2019年全国高中数学联赛试题(a卷)含解析

2019年全国高中数学联赛试题（ａ卷）含解析

注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！

２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕
参考答案及评分标准
说明：
１、评阅试卷时，请严格按照本评分标准。填空题只设８分和０分两档；解答题第９题４分为一个档次，
第１０、１１
题５分为一个档次。不要再增加其他中间档次。
２、对于解答题，如 果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分
标准适
当划分档次评分。
【一】填空题：本大题共８小题，每题８分，共６４分、把答案填在题中的横线上、
１、设Ｐ是函数ｙ＝ｘ＋２
ｘ〔ｘ＞０〕的图像上任意一点，过点Ｐ分别向直线ｙ＝ｘ和ｙ轴作垂线，
垂足分别为Ａ、Ｂ，那么、
解：－１、
【方法１】设Ｐ〔ｘ
０
，ｘ
０
＋２
ｘ
０
〕，那么直线ＰＡ的方程为
ｙ－〔ｘ
０
＋２
ｘ
０
〕＝－〔ｘ－ｘ
０
〕，即ｙ＝－ｘ＋２ｘ
０
＋２
ｘ
０
、
由
ｙ＝ｘ，
ｙ＝－ｘ＋２ｘ
０
＋２
ｘ
０
，
得Ａ〔ｘ
０
＋１
ｘ
０
，ｘ
０
＋１
ｘ
０
〕、
又Ｂ〔０，ｘ
０
＋２
ｘ
０
〕〔１
ｘ
０
，－１

ｘ
０
〕〔－ｘ
０
，０〕、

ｘ
０
·〔－ｘ
０
〕＝－１、
【方法２】如图１，设Ｐ〔ｘ
０
，ｘ
０
＋２
ｘ
０
〕〔ｘ
０
＞０〕，那么点Ｐ到直线ｘ－ｙ＝０和ｙ轴的距离分别为
│ＰＡ│＝
│ｘ
０
－〔ｘ
０
＋２
ｘ
０
〕│
槡２＝槡２
ｘ
０
，│ＰＢ│＝ｘ
０
、
因为Ｏ、Ａ、Ｐ、Ｂ四点共圆〔Ｏ为坐标原点〕，所以∠ＡＰＢ＝π－∠ＡＯＢ＝３π
４、
π
４＝－１、
２、设△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足 ａｃｏｓＢ－ｂｃｏｓ
Ａ＝３５
ｃ，那么ｔａｎＡ
ｔａｎＢ的值是
、
解：４、
２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕参考答案及评分标准第２页〔共６页〕
【方法１】由题设及余弦定理，得
ａ·ｃ
２
＋ａ
２
－ｂ
２
２ｃａ－ｂ·ｂ
２
＋ｃ
２
－ａ
２
２ｂｃ＝３５
ｃ，即ａ
２
－ｂ
２
＝３５
ｃ
２
、
故ｔａｎＡ
ｔａｎＢ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ
ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝
ａ·ｃ
２
＋ａ
２
－ｂ
２
２ｃａ
ｂ·ｂ
２
＋ｃ
２
－ａ
２
２ｂｃ
＝ｃ
２
＋ａ
２
－ｂ
２
ｂ
２
＋ｃ
２
－ａ
２
＝
８５
ｃ
２
２５

ｃ
２
＝４、
【方法２】如图２，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，那么
ａｃｏｓＢ＝ＤＢ，ｂｃｏｓＡ＝ＡＤ、
由题设得ＤＢ－ＡＤ＝３５
ｃ、
又ＤＢ＋ＤＡ＝ｃ、
联立解得ＡＤ＝１５
ｃ，ＤＢ＝４５
ｃ、
故ｔａｎＡ
ｔａｎＢ＝
ＣＤ
ＡＤ
ＣＤ
ＤＢ
＝ＤＢ
ＡＤ＝４、
【方法３】由射影定理，得ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝ｃ、
又ａｃｏｓＢ－ｂｃｏｓＡ＝３５
ｃ、
联立解得ａｃｏｓＢ＝４５
ｃ，ｂｃｏｓＡ＝１５
ｃ、
故ｔａｎＡ
ｔａｎＢ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ
ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝ａｃｏｓＢ
ｂｃｏｓＡ＝
４５
ｃ
１５
ｃ
＝４、
３、设ｘ、ｙ、ｚ∈［０，１］，那么Ｍ＝│ｘ－ｙ槡│＋│ｙ－ｚ槡│ ＋│ｚ－ｘ槡│的
最大值是、
解：槡２＋１、
不妨设０≤ｘ≤ｙ≤ｚ≤１，那么Ｍ＝ｙ－槡ｘ＋ｚ－槡ｙ＋ｚ－槡ｘ、
因为ｙ－槡ｘ＋ｚ－槡ｙ≤２［〔ｙ－ｘ〕＋〔ｚ－ｙ槡〕］＝２〔ｚ－ｘ槡〕，
所以Ｍ≤２〔ｚ－ｘ槡〕＋ｚ－槡ｘ＝〔槡２＋１〕ｚ－槡ｘ≤槡２＋１、
当且仅当ｙ－ｘ＝ｚ－ｙ，ｘ＝０，ｚ＝１，即ｘ＝０，ｙ＝１
２，ｚ＝１时，上式等号同时成立、
故Ｍ
ｍａｘ
槡＝２＋１、
４ 、抛物线ｙ
２
＝２ｐｘ〔ｐ＞０〕的焦点为Ｆ，准线为ｌ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两个动点，且满足
∠ＡＦＢ＝π

３、设线段ＡＢ的中点Ｍ在ｌ上的投影为Ｎ，那么│ＭＮ│
│ＡＢ│的最大值是、
解：１、
【方法１】设∠ＡＢＦ
__________
＝θ〔０＜θ＜２π
３〕，那么由正弦定理，得
２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕参考答案及评分标准第３页〔共６页〕
│ＡＦ│
ｓｉｎθ＝│ＢＦ│
ｓｉｎ〔２π
３－θ〕
＝│ＡＢ│
ｓｉｎπ
３
、
所以│ＡＦ│＋│ＢＦ│
ｓｉｎθ＋ｓｉｎ〔２π
３－θ〕
＝│ＡＢ│
ｓｉｎπ
３
，
即│ＡＦ│＋│ＢＦ│
│ＡＢ│＝
ｓｉｎθ＋ｓｉｎ〔２π
３－θ〕
ｓｉｎπ
３
＝２ｃｏｓ〔θ－π
３〕、
如图３，由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得│ＭＮ│＝│ＡＦ│＋│ＢＦ│
２、
所以│ＭＮ│
│ＡＢ│＝ｃｏｓ〔θ－π
３〕、
故当θ＝π
３时，│ＭＮ│
│ＡＢ│取得最大值为１、
【方法２】由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得│ＭＮ│＝│ＡＦ│＋│ＢＦ│
２、
在△ＡＦＢ中，由余弦定理，得
│ＡＢ│
２
＝│ＡＦ│
２
＋│ＢＦ│
２
－２│ＡＦ│·│ＢＦ│ｃｏｓπ
３
＝〔│ＡＦ│＋│ＢＦ│〕
２
－３│ＡＦ│·│ＢＦ│
≥〔│ＡＦ│＋│ＢＦ│〕
２
－３〔│ＡＦ│＋│ＢＦ│

２〕
２
＝〔│ＡＦ│＋│ＢＦ│
２〕
２
＝│ＭＮ│
２
、
当且仅当│ＡＦ│＝│ＢＦ│时，等号成立、
故│ＭＮ│
│ＡＢ│的最大值为１、
５、设同底的两个正三棱锥Ｐ－ＡＢＣ和Ｑ－ＡＢＣ内接于同一个球、假设正三棱锥Ｐ－Ａ
ＢＣ 的侧面
与底面所成的角为４５°，那么正三棱锥Ｑ－ＡＢＣ的侧面与底面所成角的正切值是、
解：４、
如图４，连结ＰＱ，那么ＰＱ⊥平面ＡＢＣ，垂足Ｈ为正△ＡＢＣ的中心，且ＰＱ
过球心Ｏ、连结ＣＨ并延长交ＡＢ于点Ｍ，那么Ｍ为ＡＢ的中点，且ＣＭ⊥ＡＢ、
易知∠ＰＭＨ、∠ＱＭＨ分别为正三棱锥Ｐ－ＡＢＣ、Ｑ－ＡＢＣ的侧面与底面所
成二面角的平面角，那么∠ＰＭＨ＝４５°，从而ＰＨ＝ＭＨ＝１２
ＡＨ、
因为∠ＰＡＱ＝９０°，ＡＨ⊥ＰＱ，所以
ＡＨ
２
＝ＰＨ·ＱＨ，即ＡＨ
２
＝１２
ＡＨ·ＱＨ、
所以ＱＨ＝２ＡＨ＝４ＭＨ、
故ｔａｎ∠ＱＭＨ＝ＱＨ
ＭＨ＝４、
２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕参考答案及评分标准第４页〔共６页〕
６、设ｆ〔 ｘ〕是定义在Ｒ上的奇函数，且当ｘ≥０时，ｆ〔ｘ〕＝ｘ
２
、假设对任意的ｘ
∈［ａ ，ａ＋２］，不等式
ｆ〔ｘ＋ａ〕≥２ｆ〔ｘ〕恒成立，那么实数ａ的取值范围是、
解：［槡２，＋∞〕、
由题设知，ｆ〔ｘ〕＝ｘ
２
〔ｘ≥０〕，
－ｘ
２
〔ｘ＜０〕，
那么２ｆ〔ｘ〕＝ｆ〔槡２ｘ〕、
因此，原不等式等价于ｆ〔ｘ＋ａ〕≥ｆ〔槡２ｘ〕、
因为ｆ〔ｘ〕在Ｒ上是增函数，所以ｘ＋ａ≥槡２ｘ，即ａ≥〔槡２－１〕ｘ、
又ｘ∈［ａ， ａ＋２］，所以当ｘ＝ａ＋２时，〔槡２－１〕ｘ取得最大值为〔槡２－１〕〔ａ
＋２〕、
因此，ａ≥〔槡２－１〕〔ａ＋２〕，解得ａ≥槡２、
故ａ的取值范围是［槡２，＋∞〕、
７、满足１４
＜ｓｉｎπ
ｎ＜１
３的所有正整数ｎ的和是、
解：３３、
由正弦函数的凸性，有
当ｘ∈〔０，π

６〕时，３
πｘ＜ｓｉｎｘ＜ｘ、
由此得ｓｉｎπ
１３＜π
１３＜１
４，ｓｉｎπ
１２＞３
π×π
１２＝１
４，
ｓｉｎπ
１０＜π
１０＜１
３，ｓｉｎπ
９＞３
π×π
９＝１３
、
所以ｓｉｎπ
１３＜１４
＜ｓｉｎπ
１２＜ｓｉｎπ
１１＜ｓｉｎπ
１０＜１３
＜ｓｉｎπ
９、
故满足１４
＜ｓｉｎπ
ｎ＜１
３的正整数ｎ的所有值分别为１０，１１，１２，它们的和为３３、
８、某情报站有Ａ、Ｂ、 Ｃ、Ｄ四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都
是从上周
未使用的三种密码 中等可能地随机选用一种、设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ
种密码
的概率是、〔用最简分数表示〕
解：６１
２４３、
用Ｐ
ｋ表示第ｋ周用Ａ种密码本的概率，那么第ｋ周未用Ａ种密码的概率为１－Ｐ
ｋ
、于是，有
Ｐ
ｋ＋１
＝１
３〔１－Ｐ
ｋ
〕，ｋ∈Ｎ，即Ｐ
ｋ＋１
－１４
＝－１
３〔Ｐ
ｋ
－１４〕、

由Ｐ
１
＝１知，Ｐ
ｋ
－
是首项为３
４，公比为－１
３的等比数列、
所以Ｐ
ｋ
－１４＝３４〔－１
３〕
ｋ－１
，即Ｐ
ｋ
＝３４〔－１
３〕
ｋ－１
＋１４
、
故Ｐ
７
＝６１
２４３、
１４
２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕参考答案及评分标准第５页〔共６页〕
【二】解答题：本大题共３小题，共５６分、解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤、
９、〔本小题总分值１６分〕
函数ｆ〔ｘ〕＝ａｓｉｎｘ－１２
ｃｏｓ２ｘ＋ａ－３
ａ＋１
２，ａ∈Ｒ且ａ≠０、
〔１〕假设对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ〔ｘ〕≤０，求ａ的取值范围；
〔２〕假设ａ≥２，且存在ｘ∈Ｒ，使得ｆ〔ｘ〕≤０，求ａ的取值范围、
解：〔１〕ｆ〔ｘ〕＝ｓｉｎ
２
ｘ＋ａｓｉｎｘ＋ａ－３
ａ、
令ｔ＝ｓｉｎｘ〔－１≤ｔ≤１〕，那么ｇ〔ｔ〕＝ｔ
２
＋ａｔ＋ａ－３
ａ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!
对任意ｘ∈Ｒ，ｆ〔ｘ〕≤０恒成立的充要条件是

ｇ〔－１〕＝１－３
ａ≤０，
ｇ〔１〕＝１＋２ａ－３
ａ≤０、
解得ａ的取值范围为〔０，１］８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
〔２〕因为ａ≥２，所以－ａ
２≤－１、
所以ｇ〔ｔ〕
ｍｉｎ
＝ｇ〔－１〕＝１－３
ａ１２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因此，ｆ〔ｘ〕
ｍｉｎ
＝１－３
ａ、
于是，存在ｘ∈Ｒ，使得ｆ〔ｘ〕≤０的充要条件是
１－３
ａ≤０，解得０＜ａ≤３、

故ａ的取值范围是［２，３］１６分! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１０、〔本小题总分值２０分〕
数列｛ａ
ｎ
｝的各项均为非零实数，且对于任意的正整数ｎ，都有
〔ａ１
＋ａ
２
＋…＋ａ
ｎ
〕
２
＝ａ
３１
＋ａ
３２
＋…＋ａ
３
ｎ
、
〔１〕当ｎ＝３时， 求所有满足条件的三项组成的数列ａ
１
，ａ
２
，ａ
３
； < br>〔２〕是否存在满足条件的无穷数列｛ａ
ｎ
｝，使得ａ
２０１３
＝－２ ０１２？假设存在，求出
这样的无穷数列的
一个通项公式；假设不存在，说明理由、
解：〔１〕当ｎ＝
_______１
时，ａ
２１
＝ａ
３１
，由ａ
１
≠０，得ａ
１
＝１、
当ｎ＝２时，〔１＋ａ
２
〕
２
＝１＋ａ
３２
，由 ａ
２
≠０，得ａ
２
＝２或ａ
２
＝－１５分!!!!!!!! !!!
当ｎ＝３时，〔１＋ａ
２
＋ａ
３
〕
２
＝１ ＋ａ
３２
＋ａ
３３
、
假设ａ
２
＝２，得ａ< br>３
＝３或ａ
３
＝－２；假设ａ
２
＝－１，得ａ
３＝１、
综上，满足条件的三项数列有３个：１，２，３，或１，２，－２，或１，－１，１１０分 !!!!!!!!!
２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕参考答案及评分标准第６页〔共６页〕
〔２〕令Ｓ
ｎ
＝ａ
１
＋ａ
２
＋…＋ａ
ｎ< br>，那么Ｓ
２
ｎ
＝ａ
３１
＋ａ
３２
＋…＋ａ
３
ｎ
〔ｎ∈Ｎ〕
从而〔Ｓ
ｎ
＋ａ
ｎ＋１
〕
２
＝ａ
３１
＋ａ
３２
＋…＋ａ
３
ｎ
＋ａ
３
ｎ＋１
、
两式相减，结合ａ
ｎ＋１
≠０，得２Ｓ
ｎ
＝ａ
２
ｎ＋１
－ａ
ｎ＋１
当ｎ＝１时，由〔１〕知ａ
１
＝１；
当ｎ≥２时，２ａ
ｎ
＝２〔Ｓ
ｎ
－Ｓ
ｎ－１
〕＝〔 ａ
２
ｎ＋１
－ａ
ｎ＋１
〕－〔ａ
２
ｎ
－ａ
ｎ
〕，
即〔ａ
ｎ＋１
＋ａ
ｎ〕〔ａ
ｎ＋１
－ａ
ｎ
－１〕＝０，所以ａ
ｎ＋１
＝－ａ
ｎ
或ａ
ｎ＋１
＝ａ
ｎ
＋１１５
分!!!!!!!!
又ａ
１
＝１，ａ
２０１３
＝－２０１２，
所以ａ
ｎ
＝ｎ〔１≤ｎ≤２０１２〕，
２０１２〔－１〕
ｎ
〔ｎ≥２０１３〕
２０分!!!!!!!!!

１１、〔本小题总分值２０分〕
如图５，在平面直角坐标系ＸＯＹ中，菱形ＡＢＣＤ的边长为４，
且│ＯＢ│＝│ＯＤ│＝６、
〔１〕求证：│ＯＡ│·│ＯＣ│为定值；
〔２〕当 点Ａ在半圆Ｍ：〔ｘ－２〕
２
＋ｙ
２
＝４〔２≤ｘ≤４〕上运动时，求
点Ｃ的轨迹、
解：〔１〕因为│ＯＢ│＝│ＯＤ│，│ＡＢ│＝│ＡＤ│＝│ＣＢ│＝│ＣＤ │，所以Ｏ、
Ａ、Ｃ三点共线
５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
如图５，连结ＢＤ，那么ＢＤ垂直平分线段ＡＣ，设垂足为Ｋ、于是，有
│ＯＡ│·│ＯＣ│＝〔│ＯＫ│－│ＡＫ│〕〔│ＯＫ│＋│ＡＫ│〕
＝│ＯＫ│
２
－│ＡＫ│
２
＝〔│ＯＢ│
２
－│ ＢＫ│
２
〕－〔│ＡＢ│
２
－│ＢＫ│
２
〕
＝│ＯＢ│
２
－│ＡＢ│
２
＝６
２
－４
２
＝２０〔定值〕１０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
〔２〕设Ｃ〔ｘ，ｙ〕、Ａ〔２＋２ｃｏｓα，２ｓｉｎα〕，其中α＝∠ＸＭＡ〔－π
２≤α≤π
２〕，那么∠ＸＯＣ＝α
２、
因为│ＯＡ│
２＝〔２＋２ｃｏｓα〕
２
＋〔２ｓｉｎα〕
２
＝８〔１＋ｃｏｓα〕＝１ ６ｃ
ｏｓ
２
α
２，
所以│ＯＡ│＝４ｃｏｓα
２１５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
由〔１〕的结论，得│ＯＣ│ｃｏｓα
２＝５、
所以ｘ＝│ＯＣ│ｃｏｓα
２＝５、
从而ｙ＝│ＯＣ│ｓｉｎα
２＝５ｔａｎα
２∈［－５，５］、
故点Ｃ的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为〔５，５〕、〔５， －５〕２０分!!!!!!!
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