函数的性质可以应用到数列中.例如,数列的
单调性、数列 的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质.


【知识要点】


1.如果数列 { a
n
} 的第 1 项或前几项已知,并且数列

{ a
n
} 的任一项

a
n
与它的前一项 a
n


1
(或前几项 )间

的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的

公式.


2.数列可以看作是一个定义域为

照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列

3.一般地, 一个数列 { a
n
} ,如果从

(或它的有限子集 {1,2,3 ,? ,n}) 的函数,当自变量按




起,每一项都大于它的前一项, 那么这个数列叫做





列.如果从第 2 项起,每一项都小于它的前一项,那么这个数列叫做

项都

,那么这个数列叫做常数列.


4.已知数列 { a
n
} 满足: a
1
= 1,a
n


1
- a
n
= 1,则 a
n



数列.如果数列 { a
n
} 的各

数列.

,从单调性来看,数列是单调

【问题探究】



公元前 13 世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中,记载了一个著名的问题,某人

有一对新生 的兔子饲养在围墙中,如果它们每个月生一对兔子,且新生的兔子从第三个月开始也是每
个月生一对兔子 ,问一年后围墙中共有多少对兔子?该问题在原书中作了分析:第一个月和第二个月
都是最初的一对兔子 ,第三个月生下一对兔子,围墙内共有两对兔子,第四个月仍是最初的一





对兔子生下一对兔子,共有

子也开始生兔子,因此共有

3 对兔子.到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外,第一个月生的兔

5 对兔子.继续推下去,第

12 个月时最终共有 144 对兔子.书中还提

19 世纪法国数学家吕卡将

出,每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得.据载首先是由






















级数 { a
n
} :1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,? ,a
n


1
= a
n
+a
n


1
命名为斐波那契数列,它在数 学的许多分支中
有广泛应用.数列的这种表达形式,是用前面的项来表达后面的项,我们称之为数列的递 推公式,数

列的递推公式有什么应用呢?这一节我们就来学习数列的递推公式.

探究点一

问题
探究 1

数列的函数特性

数列的单调性

数列是一种特殊的函数,与函数相比,数列的特殊性表现在哪些方面?谈谈你的认识.

下面给出了一些数列的图象:

..

-----


----



















































.

a
n
=2n- 1

1























a
n

n

a
n
= (- 1)
n

观察上述数列项的取值的变化规律,请类比单调函数的定义,把下列单调数列的定义补充完

整.一般地,一个数列

{ a
n
} ,如果从第 2 项起,每一项都大于它前面的一项,即

2 项起,每一项都小于它前面的一项,即


,那么这

,那么这个数

个数列叫做递增数列;如果从第

列叫做递减数列;如果数列

列,只需证明 a
n


1
- a
n


探究 2

数列的周期性


{ a
n
} 的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.

0.







因此,要证明数列

{ a
n
} 是单调递增数列,只需证明

a
n


1
- a
n
0;要证明数列 { a
n
} 是单调递减数



已知数列 { a
n
} 中, a
1
= 1,a
2
= 2, a
n


2
= a
n


1
- a
n
,试写出 a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, a
7
, a
8
,你发现数列

{ a
n
} 具有怎样的规律?你能否求出该数列中的第

探究点二

由简单的递推公式求通项公式


2 012 项是多少?











问题 递推公式与通项公式,都可以用来写出数列中的任意项,都是给出数列的一种方法,那么它

..

-----


----







.

们究竟有什么不同呢?

探究 1 对于任意数列 { a
n
} ,等式: a
1
+ (a
2
- a
1
)+ (a
3
- a
2
) +? + (a
n
- a
n

1
)= a
n
都成立.试根据这一
结论,求解下列问题.

已知数列 { a
n
} 满足: a
1
= 1, a
n


1
- a
n
= 2,试求通项 a
n
.


探究 2





若数列 { a
n
} 中各项均不为零,则有: a
1
· · ·?·

= a
n
成立.试根据这一结论求解下列问


a
2
a
3
a
1
a
2
a
n

a
n

1

题.

已知数列 { a
n
} 满足: a
1
= 1,


a
n

n

1



(n≥ 2),试求通项 a
n
.


a
n


1
n

【典型例题】


例 1

小结

在数列 { a
n
} 中,已知 a
1
=2, a
2
= 3, a
n


2
= 3a
n


1
- 2a
n
(n≥ 1),写出此数列的前

已知数列递推公式求数列通项时,依次将项数


6 项.

n 的值代入即可.


跟踪训练 1


*
已知数列 { a
n
} 中, a
1
= 1, a
2


2

1



1


2

(n∈ N , n≥3),求 a
3
, a
4
.

--
3 a
n

2
a
n
a
n1


例 2


已知数列

{ a
n
} 的通项公式为

小结

.求证:数列 { a
n
} 为递增数列.

n + 1


数列是一种特殊的函数,因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性.

a
n

2

n
2









跟踪训练 2


已知数列 { a
n
} 的通项公式是 a
n








an




,其中 a、 b 均为正常数,那么

bn+ 1



a
n
与 a
n


1
的大小




关系是 (

A . a
n
>a
n

)

1




B. a
n
n

1
n

C. a
n
= a
n

1
*
D.与 n 的取值相关

9
例 3


n+

10

n



已知 a
n




(n∈ N

),试问数列 { a
n
} 中有没有最大项?如果有,求出这个最大项;如


果没有,说明理由.


小结






数列的最大、最小项问题,可以通过研究数列的单调性加以解决,若求最大项




a
n
, n 的值可

a
n
≥a
n

1
a
n
≥a
n

1


通过解不等式组


来确定;若求最小项 a
n
, n 的值可通过解不等式组


a
n
≤a
n

1


来确定.


a
n
≤a
n

1
跟踪训练 3






在数列 { a
n
} 中, a
n
= n -an,若数列 { a
n
} 为递增数列,试确定实数

3
a 的取值范围.

【当堂检测】

1.已知 a
n

1
- a
n
- 3= 0,则数列 { a
n
} 是

A .递增数列

B.递减数列

*

(

D.不能确定


)

(

)

C.常数列


2.数列 1,3,6,10,15, ? 的递推公式是


A . a
n


1
= a
n
+ n, n∈ N

C. a
n


1
= a
n
+ (n+ 1), n∈N , n≥2 D. a
n
= a
n


1
+(n- 1), n∈ N , n≥2









*
B. a
n
= a
n


1
+ n, n∈ N , n≥2

*
*



3.数列 { a
n
} 中, a
n
=- 2n+ 29n+3,则此数列中最大项的值是 (

2
)

..

-----


----






.


1


C. 108
8

A.107

B.108

D. 109

4.已知数列 { a
n
} 满足 a
1
= 2, a
n


1
- a
n
+ 1=0(n∈N

),则此数列的通项

a
n
等于 ()

A . n+ 1





2
B. n+ 1

C. 1- n


D .3- n

【课堂小结】




1.同数列的通项公式一样,数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一.递推 公式法与通项公
式法统称为公式法.

2.函数与数列的联系与区别

一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观
点、函数 的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.

另一方面,还要注意数列的特殊性

(离散型 ),由于它的定义域是

N 或它的有限子集

{1,2 , ? ,

*




n} ,因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,

因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调性时,由数列的图象可知,只要这些点每

个比它前面相邻的一个高 (即 a
n
>a
n


1
),则图象呈上升趋势,即数列递增,即 { a
n
} 递增 ? a
n

1
>a
n
对任意的 n
(n∈ N )都成立.类似地,有 { a
n
} 递减 ? a
n


1
n
对任意的 n(n∈ N )都成立.

**

【拓展提高】











§
2.2







等差数列(一)

【学习要求】

1.理解等差数列的意义.

2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.

3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用.

【学法指导】








1.要善于通过实例的观察、分析、 归纳、提炼来理解等差数列的概念,同时,还应准确理解等差

数列的关键词 “从第 2 项起 ”,“差是一个常数

”等;要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式.

2.利用 a
n

1
- a
n
= d(n∈ N

)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列.

【知识要点】


1.如果一个数列从第

2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做


,公差通常用字母 d 表示.

________.


数列,这个常数叫做等差数列的

3.若等差数列的首项为






2.若三个数 a, A, b 构成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的 _________,并且 A=

a
1
,公差为 d,则其通项 a
n



.



4.等差数列 { a
n
} 中,若公差 d>0 ,则数列 { a
n
} 为

数列;若公差 d<0,则数列 { a
n
} 为

数列.

..

-----


----







.

【问题探究】









1. 1682 年,英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和

轨迹惊人地相似,便大胆断定这是同一天体的三次出现,并预言它将于

著名的哈雷彗星,它的回归周期大约是

测它在本世纪回归的时间.

哈雷彗星的回归时间表

1531 年、 1607 年的彗星的运动

76 年后再度回归.这就是

76 年.请你查找资料,列出哈雷彗星的回归时间表,并预

(单位:年 )1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061 , ?.

2061 年.

1896 年在希腊雅典举行,此后每

4 年举行一次,奥运会如因故不能举

预测它在本世纪回归的时间是

2.第一届现代奥运会于


行,届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一 个数列,这个数列有什么特征呢?这个数列叫什么
数列呢?

这个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 像这样的数列叫做等差数列. 等差数列
有很多的应用,这一节我们就来学习等差数列及其通项公式.探究点一 等差数列的概念




问题 1

我们先看下面几组数列:





( 1) 3,4,5,6,7, ? ;
( 2) 6,3,0,- 3,- 6, ? ;
( 3) 1.1,2.2,3.3,4.4,5.5 , ? ;
( 4)- 1,- 1,- 1,- 1,- 1, ?.
观察上述数列,我们发现这几组数列的共同特点是
问题 2

判断下列数列是否为等差数列,如果是,指出首项

a
1
和公差 d;如果不是,请说明理由:







( 1) 4,7,10,13,16 ,? ;
( 2) 31,25,19,13,7 ,? ;
( 3) 0,0,0,0,0, ? ;
( 4) a, a- b, a- 2b, ? ;
( 5) 1,2,5,8,11, ?.
探究

问题

如何准确把握等差数列的概念?谈谈你的理解.

等差数列的通项公式


如果等差数列 { a
n
} 的首项是 a
1
,公差是 d,你能用两种方法求其通项吗?





探究点二

探究 1


根据等差数列的定义:

纳概括出通项公式 a
n
.

探究 2


由等差数列的定义知:

探究点三

等差中项

a
n


1
= a
n
+ d,可以依次得到 a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,?,然后观察规律,归


a
n
- a
n


1
= d(n≥2),可以采用叠加法得到通项公式


a
n
.

x, y 表示 A.

问题 1


如果三个数 x,A, y 组成等差数列,那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项,试用

探究



若数列 { a
n
} 满足: a
n

1



a
n
+ a
n

2
,求证: { a
n
} 是等差数列.




2


【典型例题】


例 1 已知 { a
n
} 为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公








式.(1) a
3
= 5, a
7
=13;
(2)前三项为: a,2a- 1,3-a.
小结

在等差数列 { a
n
} 中,首项 a
1
与公差 d 是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件

..

-----


----






.

与结论间的联系不明显,则均可化成有关

整体计算,以减少计算量.

跟踪训练 1


a
1
、d 的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及



若 { a
n
} 是等差数列, a
15
= 8, a
60
= 20,求 a
75
.

例 2 已知 , , 成等差数列,求证:

b+ c

a+ c

a+ b
也成等差数列.

a

b c

a

bc


跟踪训练 2

已知 a, b, c 成等差数列,那么

a(b+ c), b(c+ a), c( a+ b)是否能构成等差数列?

110 cm,中间还有

10 级,各级的宽度成等差数列,计


111
222
例 3 梯子的最高一级宽 33 cm,最低一级宽

算中间各级的宽度.







跟踪训练 3

在通常情况下,从地面到

10 km 高空,高度每增加

1 km ,气温就下降某一个固定数值 .

如果 1 km 高度的气温是 8.5℃ ,5 km 高度的气温是 -17.5℃,求 2 km, 4 km, 8 km 高度的气温 .

【当堂检测】


1.若数列 { a
n
} 满足 3a
n


1
=3a
n
+ 1,则数列是




(


)





1

B.公差为
3
的等差数
A .公差为 1 的等差数列

1


的等差数



D.不是等差数列












C.公差为-
3



2.若 abs,则等差数列


a, x
1
, x
2
, b 的公差是

b- a


b- a




(

b- a

D.
4

)




















B.
2

A . b-a


3.在等差数列 { a
n
} 中,

C.
3
















(1)已知 a
1
=2, d= 3, n= 10,则 a
n
= ___;

(2)已知 a
1
=3, d= 2, a
n
= 21,则 n= ___;

(3)已知 a
1
=12, a
6
= 27,则 d= ___;

(4)已知 d=-



1




,a

=8,则 a = ___.

7

3


1


4.甲虫是行动较快的昆虫之一,下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:




时间 t(s)

距离 s(cm)

1

9.8

2

19.6

3

29.4

?

?



49

?

?


60



(1)你能建立一个等差数列的模型,表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗?

(2)利用建立的模型计算,甲虫





1 min 能爬多远?它爬行

49 cm 需要多长时间?

【课堂小结】



1.等差数列的判定关键要看


a
n


1
- a
n
(n∈ N )是否为一个与 n 无关的常数.由于

a
n


1
-a
n
= a
n


2
- a
n

*
*
1
? 2a
n


1
= a
n
+ a
n


2
,所以也可以利用 2a
n


1
= a
n
+ a
n


2
(n∈ N )来判定等差数列.注意数列的项






中含有字母时是否需要分类讨论.

2.等差数列的通项公式及其变形

a
n
= a
1
+ (n- 1)d= a
m
+ (n- m) d 的应用极其灵活,公式中的四个量

-----


----

..

-----


----








.

a
1
, a
n
, n, d 中知三可求一.充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷.

3.数列的应用题在数列中占有很重要的地位.

【拓展提高】










§
2.2






等差数列(二)

【学习要求】

1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.

2.能运用等差数列的性质解决有关问题.

【学法指导】






1.灵活运用等差数列的性质,可以减少计算量,因此要熟练掌握等差数列的有关性质.
2.掌握等差数列与一次函数之间的关系,就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质.

【知识要点】


1.等差数列的通项公式: a
n


即: a
1
+ a
n
= a
2


3.等差数列的性质


.

.



2.等差数列的项的对称性:有穷等差数列中,与首末两项

= ? =a
k




“等距离 ”的两项之和等于首末两项的和,





(1)若 { a
n
} 是等差数列,且 k+ l = m+ n(k、 l 、 m、n∈ N ),则

(2)若 { a
n
} 是等差数列,且公差为

( 3)若 { a
n
} , { b
n
} 分别是公差为

的等差数列.


*
.


d,则 { a
2n



1
} 和 { a
2n
} 都是等差数列,且公差为


.

d
1
, d
2
的等差数列,则数列

{ pa
n
+ qb
n
}( p 、 q 是常数 ) 是公差为





【问题探究】




探究点一

等差数列的常用性质

*
问题 设等差数列 { a
n
} 的首项为 a
1
,公差为 d,则有下列性质:

( 1)若 m+ n= p+ q(m,n, p, q∈N ),则 a
m
+ a
n
= a
p
+ a
q
.
( 2)若 m+ n= 2k(m, n,k∈ N ),则 a
m
+ a
n
= 2a
k
.
请你给出证明.

探究 已知等差数列 { a
n
} 、{ b
n
} 分别是公差为

请你补充完整.




*
d 和 d′,则由 { a
n
} 及 { b
n
} 生成的 “新数列 ”具有以下性质,



①{ a
n
} 是等差数列,则 a
1
, a
3
, a
5
, ?仍成等差数列 (首项不一定选

a
1
),公差为

②下标成等差数列且公差为m 的项 a
k
, a
k


m
, a
k


2m
, ?(k, m∈ N

)组成公差为

③数列 { λa+ b}( λ,b 是常数 )是公差为

的等差数列;







n


的等差数列;



..

-----


----






.

④数列 { a
n
+b
n
} 仍是等差数列,公差为

⑤数列 { λa+ μb

n
n
}(

λ,μ





是常数

)仍是等差数列

,公差为

.




探究点二


等差数列与一次函数的联系


探究 由于等差数列 { a
n
} 的通项公式 a
n
= dn+( a
1
-d),与一次函数对比可知,公差

d 本质上是相应

直线的斜率. 如 a
m
,a
n
是等差数列 { a
n
} 中的任意两项, 由 a
n
= a
m
+ (n- m)d,可知点 (n,a
n
)分布以



斜率,以

为纵截距的直线上.


请你类比一次函数的单调性,研究等差数列的单调性,并完成下表

d>0

d= 0

d<0


.








{ a
n
} 为

{ a
n
} 为

{ a
n
} 为

数列

数列

数列

【典型例题】


例 1


在等差数列 { a
n
} 中,已知 a
1
+ a
4
+ a
7
= 39, a
2
+ a
5
+ a
8
= 33,求 a
3
+ a
6
+ a
9
的值.

解决本类问题一般有两种方法:一是运用等差数列

{ a
n
} 的性质:若 m+ n= p+ q= 2w,则 a
m
小结


+ a
n
= a
p
+ a
q
= 2a
w
( m, n, p,q, w 都是正整数 );二是利用通项公式转化为数列的首项 与公差的
结构完成运算,属于通性通法,两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
跟踪训练 1 已知等差数列 { a
n
} 中, a
1
+ a
4
+ a
7
=15, a
2
a
4
a
6
= 45,求此数列的通项公式.

例 2

三个数成等差数列,和为

6,积为- 24,求这三个数.



小结

利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般地有如下规律:当等差数列

{ a
n
} 的项

数 n 为奇数时,可设中间一项为

a,再用公差为

d 向两边分别设项: ? a- 2d, a-d, a, a+ d, a

+2d,? ;当项数为偶数项时,可设中间两项为

跟踪训练 2 四个数成递增等差数列,中间两数的和为



a- d,a+ d,再以公差为 2d 向两边分别设项: ? a


-3d, a- d, a+ d,a+ 3d,? ,这样可减少计算量.


2,首末两数的积为- 8,求这四个数.

2a
n
例 3


已知数列 { a
n
} ,满足 a
1
=2, a
n

1

a
n


2
.




( 1)数列 { } 是否为等差数列?说明理
由. a
n

( 2)求 a
n
.
小结

判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义:

a
n

1
- a
n
= d(d 为常数 ) ,也可以用

a
n


1
- a
n

= a
n
- a
n

1
(n≥ 2)进行判断.本题属于 “生成数列问题 ”,关键是形成整体代换的思想方法,运用方程思
想求通项公式.
跟踪训练 3

正项数列 { a
n
} 中, a
1
= 1, a
n

1


a
n

1
= a
n


a
n
.

( 1)数列 { a
n
} 是否为等差数列?说明理由.
( 2)求 a
n
.
1







【当堂检测】


1.等差数列 { a
n
} 中, a
4
+ a
5
= 15,a
7
= 12,则 a
2
等于 (

3


A . 3





)

3

D.-
2

B.- 3

C.
2

..

-----


----






.

2.等差数列 { a
n
} 中,已知 a
3
=10, a
8
=- 20,则公差 d= ____

3.已知等差数列 { a
n
} 中, a
2
+a
3
+a
10
+a
11
= 36,求 a
5
+ a
8
4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为




18,平方和为

116,求这三个数.

【课堂小结】


1.判断一个数列 { a
n
} 是否是等差数列,关键是看

2.三个数成等差数列可设为:

a
n


1
-a
n
是否是一个与 n 无关的常数.

a- d,a, a+ d 或 a, a+ d, a+ 2d;四个数成等差数列可设为: a-

3d, a- d,a+ d, a+ 3d 或 a,a+ d, a+ 2d, a+3d.

3.在等差数列 { a
n
} 中,首项 a
1
与公差 d 是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与

结论间的联系不明显,则均可化成有关

体计算,以减少计算量.


a
1
、d 的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整


【拓展提高】







§
2.3

等差数列前

n

项和(一)



【学习要求】





1.理解等差数列前 n 项和公式的推导过程.

2.熟练掌握等差数列的五个量

a
1
, d, n,a
n
, S
n
的关系,能够由其中三个求另外两个.

3.掌握等差数列前 n 项和公式及性质的应用.

【学法指导】





1.运用等差数列的前

n 项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征,这样才能根据具体情境

n 项和公式中,归纳总结出一般的求和方法

—— 倒序相加法.

(已

知条件和待求目标

)选用恰当的公式解决问题.

2.要善于从推导等差数列的前

【知识要点】




1.把 a
1
+ a
2
+? + a
n
叫数列 { a
n
} 的前 n 项和,记做

+ a
3
+ ? + a
n

1
=(n≥2).
.例如 a
1
+a
2
+ ? + a
16
可以记做

; a
1
+ a
2

2.若 { a
n
} 是等差数列, 则 S
n
可以用首项 a
1
和末项 a
n
表示为 S
n


则 S
n
可以表示为 S
n


3.写出下列常见等差数列的前

(1) 1+ 2+ 3+ ? +n=

(2) 1+ 3+ 5+ ? + (2n- 1)=.

(3) 2+ 4+ 6+ ? +2n=


;若首项为 a
1
,公差为 d,






n 项和



.




4.等差数列 { a
n
} 中









( 1)已知 d= 2, n= 15, a
n
=- 10,则 S
n
= ________;
( 2)已知 a
1
=20, a
n
= 54, S
n
= 999,则 d= ________;
51
( 3)已知 a
1

6
, d=-
6
, S
n
=- 5,则 n= _______
..

-----


----







.

【问题探究】




“数学王子 ”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿

基米德、牛顿并列,同享盛名.高斯十岁那年,老师布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把

100 的所有整数加起来,老师刚叙述完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去.老师起初并不
在意这一举动,但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大吃一惊.而更使人吃惊的是高
1 到











斯的算法, 他发现: 第一个数加最后一个数的和是

共有 50 对这样的数,用
101,第二个数加倒数第二个数的和也是

101,?

101 乘以 50 得到 5 050,这种算法是教师未曾教过的方法,高斯自己就想

出来了,那么这是一个什么样的方法呢?它用于解决什么类型的问题呢?

这种方法叫倒序相加法,是等差数列求和的一种重要方法,这一节我们就来学习等差数列的求

和方法.

探究点一

问题

等差数列前

n 项和公式的推导

求和: 1+ 2+ 3+ ? + 100=?

对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果.当时他的思路和解答方法是:

S= 1+ 2+ 3+ ? + 99+ 100,把加数倒序写一遍:

S= 100+ 99+ 98+? + 2+1.

所以有 2S= (1+ 100)+(2+ 99)+ ? + (99+2)+ (100+ 1)= 100×101,∴ S= 50×101= 5 050.
请你利用 “高斯的算法 ”求 1+ 2+ 3+ ? + n=?

探究 设等差数列 { a
n
} 的首项为

S
n
吗?

探究 1

a
1
,公差为 d,你能利用 “倒序相加法 ”求等差数列 { a
n
} 的前 n 项和














设 { a
n

探究点二


等差数列前 n 项和的性质

} 是等差数列, 公差为 d,S

n
是前 n 项和,易知 a
1
+a
2
+? + a
m
,a
m

1
+ a
m


2
+ ? + a
2 m


a
2m


1
+ a
2m


2
+ ?+ a
3m
也成等差数列,公差为

成等差数列,则 S
m


探究 2


.上述性质可以用前

n 项和符号 S
n
表述为:若 { a
n
}





, _________也成等差数列.


S
n

若数列 { a
n
} 是公差为 d 的等差数列,求证:数列 {

n

} 也是等差数列.


探究 3



设 S
n
、T
n
分别为两个等差数列 { a
n
} 和 { b
n
} 的前 n 项和,证明:

a
n

S
2n

1
.


b
n
T
2n1


【典型例题】


例 1

小结

在等差数列 { a
n
} 中,已知 d= 2, a
n
= 11, S
n
= 35,求 a
1
和 n.

在解决等差数列问题时,如已知



a
1
,a
n
,n, d, S
n
中任意三个,可求其余两个,这种问题在

数学上常称为 “知三求二 ”型.


跟踪训练 1 已知等差数列 { a
n
} 中,

3 1


( 1) a
1

2
, d=-
2
, S
n
=- 15,求 n 及 a
n

( 2) a
1
= 1, a
n
=- 512, S
n
=- 1 022,求 d.
例 2

( 1)等差数列 { a
n
} 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求数列 { a
n
} 的前 3m 项的和 S
3m


7n+ 2


n 5
(2)两个等差数列 { a



和T,已知


S
n

n
}

,{ b
n
}

的前

n

项和分别为

n
T
n


n+ 3

b
5
S
,求 的值.
a










小结

等差数列前 n 项和 S
n
的有关性质在解题过程中,

如果运用得当可以达到化繁为简、

化难为易、

事半功倍的效果.

..

-----


----






.

跟踪训练

2 设 { a
n
} 为等差数列, S
n
为数列 { a
n
} 的前 n 项和,已知 S
7
=7, S
15
= 75, T
n
为数列






S
n




n

前 n 项和,求 T
n
.

例 3 甲、乙两物体分别从相距

分钟多走

1 m,乙每分钟走 5 m.

70 m 的两处同时相向运动,甲第



1 分钟走

2 m ,以后每分钟比前

1







(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前

m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

1 分钟多走

1 m,乙继续每分钟走

5


小结 建立等差数列的模型时,注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前

余钢管的根数为 ()

A . 9


n 项和.





跟踪训练

3 现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩



B.10

C. 19

D .29

【当堂检测】


1.记等差数列前

A . 2

n 项和为 S
n
,若 S
2
=4, S
4
= 20,则该数列的公差 d 等于 ()

B . 3

C. 6

9项和 S
9
等于 ()

D .7

2.已知等差数列 { a
n
} 中, a
2
+a
8
=8,则该数列的前




A.18

B.27

C. 36

D. 45

3.等差数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
,若 S
12
= 84, S
20
=460,则 S
6
=________.

4.已知等差数列 { a
n
} 的前 3 项依次为 a,4,3a,前 k 项和 S
k
= 2 550,求 a 及 k.

【课堂小结】





1.求等差数列前

n 项和公式的方法称为倒序相加法.

2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及

另外两个量.

在求等差数列的和时,一般地,若已知首项



a
1
, a
n
, S
n
,n, d 五个量,通常已知其中三个量,可求

a 及末项 a ,用公式

1 n

S =

n




n


项 a
1


及公差 d,用公式 S
n
= na
1

n n


a
1
+ a
n
较好,若已知首

2



d 较好.


2


3.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在结合推导过程中加强记忆,并在解题
中熟练灵活地应用.






【拓展提高】







§
2.3

等差数列前

n

项和(二)



【学习要求】









1.熟练掌握等差数列前

n 项和的性质,并能灵活运用.

2.掌握等差数列前 n 项和的最值问题.

..

-----


----






.

3.理解 a
n
与 S
n
的关系,能根据

S
n
求 a
n
.


【学法指导】


1 . 任 何 一 个 数 列 { a
n
} 与 它 的 前 n 项 和


S
n
之 间 都 有 一 个 等 量 关 系 式 , 此 公 式 为 : a
n


S
1
S
n
- S
n


1




n=

n




,题中已知一个数列的前


n 项和,则可利用此公式求得此数列的通项公式,

同时要注意此公式是一个分段的函数,所以在使用此公式求解时,要分类讨论.

2. 数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解,这也是利用函数解决数列问题的一个重

要应用.

3.等差数列的前 n 项和与二次函数联系十分紧密,要辨析它们之间的关系,从更高境界处理等差数
列的前 n 项和问题.


【知识要点】


1.前 n 项和 S
n
与 a
n
之间的关系


n=




对任意数列 { a
n
} ,S
n
是前 n 项和, S
n
与 a
n
的关系可以表示为

a
n


n

.


2.等差数列前 n 项和公式 S
n




2
3.若等差数列 { a
n
} 的前 n 项和公式为 S
n
= An + Bn+ C,则 A= ___,B=


, C=

4.已知数列 { a
n
} 的通项公式是

a
n
= 2n-48,则 S
n
取得最小值时, n 为 ________.

【问题探究】



1.如果已知数列

{ a
n
} 的前 n 项和 S
n
的公式,那么这个数列确定了吗?如果确定了,那么如何求它

的通项公式?应注意一些什么问题?

2.如果一个数列的前

数列吗?



n 项和的公式是


S
n
=an+ bn+ c(a, b,c 为常数 ),那么这个数列一定是等差


2
3.如果 { a
n
} 是一个等差数列, 那么 {|a
n
|} 还是等差数列吗?如果不再是等差数列,

项和?


这一节课我们就来解答上面的问题.

探究点一





如何求 {| a
n
|}的前 n









数列 { a
n
}的前 n 项和 S
n
与 a
n
的关系



问题 我们已经知道,如果通项公式

S
n
,能否求出它的通项公式 a
n?

a
n
已知,就能求出

S
n
;反过来,如果已知数列


{ a
n
} 的前 n 项和


探究 如果数列 { a
n
} 的前 n 项和的公式是 S
n
= an+ bn+ c(a, b,c 为常数 ),求通项公式

a
n
,并判断

这个数列一定是等差数列吗?


探究点二





2
等差数列前 n 项和的最值

n



问题 由于 S
n
=na
1


n-

2




d= n

d
2

2

+(a
1


d

2


)n,当 d= 0 时, S
n
= na
1
;当 d≠0时,此解析式可以


y= x


看作二次项系数为


,一次项系数为





,常数项为







的二次函数,其图象为抛物线






d
2

+( a
2




1






-)x 上的点集,坐标为

( n, S
n
)( n∈N ).

2


d

*
..

-----


----






.


因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:

S
n
取到最值.


基本量



当 d> 0 时,S
n
有最

值;当 d< 0 时,S
n
有最

值;

且 n 取最接近对称轴的正整数时,

探究






1



按要求,把下列表格填充完整,并观察使等差数列前

等差数列

1,3,5,7,9, ? ,

- 5,- 3,- 1,1,3,

? ,

4,2,0,-2,

- 4,?,





n 项和 S
n
取到最值时序号

前 n 项和 S
n

S
n



n 的规律 .



S
n
的最值






a
1


d=.

a
1


d=.

a
1


d=

a
1







(S
n
)
min
= 1,

此时 n=.

(S
n
)
min


此时 n=

(S
n
)
max


此时 n=

(S
n
)
max






2







S
n


S
n









3












4




.





- 1,- 2,- 3,-4,- 5,?,

S
n





d=

通过上面的例子,我们看到等差数列前



此时 n=


.

n 项和的最值在项的符号分界点处取到,据此完善下列



结论:

(1)若 a
1
> 0, d< 0,则数列的前面若干项为


(2)若 a
1
< 0, d> 0,则数列的前面若干项为





项(或 0),所以将这些项相加即得

项(或 0),所以将这些项相加即得

{ S
n
} 的最

{ S
n
} 的最

值.

值.

值;

特别地,若 a
1
> 0,d> 0,则 S
1
是 { S
n
} 的最

值 若 a
1
< 0, d< 0,则 S
1
是 { S
n
} 的最

【典型例题】

例 1


已知数列 { a
n

} 的前 n 项和为 S

n
,且 S
n
= 2n- 3n,求通项公式 a
n

2
.



小结

已知前 n 项和 S
n
求通项 a
n
,先由 n=1 时, a
1
= S
1
求得 a
1
,再由 n≥2时, a
n
= S
n
- S
n


1
求 a
n


最后验证 a
1
是否符合 a
n
,若符合则统一用一个解析式表示.


跟踪训练 1 已知数列 { a
n
} 的前 n 项和 S
n
= 3,求 a
n
.

例 2


n

在等差数列 { a
n
} 中, a
n
= 2n- 14,试用两种方法求该数列前

在等差数列中,求

n 项和 S
n
的最小值.


小结

S
n
的最大 (小 )值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正

(正 )值,则从第 1 项起到该项的各项的和为最大





(负 )

值或零,而它后面的各项皆取负

(小 ).由于 S
n
为关

于 n 的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解.

跟踪训练 2 在等差数列 { a
n
} 中, a
1
= 25,S
17
= S
9
,求 S
n
的最大值.

例 3

小结

若等差数列 { a
n
} 的首项 a
1
= 13, d=- 4,记 T
n
= |a
1
|+ |a
2
|+ ? + |a
n
|,求 T
n
.


等差数列 { a
n
} 前 n 项的绝对值之和, 由绝对值的意义, 应首先分清这个数列的哪些项是负的,






哪些项是非负的,然后再分段求出前

n 项的绝对值之和.


跟踪训练 3 已知等差数列 { a
n


n
是它的前 n 项和,若 S
2
= 16, S
4
= 24,求数列 {| a
n

|} 的前 n


}中,记 S


项和 T
n
.

【当堂检测】

1.已知数列 { a
n
} 的前 n 项和 S
n
= n,则 a
n
等于

A . n






2
()

D. 2n- 1

2
B. n
2

C. 2n+ 1

2.数列 { a
n
} 为等差数列,它的前

n 项和为 S
n
,若 S
n
= (n+ 1)+ λ,则 λ的值是 ()

..

-----


----






.

A.- 2 B.- 1 C.0 D.1 3.设数列 { a
n
} 的通项为 a
n
= 2n-7(n∈ N ),则 |a
1
|+ |a
2
|+
?+ |a
7
|= ________.

4.首项为正数的等差数列,前


*
n 项和为 S
n
,且 S
3
= S
8
,当 n= ________时, S
n
取到最大值.

【课堂小结】


1.公式 a
n
=S
n
- S
n


1
并非对所有的

n∈ N 都成立,而只对 n≥2的正整数才成立.由

*
S
n
求通项公式

a
n
= f(n)时,要分 n=1

和 n≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不

能,则用分段函数的形式表示.


2.求等差数列前 n 项和的最值

数图象的对称性来确定



(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前

n 的值,更加直观.

a
n
≥0,

a
n

1
≤0

a
n
≤0,

当 a
1
<0, d>0,



n 项和的最值,但要注意







n∈ N ,结合二次函





*
(2)通项法:当 a
1
>0, d<0,



时, S
n
取得最大值;


a
n


1
≥0

时, S
n
取得最小值.

3.求等差数列 { a
n
} 前 n 项的绝对值之和,关键是找到数列


{ a
n
} 的正负项的分界点.

【拓展提高】






等差数列习题课



【学习要求】




1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前

n 项和公式,并能综合运用这些知识解决一些问题.

2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前

n 项和的性质,并能综合运用这些性质解决相关问题.

3.熟练掌握等差数列的五个量

a
1
, d, a
n
, n, S
n
的关系,能够用其中三个求另外两个.


【学法指导】


a
1
,d,n 称为等差数列的三个基本量, a
n
和 S
n
都可以用这三个基本量来表示,


五个量 a
1
,d,n,

a
n
, S
n
中可知三求二,即等差数列的通项公式及前

n 项和公式中 “知三求二 ”的问题,一般是通过通

项公式和前 n 项和公式联立方程 (组) 求解.这种方法是解决数列运算的最基本方法,对此类问题,注


意利用等差数列的性质以简化计算过程,同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整

体思想的运用.

【知识要点】


1.等差数列的通项公式 a
n


知首项 a
1
及末项 a
n
,用公式 S
n


①若 m+n= p+ q,则







,其中 a
1
为首项, d 为公差.

a
1
及公差 d,用公式 S
n


较好.

(m, n, p, q∈N

);


2.等差数列的前 n 项和:一般地,若已知首项

较好,若已




3.若数列 { a
n
} 是公差为 d 的等差数列,则有下列性质:

..

-----


----







.

②若 S
k
表示 { a
n
} 的前 k 项和,则

S
k
, S
2 k
- S
k
,S
3k
- S
2k
,? 是 _____数列.

③若 { a
n
} 有 2k+ 1 项, k∈ N

,则中间一项是


, S
2k


1
= ___________, =
S


S


4.对于数列 { a
n
} ,一般地,我们称 a
1
+ a
2
+a
3
+ ? + a
n
为数列 { a
n
} 的前 n 项和,用 S
n
表示,即 S
n
=a
1
+ a
2
+ a
3
+ ? + a
n
,若已知 S
n
,则 a
n



【基础自测】



1.设 S
n
为等差数列 { a
n
} 的前 n 项和,若
A.- 1

A . 1


A.28



S
5
= 10, S
10
=- 5,则公差 d 为 (

C. ±1

C. 3

C. 31

15,最后三项和为

D .2


)

B . 1

B . 2

B.30

2.已知某等差数列共有


10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为


30,则其公差为 ()

D .4

3.在等差数列 { a
n
} 中,若 a
1
-a
4
+ a
8
- a
12
+ a
15
=2,则 S
15
等于 (


)

D .32

4.在等差数列 { a
n
} 中,已知前三项和为

78,所有项和为 155,则项数 n= ________

【题型解法】

题型一

例 1

等差数列 { a
n




等差数列中基本量的运算


n
,已知 a
10
= 30, a
20
= 50.


} 的前 n 项和记为 S




( 1)求通项 a
n

( 2)若 S
n
= 242,求 n;
小结


在等差数列中,五个基本的量,只要已知三个量,就可以求出其他两个量,其中



a
1
和 d 是两

个最基本量,利用通项公式与前


跟踪训练 1



n 项和公式,先求出

n
为数列 { a
n



a
1
和 d,再求解.



设 { a
n





} 为等差数列,

S



7
=7, S
15
= 75, T
n
为数列
} 的前 n 项和,已知


S




S
n


n

前 n 项和,求 T
n
.

题型二


例 2

小结


等差数列前 n 项和的基本性质





一个等差数列的前

10 项之和为 100,前 100 项之和为



10,求前 110 项之和.



解数列问题时,要注意数列性质的灵活应用,可以运用等差数列前



n 项和 S
n
= An + Bn 这一

2
整体形式,避免繁琐复杂的计算.

跟踪训练 2

设等差数列 { a
n




}

的前 n 项和为 S

n
,若 S
p
= S
q





*




(p, q∈ N




且 p≠q),则 S
p


q
= ________





题型三


例 3

4

7

(

(

?







等差数列中的创新型问题





下表给出一个 “等差数阵 ”:



7



(

(

(

(

?


a
i3

)

)

)

)

(

(

(

(

?


a
i4

)

)

)

)







(

(

(

(

?

a
i5
)

)

)

)



?a
1j
?a
2j
?a
3j
?a
4j
?

?

?

a
ij
?

12


(

(

?


a
i2

)

)

?

)

)







?

?

?

a
i 1
?

..

-----


----








.

?

?

?

?

?

?

?

?

其中每行、每列都是等差数列,

( 1)写出 a
45
的值;
( 2)写出 a
ij
的计算公式.
a
ij
表示位于第 i 行第 j 列的数.



小结 关于等差数列的创新型试题,常以图表、数阵、新定义等形式出现.解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼,挖掘出题目蕴含的有用信息,利用所学等差数列的有关知识加以解决.跟











踪训练 3 把自然数 1,2,3,4,? 按下列方式排成一个数阵.

1

2 3

4 5

6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

???????????

根据以上排列规律,数阵中第

n (n≥3)行从左至右的第 3 个数是 ______

【当堂检测】


1.已知等差数列 { a
n
} 中, a
7
+a
9
=16, a
4
= 1,则 a
12
的值是 (

A.15

A.24

B.30

B.22

C. 31

C. 20

等于 ()

1





)

D .64

)

D.-8




2.在等差数列 { a
n
} 中, a
1
+ 3a
8
+a
15
= 120,则 2a
9
-a
10
的值为 (

3.等差数列 { a
n
} 中, S
10
= 4S
5
,则

a
1
1

A .
2



d

C.
4

B. 2

D. 4


4.已知等差数列 { a
n
} 的公差 d 不等于 0, S
n
是其前 n 项和,给出下列命题:①给定
n(n≥2,且 n∈N ),对于一切 k∈ N (kn

k
+ a
n

k
=2a
n
成立;②存在 k∈
*
N ,使得 a
k
- a
k

1
与 a
2k

1
- a
2k


3
同号;

③若 d>0 ,且 S
3
= S
8
,则 S
5
与 S
6
都是数列 { S
n
} 中的最小项;

**
S
1

S
2

S
3

S
n

*





④点 1,
1
, 2,
2
, 3,
3
, ? , n,
n
(n∈ N ) , ? ,在同一条直线上.

【课堂小结】



1.等差数列是 最基本、最常见的数列,等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质,推导
通项公式、前 n 项和公式的出发点.

2. a
1
, d, n 称为等差数列的三个基本量,

a
n
和 S
n
都可以用这三个基本量表示,五个量


a
1
, d,n,

a
n
和 S
n
中知三可求二. 通常的做法是利用公式联立方程

具体求解时应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.





(组 )求解.这是解决数列运算的最基本方法,

§
2.4






等比数列(一)

..

-----


----







.

【学习要求】





1.通过实例,理解等比数列的概念并会应用.

2.掌握等比中项的概念并会应用.

3.理解等比数列的通项公式及推导.

【学法指导】






1.要善于通过实例的观察、分析、归纳,提炼等比数列的概念.

2.学习等比数列时,要注意与等差数列进行类比,掌握两个数列的联系与区别.

3.由等差中项类比得到等比中项时,要注意等比中项的存在前提是

个数的等比中项有两个,它们互为相反数,这点与等差中项不同.

a, b 必须同号,而且同号的两

【知识要点】


1.如果一个数列从第

项起,每一项与它的前一项的

都等于同一个常数,那么这个数列叫做等

表示 (q≠0).





比数列,这个常数叫做等比数列的

2. { a
n
} 成等比数列 ?


a
n
a
n
,公比通常用字母

*




=q(n∈ N , q≠0).



1
3.等比中项的定义


如果 a、 G、 b 成等比数列,那么

4.等比数列的通项公式:


G 叫做 a 与 b 的

.


,且 G=


.

【问题探究】





探究点一

等比数列的概念

观察下面几个数列:

① 1,2,4,8,16, ?

② 1,,, , ,?
24816
③ 1,- 1,1,- 1,1,?
1111








④ ,- 1,2,- 4,8,?
2
上面这几组数列的共同点是:

做等比数列的

问题

下列所给数列中,等比数列的序号是

________.

①1,1,1,1,1, ?.

②0,1,2,4,8, ?.

③2- 3,- 1,2+ 3, ?.


____.像这样的数列,就叫做等比数列.这个非零常数叫

1
1










2
, 2,4,8,16, ?.
等比中项

.

探究点二

问题
探究

请你类比等差中项的概念,给出等比中项的概念.

下表是等差中项与等比中项概念的对比,请填充完整

对比项

等差中项

等比中项

..

-----


----






.



定义


若 a,A,b 成等差数列,则 A

叫做 a 与 b 的等差中项

A- a= b- A


若 a, G, b 成

做 a 与 b 的等比中项



数列,则 G 叫









定义式

公式





A

a+ b

2

a 与 b 的等差中项唯一

任意两个数 a 与 b 都有等差中




G=

a 与 b 的等比中项有

只有当

中项






个数

备注


个,且互为

时, a 与 b 才有等比



探究点三

问题

探究


等比数列的通项公式


如果等比数列 { a
n
} 的首项为 a
1
,公比为 q,你能用归纳的方法给出数列

除了利用归纳法,你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗?


{ a
n
} 的通项公式吗?

【典型例题】



例 1

在等比数列 { a
n
} 中,



( 1)已知 a
1
=3, q=- 2,求 a
6

( 2)已知 a
3
=20, a
6
= 160,求 a
n
.
小结 等比数列的通项公式 a
n
= a
1
q 中有四个量 a
1
, q,n, a
n
.已知其中三个量可求得第四个,简称
n

1

“知三求一 ”.

跟踪训练 1

已知 { a
n
} 为等比数列, a
3
= 2,a
2
+ a
4

20
,求 { a
n
} 的通项公式.






3

在 243 和 3 中间插入

3 个数,使这 5 个数成等比数列,求这

利用等比数列的通项公式求各项时,

要注意选取的首项

3 个数.

例 2

小结

a
1
与项数 n 的对应关系, 计算各项时

注意防止序号出错.

跟踪训练 2


8

27
之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数






的乘积为

________

3 2
例 3 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和
是 16,第二个数与第三个数的和是

12,求这四个数.

小结 合理地设出所求数中的三个,根据题意得出另一个是解决这类问题的关键.一般地,三个数

成等比数列,可设为







a
q
, a, aq;三个数成等差数列,可设为

a- d, a, a+ d.

跟踪训练 3

有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项和为

和为 18,求这四个数.

21,中间两项

【当堂检测】


1.在等比数列 { a
n
} 中, a
5
- a
1
= 15, a
4
- a
2
= 6,则 a
3
等于 ()

A . 4










B. 8

C.-4或 4

D.- 8或 8

2.已知公差不为 0 的等差数列的第

2,3,6 项依次构成一个等比数列,

则该等比数列的公比

q 为 ()

-----


----
..

-----


----






.

A .


1

B. 3

C. ±

1



D. ±3



3

3


3. 45 和 80 的等比中项为 ___________.

4.在 160 与 5 中间插入



4 个数,使它们同这两个数成等比数列,则这


4 个数依次为 _____________

【课堂小结】


1.由等比数列的概念可知,要判定一个数列是否为等比数列,只需看


a
n

1
的比值是否为不为零的常


数即可,也就是看






a
n

1


a
n
n 都成立.



= q(q≠0)是否对任意的正整数


a
n

2.两个同号的实数

a、b 才有等比中项,而且它们的等比中项有两个

是容易忽视的地方.

3.等比数列的通项公式

a
n
= a
1
q
n

1
( ± ab),而不是一个 ( ab),这

共涉及 a
1
, q, n, a
n
四个量,已知其中三个量可求得第四个量.


【拓展提高】






§
2
.4







等比数列(二)

【学习要求】

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.

2.熟悉等比数列的有关性质.

3.系统了解判断是否成等比数列的方法.

【学法指导】




1.等差数列与等比数列联系十分紧密,既有诸多相似之处,又有不同的地方,充 分准确地把握它
们之间的联系,会为我们解题带来诸多便利.

2.等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在.

【知识要点】


1.等比数列的通项公式: a
n


2.如果一个数列 { a
n
} 的通项公式为

比数列,首项为

3.一般地,如果

a
m
·a
n
=.


,推广形式: a
n
= a
m
·

n

(n, m∈ N ).



*



a
n
=aq ,其中 a,q 都是不为 0 的常数,那么这个数列一定是等

,公比为 .

m, n, k, l 为正整数,且 m+ n= k+l ,则有 _______,特别地,当 m+ n=2k 时,


4.若 { a
n
} 是有穷数列, 则与首末两项等距离的两项的积相等,

即 a
1
·a
n
= a
2
·

=? = a
k
·

.

【问题探究】












探究点一

探究
等比数列的单调性

观察下面几个等比数列中项的变化趋势:

① 1,2,4,8,16, ?
..

-----


----





.


②- 1,- ,- ,- ,- ,?

2

4

8

16

1111
11
③ 9,3,1 ,
3

9
, ?
④- 1,- 2,- 4,- 8,- 16,?

⑤1,- ,,- , , ?


1111















2

4

8

16


通过上面的例子,可以得出下列结论:

当 a
1
> 0, q>1 时,等比数列是

当 a
1
> 0,0< q<1 时,等比数列是

当 a
1
< 0, q>1 时,等比数列是

当 a
1
< 0,0< q<1 时,等比数列是

综上所述,等比数列单调递增 ?

等比数列单调递减 ?

探究点二


探究 1


在等比数列 { a
n

当 q< 0 时,等比数列既不是递增数列,也不是递减数列,而是


数列;


















_____数列;









数列;

数列;

数列.










.






等比数列的性质






探究 2



在等比数列 { a
n

}

中,若 m+n= s+ t,证明 a


m
n


a
s t

m
·a

2
n
= a
k

·a

*
(m,n, s, t∈ N

) .


*
(m, n, k∈N ).

}

中,若 m+n= 2k,证明 a ·a


{ a
n
} 中,若 a
3
a
5
=4,则 a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
=____ _.

问题 在各项均为正数的等比数列

探究点三


探究 1

探究 2

等比数列的判断方法










判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些?

如何判断或证明一个数列不是等比数列?


问题 1

若数列 { a
n
} 为等差数列,公差为

明你的结论.


d,b
n
= c (c>0

且 c≠1),试问数列 { b
n
} 是什么数列?并证


问题 2

若数列 { a
n
} 为等比数列,公比为

q,且 a
n
>0, b
n
= lg a
n
,试问数列 { b
n
} 是什么数列?并证明

你的结论.


问题 3


已知 a
n
= 2+ 3,判断数列 { a
n
} 是否是等比数列?


nn

【典型例题】



例 1

已知 { a
n
} 为等比数列.



( 1)若 a
n
>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+ a
4
a
6
=25,求 a
3
+ a
5

( 2)若 a
n
>0,a
5
a
6
=9,求 log
3
a
1
+ log
3
a
2
+ ? + log
3
a
10
的值.
跟踪训练 1

设 { a
n
} 是由正数组成的等比数列,

公比 q= 2,且 a
1
·a
2
·a
3
·?·a
30
= 2,求 a
2
·a
5
·a
8
·?·a
29

15

的值.

例 2 已知数列 { a
n
} 满足 a
1
= 1, a
n


1
= 2a
n
+1,


(1)求证:数列 { a
n
+ 1} 是等比数列;
(2)求 { a
n
} 的通项公式.


a
n

1
2


小结 利用等比数列的定义

a
n
= q(q≠0)是判定一个数列是等比数列的基本方法.


要判断一个数列不

是等比数列,举一组反例即可,例如a
2
≠a< br>1
a
3
.

跟踪训练 2 设 { a
n
} 、 { b
n
} 是公比不相等的两个等比数列,






c
n
= a
n
+ b
n
,证明数列 { c
n
} 不是等比数列.

..

-----


----












.

例 3

某制糖厂

2011 年制糖 5 万吨,如果从 2011 年起,平均每年的产量比上一年增加

20%,那么

到哪一年,该糖厂的年制糖量开始超过

项 a
1
,项数 n 所对应的实际含义.

30 万吨 (保留到个位 )? (lg 6 = 0.778, lg 1.2= 0.079)

小结 等比数列应用问题,在实际应用问题中较为常见,解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首

跟踪训练 3

在利用电子邮件传播病毒的例子中,

轮起,以后各轮的第一台计算机都可以感染下一轮的

计算机?

如果第一轮感染的计算机数是

20 台计算机,到第
80 台,并且从第一

5 轮可以感染到多少万台





【当堂检测】


1.已知各项均为正数的等比数列

A.100

B.- 100

{ a
n
} 中, lg( a
3
a
8
a
13
)=

6,则 a
1
·a
15
的值为 ()

C. 10 000

1
3

D.- 10 000


8 100

元,则 6

年后此产品的价格为 ()



2.某种产品平均每两年降低价格


,目前售价为

C.4 800 元


A.2 700 元

A .三边边长之比为

B.3 600 元

3∶4∶5

5- 1

2

D.5 400 元


3.一直角三角形的三边边长成等比数列,则

(





)

B.三边边长之比为 1∶ 3∶ 3

D .较大锐角正弦值为


C.较小锐角正弦值为


5- 1

2

4.在 1 与 2 之间插入


6 个正数,使这 8 个数成等比数列,则插入的

6 个数的积为 ________.

【课堂小结】



1.等比数列的判断或证明

a
n1
(1)利用定义:

a
n
= q (与 n 无关的常数 ).

2
++

*


(2)利用等比中项:

a
n

1
= a
n
a
n

2
(n∈ N

).

2.解等比数列的问题的基本方法是基本量法,但利用等比数列的性质会大大提 高解题速度,这些

性质在课本中没有提出,但在习题中却时有出现,所以有必要总结一些,并 会推证,但不必过多、
过细.


3.解与等比数列有关的应用题,要抓住其中带有等比数列特征的关键性语言,如 “每年平均增长
P%”“每次是上次的几分之几 ”等,建立等比数列的模型,再用数列的相关知识解之.


【拓展提高】







§
2.5

等比数列前

n

项和(一)



【学习要求】











1.掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法.

2.会用等比数列前 n 项和公式解决一些简单问题.

..

-----


----







.

【学法指导】





1.推导等比数列前 n 项和公式的关键在于准确把握

2.运用等比数列前 n 项和公式时,一定要注意

3.推导等比数列前

项积的前

n 项和.

“错位相减,消除差别 ”的内涵.

“q= 1”与 “q≠ 1时”必须使用不同的公式.

n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应


【知识要点】


1.等比数列前 n 项和公式:






(1)公式: S
n





q

.

q=

(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略

2.若 { a
n
} 是等比数列,且公比


q= 1 的情况.

q≠1,则前 n 项和 S
n

a
1

(1- q)= A(q- 1).其中 A=


nn
.

1-q

23
3.等比数列 1, x, x, x, ? 的前 n 项和 S
n



(


)

n 1


1-x
A .


n

B.

1


x
n

1

1

x
C

1- x

n
, x≠1

1- x

D

1- x

, x≠1




1- x




1- x

n, x= 1

n, x=1



【问题探究】


国际象棋起源于古代印度,相传有位数学家带着画有

奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,

64 个方格的木盘,和 32

个雕刻成六种立


体形状,分涂黑白两色的木制小玩具,去见波斯国王并向 国王介绍这种游戏的玩法.国王对这种新


一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩.

他需要得到什么赏赐呢?数学家开口说道:

他便问那位数学家, 作为对他忠心的奖赏,

高兴之余,

“请您在棋盘

8粒??

64



国王大


上的第一个格子上放 1 粒麦子,第二个格子上放 2 粒,第三个格子上放 4 粒,第四个格子上放

即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的

王觉得,这个要求太低了,问他:

管理国家粮仓的大臣算一算!

际象棋. 假定一千粒麦的质量为

7 000 亿吨 )这实际上是求数列

王无法满足数学家的要求.


2 倍,直到最后一个格子第

格放满为止, 这样我就十分满足了. ”“好吧!”国王挥挥手, 慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求.

“你怎么只要这么一点东西呢?

”第二天, 管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字,

”这个玩具也随着这个故事传遍全世界,这就是今日的国

63
”数学家笑着恳求道: “陛下还是叫

吃一惊: “我的天!我哪来这么多的麦子?

40 g,那么,数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢?

1,2,4,?,2 的和.据查,目前世界年度小麦产量约


(将超过


6 亿吨,显然国


这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题,那么等 比数列的求和公式是怎样的呢?怎样的
等比数列才能应用这个公式呢?这一节我们就来学习等比数列的求 和公式.探究点一 等比数列前 n


项和公式的推导

探究 1

阅读教材后,完成下面等比数列前

n 项和公式的推导过程.

2n

1
设等比数列 a
1
, a
2
, a
3
,? , a
n
, ?,它的前 n 项和 S
n
= a
1
+a
2
+ a
3
+ ? + a
n
,由等比数列





的通项公式可将 S
n
写成: S
n
= a
1
+ a
1
q+ a
1
q+ ? +a
1
q .

..

-----


----






.






则 qS
n


由①-②得: (1- q)S
n


当 q≠1时, S
n


.

.

.



当 q= 1 时,由于 a
1
= a
2
=? = a
n
,所以 S
n



.

, q= 1



综上所述, S
n


, q≠1

n1




当 q≠1时,因为 a
n
= a
1
q

.

na
1
, q= 1

所以 S
n
可以用 a
1
, q, a
n
表示为 S
n



, q≠1


探究 2

方法一


下面提供了两种推导等比数列前

由等比数列的定义知:


a
2
a
3
a
4
= =
a
1
a
2
a
3

n 项和公式的方法.请你补充完整.

= ? =
a
n
= q.




a
n

1

当 q≠1时,由等比性质得:


a
2
+ a
3
+ a
4
+ ? +a
n
= q,即





=q.

故 S
n




a
1
- q
1- q

n
a
1
+a
2
+a
3
+ ? + a
n

1


.












当 q= 1 时,易知 S
n
=.

方法二










由 S
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ ? +a
n
得:


.







S
n
= a
1
+ a
1
q+ a
2
q+ ? +a
n


1
q= a
1
+ q·


从而得 (1- q) ·S
n



= a
1
+ q·





当 q≠1时, S
n


当 q= 1 时, S
n
= na
1
.
探究点二 错位相减法求和



问题 教材中推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法.这种求和方法是我们应该掌握的重要方
法之一,这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列

n

新数列求和.下面是利用错位相减法求数列

1

2 3

n

1


设 S
n

2


2

2
+ ?+
2
,∴
2
S
n


1


∴S
n
- S
n



{ a
n
} 与一个等比数列 { b
n
} 对应项之积构成的


{

2
n
}



n

项和的步骤和过程,请你补充完整.






23n









即 =

S
n
1
2









.


2

∴S
n


















.


【典型例题】

..

-----


----





.

在等比数列 { a
n
} 中, S
3
=, S
6
= ,求 a
n
.


2

2


q=1 而出错.

小结

涉及等比数列前 n 项和时,要先判断 q= 1 是否成立,防止因漏掉

跟踪训练 1 设等比数列 { a
n


n
,若 S
3
+ S
6
=2S
9
,求数列的公比 q.

} 的前 n 项和为 S


例 1

例 2

小结

已知等比数列的首项为


763
1,项数为偶数,其奇数项的和为


85,偶数项的和为


170,求这个数

列的公比与项数.

本题利用了等比数列的

“子数列 ”性质,若等比数列的项的序号成等差数列,则对应项依次成

“整体消元 ”的方法技巧.



等比数列.另外,两个等式之间的除法运算体现了




跟踪训练 2 在等比数列 { a
n
} 中, a
1
+ a
n
= 66, a
3
a
n


2
= 128, S
n
= 126,求 n 和 q.

例 3 求和: S
n
= x+ 2x+ 3x+ ?+ nx (x≠ 0).
小结 一般地,如果数列 { a
n
} 是等差数列, { b
n
} 是等比数列,求数列

位相减法.



,
n 1

23n
{ a
n
b
n
} 的前 n 项和时,可采用错





跟踪训练 3

求数列 1,3a,5a
2

7a
3
, ?, (2n- 1)

·a

的前 n 项和


【当堂检测】

n

1.设数列 {( - 1) } 的前 n 项和为 S
n
,则 S
n
等于

()

n ( 1)
A .

n


1


( 1)
B .

n 1


1


( 1)
C.

n


1


( 1)
D .

n


1

2

A.179

2

B.211

2

C. 243

2


5 项的和是 (

D .275








2.等比数列 { a
n
} 的各项都是正数,若


a
1
= 81, a
5
=16,则它的前


)

3.在等比数列 { a
n
} 中,已知 a
3
= , S
3


,则 a
1
= ______.

2


2


4.求和: 1×2+ 2×2+ 3×2+? + n·2= _____________



39

123n
【课堂小结】


1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:

比 q 为基本量,且 “知三求二 ”.

2.前 n 项和公式的应用中,注意前

不可忽略 q= 1 的情况.

可采用错位相减的方法求和.


a
1
, a
n
,n, q,S
n
,其中首项 a
1
和公


n 项和公式要分类讨论,即


q≠1和 q=1 时是不同的公式形式,

q,求数列 { a
n
·b
n
} 的前 n 项和时,


3.一般地,如果数列 { a
n
} 是等差数列, { b
n
} 是等比数列且公比为


【拓展提高】




§
2.5

等比数列前

n

项和(二)



【学习要求】


1.熟练应用等比数列前






n 项和公式的有关性质解题.

..

-----


----






.

2.能用等比数列的前

n 项和公式解决实际问题.



【学法指导】

2.运用等比数列前


1.解决与等比数列前

n 项和有关问题的关键在于 “基本量 ”以及方程思想方法的灵活运用.

n 项和解题时要注意 “整体思想 ”方法的灵活运用.



3.利用等比数列的知识解决实际问题,需要从实际问题中抽象出等比数列模型,明确首项

比 q,以及项数 n 的实际含义,切忌含糊不清.


a
1
,公


【知识要点】




1.等比数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
,当公比 q≠1时,S
n


2.等比数列前 n 项和的性质:

( 1)连续 m 项的和 (如 S
m
、 S
2m
- S
m
、 S
3m
-S
2m
),仍构
成数列. (注意: q≠- 1 或 m 为奇数 )
( 2) S
m


n
= S
m
+ qS
n
(q 为数列 { a
n
} 的公比 ).
3.设等比数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
,若




;当 q= 1 时, S
n


.



m
S
6
= 3,则
S
9
等于 (

8



)

S
3
7

S
6




B.
3

C.
3

A . 2

D. 3

n
4.已知数列 { a
n
} 的前 n 项和 S
n
= a- 1(a 是不为零且 a≠1的常数 ),则数列 { a
n
} (

A .一定是等差数列

B.一定是等比数列

)

C.或者是等差数列,或者是等比数列

D.既非等差数列,也非等比数列

【问题探究】



一件家用电器,现价

20 000 元,实行分期付款,每期付款数相同,每月为一期,一个月付款一

次,共付 12 次,购买后一年还清,月利率为 0.8% ,按复利计算,那么每期付款多少元?要解决上述问
题,需 要了解复利的计算方法,这正是这一节的主要内容之一.



探究点一

探究

等比数列前 n 项和 S
n
与函数的关系

0 的一次函数 ).当 q

当公比 q= 1 时,因为 a
1
≠0,所以 S
n
=na
1
,是 n 的正比例函数 (常数项为
a
1

n
a
1
=1 时,数列 S
1
, S
2
, S
3
, ?, S
n
, ? 的图象是正比例函数

当公比 q≠1时,等比数列的前 n 项和公式是 S
n



(1- q )=

y=a
1
x 图象上一些孤立的点.


n
(q - 1).设 A=

a
1
,则上式可

1- q




以写为 S
n
= A(q- 1).由此可见, q≠1时,由等比数列前

S
3
), ? ,(n, S
n
) 位于函数 y= A(q-1)的图象上.


问题 1

问题 2

探究点二

问题 1
n
q-

1


q-

1









n 项和 S
n
构成的点列 (1,S
1
), (2, S
2
), (3,

x

若 { a
n
} 是等比数列,它的前

n 项和为 S
n
=3+ t ,则 t =_____.

若 { a
n
} 是等比数列,且前 n 项和为 S
n
= 3 + t,则 t= ______

等比数列 { a
n

n
,公比为 q,求证: S
m

n
= S
m
+ q
n

} 的前 n 项和为

S

S .


在等比数列 { a
n
} 中,若连续 m 项的和不等于

0,则它们仍组成等比数列.即

n
n

1
等比数列前 n 项和的性质

m



问题 2

S
m
, S
2m
- S
m


S
3m
- S
2m
, ?仍组成等比数列.

请你证明上述结论.

探究点三
































分期付款问题

..

-----


----






.

问题

在分期付款问题中,贷款


a 元,分 m 个月付清,月利率为

r ,每月还 x 元,想一想,每月付

款金额 x 元应如何计算?

方法一:每个月还款















下面给出了两种推导方法,请你补充完整:


经过 1 个月,还款 x 元后,剩余欠款为

经过 2 个月,还款 x 元后,剩余欠款为

经过 3 个月,还款 x 元后,剩余欠款为

?

?


经过 m 个月,还款 x 元后,剩余欠款为

方法二:我们可以把该问题分开来看:



x 元后的剩余欠款按月份构成一个数列,记作

a
1





{ a
n
} ,则有:






a
2
=a
1
(1+ r )- x=______________ ;

a
3
=a
2
(1+ r )- x=______________ ;


a
m
= a
m

1
(1+ r)- x=

m

.


由于经过 m 个月后, 欠款还清, 故 a
m
=0,从而有 a(1+ r)=

一方面,每月付款 x 元,共付 m 次, m 个月后各期付款到期后的本息和为:



.即 x=







.

期数

本息和

1



2


3

?

?



m-1m

x



从而到期后 (m 个月后 ),银行共收到付款及利息为:


+ r

________________ =

m
- 1]


x;





r


m
另一方面贷款 a 元, m 个月后应偿还本息和为

+ r

由于 m 个月后,贷款全部付清,所以有




- 1]

x=


r


,故 x=


.




【典型例题】

例 1

小结

S
3n
).



已知等比数列前


n 项,前 2n

项,前 3n 项的和分别为 S
n
, S
2n
, S
3n
,求证: S
n
+ S
2n
= S
n
(S
2n



22
运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比




q= 1 和 q≠1两种情形, 在解有关的方程 (组 )时,通

常用约分或两式相除的方法进行消元.


跟踪训练 1 已知 S
n

是等比数列 { a
n








} 的前 n 项和, S

3
,S
9
, S
6
成等差数列,求证:

a
2
,a
8
, a
5
成等差

数列.


例 2



设 { a
n
} 是等差数列, b
n


1




,已知: b
1
+ b
2
+ b
3

21

,b
1
b
2
b
3
=,求等差数列的通项


1

a
n
.


2


8

8


小结 等差数列与等比数列既有类似的部分,又有区别,要在应用中 加强记忆.同时,用好性质也会
降低解题的运算量,从而减少差错.


跟踪训练 2 在等比数列 { a
n
} 中, a
n
>0

a
5
的等比中项为 2.

(1)求数列 { a
n
} 的通项公式;



(n∈N ),公比 q∈ (0,1),且 a
1
a
5
+ 2a
3
a
5
+ a
2
a
8
= 25,又 a
3



*
(2)设 b
n
= log
2
a
n
,数列 { b
n
} 的前 n 项和为 S
n
,当 + +? +
1 2

n


例 3 为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过

开始出口,当年出口 a 吨,以后每年出口量均比上一年减少

(2)因稀土资源不能再生,国家计划

留一位小数 )






S
1
S
2

S
n


最大时,求 n 的值.

80 吨,该矿区计划从 2013 年

10%.


(1)以 2013 年为第一年,设第 n 年出口量为 a
n
吨,试求 a
n
的表达式;

10 年后终止该矿区的出口,问


2013 年最多出口多少吨? (保

..

-----


----







.

参考数据: 0.9≈ 0.35.

小结 本题建立等比数列 的模型及弄清项数是关键,运算中往往要运用指数或对数不等式,常需要
查表或依据题设中所给参考数据 进行近似计算,对其结果要按照要求保留一定的精确度.

跟踪训练 3

某家用电器一件现价

那么每期应付款多少?


10



20 000 元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买

后一个月开始付款,每月付款一次,共付

(1.008≈ 1.1)

12
12 次,购买后一年还清,月利率为

0.8% ,按复利计算,

【当堂检测】


1.设 { a
n
} 是公比为

A . 1

A.180

1


q 的等比数列,

S
n
是它的前

n 项和,若 { S
n
} 是等差数列,则

B. 0

B. 108

1

B.-
3



q 等于 (



)

C.1或 0

D.-1

C. 75

n

2


2.一个等比数列的前 7 项和为 48,前 14 项和为 60,则前 21 项和为 ()

D .63

1

D.-
9


5

3.在数列 { a
n
} 中, a
n


1
= ca
n
(c 为非零常数 ),且前 n 项和为 S
n
= 3 +k,则实数 k 的值为 (

1

C.
9




)

A .
3

4.某厂去年产值为

a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长

为 ()


4

5 5
10%,从今年起

5 年内,该厂的总产值


A . 1.1 a

B. 1.1 a

C. 10a(1.1

- 1)

D .11a(1.1


-1)


【课堂小结】





1.深刻理解等差

(比 )数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列的性质既有类似的

部分,又有区 别,要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题的运算量,从而减少错误.

2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程

解方程组的方法的不同之处.

3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定

要搞清是求 a
n
还是求 S
n
的问题.


( 组)求解,在解方程时,仔细体会两种情形中


a
1
与项数 n 的实际含义,同时


【拓展提高】








习题课






数列求和

【学习要求


1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.

2.掌握数列求和的几种基本方法.

【学法指导】












1.数列的前 n 项和常用方法:

(1) 公式求和法; (2) 错位相减法; (3) 拆项相消法; (4) 奇偶并项法等.

2.求数列的前 n 项和时,应先考查其通项公式,根据通项公式的特点,再来确定选用何种方法.数

列求和的实质就是一个代数式的化简问题.

..

-----


----







.

【知识要点】


1.等差数列的前

n 项和公式: S
n














.













2.等比数列前 n 项和公式:

(1)当 q= 1 时, S
n


(2)当 q≠1时, S
n






.


3.数列 { a
n
} 的前 n 项和 S
n
= a
1
+ a
2
+a
3
+? + a
n
,则 a
n


4.拆项成差求和经常用到下列拆项公式:


(1)




1

n n+




;( 2)

1

(2n

1)(2n 1)




;( 3)


1

n+ n+ 1




【基础自测】


1.数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
,若 a
n













1










n



1

n+





,则 S
5
等于 ()













5

1



1

D .
30

(

)








A . 1




A .



2.数列 1

1

2

, 2

,3 ,4


B .



1


1

6
C.

6



, ? 的前 n 项和为








B .

4





8


16







1


2


1


2


2


(n + n+2)

1

2


1

2




n





D .

C.

2

(n - n+ 2)-
n
1

1

n(n+ 1)+ 1-

n


1
2


2


1


1



n(n+ 1)+ 2(1-

n
)













2





2


3.数列 { a
n
} 的通项公式


a
n











1


n+


,若前 n 项的和为

10,则项数为

n+ 1



(



)

A.11


B.99

C. 120





D .121

(




4.数列 {( -1) ·n} 的前 2 013

项的和 S
2 013


A.- 2 013

B.- 1 007








n




)

C. 2 013






n
D. 1 007








【题型解法】

题型一

例 1




分组分解求和



1


2

2
1


2

n
1

2
求和: S = x+


+ x +


2
+ ?+ x +


.


n

x


x


x


小结 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.



2

2
n

1
跟踪训练 1

题型二

例 2


求数列 1,1+ a,1+ a+ a , ? , 1+ a+ a + ? +a

, ?的前 n 项和 S
n
(其中 a≠ 0).

拆项相消求和


2
1

求和:


小结









?+
2

, n≥2.


2

2


2

-1

3

- 1 4

- 1

n

- 1


如果数列的通项公式可转化为

f(n+ 1)- f(n)的形式,常采用拆项求和法.

1

+ +
1

1

..

-----


----





.

跟踪训练


2

求和: 1+

1



1

+? +

1

1+ 2


1+2+3



1+ 2+3+ ? + n
n
.

题型三

跟踪训练


奇偶并项求和

例 3 求和: S
n
=- 1+ 3- 5+ 7-? + (- 1)(2n- 1).

3

已知数列-

1,4,- 7,10, ?, (-1) ·(3n- 2), ?,求其前 n 项和 S
n
.

n
【课堂小结】













求数列前

n 项和,一般有下列几种方法.

1.错位相减

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

2.分组求和

把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

3.拆项相消

有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.

4.奇偶并项

5.倒序相加

例如,等差数列前

当数列通项中出现

(- 1) 或(-1)
nn

1
时,常常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论.

n 项和公式的推导方法.

【拓展提高】






章末复习课



【学习要求】




































【双基检测】


1.一张报纸,其厚度为 a,面积为 b,现将报纸对折 ( 即沿对边中点的连线折叠





)7 次,这时报纸的厚

..

-----


----






.

度和面积分别为 (


)




1


1


1

1

“逢二进一 ”.如 (1101)
2
表示二进制的数,


A . 8a,
8
b


B. 64a,
64
b


3
C. 128a,
128
b

D. 256a,
256
b

210
2.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制

将它转换成十进制的形式是

是(


17
1×2+ 1×2+ 0×2+ 1×2= 13,那么将二进制数转换成十进制数的形式




)




A.2-2

A.1 300

1

2

5

10

17

B. 2- 1

16
C. 2- 2

n
16
D .2- 1

*
15
3.在数列 { a
n
} 中, a
1
= 1, a
2
= 2,且 a
n

2
-a
n
= 1+ (- 1)(n∈ N ),则 S
100
等于 ()


B.2 600



















C. 0









D. 2 602

4.观察下面的数阵:






3

4

6

7

11

18

8

9

19

20

12

13

14

15

16

23


21

22

24

25


???????

根据此数阵的规律,则第



20 行所有数的和是 ________

【题型解法】


题型一

例 1

记等差数列
{
a
n
}

方程 (组 )的思想解数列问题













S
n

n
,设 S
3
= 12,且 2a
1
, a
2
, a
3
+ 1 成等比数列,求

的前 n 项和为 S

.

小结

在等差数列 { a
n
} 中,通常把首项

a
1
和公差 d 作为基本量,在等比数列

{ b
n
} 中,通常把首项 b
1
和公比 q 作为基本量,列关于基本量的方程

(组 )是解决等差数列和等比数列的常用方法.



跟踪训练 1 设 S
n
是等差数列 { a
n





1
3


4
的等比中项为

4
1
1
5

项为 1,求等差数列

{ a
n
} 的通项 a
n
.

题型二

*
} 的前 n 项和,已知
3
S

SS
5

3


1
1


3
S
4
S
4
的等差中


转化与化归思想求数列通项

n
例 2 已知数列 { a
n
} 中, a
1
= 5 且 a
n
= 2a
n


1
+ 2 -1 (n≥2且 n∈

N ) .(1)求 a
2
, a
3
的值;
a
n
+ λ

λ,使得数列
n
为等差数列?若存在, 求出 λ的值;若不存在, 请说明理由. 2

(2)是否存在实数



(3)求通项公式

a
n
.

小结 根据数列递推公式求通项公式,基本思路是构造等差 数列或等比数列,转化为基本数列后再采
用公式求解.


2

·a
n

n1


跟踪训练 2




已知数列 { a
n
} 满足 a
n


1


a
n
+2

n

1


a
1


2.求

a
n
.

题型三

函数思想求解数列问题

例 3 已知等差数列 { a
n
} 的首项 a
1
=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列












的第二项、第三项、第四项.
(1)求数列 { a
n
} 的通项公式;
-----


----
..

-----


----







.

(2)设 b
n


1

(n∈ N ),S
n
= b
1
+ b
2
+? + b
n
,是否存在 t,使得对任意的

n 均有 S
n
>

*
t
总成


n(a
n

3)


立?若存在,求出最大的整数

t;若不存在,请说明理由.


小结 数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时,若涉及参数取值范围,最值问题或单调性时,

均 可考虑采用函数的思想指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集,这一特殊性对问题结果

可能造成影响.


跟踪训练 3

已知数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
,且 S
n
= n-5a
n
- 85, n∈N
*
.


( 1)证明: { a
n
- 1} 是等比数列;
( 2)求数列 { S
n
} 的通项公式,并求出 n 为何值时, S
n
取得最小值?并说明理由.
【课堂小结】

等差数列与等比数列是高中阶段学习的两 种最基本的数列,也是高考中经常考查并且重点考查的
内容之一,这类问题多从数列的本质入手,考查这 两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、

通项公式、 求和公式等问题, 一般为基础题, 多以选择题或填空题的形式出现, 属于中低档问题.
时,应从基础处着笔,首先要熟 练掌握这两种基本数列的相关性质及公式,然后要熟悉它们的

变形使用,巧用性质,减少运算量,又快又准地解决问题.

【拓展提高】

..

-----
36






在解题








































































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