高中数学概率题的解题思路-2018年全国高中数学青海联赛规则
山东省2012届高中数学夏令营
数学竞赛(及答案)
一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)
1.函数
f(x)?1?
2x?3?2x
的最大值是
__
____
___
__
___
_
_
(王泽阳 供题)
解:
f(x)?1?2x?3?
2x?22
,其等号仅当
1?2x?3?2x
即
x?
1
时成
立,
2
;
所以,f(x)
最大
=
22
.
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称
a
为“吉祥数”,
将所有
吉祥数从小到大排成一列a
1
,a
2
,…,a
n
.若an
=2012.则n=
_
___
_
____
_
_____
. (王继忠 供题)
x
m
为吉祥数,则x
1
+x
2
+…+x
m
=5,由x
1
≥1和x
2,…,x解:设
x
1
x
2
m
≥0得
x
m
为第
C
m?3
个吉祥数.
1x
2
4
(
x
1
-1)+x
2
+…+x
m
=4,所以,
x1
x
2
4
第
C
m?2
个吉祥数.
x
m
为
由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共
C
5
4
?5
个,三位吉祥数
共
C
6
4
?1
5
个,
因以1为首位的四位吉祥数共
C
6
4
?15
个,以2为首位的前两个四
位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
3.已知f(x)是
2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,
f(n)?
则f(2012)=
n
.
n?1
______
;
(王
林
供
题)
解:当n=0,1,…,2011时,
(n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x
有2012个根,
设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2
012!
a
.故
a?
f(x)?
1
,
2
012!
x(x?1)(x?2)(x?2011)x
?
2012!(x?1)x?1
,
f(2012)?
2012!20122013
???1
. 2012!2
4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依
逆时针方
向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2
个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k
个间隔将到达的那个点染
红.一直进行下去,可得到
_
_
__
___
_
_
个红点. (龚红戈 供题)
解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红
的是0号点,则
第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1
号点.故
共可得3个红点.
5.如图,设
O
,
I
分别为
?ABC<
br>的外心、内心,且
?B?60
,
AB
>
BC
,
?A
的外角平分线交⊙
O
于
D
,已知
AD?18
,则
OI?
_
__
_______
_
__
.
(李耀文
供题)
解: 连接
BI
并延长交⊙
O
于
E
,则
E
为弧
AC
的中点.连
OE
、
AE
、
CE
、
OC
,由
?B?60
,易知
?AOE
、
?COE
均为
B
F
O
I
C
D
A
E