2012年山东省高中数学夏令营数学竞赛(及标准答案)

山东省201２届高中数学夏令营
数学竞赛（及答案)

一.填空题(本题共5道小题，每小题８分,满分40分）
1.函数
f(x)?1? 2x?3?2x
的最大值是
＿＿
____
＿＿＿
__
＿__
＿
_
(王泽阳 供题)
解:
f(x)?1?2x?3? 2x?22
,其等号仅当
1?2x?3?2x
即
x?
1
时成 立,

2
;




所以,ｆ（x)
最大
=
22
.
2．如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称
ａ
为“吉祥数”,
将所有 吉祥数从小到大排成一列a
1
,a
2
,…,a
n
.若an
=201２．则n＝
＿
___
＿
____
＿
_____
． （王继忠 供题)
x
m
为吉祥数,则x
1
+ｘ
2
+…+ｘ
m
=5,由ｘ
1
≥1和x
２,…,ｘ解:设
x
1
x
2
m
≥0得
x
m
为第
C
m?3
个吉祥数．
1x
2
4
( ｘ
1
-1)＋ｘ
2
＋…+x
ｍ
=4,所以,
x1
x
2
4
第
C
m?2
个吉祥数．
x
m
为
由此得：一位吉祥数共１个,二位吉祥数共
C
5
4
?5
个,三位吉祥数
共
C
6
4
?1 5
个，
因以1为首位的四位吉祥数共
C
6
4
?15
个,以2为首位的前两个四
位吉祥数为:
２003和201２.故ｎ=1+5+１5+15+２=３８.

３.已知f(x)是 ２0１1次多项式,当n=0,1,…,2０１1时,
f(n)?
则f（２012)＝
n
.
n?1
______
;
(王

林
供
题)
解:当n=0,1,…,201１时, （ｎ+1)f（n)=ｎ,即多项式(x+1）f(x)-x
有2０1２个根，
设（x＋1)f(x)-x=aｘ(x－1)(x-２)…(x-2011). 取x=－1,则1=２
012！
ａ
.故
a?
f(x)?
1
,
2 012!
x(x?1)(x?2)(x?2011)x
?
2012!(x?1)x?1
,
f(2012)?
2012!20122013
???1
. 2012!2
4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色，然后依
逆时针方 向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2
个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k 个间隔将到达的那个点染
红．一直进行下去,可得到
＿
_
＿＿
___ _
＿
个红点． (龚红戈 供题)
解：将5个点依次编号0—４,且不妨设开始染红 的是０号点,则
第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1
号点.故 共可得3个红点.
5.如图,设
O
,
I
分别为
?ABC< br>的外心、内心，且
?B?60
，
AB
＞
BC
,
?A
的外角平分线交⊙
O
于
D
，已知
AD?18
,则
OI?
_
＿＿
_______
＿
__
. (李耀文
供题）
解： 连接
BI
并延长交⊙
O
于
E
,则
E
为弧
AC
的中点．连
OE
、
AE
、
CE
、
OC
，由
?B?60
，易知
?AOE
、
?COE
均为
B
F
O
I
C
D
A
E