2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）

一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、设集合
S?x| x
2
?5x?6?0
，
T?x|x?2|?3
，则
S?T< br>=（ ）
A、
{x|?5?x??1}
B、
{x|?5?x?5}
C、
{x|?1?x?1}
D 、
{x|1?x?5}

2、正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
中
BC
1
与截面
BB
1
D
1
D
所成的角是（ ）
A、
??
??
????
B、 C、 D、
6432
2
3、已知f(x)?x?2x?3
，
g(x)?kx?1
，则“
|k|?2
”是“
f(x)?g(x)
在
R
上恒
成立”的（ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形
?
1
的面积为
S
1
，作
?
1
的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为
?
2
，
面积为S
2
，如此下去作一系列的正三角形
?
3
,?
4
,
，其面积相应为
S
3
,S
4
,
，设
S
1
?1
,
T
n
?S
1
?S
2
?
A 、
?S
n
，则
limT
n
=（ ）
n???
643
B 、 C、 D 、2
532
2
5、设抛物线
y?4x
的焦点为
F< br>，顶点为
O
，
M
是抛物线上的动点，则
值为（ ）
A 、
|MO|
的最大
|MF|
323
4
B 、 C、 D 、
3

33
3
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半 径为
r
的
一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
A、
r
B、
2r
C、
3
12r
D、
3
15r

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、如图，正方形ABCD
的边长为3，
E
为
DC
的
中点，
A E
与
BD
相交于
F
，则
FD?DE
的值是 ．
A
F
D
E
1
6
8、
(x?x?)的展开式中的常数项是 ．（用具体数字
x
2
B
C

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作答）
(a
n
?1)
2
9、设等比数列
{an
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
Sn
?
，则
S
20
的值为 ．
4
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角
A,B
满足
tan(A?B)?2tanA
，则
t anB
的最大值是 ．
12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复 的五位数中，任取一个五位数
abcde
，满足条件
“
a?b?c?d?e< br>”的概率是 ．

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设函数
f(x)?sinx?3cosx?1
，
（I）求函数
f(x)
在
[0,
?
2
]
上的最大值与最小值；
bcosc
的值．
a
（II）若实数
a,b,c
使得af(x)?bf(x?c)?1
对任意
x?R
恒成立，求











14、已知
a,b,c?R
，满足
abc(a?b?c)?1
，
（I）求
S?(a?c)(b?c)
的最小值；
（II）当
S
取最小值时，求
c
的最大值．









第 2 页 共 6 页

?

15、直线
y?kx?1
与双曲线
x?y?1
的左支交于
A
、
B
两点，直线
l
经过点
(?2,0)
和
AB

的中点，求直线
l
在
y
轴的截距
b
的取值范围．



















n 2
16、设函数
f
n
(x)?x(1?x)
在
[,1]上的最大值为
a
n
（
n?1,2,3,
22
1
2
）．
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（ II）求证：对任何正整数
n(n?2)
，都有
a
n
?
1< br>成立；
(n?2)
2
（III）设数列
{a
n
}< br>的前
n
项和为
S
n
，求证：对任意正整数
n
，都有
S
n
?











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7
成立．
16

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、
?
2
32
8、
?5
9、0 10、14 11、 12、
4
215
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13 、解：（I）由条件知
f(x)?2sin(x?
由
0?x?
?
3< br>)?1
， （5分）
5
?
1
?
，于是
?sin(x?)?1

233623
?
1
所以
x?
时，
f(x)
有最小值
2??1?2
；
22
?
知，
?
?x?
?
?
当
x?
?
6
时，
f(x)
有最大值2?1?1?3
． （10分）
（II）由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b?1
对 任意的
x?R
恒成立，
33
∴
2asin(x?
???
)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b?1)?0
333
??
∴
2(a?bcosc)?sin(x?
?
)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0

33
?
?
a?bcosc?0
?
∴
?
bsinc?0
, （15分）
?
a?b?1?0
?
由
bsinc?0
知b?0
或
sinc?0
。
若
b?0
时，则由
a?bcosc?0
知
a?0
，这与
a?b?1?0
矛盾！
若
sinc?0
，则
cosc?1
（舍去），
cosc??1，
1bcosc
,c?(2k?1)
?
，所以，
??1
． （20分）
2a
1
2
14、解：（I）因为
(a?c)(b?c) ?ab?ac?bc?c
?ab?(a?b?c)c?ab?
（5分）
ab
解得
a?b?

?2ab?
1
?2
，等号成立的条件是
ab?1
，
ab
2?1
时，
S
可取最小值2． （10分） 当
a?b?1,c?
（II）当
S
取最小值时，
ab? 1
，从而
c(a?b?c)?1
，
第 4 页 共 6 页

2
即
c?(a?b)c?1?0
，令
t?a?b
，则
t?2ab?2
（15分）
?t?t
2
?4?t?t
2
?4
?0
（舍去） 从 而
c?
或者
c?
22
?t?t
2
?42
故
c?
在
t?[2,??)
单减，
?
2
2
t?4?t
所以在
t?2
时，
c
有最大值
2?1
． （20分）
15、解：将直线
y?kx?1
与双曲线
x?y?1
方 程联立得
?
22
22
?
y?kx?1
?
x?y?1
22

化简得
(k?1)x?2kx?2?0
① （5分）
?
?
??4k
2
?8(k
2
?1)?0
?
2k
?
?0
，解得
1?k?2
．由题设知方程① 有两负根，因此
?
x
1
?x
2
??
2
（1 0分）
k?1
?
2
?
x?x??0
12
2
?
k?1
?
设
A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
，则有
x
1
?x
2
??
2k
，
k
2
?1
2k
2
2
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
) ?2??
2
?2??
2

k?1k?1
k1
,?)
，
22
k?1k?1
? 1?2
所以直线
l
方程为
y?
，其在轴的截距，（15分）
(x?2)?
b
y
2k
2
?k?22k
2
?k? 2
1
2
17
2
当
1?k?2
时，
2k?k ?2?2(k?)?
，其取值范围是
(?1,2?2)

48
?2< br>所以
b
?
的取值范围是
(??,?2?2)(2,??)
． （20分）
2
2k?k?2
故
AB
的中点为
(?
'n?12nn?1
16、解：（I）
f
n
(x)?nx(1?x)?2x( 1?x)?x(1?x)[n(1?x)?2x]
，
n
， （5分）
n?2
n1111
1
??[,1]
，又
f
1
()?
，
f
n
(1)?0
，故
a
1< br>?
； 当
n?1
时，
n?23228
8
n11111
??[,1]
，又
f
2
()?
，
f
n(1)?0
，故
a
2
?
； 当
n?2
时，n?22221616
'
当
x?[,1]
时，由
f
n< br>(x)?0
知
x?1
或者
x?
1
2
第 5 页 共 6 页

n1
?[,1]
，
n?22
1nn
∵
x?[,)
时，
f
n
'
(x)?0
；
x?(,1)
时 ，
f
n
'
(x)?0
；
2n?2n?2
当
n?3
时，
n
n
2
2
4n
n
n
)()?
∴
f
n
(x)
在
x?
处取得最大值，即< br>a
n
?(

n?2n?2(n?2)
n?2
n?2< br>?
1
?
8
,(n?1)
?
综上所述，
an
?
?
． （10分）
n
?
4n
,(n?2)
n?2
?
( n?2)
?
4n
n
1
2
n
?
（II）当< br>n?2
时，欲证 ，只需证明
(1?)?4

n?22
(n? 2)(n?2)
n
2
1
2
2
2
2n
?C< br>n
?()
n

nnn
n(n?1)4

?1?2??
2
?1?2?1?4

2n
∵
(1? )?C
n
?C
n
?()?C
n
?()?
n012
n
所以，当
n?2
时，都有
a
n
?
1
成立． （15分）
(n?2)
2
（III）当
n?1,2
时，结论显然成立；
当
n?3
时，由（II）知
S
n
?

?
11
??a
3
?a
4
?
816
1111
????
8165
2
6
2
?a
n

?
1

(n?2)
2
11111111
??(?)?(?)??(?)

8164556n?1n?2
1117

????
．
816416
7
所以，对任意正整数
n
，都有
S
n
?
成立． （20分）
16

?




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