高中数学必修5等差数列精选题目(附答案)

高中数学必修5等差数列精选题目（附答案）

1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一
个常数，那么这个数列 就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号
表示为a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝
做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
(2)前 n项和公式：S
n
＝na
1
＋
n?n－1?n?a
1
＋a
n
?
d＝.
22
a＋b
，其中A叫
23．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)a
n
＝a
1
＋(n－1)d可化为a
n
＝dn＋a
1
－d的形式．当d≠0时 ，a
n
是关于n
的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减 数列．
(2)数列{a
n
}是等差数列，且公差不为0?S
n
＝A n
2
＋Bn(A，B为常数)．
已知{a
n
}为等差数列，d为公差，S
n
为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(n，m∈N< br>*
)．
(2)在等差数列{a
n
}中，当m＋n＝p＋q时，am
＋a
n
＝a
p
＋a
q
(m，n，p，q∈< br>N
*
)．特别地，若m＋n＝2p，则2a
p
＝a
m
＋a
n
(m，n，p∈N
*
)．
(3)a
k
，a
k
＋
m
，a
k
＋
2
m
，…仍是等 差数列，公差为md(k，m∈N
*
)．
(4)S
n
，S
2
n
－S
n
，S
3
n
－S
2
n< br>，…也成等差数列，公差为n
2
d.
(5)若{a
n
}，{ b
n
}是等差数列，则{pa
n
＋qb
n
}也是等差数列．
?
S
n
?
(6)若{a
n
}是等差数列，则
?
n
?
也成等差数列，其首项与{a
n
}首项相同，公差
??
1
是{a
n
}公差的.
2
S
奇
(7 )若项数为偶数2n，则S
2
n
＝n(a
1
＋a
2
n
)＝n(a
n
＋a
n
＋
1
)；S
偶－S
奇
＝nd；＝
S
偶
a
n
.
a
n
＋
1

(8)若项数为奇数2n－1， 则S
2
n
－
1
＝(2n－1)a
n
；S
奇
－S
偶
＝a
n
；
S
奇
n
＝. < br>S
偶
n－1
?
a
m
≥0，
(9)在等差数列 {a
n
}中，若a
1
>0，d<0，则满足
?
的项数m使得 S
n
?
a
m
＋
1
≤0
?
a
m
≤0，
取得最大值S
m
；若a
1
<0，d>0，则满足
?
的项数m使得S
n
取得最小值
a≥0
?
m
＋
1
S
m
.


一、等差数列的基本运算
1.(2018·全国卷Ⅰ)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和 ，若3S
3
＝S
2
＋S
4
，a
1
＝2，< br>则a
5
＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
2.已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
2
＝4，S
4
＝22，a
n
＝28，则 n＝( )
A．3
C．9
注：
(1)等差数列的通项公式及前n项 和公式共涉及五个量a
1
，a
n
，d，n，S
n
，
知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变 量代换的作用，而a
1
和
d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常 用方法．
3．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，且a
1
＋a
5
＝10，S
4
＝16 ，则数列{a
n
}的公差为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
B．7
D．10
4．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
3
·a
5
＝12，a< br>2
＝0.若a
1
>0，则S
20
＝( )
A．420
C．－420
B．340
D．－340
5．在等差数列{a
n
}中，已知a
5
＋a
10
＝12，则 3a
7
＋a
9
＝( )
A．12 B．18

C．24 D．30
二、等差数列的判定与证明
1
6 .已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
且满足a
n
＋2S< br>n
·S
n
－
1
＝0(n≥2)，a
1
＝2
.
?
1
?
(1)求证：
?
S
?
是等差数列．
?
n
?
(2)求a
n
的表达式．
注： 等差数列的判定与证明方法
方 法
定义法
解 读
对于任意自然数n( n≥2)，a
n
－a
n
－
1
(n≥2，n∈N
*< br>)为
同一常数?{a
n
}是等差数列
(n≥3，n∈N
*
)成立?{a
n
}是等差数列
适合题型
解答题中证
明问题
等差中项法 2a
n
－1
＝a
n
＋a
n
－
2
通项公式法
a
n
＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立?
{a
n
} 是等差数列
S
n
＝An
2
＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数 n都
选择、填空
题中的判定
问题
前n项和公验证
式法

成立?{a
n
}是等差数列
7．(2019·陕西质检)已知数列{an
}的前n项和S
n
＝an
2
＋bn(a，b∈R)且a
2
＝3，
a
6
＝11，则S
7
等于( )
A．13
C．35
B．49
D．63 1
a
n
－
1
(n≥2，n∈N
*
)，设bn
＝
1
(n∈N
*
)．求
a
n
－1< br>8．已知数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＝2－< br>证：数列{b
n
}是等差数列．
三、等差数列的性质与应用

(一)等差数列项的性质
9.已知在等差数列{a
n
}中， a
5
＋a
6
＝4，则log
2
(2a
1
· 2a
2
·…·2a
10
)＝( )
A．10
C．40
B．20
D．2＋log
2
5
10. (2019·福建模拟)设S
n
，T
n
分别是等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和，若a
5
S
9
＝2b
5
，则
T
＝( )
9
A．2
C．4
B．3
D．6
(二)等差数列前n项和的性质
11.设等差数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，若S
3
＝9，S
6< br>＝36，则a
7
＋a
8
＋a
9
等于
( )
A．63 B．45

C．36 D．27
(三)等差数列前n项和的最值
12.在等差数列{a
n
}中， a
1
＝29，S
10
＝S
20
，则数列{a
n}的前n项和S
n
的最大
值为( )
A．S
15

C．S
15
或S
16

注：
1．应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{a
n
}为等差数列 ，m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q< br>(m，n，p，q∈N
*
)．因
此，若出现a
m
－
n
，a
m
，a
m
＋
n
等项时，可以利用此性质将已知 条件转化为与a
m
(或
1
其他项)有关的条件；若求a
m
项 ，可由a
m
＝(a
m
－
n
＋a
m
＋
n
)转化为求a
m
－
n
，a
m
＋
n2
或a
m
＋
n
＋a
m
－
n
的 值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a
n
＝a
m
＋(n－
a
n
－a
m
n?a
1
＋a< br>n
?n?a
2
＋a
n
－
1
?
m)d ，d＝，S
2
n
－
1
＝(2n－1)a
n
，Sn
＝＝(n，m∈N
*
)等．
22
n－m
2．求等差数列前n项和S
n
最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S
n
＝an
2
＋bn，通 过配方或
借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
?
a
m
≥0，
①当a
1
>0，d<0时，满足
?
的项数 m使得S
n
取得最大值为S
m
；
?
a
m
＋
1
≤0

B．S
16

D．S
17

?
a
m
≤0，
②当a
1
<0，d>0时，满足
?< br>的项数m使得S
n
取得最小值为S
m
.
?
a
m
＋
1
≥0
13．在等差数列{a
n
}中，若a
3
＝－5，a
5
＝－9，则a
7
＝( )
A．－12
C．12
B．－13
D．13

14．设等差数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，且a
1
>0，a
3＋a
10
>0，a
6
a
7
<0，则满足
Sn
>0的最大自然数n的值为( )
A．6
C．12
B．7
D．13
15．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知前6项和为36，最后6项的和
为180，S
n
＝324(n＞6)，则数列 {a
n
}的项数为________．
巩固练习:
1．在数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n< br>＋2，S
n
为{a
n
}的前n项和，则S
10
等于( )
A．90
C．110
B．100
D．130
2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，a
3
＝3，a
5
＝5，
则S
7的值是( )
A．30
C．28
B．29
D．27
3．(2019·山西五校联考)在数列{a
n
}中，a
n
＝28－ 5n，S
n
为数列{a
n
}的前n项
和，当S
n
最 大时，n＝( )
A．2
C．5
B．3
D．6
4．(2019·广东中山一中统测)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且 a
n
＝－2n＋1，
?
S
n
?
则数列
?< br>n
?
的前
??
11项和为( )
B．－50
D．－66
A．－45
C．－55
5．(2018·南昌模拟)已 知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
5
＝50，S
10
＝200，
则a
10
＋a
11
的值为( )

A．20
C．60
B．40
D．80
6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a
n
}的各项均不为零， 其前n项和为
2
S
n
.若a
n
＋
1
＝a< br>n
＋
2
＋a
n
，则S
2n
＋
1＝( )
A．4n＋2
C．2n＋1
B．4n
D．2n
24
7．已知等差数列5,4
7
，3
7
，…，则 前n项和S
n
＝________.
8．已知{a
n
}为等差数列 ，S
n
为其前n项和．若a
1
＝6，a
3
＋a
5< br>＝0，则S
6
＝
________.
9．等差数列{a
n< br>}中，已知a
5
>0，a
4
＋a
7
<0，则{an
}的前n项和S
n
的最大值
为________．
1
10．在等差数列{a
n
}中，公差d＝
2
，前100项的和S
1 00
＝45，则a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝________.
11．(2018·全国卷Ⅱ)记S
n
为等差 数列{a
n
}的前n项和，已知a
1
＝－7，S
3
＝
－15.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)求S
n
，并求S
n
的最小值．
12．(2019· 山东五校联考)已知等差数列{a
n
}为递增数列，其前3项的和为－
3，前3项的积 为8.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
参考答案： < br>1.[解析]设等差数列{a
n
}的公差为d，由3S
3
＝S
2
＋S
4
，得3(3a
1
＋3d)＝2a
1
＋d< br>＋4a
1
＋6d，即3a
1
＋2d＝0.将a
1
＝2 代入上式，解得d＝－3，故a
5
＝a
1
＋(5－1)d
＝2＋4× (－3)＝ －10.
2.解：因为S
4
＝a
1
＋a2
＋a
3
＋a
4
＝4a
2
＋2d＝22，d＝
?22－4a
2
?
＝3，a
1
＝a
2
－d
2
＝4－3＝1，a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝1＋3(n －1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.
3.解析：选B 设等差数列{a
n
}的公差为d，则由题意，得

?
a
1
＋a
1
＋4d＝10，
?
?
4×3
4 a＋
2
×d＝16，
?
?
1

?
a
1
＝1，
解得
?
故选B.
?
d＝2，

4.解析：选D 设数列{a
n
}的公差为d ，则a
3
＝a
2
＋d＝d，a
5
＝a
2
＋ 3d＝3d，
由a
3
·a
5
＝12得d＝±2，由a
1>0，a
2
＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a
1
＝2，
20×19
故S
20
＝20×2＋
2
× (－2)＝－340，选D.
5.解析：选C 设等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，
因为a
5
＋a
10
＝12，
所以2a
1
＋13d＝12，
所以3a
7
＋a
9
＝3(a
1
＋6d)＋a
1
＋8d＝4a
1
＋26 d＝2(2a
1
＋13d)＝2×12＝24.
6.[解] (1)证明：因为a< br>n
＝S
n
－S
n
－
1
(n≥2)，
又a
n
＝－2S
n
·S
n
－
1
，所以S
n
－
1
－S
n
＝2S
n
·S
n< br>－
1
，S
n
≠0.
11
因此
S
－＝2(n≥2)．
n
S
n
－
1
?
1
?
11
故由等差数列的定义知
?
S
?
是以
S
＝
a
＝2为首项，2为公差的等差数列． ?
n
?
11
11
(2)由(1)知
S
＝
S
＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
n1
1
即S
n
＝
2n
.
1
由于 当n≥2时，有a
n
＝－2S
n
·S
n
－
1
＝－，
2n?n－1?
1
又因为a
1
＝
2
，不适合上式．
1
?
?
2
，n＝1，
所以a
n
＝
?
1
－
?
?
2n?n－1?
，n≥2.


7.解析：选B 由S
n
＝an
2
＋bn(a，b∈R)可知数列{ a
n
}是等差数列，所以S
7
7?a
1
＋a
7?7?a
2
＋a
6
?
＝＝＝49.
22
11
8.证明：∵a
n
＝2－(n≥2)，∴a
n
＋
1
＝2－
a
.
a
n
－
1
n

11
∴b
n
＋
1
－b
n
＝－＝
a
n
＋
1
－1a
n
－1
a
n
－1
11
－＝＝1，
1
a
n
－1a
n
－1< br>2－
a
－1
n
1
∴{b
n
}是首项为b1
＝＝1，公差为1的等差数列．
2－1
9.[解析]因为2a
1·2a
2
·…·2a
10
＝2a
1
＋a
2＋…＋a
10
＝25(a
5
＋a
6
)＝2
5< br>×
4
，
所以log
2
(2a
1
·2a2
·…·2a
10
)＝log
2
2
5
×
4
＝20.选B.
9?a
1
＋a
9
?
2
a
5
S
9
a
5
10.解：由a
5
＝2b
5
，得
b
＝2，所以
T
＝＝＝2，故选A.
59
9?b
1
＋b
9
?
b
5
2
11. [解析] 由{a
n
}是等差数列，
得S
3
，S
6
－S
3
，S
9
－S
6
为等差数列，
即2(S< br>6
－S
3
)＝S
3
＋(S
9
－S
6
)，
得到S
9
－S
6
＝2S
6
－3S< br>3
＝45，故选B.
12.[解析] ∵a
1
＝29，S
10
＝S
20
，
10×920 ×19
∴10a
1
＋
2
d＝20a
1
＋
2
d，解得d＝－2，
n?n－1?
∴S
n
＝29n＋
2< br>×(－2)＝－n
2
＋30n＝－(n－15)
2
＋225.
∴当n＝15时，S
n
取得最大值．
13.解析：选B 法一：设公差为d ，则2d＝a
5
－a
3
＝－9＋5＝－4，则d＝－
2，故a
7
＝a
3
＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.
法二：由等差数 列的性质得a
7
＝2a
5
－a
3
＝2×(－9)－(－5) ＝－13，选B.
14.解析：选C 因为a
1
>0，a
6
a7
<0，所以a
6
>0，a
7
<0，等差数列的公差小于
零，又a
3
＋a
10
＝a
1
＋a
12
> 0，a
1
＋a
13
＝2a
7
<0，所以S
12>0，S
13
<0，所以满足S
n
>0
的最大自然数n的值为1 2.
15.解析：由题意知a
1
＋a
2
＋…＋a
6
＝36，①
a
n
＋a
n
－
1
＋a
n< br>－
2
＋…＋a
n
－
5
＝180，②
①＋② 得(a
1
＋a
n
)＋(a
2
＋a
n
－1
)＋…＋(a
6
＋a
n
－
5
)＝6(a1
＋a
n
)＝216，
n?a
1
＋a
n?
∴a
1
＋a
n
＝36，又S
n
＝＝324， ∴18n＝324，∴n＝18.
2
练习：

1.解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S
10
＝10×2
10×9
＋
2
×2＝110.故选C.
2.解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d，则d＝
7?a
1
＋a7
?7×2a
4
a
3
＋d＝4，所以S
7
＝＝
2
＝7×4＝28.故选C.
2
3.解析：选C ∵a
n
＝28－5n，∴数列{a
n
}为递减数列．
28
令a
n
＝28－5n≥0，则n≤
5
，又n∈N
*
，∴n≤ 5.
∵S
n
为数列{a
n
}的前n项和，∴当n＝5时，S
n
最大．故选C.
4.解析：选D ∵a
n
＝－2n＋1，∴数列{a< br>n
}是以－1为首项，－2为公差的
?
S
n
?
n[－ 1＋?－2n＋1?]
S
n
－n
2
2
等差数列， ∴S
n
＝＝－n，∴
n
＝
n
＝－n，∴数列
?n
?
2
??
?
S
n
?
是以－1为首项 ，－1为公差的等差数列，∴数列
?
n
?
的前11项和为11×(－1)??
a
5
－a
3
＝1，故a
4
＝
5－ 3
11×10
＋
2
×(－1)＝－66，故选D.
5.解析：选D 设等差数列{a
n
}的公差为d，
5×4
?
?
S
5
＝5a
1
＋
2
d＝50，
由已知得
?
1 0×9
?
?
S
10
＝10a
1
＋
2
d＝200，
a＋2d＝10，
?
?
1
即
?
9< br>a＋
1
?
2
d＝20，
?



?
a
1
＝2，
解得
?

?
d＝4.

∴a
10
＋a
11
＝2a< br>1
＋19d＝80.故选D.
2
6.解析：选A 因为{a
n
}为等差数列，所以a
n
＋
2
＋a
n
＝2a
n< br>＋
1
，又a
n
＋
1
＝a
n
＋
2
2
＋a
n
，所以a
n
＋
1
＝2an
＋
1
.因为数列{a
n
}的各项均不为零，所以a
n
＋
1
＝2，所以S
2n
＋
1
?a
1
＋a
2n
＋
1
??2n＋1?2×a
n
＋
1×?2n＋1?
＝＝＝4n＋2.故选A.
22
n?n－1?
557.解析：由题知公差d＝－
7
，所以S
n
＝na
1
＋
2
d＝
14
(15n－n
2
)．
8.解析：∵a
3
＋a
5
＝2a
4
，∴a
4
＝0.

∵a
1
＝6，a
4
＝a
1
＋3d，∴d＝－2.
6×?6－1?
∴S
6
＝6a
1
＋d＝6×6－30＝6.
2
?
a
4
＋a
7
＝a
5
＋a6
<0，
?
a
5
>0，
9.解析：∵
?
∴
?

?
a
5
>0，
?
a
6< br><0，
∴S
n
的最大值为S
5
.
1009
10.解析：因为S
100
＝
2
(a
1
＋a
100
)＝45，所以a
1
＋a
100
＝
10
，
2
a
1
＋a
99
＝a
1
＋a
100－d＝
5
，
50502
则a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝
2
(a
1
＋a< br>99
)＝
2
×
5
＝10.
11.解：(1)设{a
n
}的公差为d，
由题意得3a
1
＋3d＝－15.
又a
1
＝－7，所以d＝2.
所以{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n－9.
n?a1
＋a
n
?
22
(2)由(1)得S
n
＝＝n －8n＝(n－4)－16，
2
所以当n＝4时，S
n
取得最小值，最小值为－16.
12.解：(1)设等差数列{a
n
}的公差为d，d>0，
∵等差数列{a
n
}的前3项的和为－3，前3项的积为8，
?
3a
1
＋3d＝－3，
∴
?

?
a
1
?a
1
＋d??a
1
＋2d?＝8，
?a
1
＝2，
?
a
1
＝－4，
∴
?或
?

d＝－3d＝3.
??
∵d>0，∴a
1
＝－4，d＝3，∴a
n
＝3n－7.
(2)∵a
n
＝3n－7，∴a
1
＝3－7＝－4，
n?－4＋3n－7?n?3n－11?
∴S
n
＝＝.
22