2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2008年安徽省高中数学联赛初赛试题

1.若函数y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转π2后，与函数y=g(x)的图象重合，则（ ）．
(A) g(x)=f?1(?x) (B) g(x)=f?1(x) (C) g(x)=?f?1(?x) (D) g(x)=?f?1(x)
2.平面中，到两条相交直线的距离之和为１的点的轨迹为（ ） ．
(A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形
3.下列４个数中与cos1?+cos2?+...+cos2008?最接近的是（ ）．
(A)?2008 (B)?1 (C)1 (D)2008
4.四面体的６个二面角中至多可能有（ ）个钝角．
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$$
5.12008写成十进制循环小数的形式12008=0.0004 98...625498...625...，其循环节的长
度为（ ）
(A)30 (B)40 (C)50 (D)60
6.设多项式(1+x)^2008=a_0+a _1x+...+a_2008x^2008，则a_0,a_1,...,a_2008中共有
（ ）个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 1881
7.化简多项式
sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k- m)(1-x)^(n-k)=( ).
8.函数f(x)=f rac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为
( )．
9.若数列{a_n}满足a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1- a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正
周期2008,则
a_1=( ).
10.设非负实数a_1,a_2,...,a_2008的和等于1，则
a_1a _2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1的最大值为
( )．
11. 设点A(1,1),B,C在椭圆x^2+3y^2=4上．当直线BC的方程为
( )时，DeltaABC的面积最大$$.
14.设a1≥1,an=[nan?1?????√](n ≥2)，其中[x]表示不超过x的最大整数.
证明：无论a1取何正整数时，不在数列{an}的素数只有有限多个．


15.设⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，⊙O3分别与⊙O1,⊙O2外切于C,D，
直 线EF分别与⊙O1,⊙O2相切于点E,F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A,B,G三点共
线．


参考答案
1.D 2.D 3.B 4. B 5.C 6.D 7.$$C_n^m$$
8.$$(-45sqrt10,sqrt10] 9.（错题）
10.$$14$$ 11.$$x+3y+2=0 12.2007
13. $$P(eta=0)=815,P(eta=1)=25,P(eta=2)=0,P(eta=3)=115$$
14. 思路：先用反证法证明存在$$N,使a_N<=N+1;接着用数学归纳法证n>=N时，n-2<=a_n<=n+1$$;
$$最后证n>=N时，a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$$.
这样由$$a_n-> +oo(n->+oo)知对一切自然数m(>=a_N),m都在数列{a_n}中，结论
正确.
15. 利用根轴概念，只需证明$$C,D,E,F四点共圆，以A（或B）为中心进行反演不难得证！

13.将６个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各２个）随机放入３个盒子中，每
个盒子中恰放２个小球，记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求η的分布.


1
第 页

满足的充分必要条件是 .
7.设
O
是
?ABC
的内心，
AB?5
，AC?6
，
BC?7
，
OP?xOA?yOB?zOC
，
0?x,y,z?1
，
动点
P
的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .
二、解答题（共86分）
9.（20分）设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n
?






10.（22分）求最小正整数
n使得
n?n?24
可被2010整除.








11.（22分）已知
?ABC
的三边长 度各不相等，
D
，
E
，
F
分别是
?A
，< br>?B
，
?C
的平分线与边
BC
，

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
CA
，
AB
的垂直 平分线的交点.求证：
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积.
一、填空题（每小题8分，共64分）

1.函数
f(x)?2x?4x?x
2
的值域是 .


x
2.函数
y?
的图象与
y?e
的图象关于直线
x?y?1
对称.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .

x
2
y
2

??1
与双曲线
xy?1
相切，则
t?
. 4.设椭圆
t?1t?1


5.设
z
是复数，则|z?1|?|z?i|?|z?1|
的最小值等于 .


32
acac
6.设，
b
，是实数，若方程< br>x?ax?bx?c?0
的三个根构成公差为1的等差数列，则，
b
，应

2
第 页
2
2
，
n?2
.求
a
n
的通项公式.
1?a
n?1

12.（22分）桌上放有
n
根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多
n?1
根火柴，
此后每人每次至少取走
1
根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后 一根火柴者获胜.
问：当
n?100
时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

提示：因两函数图象关于直线
x?y?1
对称，所以
x?y?1< br>，
y?1?x
，
∴
1?x?e
3. 答案：
?
1?y
，解得
y?1?ln(1?x)
.









2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.答案：
?
4?25,8
?
.
1

3
提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以
任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥 侧面与底面所成二面角
?
的两倍.∵
tan
?
?2
，∴cos
2
?
?
1
2
cos2
?
?2c o
?
s??1?
.
3
4. 答案：
5

11
，则
?
2
1?tan
?
3
x
2
y
2
??1
知，
t?1
， 提示：由椭圆方程
t?1t? 1
?
2
?
x?t?1cos
?
设其参数方程为
?< br>（
?
为参数）代入双曲线方程
xy?1
，得
sin2
?
?
.
2
t?1
?
?
y?t?1sin
?
因两曲线相切，∴
2
t?1
2
?1
，故
t?5< br>.
5. 答案：
1?3

提示：在复平面上，设
A(?1, 0)
，则当
Z
为
?ABC
的费马点时，
B(1,0)
，
C(0,1)
，
|z?1|?|z?i|?|z?1|
??
取得 最小值，最小值为
1?
32323
???1?3
.
333
提示：因
0?x?4
，设
x?2?2cos
?
（
0?
?
?
?
），
则
y?4cos
?
?2sin?
?4?25cos(
?
?
?
)?4
（其中
c os
?
?
2
1
，
sin
?
?
，< br>?
为锐角），
5
5
a
3
a
a
2< br>?1
且
c??
. 6. 答案：
b?
273
3
提示：设三个根为
?
?1
，
?
，
?
?1
，则
所以当
?
?0
时，
y
max
?8
，当
?
?
?
?
?
时，
y
min
?4? 25
，故
y?
?
4?25,8
?
.
??
x
3
?ax
2
?bx?c?(x?
?
?1)(x?
?
)(x?
?
?1)
，
右边展开与左边比较得
2. 答案：
1?ln(1?x)

?a?3
?
，
，
b? (
?
?1)
?
?
?
(
?
?1)?(
?
?1)(
?
?1)?3
?
2
?1
3
第 页

?
a
2
b??1
?
?
3
，这就是所求的充要条件.
?c?(
?
?1)
?
(
?
?1)
，消去
?
得
?
3
?
c?
a
?
a
?
273
?
7. 答案：
126

提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点
P
在图 中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点
111
?(sin2A?sin2B)?(sin 2B?sin2C)?(sin2C?sin2A)

222
?sin(A?B)si n(A?B)?sin(B?C)sin(B?C)?sin(C?A)sin(C?A)

? sin(A?B)?sin(B?C)?sin(C?A)
?sinA?sinB?sinC

∴
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积. …………（22分）
12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目
n
从小到大排序为：
n
1
，
n
2
，
n
3
，…，不难发
现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：
（1）
?
n
i
?
满足
n
i?1
?n
i
?n
i?1
；
（2）当
n?n
i
时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙 此时所取的火柴数目
?n
i?1
；
P
的轨迹所覆盖的平面区域的面 积等于等于
?ABC
面积的2倍，即
126
.

6
8. 答案：
7
提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有
C
8
个三角形，其中直角三角形有
12?C
4
个，所
3< br>3
（3）当
n
i
?n?n
i?1
时，甲总可取到最后 一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目
?n
i
.
3
12?C
4
6
求“构成直角三角形”的概率是.
?
3
C
8
7
……………………………………（10分） < br>设
k?n?n
i
（
i?4
），注意到
n
i? 2
?
当
1?k?
当
二、解答题（共86分）
n
i
?n
i?1
.
2
4?2a
n?1
1?a
n?1
9. 解：特征根法. 又
a
n
?2?
，
a
n
?1?
，…………（1 0分）
1?a
n?1
1?a
n?1
a?2a?2a?2
? (?2)?
n?1
?(?2)
2
n?2
?
得
na
n
?1a
n?1
?1a
n?2
?1
n
i
时，甲第一次时可取
k
根火柴，剩余
n
i
?2k
根火柴，乙无法获胜.
2
(?2)
n
?2
?(?2)
， 于是
a
n
?
.…（20分）
(?2)
n
?1n
n
i
?k?n
i?1
时，
n
i?2
?k?n
i?1
，根据归纳假设，甲可以取到第
k
根火柴，并且甲此时所取的 火
2
柴数目
?n
i?2
，剩余
n
i
?2n
i?2
根火柴，乙无法获胜.
当
k?n
i?1
时，设甲第 一次时取走
m
根火柴，若
m?k
，则乙可取走所有剩小的火柴；若
m ?k
，
则根据归纳假设，乙总可以取到第
k
根火柴，并且乙此时所取的火柴数 目
?n
i?2
，剩余
n
i
?2n
i?2
根 火柴，
甲无法获胜.
综上可知，
n
i?1
?n
i
?n
i?1
.
?
n
2
?n?24?0mod2
?
n
2
? n?0mod3
?
2
?
?
n?n?24?0mod3
2?
?
n
2
?n?1mod5
……（10分） 10. 解： < br>2010|n?n?24?
?
2
?
n?n?24?0mod5
?
n
2
?n?43mod67
?
?
n
2
? n?24?0mod67
?
又
n?n?0mod3?n?0
或
2mo d3
，
n?n?1mod5?n?2mod5
，
22
因为100不 在数列
?
n
i
?
，所以当
n?100
时，甲有获胜 策略. …………（22分）
n
2
?n?43mod67?n?10
或56mod67
，故所求最小正整数
n?77
.…………（22分）
11. 证明：由题设可证
A
，
B
C
，
D
，
E
，
F
六点共圆. …………（10分）
不妨设圆半径为1，则 有
S
?ABC
?
由于
sin2A?sin2B?sin2C

4
第 页


11
(sin2A?sin2B?s in2C)
，
S
?DEF
?(sinA?sinB?sinC)
.
22

第6题

第5题


7．设直角坐标平面上的点
(x,y)
与复数
x?yi
一一对应. 若点
A,B
分别对应复数
z,z
?1
（
z?R
）， 则直线
AB
与
x
轴的交点对应复数 （用
z
表示）.
8．设n是大于4的偶数. 随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率
为 .
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）
a?
?
?a
n?2
9．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?a
2
?1
，
a
n
?1?
1
（
n?3
），求
a
n
的通项公式.
4
1111
?
?
??
.
10．已知正整数a
1
,a
2
,
?
,a
n
都是合数，并 且两两互素，求证：
?
a
1
a
2
a
n
2< br>11．设
f(x)?ax
3
?bx?c
（
a,b,c
是实数），当
0?x?1
时，
0?f(x)?1
. 求
b
的最大可能值.

12．设点
A(?1,0)，B(1,0 )，C(2,0)
，
D
在双曲线
x
2
?y
2
?1
的左支上，
D?A
，直线
CD
交双
1
曲线< br>x
2
?y
2
?1
的右支于点
E
. 求证：直 线
AD
与
BE
的交点
P
在直线
x?
上.
2
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．以
X
表示集合
X
的元素个数. 若有限集合
A,B,C
满足
A?B?20
，
B?C?30
，



C?A?40
，
则
A?B?C
的最大可能值为 .
2．设
a
是正实数. 若
f(x)?x
2
?6ax?10a
2
?x
2
?2ax?5a
2
，x?R
的最小值为1 0，则
a?
.
3．已知实系数多项式
f(x)?x
4
?ax
3
?bx
2
?cx?d
满足
f(1)?2
，
f(2)?4
，
f(3)?6
，
则
f(0)?f (4)
的所有可能值集合为 .
4．设展开式
(5x?1)
n
?a
0
?a
1
x???a
n
x
n
，n?2011
.
若
a
2011
?max(a
0
,a
1
,?,a
n
)
，则
n?
.
5．在如图所示的长方体
ABCD?EFGH
中，设
P
是矩形
EFGH
的中心，线段
AP
交平面
BDE
于点
Q
. 若
AB?3
，
AD?2
，
AE?1
，
则
PQ?
.
6．平面上一个半径
r
的动圆沿边长
a
的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积
为 .
1. 10.
2. 2.
3. {32}.
4. 2413.
17
5. .
4
6.
6ar?4πr
2
.
z?z
7. .
1?zz

解答
5
第 页

8.
3
(n?1)(n?3)
.
9．a
a
1
??a
n?2
a
n?2
n
?1 ?
4
?a
n?1
?
4

?a
a
n ?1
1
?
a
2
?
1
n
?
2
?
2
?
?
a
n?
n?1
?
2
?
?
??
2
n?1

?2
n?1
a
2
n
?2
n?
a
n?1
?1???n?a
n
n
?
2
n?1
.
10．设
a
不是素数，所以< br>a
2
k
的最小素因子
p
k
，因为
a
k
k
?p
k
. 于是
?
n
1
n
?
k?1
a
?
1
2
k
k?1
p
k
?
1
n
1
4
?
?
k?2
(2k? 1)
2
n

?
11
4
?
?
k?2
(2k?1)
2
?1
?
111
2
?
4n< br>?
2
?
11．由
?
?
f(0)?c
?
f(1)?a?b?c
可知
?
?
?
f(
1
ab
3
)?
33
?
3
?c
2b?33f(
1< br>3
)?f(1)?(33?1)f(0)?33

f(x)?
332
(x?x
3
)
满足题设，
b
的最大可能值为
33
2
.
12．设
D(x
1
,y
1
)， E(x
2
,y
2
)，P(x,y)
，直线
CD
的方 程
y?k(x?2)
，则
x
2
?k
2
(x?2)
2
?1
，所以 < br>?4k
2
1?4k
2
x?
1?k
2
，x1
x
2
??
1?k
2
??1?
5
1< br>?x
2
4
(x
1
?x
2
)
，
①
y
1
x
(x?1)?y?
y
2
x
(x?1)
，
1
?1
2
?1
所以
y
2
yx
2
?2x
1
x?
x
2
?1
?
1
x
?
?2
1
?1x
2
?1x
1
?12x
1
x
2
?3x
1
?x
y
?
x
?
2
。
2
y
1
x
2?2
1
?2
3x
2
?x?4
x
??
1
2
?1x
1
?1x
2
?1x
1
?1


把①代入上式，得
x?
1
2
.

第
6
页

7
第 页

2012年安徽高中数学竞赛初赛试题

第
8
页