2012年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试,附详细解答)

2012年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分： ____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1．不 等式
4x
2
(1?1?2x)
2
?2x?9
的解集为 ．
2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.
①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形
3．直 线
kx?y?2
与曲线
1?(y?1)
2
?|x|?1
有两 个不同的交点，则实数k的取值范围是__ _______.
4．复数
z
，使z?z?2z
32
，则
z
的所有可能值为 _____ ____．
1?a1?b1?c
5．所有的满足条件
a
a
?bb
?a
a?1
?b
b?1
?a?b
的正整数对
(a,b)
的个数为 ．
6．设
a,b,c
为方程
x
3
?k
1
x?k
2
?0
的根（
k
1
?k
2
?1
），则
?
__. 1?a1?b1?c
7．将号码分别为1、2、?、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不 同，其余完全相同.
甲从袋中摸出一个球，其号码为
a
，放回后，乙从此袋中再摸 出一个球，其号码为
b
. 则使不等式
a?2b?10?0
成立的事件发生的概率等于 ．
A?BA ?B
,3sin)
,
|
?
|?2
.如果当C最大时,8．已 知A, B, C为△ABC三内角, 向量
?
?(cos
22
??
存在动点M, 使得
|MA|,|AB|,|MB|
成等差数列, 则
|MC|
|AB|
最大值是
__ ___
.
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
n?1< br>9．对正整数
n?2
，记
a
n
?
?
n
k?1
k?1
n?k
2
?
1
，求数列{a
n}中的最大值．


10．给定正实数k，圆心为(
a，b
) 的圆至少与抛物线
y?kx
2
有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另两个
点在直线
y?kx?b
上，求
a，b
的值（用
k
表示）．








11．已知函 数
f(x)?a(|sinx|?|cosx|)?3sin2x?7,
其中
a
为实数，求所有的数对(a, n)(n∈N*),
使得函数
y?f(x)
在区间
(0,n
?
)
内恰好有2011个零点．







2012模拟卷（1） 第 1 页 共 6页

2012年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试
(考试时间：150分钟 满分：180分)
姓名：_____________考试号 ：______________得分：____________
一、（本题满分40分）
在
Rt?ABC
中，
CD
是斜边
AB
上的高，记
I
1
,I
2
,I
分别是△ADC, △BCD,
△ABC的 内心，
I
在
AB
边上的射影为
O
1
，
?C AB,?ABC
的角平分线分别交
BC,AC
于
P,Q
，
且
PQ
的连线与
CD
相交于
O
2
，求证：四边形< br>I
1
O
1
I
2
O
2
为正方形．









二、（本题满分40分）
给定正数a, b, c, d, 证明：
a?b?c
a?b?c
333
C
P
Q
I
1
D O
1
I
I
2

A
B
?
b?c?d
b?c?d
333
?
c?d?a
c?d?a
333
?
d?a?b
d?a?b
3 33
?a?b?c?d.

2222





三、（本题满分50分）
设
k?N
?
，定义
A< br>1
?1
，
A
n?1
?
nA
n
?2( n?1)
2k
n?2
证明：当
n?1
时，
A
n为整数，且
A
n
为奇数的充要条件是
n?1或2(mod4)

，
n?1,2,?








四、（本题满分50分）
试求最小的正整数
n,
使得对于任何n个 连续正整数中，必有一数，其各位数
字之和是7的倍数.











2012模拟卷（1） 第 2 页 共 6页

2012年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案
1． 由
1?1?2x?0
得
x??,x?0
，原不等式可变为
1?1?2 x
2

故原不等式的解集为
?
?
?
4
3< br>4
3
1
??
2
?2x?9
解得
x?
45
8

?
1
2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中 心对称图形，且②⑤可以截得
3．提示：
[?2,?)?(
??
45
?
,0
?
U
?
0,
?
2
??
8
?

，数形结合可得.
,2]
, 曲线为两个半圆，直线过定点（ 0，?2）
32
4．答案：0，1，
?1?2i,?1?2i
解：< br>z?z?2z
=
2z?z
，∴
z(z
2
?1?2z) ?0

当
z?0
时，满足条件，当
z?0
时，
z
2
?1?2z?0

设
z ?a?bi(a,b?R),则a
2
?b
2
?2abi?1?2(a?bi)

?
a
2
?b
2
?1?2a?0
∴
?
?
2ab?2b?0(2)
(1)
，由(2)
2b(a?1)?0

1）
b?0
代入(1) 整理得：
(a?1)
2
?0?a?1

2）
b?0
，则
a??1
代入(1) 得：
b
2
?4?b??2
，经检验复数
z?1,?1?2i
均满足条件.
∴
z
的所有可能值为0，1，
?1?2i,?1?2i
.
5．解：显然
a?b?1
．由条件得
a
a
?a
a?1?b
b?1
?a?b
b?1
?a?b
b?1
?1
，从而有
ab?b
b
?b

即
b
b
?a b?b
，再结合条件及以上结果，可得
a
a?1
?b
b?1
?a?b?a
a
?b
b
?a
a
?ab?b
，整理得
a?ab?a?a
aa?1
?b
b?1
?a
a?1
?
?
a?b
b?1
?
?a
a?1
，从而
a ?a?a
?
a?1
?
?a?ab?a
2a?1

即
a
a?3
?1
，所以
2?a?3
．当
a?2
时，
b?1
，不符合；当
a?3
时，
b?2
（
b ?1
不符合）．
2
?
，故只有1解． 综上，满足本题的正整数对
?
a,b
?
只有
?
3，
3?k
1
?3k< br>2
1?k
1
?k
2
6．答案：
3
，由题意，
x?k
1
x?k
2
?(x?a)(x?b)(x?c)
由此可得

a?b?c?0
，
ab?bc?ca??k
1
，
abc?k
2
以及
1?k
1
?k
2
?( 1?a)(1?b)(1?c)

1?a
1?a
?
1?b
1 ?b
?
1?c
1?c
?
3?(a?b?c)?(ab?bc?ca) ?3abc
(1?a)(1?b)(1?c)
?
3?k
1
?3k2
1?k
1
?k
2

7．提示：甲、乙二人每人摸出一 个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为9
2
=81个，由不等式
a?2b+1 0>0得2b使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、?、9中每一个值，有7种；当b= 7
时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有 3种；
当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为
8．解:
|?
|?2?cos
2
45?7?5?3?1
81
?
61
81

A?B
2
?3sin
2
A?B
2< br>?2?
1
2
cos(A?B)?
3
2
cos(A?B )?2

1
2
,

?cos(A?B)?3cos(A?B )?2sinAsinB?cosAcosB?tanAtanB?
tanC??tan(A?B)?< br>tanA?tanB
tanAtanB?1
??2(tanA?tanB)??4tan AtanB??22
,
等号成立仅当
tanA?tanB?
2
2< br>.令|AB|=2c,因
|MA|?|MB|?4c
,
2012模拟卷（1） 第 3 页 共 6页

所以 M是椭圆
|MC|＝x+(
y?
当y＝
?
22
x
2
2
4c
2
?
y
2
2
3c
2
?1
上的动点.故点C(0,
22
2
c
), 设M(x,y), 则
2
2
c
)＝
4c?
2
max
=
4
3
y?y?
2< br>22
2cy?
c
2
??
1
3
y?
| MC|
|AB|
2
2cy?
max
＝
9c
2
2
,|y|?
2
3c
.
3c
时, |MC|
7?26
2
c
, |MC|
max
＝
10
6?1
2
c
. 即
23?
4
.
10
3
9．解：经计算知
a
2
?2
，
a
3
?3
，
a
4
?a
5
?
假设
a
n
?
10
3
?
n?5
?
，则
a
n?1
?
n?1
n
?< br>3
n?1
n?1
，下面用数学归纳法证明：当
n?5
时，有< br>a
n
?
?
1
2
?
n?1
n?2?
1
2
2

?
?
?
n?1
1
?
1
2
n?1

n?1
?
nn1n1?
n?1n?1
???
?
??
??a
n
??
n2n
?
n?1?n221
2
n?2
?
n 2n
n?1n?110n?186810

????????
n2n3n35 33
10
所以数列{a
n
}中的最大值是
a
4
?a
5
?

3
< br>?
n?1
?
10．解：设⊙O:
(x?a)
2
?(y ?b)
2
?a
2
?b
2
,
即
x
2
?2ax?y
2
?2by?0

抛物线与直 线
y?kx?b
的两个交点坐标为
(x
1
,y
1
, ),(x
2
,y
2
)
，
2
?
x
1
?x
2
?1
?
kx
1
?kx
1
?b
?
则
?
2
，即
?
b
①, 这两点亦在圆上，即
?
kx
2
?kx
2
?b
?< br>x
1
x
2
??
k
?
o?x
1
?2ax
1
?y
1
?2by
1
?x
1
? 2ax
1
?(kx
1
?b)
2
?2b(kx
1?b),
?
(1?k)x
1
?2ax
1
?b?0

222
2
2
2
同理
(1?k
2
)x
2
2
2a
?
x?x?,
12
2
?
?
1?k
2
②
?2ax
2
?b?0
, 即
?
2
?b
?
xx?.
12
2
?
1 ?k
?
1
2
(1?k),b?
2
比较①，②知：
a ?
1?k
k
2
?k?
k
?
2
1
k
?

?
4
(k?Z)
为对称轴，即 11．解：首先，函数
f(x)
以为
?
周期，且以
x?
f(x?
?
)?f(x),f(k
?
?
f(
k
?
2
)?a? 7,f(k
?
?
k
?
2
,
k
?
?
?
2
?x)?f(x)(k?Z)
，其次，
2a?10,f(k< br>?
?
k
?
?
3
?
4
)?2a?4< br>，∵
f(x)
关于
x?
k
?
2
?
?
4
)?
?
4
(k?Z)
对称，
∴
f(x )
在
(
?
242422
要使
f(x)
在区间
（0，n
?
)
恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点
)
及
(
?
,
k
?
?
?
)
上的零点个 数为偶数，
（1）若
a?7
，则
f(
当
x?(0,
?
2
k
?
2
)?0,f(
k
?
2
?
?
4
)?0
，考虑区间
(0,
?
2
)
及
(
?
2
,
?
)
上的零点个数．
)
时，
f(x)?7(sinx?cosx)?3sin2x?7
，
2
令
t?sinx?cosx(t?(1,2].
则
y?g(t)??3t ?7t?4?0
，
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