2012年全国高中数学联赛模拟精彩试题一

实用
2012年全国高中数学联赛模拟试题一

一、选择题：每题6分，满分36分
1、设函数
f(x)
的定义域为R，且对任意实数
x?(?
大值为（ ）A 0 B
??
,)
，
f(tanx)?sin2x
，则
f(2sinx)
的最
22
2
1
C D 1
2
2
2
a
n
?a
n?1
?2 a
n
2、实数列
{a
n
}
定义为
a
n?,n?2,3,
?
,a
1
?1,a
9
?7,
则
a
5
的值为（ ）
a
n?1
?1
A 3 B -4 C 3或-4 D 8
3、正四面体ABCD的棱长为1，E是△ ABC一点，点E到边AB,BC,CA的距离之和为x，点E到平面
DAB,DBC,DCA的距离之 和为y，则
x?y
等于（ ）
A 1 B
22
6
5
7
C D
2
3
12
4．已知集合
M?{x|(?x?1)(x?3)(x? 5)?0,?x?
R
?},???
N?{x|(?x?2)(x?4)(x?6)?0 ,?x?
R
}．???

(D)
(5,?6)

(D)
6

N?
（ ） .
(A)
(2,3)

M
(B)
(3,?4)
(C)
(4,5)

n
5．已知
z?(3?3i)
, 若
z
为实数，则最小的正整数
n
的值为（ ） .
(A)
3
(B)
4
(C)
5

6．已知
p：
a,b,c,d
成等比数列，q:
ad?bc
， 则
p
是
q
的（ ） .
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

二、填空题：每小题9分，满分54分
2222
7、实数
x,y,z
满足
x?2y?7,y?4z??7,z?6x??14,
则
x?y?z
＝ .
8、设S是集合｛1，2，…，15｝的一个 非空子集，若正整数n满足：
n?S,n?S?S
，则称n是子
集S的模数，这里|S |表示集合S中元素的个数。对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S，模数的
个数之和为 .
22
1
?x?1
，当
(1?x)
5
(1?x) (1?2x)
2
取得最大值时，x＝ .
2
1 0．已知
f(x)?cos2x?p|cosx|?p
，
x?R
．记
f(x)
的最大值为
h(p)
，则
h(p)
的表达式
9、对 于
为 .
11．已知
sin(x?sinx )?cos(x?cosx)
，
x?
?
0,
?
?
,

则
x?
.
12．设
A,B
为抛物线
y?2px(p?0)
上相异两点，则
OA?OB?AB< br>___________________．



2
22
的最小值为
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三、解答题：每小题20分，满分60分
13、如图，已知三角形ABC的心为I，AC≠B C，切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，
S?CI?EF
，连结CD与切圆的 另一个交点为M，过M的切线交AB的延长线于点G.求证：
（1）
?CDI
∽
?DSI
；（2）
GS?CI












14、设
a,b,c
是正整数，关于x的一元二次方程
ax?bx ?c?0
的两实数根的绝对值均小于
2
1
，求
3
a?b?c
的最小值.











15.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0 分；当其中一人的得分比另一人的
多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超 过20次，即经20次比赛，得
分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为< br>p
（
0?p?1
），乙获胜的概
率为
q?1?p
．假 定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经
?
次结束，求
?
的期望
E< br>?
的变化围．















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2012年全国高中数学联赛模拟试题二

一、选择题：每题6分，满分36分

1、数列
x
1
,x
2
,?,x
100
满足如下条件：对于
k?1,2,?100,x< br>k
比其余99个数的和小k，已知
x
50
?
m
，m， n是互质的正整数，则m+n等于（ ）
n
A 50 B 100 C 165 D 173
26
,cosx?cosy?
，则
sin(x?y)
等于（ ）
22
2
3
6
A B C D 1
2
22
x
2
y
2
??1
在第一象限上的动 点，过点P引圆
x
2
?y
2
?9
的两条切线PA、PB，切 点分3、P为椭圆
169
别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则
S
?MON
的最小值为（ ）
9
9
2727
A B D
3

3
C
244
2
2
4．函数
f(x)?log
0.3
(x?x?2)
的单调递增区间是 （ ） .
(A)
(??,?2)
(B)
(??,1)
(C)
(-2,1)
(D)
(1,???)

xy
?
5．已知
x,y
均为正实数，则的最大值为（ ） .
2x?yx?2y
24
(A) 2 (B) (C) 4 (D)
33
?4
?
?
?
6．直线
y=5< br>与
y??1
在区间
?
0,
上截曲线
y?msinx? n (m?0, n?0)
所得的弦长相等且不
?
2
?
?
?
2、若
sinx?siny?
为零，则下列描述正确的是（ ） .
（A）
m?
35
,n=

22
（B）
m?3,n?2
（C）
m?
35
,n=

22
（D）
m?3,n?2

二、填空题：每小题9分，满分54分
f(x)f(y)?f(xy)
?x?y?2
，则
f(36)?
.
3
8、正四面体ABCD的体积为1，O为为其中心. 正四面体
A
?< br>B
?
C
?
D
?
与正四面体ABCD关于点O对
7、函数
f(x)
满足：对任意实数x,y，都有
称，则这两个正四面体的公共部分 的体积为 .
nn?1
的点为
A
n
，横坐标为的点为
B
n
(n?N
?
)
.记坐标为< br>n?1n
（1，1）的点为M，
P
n
(x
n
,yn
)
是三角形
A
n
B
n
M
的外心，则
x
1
?x
2
???x
100
?
.
9、在双曲线xy＝1上，横坐标为
10．已知
sin(x?sinx)?cos (x?cosx)
，
x?
?
0,
?
?
,

则
x?
.
11．设
A,B< br>为抛物线
y?2px(p?0)
上相异两点，则
OA?OB?AB
2< br>22
的最小值为
___________________．
12．已知?ABC
中，
G
是重心，三角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且
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56aGA?40bGB?35 cGC?0
，则
?B
=__________．

三、解答题：每小题20分，满分60分
13、设集合A和B都是由正整数组成的集合，|A |＝10，|B|＝9，并且集合A满足如下条件：若
x,y,u,v?A,x?y?u?v
， 则
{x,y}?{u,v}
.令
A?B?{a?b|a?A,b?B}

求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X的元素个数）













14已知在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
O,E,F,G
分别为
D
1
F
A
1
B
1
G
C
1
BD,BB
1
, A
1
D
1
,D
1
C
1
的中点，且
AB?1
． 求四面体
OEFG
的体积．




E
D
A
O
C
B









15在平面直角坐标系中, 已知圆
C
1
与圆
C
2
相交于点
P
，
Q
, 点
P
的坐标为
?
3,2
?
, 两圆半径的乘积为
1 3
．若圆
C
1
和
C
2
均与直线
l
:
y?kx
及
x
轴相切，求直线
l
的方程．
2










2012年全国高中数学联赛模拟试题三

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一、选择题
1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有（ ）个
A.360 B.252 C.720 D.240
2.已知数列{
a
n
}(n≥1)满足
a
n?2
=
a
n?1
-
a
n
，且
a
2
=1,若数列的前2005项之和为20 06，则前
2006项的和等于（ ）
A.2005 B.2006 C.2007 D.2008
3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长 都是1，有一个底角是
60
0
，又侧棱与底面所成的角都是
45
0< br>，则这个棱锥的体积是（ ）
33
A.1 B.
3
C. D.
42
x
3
?3x
1?x
)
等于（ ）. 4 ．设
f(x)?lg,|x|?1,
则
f(
2
1?3x
1? x
23
（A）
f(x)
（B）
f(x)
（C）
2f (x)
（D）
3f(x)

3
?
5．
a,b
是不等于1的正数，
?
?(,2
?
),
若
a
ta n
?
?b
tan
?
?1
，则成立的是（ ）.
2
（A）
a?b?1
（B）
a?b?1
（C）
b?a?1
（D）
b?a?1

ABCB
6．< br>?ABC
中，
BC?a,AC?b,AB?c,
则使等式
sin
2
?sin
2
?sin
2
?cos
2
成立的充要 条件
2222
是（ ）.
（A）
a?b?2c
（B）
b?c?2a
（C）
c?a?2b
（D）
c?a?b
2


二、填空题
1．设
f( x)
适合等式
f(x)?2f()?x,
则
f(x)
的值域是 。
2．若对满足
?
?
?
?k?360?
的任何角
?
,
?
,都有
1
x
sin(
?
?30?) ?sin(
?
?30?)

cos
?
?cos
?< br>?mcot
?
?
?
2
?n
，则数组
(m,n )
= 。
3．等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有 个。
4.盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，记第一次与第二次取到的球上的的积为
随机变量ξ ，则ξ的数学期望Eξ=________________
5.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足
f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为_______________
6.
?
[(10i?1)(10i?3)(10i?7)(10i?9)]
的 末三位数是_______
i?1
100

三、解答题
1.三个 等圆⊙O
1
,⊙O
2
,⊙O
3
,两两外切且均切于⊙O，从 ⊙O上任意一点向三个小圆引三条
切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.
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log
b
a
log
c
b
lo g
a
c
9
2.设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(++)≥.
a?bb?cc?a
a?b?c











3．试求最小的正整数
n,
使得对于任何
n
个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.





















2012年全国高中数学联赛模拟试题四

一、填空题
1．设集合
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}，若
A
中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B?{?1,3,5,8}< br>，
则集合
A?
．
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实用
x
2
?1
2．函数
f(x)?
的值域为 ．
x?1
11
3．设
a,b
为正实数，
??22
，
(a?b)
2
?4(ab)
3
，则
log
ab?
．
ab
4．如果
cos
5?
?sin
5
?
?7(sin
3
?
?cos< br>3
?
)
，
?
?[0,2
?
)
，那么
?
的取值围是 ．
5.
某人在将
200 9
中间的两个数码
00
分别换成两位数
ab
与
cd
时，恰好都得到完全平方数：
2ab9?n
2
,2cd9?m
2
,( m?n,m,n?N)
，则数组
m?n,ab?cd?
．
? ?
y
2
x
2
??1
的顶点和焦点，则椭圆的方程6. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线
916
为： ．
7.
实数
x,y
满足
2x
2
?3y
2
?6y
，则
x?y
的最大值是 ．
8. 四面 体
ABCD
中，
CD?BC,AB?BC,CD?AC,AB?BC?1
平面
BCD
与平面
ABC
成
45
0
的二面角，则点B
到平面
ACD
的距离为 ．












二、解答题
1．（本小题满分16分）设函数
f(x)?|lg(x?1)|
，实数
a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?
f(10a?6b?21) ?4lg2
，求
a,b
的值．
b?1
)
，
b?2












2．（本小题满分
a
n?1
?
a
n
?2t?1
n
20分）已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?2t?3(t?
R 且
t??1)
，
(n?
N
*
)
．
(2t
n?1
?3)a
n
?2(t?1)t
n
?1
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
t?0
， 试比较
a
n?1
与
a
n
的大小．
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3. （
20分
）给定
Y
轴上的一点
A(0,a)
（
a?1
），对于曲线
y?
．
A,M
两点之间距离
AM
的最小值（用
a
表示）


























1
2
x?1
上的动点
M(x,y)
，试求
2
2012年全国高中数学联赛模拟试题五

一、填空题
1.
从集合
M?
?
1,2,3,
数为 ．
,2009
?
中，去掉所有
3
的倍数以及
5
的倍数后，则
M
中剩下的元素个
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实用
x?x
3
2.
函数
f(x)?
的值域是 ．

22
(1?x)
?
2
?
4
?
7
?
3.
cos?cos?cos?cos?
．
15151515
4. 九个连续正整数自小到大排成一个数列
a
1,a
2
,,a
9
，若
a
1
?a
3?a
5
?a
7
?a
9
的值为一平方
数，
a
2
?a
4
?a
6
?a
8
的值为一立方 数，则这九个正整数之和的最小值是 ．

5．现安排7名同学去参加5个运动项 目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有
人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要 求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体
AB CD
中，已知
?ADB??BDC??CDA?60?
，
AD?BD?3，
CD?2
，则四面体
ABCD
的外接球的半径为 ．
7．直线
x?2y?1?0
与抛物线
y
2
?4x
交于
A,B
两点，
C
为抛物线上的一点，
?ACB?90?
，则点
C
的坐标为 ．
8．已知
a
n
?
C








n
3
200
?6
??< br>200?n
?
1
?
?
?
?
??
(n
?
1,2,
?
,95)
，则数列
{a
n
}
中整数项的个数为 ．
?
2
?
n
二、解答题
1
x
2
y
2
1．（本小题满分20分）作斜率为的直线
l
与椭圆
C
： ，
??1
交于
A,B
两点（如图所示）
3
364
且
P(32,2)
在直线
l
的左上方．
（1）证明：△
PAB
的切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若
?APB?60?
，求△
PAB
的面积．
y
P
O
A
x
B










2. （
25
分） 如图，
AB
、
CD
、
EF
是一个圆中三条互不相交的弦，以 其中每两条弦为一组对
边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为
M,N ,P
；证明：
M,N,P
三点共
线．




文档
A
E
D
B
F
C

实用














3. （25分）
n
项正整数列
x
1
,x
2
,,x
n
的各项之和为
2009
，如果这
n
个数既可分为和相等的
41
个组，又可分为和相等的
49
个组，求
n
的最小值．





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