2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及答案(高一)

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思 路合
理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）


1．已知集合
A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?
N，且
A ?B?
N
?{1}
，则
a?b?
1 ．
2．已 知正项等比数列
{a
n
}
的公比
q?1
，且
a2
,a
4
,a
5
成等差数列，则
a
1
?a
4
?a
7
3?5
．
?
a
3
?a
6
?a
9
2
3．函数
f(x)?
6
x ?1
[0,]
． 的值域为
x
2
?4x?7
6
4． 已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1
，
3(sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
，则
cos2(
?
?
?
)?
?
5．已知数列
{a
n
}满足：
a
1
为正整数，
a
n?1
?
a
n
?
,a
n
为偶数,
?
?
2

?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
1
． < br>3
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29< br>，则
a
1
?
5 ．
6．在△
ABC中，角
A,B,C
的对边长
a,b,c
满足
a?c?2b
，且
C?2A
，则
sinA?
7
．
4
p
的值为
q
7．在△
ABC
中，
AB?BC?2
，
AC?3
．设
O
是△
ABC
的内心，若
AO?pAB?qA C
，则
3
．
2
55
?x
3
8．设
x
1
,x
2
,x
3
是方程
x
3
?x?1?0
的三个根，则
x
1
5
?x
2
的值为 －5 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
29．已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n? 1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1
且
a1
?1
，
a
2
?8
，求
{a
n
}
的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n ?1
，得
1?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3
，
a
n?1
a
n
所以
1?
an?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)
． ------------------------------------------4分
a
n?1
a
n
a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1
?4b
n
，即数列
{b
n
}
是以
b
1
＝4为首项,4为公比的等比数列，所以
a
n

令
b
n
?1?

b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
. ------------------------------------------8分
所以
1?
a
n?1
?1?4
n
,即
a< br>n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]a
n
. ------------------------------------------12分
a
n
于是，当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1< br>?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a< br>n?2


???
?
[(4
k?1n?1
k?1
?1)?1]a
1
?
2
?
[(4
k?1
n?1
k?1
?1)
2
?1]
，
n?1,
?
1,
?
n?1
因此,
a
n
?
?
------------------------------------------16分
[(4
k?1
?1)
2
?1],n?2.
?
?
k? 1
?

10．已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
，且
a
3
?b
3
?1?m(a ?b?1)
3
，求
m
的最小值．
解 令
a?cos
?
,b?sin
?
，
0?
?
?
?
2，则
cos
3
?
?sin
3
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?cos< br>?
sin
?
?sin
2
?
)?1
m??．----------------------------------------5分
(cos
?
?sin
?
?1)
3
(cos
?
?sin
?
?1)
3
x
2
?1
令
x?cos
?
?sin
?
，则
x?2sin(
?
?)?(1,2]
，且
cos
?
sin
?
?
．------------------------------10分
4
2
于是
?
x
2
?1
x(1?)?1< br>2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
． ------------------------------15分
m??????
2 (x?1)2(x?1)2
(x?1)
3
2(x?1)
3
2(x?1 )
2
因为函数
f(x)?
31
?
在
(1,2]上单调递减，所以
f(2)?m?f(1)
．
2(x?1)2
32?4
． ------------------------------------------20分
2
因此，
m
的最小值为
f(2)?

11．设f(x)?log
a
(x?2a)?log
a
(x?3a)
，其 中
a?0
且
a?1
．若在区间
[a?3,a?4]
上
f(x)?1
恒成立，
求
a
的取值范围．
5a
2
a
2
)?]
． 解
f(x)?log< br>a
(x?5ax?6a)?log
a
[(x?
24
22
由
?
5a
?
x?2a?0,
3
得
x?3a
，由题意知
a?3?3a
，故
a?
，从而
(a?3)?
2
2
?
x?3a?0,
3
?(a?2)?0
，故函数
2
5a
2
a
2
g(x)?(x?)?
在区间
[a? 3,a?4]
上单调递增. ------------------------------------------5分
2 4
（1）若
0?a?1
，则
f(x)
在区间
[a?3,a? 4]
上单调递减，所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上的最大 值为
f(a?3)?log
a
(2a
2
?9a?9)
．

在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1
恒成立，等价于不等式
log
a
(2a
2
?9 a?9)?1
成立，从而
2a
2
?9a?9?a
，解得
a?
5?75?7
或
a?
．
22
结合
0?a?1
得
0?a?1
． ------------------------------------------10分
（2）若
1?a?
3
，则
f(x)
在区间
[a?3,a?4 ]
上单调递增，所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上的最大值 为
2
f(a?4)?log
a
(2a
2
?12a?16)< br>.
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1
恒成立 ，等价于不等式
log
a
(2a
2
?12a?16)?1
成 立，从而
2a
2
?12a?16?a
，即
2a
2
? 13a?16?0
，解得
13?4113?41
．
?a?
44
易知
13?413
?
，所以不符合． ------------------------------------------15分
42
综上可知：
a
的取值范围为
(0,1)
． ---------------------------------