2012年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题及答案

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
2
1、设集合
S?x|x?5x?6?0
，
T?x|x?2|?3
，则
S?T
= （ ）
??
??
A、
{x|?5?x??1}
B、
{x|?5?x?5}
C、
{x|?1?x?1}
D 、
{x|1?x?5}

2、正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中
BC
1
与截面
BB
1
D
1
D
所成的角是（ ）
A、
????
B、 C、 D、
6432
3、已知
f(x)?x
2
?2x?3
，
g(x)?kx?1
，则“
|k|?2
”是“
f(x)? g(x)
在
R
上恒
成立”的（ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形
?1
的面积为
S
1
，作
?
1
的内切圆，再作内切 圆的内接正三角形，设为
?
2
，
面积为
S
2
，如此 下去作一系列的正三角形
?
3
,?
4
,?
，其面积相应为< br>S
3
,S
4
,?
，设
S
1
?1,
T
n
?S
1
?S
2
???S
n< br>，则
limT
n
=（ ）
n???
A 、
643
B 、 C、 D 、2
532
5、设抛物线
y
2
?4x
的焦点为F
，顶点为
O
，
M
是抛物线上的动点，则
值为（ ）
A 、
|MO|
的最大
|MF|
4
323
B 、 C、 D 、
3

3
33
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半 径为
r
的
一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
A、
r
B、
2r
C、
3
12r
D、
3
15r

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、如图，正方形ABCD
的边长为3，
E
为
DC
的
A
FD
E
????????
中点，
AE
与
BD
相交 于
F
，则
FD?DE
的值是 ．
1
6
8、
(x?x?)
的展开式中的常数项是 ．（用具体数字
x
2
B
C

作答）
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(a
n
?1)
2
9、设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
S
n
?
，则
S
20
的值为 ．
4
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角
A,B
满足
tan(A?B)?2tanA
，则
t anB
的最大值是 ．
12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复 的五位数中，任取一个五位数
abcde
，满足条件
“
a?b?c?d?e< br>”的概率是 ．

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设函数
f(x)?sinx?3cosx?1
，
（I）求函数
f(x)
在
[0,
?
2
]
上的最大值与最小值；
bcosc
的值．
a
（II）若实数
a,b,c
使得af(x)?bf(x?c)?1
对任意
x?R
恒成立，求











1 4、已知
a,b,c?R
?
，满足
abc(a?b?c)?1
，
（I）求
S?(a?c)(b?c)
的最小值；
（II）当
S
取最小值时，求
c
的最大值．










第 2 页 共 6 页

15、直线
y?kx?1
与双曲线
x
2
?y
2?1
的左支交于
A
、
B
两点，直线
l
经过点< br>(?2,0)
和
AB

的中点，求直线
l
在
y
轴的截距
b
的取值范围．



















1 6、设函数
f
n
(x)?x
n
(1?x)
2
在[,1]
上的最大值为
a
n
（
n?1,2,3,?
）．
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）求证：对任 何正整数
n(n?2)
，都有
a
n
?
1
2
1
成立；
(n?2)
2
7
成立．
16
（III ）设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n，求证：对任意正整数
n
，都有
S
n
?












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2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、
?
32
2
8、
?5
9、0 10、14 11、 12、
215
4
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13 、解：（I）由条件知
f(x)?2sin(x?
由
0?x?
?
3< br>)?1
， （5分）
5
?
1
?
，于是
?sin(x?)?1

233623
?
1
所以
x?
时，
f(x)
有最小值
2??1?2
；
22
?
知，
?
?x?
?
?
当
x?
?
6
时，
f(x)
有最大值2?1?1?3
． （10分）
（II）由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b?1
对 任意的
x?R
恒成立，
33
∴
2asin(x?
???
)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b?1)?0
333
??
∴
2(a?bcosc)?sin(x?
?
)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0

33
?
?
a?bcosc?0
?
∴
?
bsinc?0
, （15分）
?
a?b?1?0
?
由
bsinc?0
知b?0
或
sinc?0
。
若
b?0
时，则由
a?bcosc?0
知
a?0
，这与
a?b?1?0
矛盾！
若
sinc?0
，则
cosc?1
（舍去），
cosc??1，
1bcosc
,c?(2k?1)
?
，所以，
??1
． （20分）
2a
1
2
14、解：（I）因为
(a?c)(b?c) ?ab?ac?bc?c
?ab?(a?b?c)c?ab?
（5分）
ab
解得
a?b?

?2ab?
1
?2
，等号成立的条件是
ab?1
，
ab
当
a?b?1,c?2?1
时，
S
可取最小值2． （10分）
（II）当
S
取最小值时，
ab?1
，从而
c (a?b?c)?1
，
2
即
c?(a?b)c?1?0
，令
t?a?b
，则
t?2ab?2
（15分）
第 4 页 共 6 页

?t?t
2
?4?t?t
2
?4
从而
c?
或者
c??0
（舍去）
22
?t?t
2
?42
故
c?
在
t?[2,??)
单减，
?
2
2
t?4?t
所以在
t?2
时，
c
有最大值
2?1
． （20分）
?
y?kx?1
15、解：将直线
y?kx?1
与双曲 线
x?y?1
方程联立得
?
2

2
x?y?1?
22
化简得
(k
2
?1)x
2
?2kx?2 ?0
① （5分）
?
?
??4k< br>2
?8(k
2
?1)?0
?
2k
?
由题设知 方程①有两负根，因此
?
x
1
?x
2
??
2
（10分）
?0
，解得
1?k?2
．
k?1
?
2
?
x?x??0
12
2
?
k?1
?
设< br>A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则有
x
1
?x
2
??
2k
， 2
k?1
2k
2
2
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?2??
2
?2??
2
k?1k?1
k1
,?)
，
22
k?1k?1?1?2
b
y
(x?2)?
所以直线
l
方程为
y?
，其在轴的截距，（15分）
22
2k?k?22k?k?2
1
2
17
2
当
1?k?2
时，
2k?k?2?2(k?)?
，其取值范围是
(?1,2?2)

48
?2
所以
b
?
的取值范围是
(??,?2?2)?(2,??)
． （20分）
2k
2
?k?2
故
AB
的中点为
(?
16、解：（I）
f
n
'
(x)?nx
n?1
(1 ?x)
2
?2x
n
(1?x)?x
n?1
(1?x)[n( 1?x)?2x]
，
n
， （5分） < br>n?2
n11111
??[,1]
，又
f
1
()?< br>，
f
n
(1)?0
，故
a
1
?
； 当
n?1
时，
n?23228
8
n11111
??[,1]
，又
f
2
()?
当
n?2
时，，
f
n
(1)?0
，故
a
2
?
；
n?22221616
n1
?[,1]
， 当
n?3
时，< br>n?22
'
当
x?[,1]
时，由
f
n
(x )?0
知
x?1
或者
x?
1
2
第 5 页 共 6 页

∵
x?[,
1nn
)
时，
f
n
'
(x)?0
；
x?(,1)
时，
f
n
'
(x)?0
；
2n?2n?2
n
n
n
2
2
4nn
∴
f
n
(x)
在
x?
处取得最大值，即a
n
?(

)()?
n?2
n?2n?2(n?2)< br>n?2
?
1
?
8
,(n?1)
?
综上所述，
a
n
?
?
． （10分）
n
?
4n
,(n?2)
n?2
?
( n?2)
?
2
n
4n
n
1
(1?)?4
（II）当
n?2
时，欲证 ，只需证明
?
n
(n?2)
n ?2
(n?2)
2
2
1
2
22n
nn
n( n?1)4
?
2
?1?2?1?4

?1?2?
2n
n01
∵
(1?)?C
n
?C
n
?( )?C
n
?()???C
n
?()

2
n
2
n
n
所以，当
n?2
时，都有
a
n
?< br>1
成立． （15分）
2
(n?2)
（III）当
n?1,2
时，结论显然成立；
当
n?3
时，由（II）知
S
n
?

?
11
??a
3
?a
4
???a
n

816
11111
??
2
?
2
?
?< br>?

2
81656(n?2)
11111111
??(?)? (?)?
?
?(?)

8164556n?1n?2
1117
??
．
??
816416
7
所以，对任意正整数
n
，都有
S
n
?
成立． （20分）
16

?



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