关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 02:55
tags:2012高中数学联赛

高中数学高考大题汇编2017-内蒙地区高中数学学几本书

2020年9月20日发(作者:孔继绪)


学习必备 欢迎下载

2012



















各省数学竞赛汇集


学习必备 欢迎下载
目录
1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页
2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高一年级)---第7页
3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高二年级)---第10页
4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页
5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页
6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页
7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷(高一年级)---第35页
8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页
9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页
10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页
11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页
12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页
13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷(高二年级)---第77页
14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷(高二年级)---第81页
15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷(高一年级)---第83页





学习必备 欢迎下载
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70分)
1、当
x ?[?3,3]
时,函数
f(x)?|x
3
?3x|
的最大值为__ 18___.
2、在
?ABC
中,已知
AC?BC?12,AC?BA?? 4,

AC?
___4____.
3、从集合
?
3,4, 5,6,7,8
?
中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为
__ ___
3
_______.
10
4、已知
a
是实数,方程
x
2
?(4?i)x?4?ai?0
的一个实根是
b
i
是虚部单位),则
|a?bi|
的值
为_____
22
___.
x
2
y
2
5、在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
C:
??1
的右焦点为
F
,一条过原点
O且倾斜角
124
为锐角的直线
l
与双曲线
C
交于
A,B
两点.若
?FAB
的面积为
83
,则直线的斜率为
___
1
____.
2
?a
lga
的取值范围是___< br>[1,??)
_____. 6、已知
a
是正实数,
k
7、在 四面体
ABCD
中,
AB?
_____
5
8、
AC ?AD?DB?5
,
BC?3
,
CD?4
该四面体的体积为
3
_______.
已知等差数列
?
a
n
?
和等 比数列
?
b
n
?
___
满足:
___.
a
1
?b
1
3?,
*
a
2
?ba
3
7??,b
3
1?5,a
4
?
a
n
?b
4

?35
b
n
,
?
3
n ?1
?2n

n?N

71,75

7
个数排成一列,使任意连续
4
个数的和为
3
的倍数,则这样9、将
2 7,37,47,48,55,
的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为
31
,三边
a,b,c
均为整数,且
a?b?c
,则满足条 件的三元数组
(a,b,c)

个数为__24___.
二、解答题(本题80分,每题20分)
11、在
?ABC
中,角
A,B,C
对应的边分别为
a,b,c
,证明:


学习必备 欢迎下载
(1)
bcosC?ccosB?a

cosA?cosB
(2)
?
a?b
2sin
2
c
C
2


12、已知
a,b
为实数,
a?2
,函数
f(x ?)
a
|lx?n
x
.
?b|x?(

0)
e
f(1)?e?1,f(2)??ln2?1
.
2
(1)求实数
a,b

(2)求函数
f(x)
的单调区间;
(3)若实数
c,d
满足
c?d,cd?1
,求证:
f(c)?f(d)


学习必备 欢迎下载



< br>13、如图,半径为
1
的圆
O
上有一定点
M
为圆O
上的动点.在射线
OM


上有一动点
B
,
AB?1,OB?1
.线段
AB
交圆
O
于另一点
C

D
为线段的
OB
中点.求线段
CD
长的取值范围 .


学习必备 欢迎下载


14、设是
a,b,c,d
正整数,
a,b
是方程
x
数且面积为
ab
的直角三角形.


2
?(d?c)x ?cd?0
的两个根.证明:存在边长是整


学习必备 欢迎下载

20XX年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的 评阅,只要思
路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)


1.已知集合
A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?
N,且
A ?B?
N
?{1}
,则
a?b?
1 .
2.已 知正项等比数列
{a
n
}
的公比
q?1
,且
a2
,a
4
,a
5
成等差数列,则
a
1
?a
4
?a
7
3?5

?
a
3
?a
6
?a
9
2
3.函数
f(x)?
6
x ?1
[0,]
. 的值域为
2
x?4x?7
6
4.已知3sin
2
?
?2sin
2
?
?1

3(sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
??cos
?
)
2
?1
,则
cos2(
?
?
?
)?
?
5.已知数列
{a
n
}
满足 :
a
1
为正整数,
a
n?1
?
a
n?
,a
n
为偶数,
?
?
2

?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
1

3
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
, 则
a
1
?
5 .
6.在△
ABC
中, 角
A,B,C
的对边长
a,b,c
满足
a?c?2b
,且< br>C?2A
,则
sinA?
7

4


学习必备 欢迎下载
7.在△
ABC< br>中,
AB?BC?2

AC?3
.设
O
是△
ABC
的内心,若
AO?pAB?qAC
,则
p

q
值为
3

2
55
?x
3
8.设
x1
,x
2
,x
3
是方程
x
3
?x?1 ?0
的三个根,则
x
1
5
?x
2
的值为 -5 .
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
29.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n? 1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1

a1
?1

a
2
?8


{a
n
}
的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a< br>n?1
,得
1?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3

a
n?1
a
n
所以
1?
a
n?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)
. ------------------------------------------4分
a
n?1
a
n
a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1
?4b
n
,即数列
{b
n
}
是以
b
1
=4为首项,4为公比的等比数列,
a
n
b
n
?1?
所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分
所以
1?
a
n?1
?1?4
n
,即
a< br>n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]a
n
. ------------------------------------------12分
a
n
于是,当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1< br>?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a< br>n?2


???
?
[(4
k?1n?1
k?1
?1)?1]a
1
?
2
?
[(4
k?1
n?1
k?1
?1)
2
?1]

n?1,
?
1,
?
n?1
因此,
a
n
?
?
------------------------------------------16分
[(4
k?1
?1)
2
?1],n?2.
?
?
k? 1
?

10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a
3
?b
3
?1?m(a ?b?1)
3
,求
m
的最小值.
解 令
a?cos
?
,b?sin
?

0?
?
?
?
2,则
cos
3
?
?sin
3
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?cos< br>?
sin
?
?sin
2
?
)?1
m??.-----------------------------------
(cos
?
?sin
?
?1)
3
(cos
?
?sin
?
?1)
3
-----5分

x?cos
?
?sin
?
,则
x?2sin(
?
?)?(1,2]
4
?
,且


学习必备 欢迎下载
x
2
?1
.------------------------ ------10分
cos
?
sin
?
?
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2?x? x
2
2?x31
2
. ------------------- --------
m??????
332
2(x?1)2(x?1)2
(x? 1)2(x?1)2(x?1)
---15分
因为函数
f(x)?

f(2)?
31
?

(1,2]
上单调递减,所以
f(2 )?m?f(1)

2(x?1)2
此,
m
的最小值为
32?4
. ------------------------------------------20分
2

11.设
f(x)?log
a
(x?2a)?log< br>a
(x?3a)
,其中
a?0

a?1
.若在区间< br>[a?3,a?4]

f(x)?1

成立,求
a
的 取值范围.
?a6?)

f(x)?lo
a
gx(?ax5< br>22
a
5a
2
a
2
lxo?g[(?)

24
]

?
5a
?
x?2a?0,
3
x?3a
,由题意知
a?3?3a
,故
a?
,从而< br>(a?3)?
2
2
?
x?3a?0,
5a
2
a
2
g(x?)x?(?
24
)
在区间
[a?3,a?4]
3
?(a?2)?0
,故
2
调递增. 函数上单
------------------------------------------5分 < br>(1)若
0?a?1
,则
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上单调递减,所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上的最
大值为
f(a?3)?log
a
(2a
2
?9a?9)

在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1
恒成立,等价于不 等式
log
a
(2a
2
?9a?9)?1
成立,从而
2a
2
?9a?9?a
,解得
a?
5?75?7

a?

22
结合
0?a?1

0?a?1
. ------------------------------------------10
3< br>,则
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上单调递增,所以
f (x)
在区间
[a?3,a?4]
上的最
2

(2)若< br>1?a?
大值为
f(a?4)?log
a
(2a
2
? 12a?16)
.
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)? 1
恒成立,等价于不等式
log
a
(2a
2
?12a?16 )?1
成立,从而
2a
2
?12a?16?a
,即
2a2
?13a?16?0
,解得
13?4113?41

?a?
44


学习必备 欢迎下载
易知

综上可知:
a
的取值范围为
(0,1)
. ------------------------------------------20

13?413
所以不符合. ------ ------------------------------------15
?
42
20XX年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高二年级)
说明:评 阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思
路合理、步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)

1.函数< br>f(x)?
2
c
x?1
的值域为________________.
x
2
?4x?7
.已知
3s
2
i
?
?n2s
2
i
?
?n1

3(sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
,则
2o(
?
?s
?
)?_______________.
3.已知数列
{a
n
}
满 足:
a
1
为正整数,
a
n?1
a
1
?
?
a
n
?
,a
n
为偶数,
?
?
2
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
,则
?
?
3a
n
?1,a< br>n
为奇数,
4.设集合
S?{1,2,3,?,12}

A? {a
1
,a
2
,a
3
}

S
的子 集,且满足
a
1
?a
2
?a
3

a
3
?a
2
?5
,那么
满足条件的子集
A
的个数为 .
x
2
y
2
5.过原点
O
的直线
l与椭圆
C

2
?
2
?1(a?b?0)
交于< br>M,N
两点,
P
是椭圆
C
上异于
M,N
ab
1
的任一点.若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
,则椭圆< br>C
的离心率为_______________.
3
6.在△
ABC
中,
AB?BC?2

AC?3
.设
O
是△
ABC
的内心,若
AO?pAB?qAC
,则
值为___________ ____.
p

q
7.在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知
AC?1,B
1< br>C?2,AB
1
?p
,则长方体的体积最大时,
p
为____ ___________.
2012?2
k
8.设
[x]
表示不超 过
x
的最大整数,则
?
[]?

k?1
2
k?0
2012
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题 20分,第11题20分)
2
9.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1

a
1
?1

a
2
?8


{a
n
}
的通项公式.


学习必备 欢迎下载










10.已知正实数
a,b< br>满足
a
2
?b
2
?1
,且
a
3?b
3
?1?m(a?b?1)
3
,求
m
的取值范围.



















1 1.已知点
E(m,n)
为抛物线
y
2
?2px(p?0)
内一定点,过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条直 线交
抛物线于
A,B,C,D
,且
M,N
分别是线段
AB, CD
的中点.
(1)当
n?0

k
1
?k
2
??1
时,求△
EMN
的面积的最小值;
(2)若
k
1
?k
2
?
?

?
?0,
?为常数),证明:直线
MN
过定点.



学习必备 欢迎下载







20XX年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的 评阅,只要思
路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)

1.函数
f(x)?
6
x?1
[0,]
. 的值域为
x
2
?4x?7
6
2.已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1

3(sin
?
?cos< br>?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
,则
cos2(
?
?
?
)?
?< br>3.已知数列
{a
n
}
满足:
a
1
为正整数 ,
a
n?1
?
a
n
?
,a
n
为 偶数,
?
?
2

?
?
3a
n
?1 ,a
n
为奇数,
1

3
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
,则
a
1
?
5 .
4.设集合
S?{1,2,3,?,12}

A?{a
1
,a
2
,a
3
}

S
的子集,且满足
a
1
?a
2
?a
3

a
3
?a
2
?5
,那么
满足条件的子集
A
的 个数为 185 .
x
2
y
2
5.过原点O
的直线
l
与椭圆
C

2
?
2
?1(a?b?0)
交于
M,N
两点,
P
是椭圆
C
上异于
M,N
ab
6
1
的任一点.若直线
PM,PN的斜率之积为
?
,则椭圆
C
的离心率为.
3
3
6.在△
ABC
中,
AB?BC?2

AC?3
.设O
是△
ABC
的内心,若
AO?pAB?qAC
,则
p

q


学习必备 欢迎下载
值为
3

2
7.在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知
AC?1,B
1
C?2,AB
1
?p
,则长方体的体积最大时,
p

1?
23

3
2012
2012?2
k
8.设
[x]
表示不超过
x
的最大整数,则
?
[]?
2012 .
k?1
2
k?0
二、解答题(本大题满分56分,第9 题16分,第10题20分,第11题20分)
2
9.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a< br>n?2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1

a
1
?1

a2
?8


{a
n
}
的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n?1
,得
1 ?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3

a
n?1
a
n
所以
1?
a
n?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)
. ------------------------------------------4分
a
n?1
a
n
a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1
?4b
n
,即数列
{b
n
}
是以
b
1
=4为首项,4为公比的等比数列,
a
n
b
n
?1?
所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分
所以
1?
a
n?1
?1?4
n
,即
a< br>n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]a
n
. ------------------------------------------12分
a
n
于是,当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1< br>?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a< br>n?2


???
?
[(4
k?1n?1
k?1
?1)?1]a
1
?
2
?
[(4
k?1
n?1
k?1
?1)
2
?1]

n?1,
?
1,
?
n?1
因此,
a
n
?
?
------------------------------------------16分
[(4
k?1
?1)
2
?1],n?2.
?
?
k? 1
?

10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a
3
?b
3
?1?m(a ?b?1)
3
,求
m
的取值范围.
解 令
a?cos?
,b?sin
?

0?
?
?
?
2< br>,则


学习必备 欢迎下载
cos
3
?
?sin
3
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?cos
?
sin
?
?sin
2
?
)?1
.------------------------ -----------
m??
(cos
?
?sin
?
?1 )
3
(cos
?
?sin
?
?1)
3
-- ---5分

x?cos
?
?sin
?
,则
x?2sin(
?
?)?(1,2]
4
?
,且
x
2
?1
c
?
so
?
?isn
.---------- --------------------10分
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x3 1
2
. ---------------------------
m? ?????
2(x?1)2(x?1)2
(x?1)
3
2(x?1)
3
2(x?1)
2
---15分
因为函数
f(x)?
又< br>m?[
31
?

(1,2]
上单调递减,所以
f(2 )?m?f(1)

2(x?1)2
f(1)?
132?4
,f( 2)?
42
,所以
32?41
,)
. --------------------------------------20分
24

11.已知点
E(m,n)
为抛物线
y
2< br>?2px(p?0)
内一定点,过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条直线交
抛物线于
A,B,C,D
,且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点.
(1)当
n?0

k
1
?k
2
??1
时,求△
EMN
的面积的最小 值;
(2)若
k
1
?k
2
?
?

?
?0,
?
为常数),证明:直线
MN
过定点.
解 < br>AB
所在直线的方程为
x?t
1
(y?n)?m
,其中
t
1
?
1
,代入
y
2
?2px
中,得
k
1
y
2
?2pt
1
y?2pt
1
n?2pm?0


A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
,则有
y
1
?y
2
?2pt
1
,从而
x
1
?x
2
?t1
(y
1
?y
2
?2n)?2m?t
1
(2p t
1
?2n)?2m

2

M(pt
1
?nt
1
?m,pt
1
)

CD
所在直线的方程 为
x?t
2
(y?n)?m
,其中
t
2
?
1
2
,同理可得
N(pt
2
?nt
2
?m,pt< br>2
)

k
2
--------------------- ---------------------5

22
(1)当
n?0< br>时,
E(m,0)

M(pt
1
?m,pt
1
)

N(pt
2
?m,pt
2
)

|E M|?|pt
1
|1?t
1
2

2
|EN|?|p t
2
|1?t
2


k
1
?k
2
??1
,故
t
1
?t
2
??1
,于是△
EMN
的面积


学习必备 欢迎下载
11
2
p
2
22
S?|EM|?|EN|?|pt
1
t
2
|(1?t
1
)(1?t
2
)??2?t
12
?t
2
2

222
p
2
??4?p
2

2
当且仅当
|t
1
|?|t
2
|?1
时等号成立.
所以,△
EMN
的面积的最小值为
p
. ------------------------------------------10分
(2)
k
MN
?
p(t
1
?t
2
)
p(t
1
?t
2
)?n(t
1
?t
2
)
22
2
?
1
n
(t
1
?t
2)?
p
1
n
p

MN
所在直线的方程为y?pt
1
??[x?(pt
1
?nt
1
?m]

2
(t
1
?t
2
)?
n

y(t
1
?t
2
?)?pt
1
t
2
?x? m
. ------------------------------------------15分
p

k
1
?k
2
?
t?t
n
t? t
11
??
?
,即
t
1
t
2
?< br>12
,代入上式,得
y(t
1
?t
2
?)?p?12
?x?m

t
1
t
2
?
p
?
pny

(t
1
?t
2
)(y?)?x??m

?
p
p
?
y?
?
ny
p
?

y? ?0
时,有
x??m?0
,即
?
为方程的一组解,
np
?
?
x?m?
?
?
所以直线
MN
恒 过定点
(m?


??
n
p
,)
. ------------------------------------------20分


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载
20XX年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小
题每小题8分)
1.如 图,正六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的边长为1,它的6条对角线又
B1A2
F2F1
A1
围成一个正六边形
A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
,如此继续下去,则所有这些< br>六边形的面积和是 .

2.已知正整数
a
1
,a
2
,
B2
E2
3
,a
10
满足:
?,1?i?j?10
,则a
10
a
i
2
a
j
C2
C1
D2
E1
的最小可能值是 .


174
3.若
tan
?
?tan
?
?tan
?
?

cot
?
?cot
?< br>?cot
?
??
,
cot
?
cot
?

65
17
?cot
?
cot
?
?cot
?
cot
?
??
,则
tan
?
?
??
?
?
?
?
.
5
4.已知关于
x
的方程
lg
?
kx
?
?2lg?
x?1
?
仅有一个实数解,则实数
k

取值范围是 .


5.如图,
?AEF
是边长为
x
的正方形
ABCD
的内接三角形,已知
B
A
D1
D
F
E
C
?AEF?90?

AE?a,EF?b,a?b
,则
x?
.

6.方程
2
m
?3
n
?3
n?1
?2
m
?13
的非负整数解
?
m,n
?
?
.


7.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑
色的,依次从中摸 出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .
(用数字作答) 8.数列
?
a
n
?
定义如下:
a
1
? 1,a
2
?2,a
n?2
?
a
m
?2?
2
?
n?1
?
n
a
n?1
?a
n
, n?1,2,
n?2n?2
.若
2011
,则正整数
m
的最 小值为 .
2012


学习必备 欢迎下载




二、解答题
9.(本题满分14分) 如图,在平行四边形ABCD中,
AB?x

BC?1
,对角线AC与
BD的夹角
?BOC?45?
,记直线AB与CD的距离为
h(x)

D
C

h(x)
的表达式,并写出x的取值范围.









10.(本题满分14分)给定实数
a?1
,求函数
f(x)?












A
O
B
(a?sinx)(4?sinx)
的最小值.
1?sinx
11.(本题满分16分)正实数
x,y,z
满足
9x yz?xy?yz?zx?4
,求证:
(1)
xy?yz?zx?
4

3
(2)
x?y?z?2


学习必备 欢迎下载





12.(本题满分16分)给定整数
n(?3)
,记
f(n)
为集合
?
1,2,
条件的 子集A的元素个数的最小值:
(a)
1?A,2
n
?1?A

,2
n
?1
?
的满足如下两个
(b) A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和.
(1)求
f(3)
的值;
(2)求证:
f(100)?108

























学习必备 欢迎下载









20XX年上海市高中数学竞赛答案
1、
93
2、92
4
3、11 4、
???,0
?
5、
a
2
a?(a?b)
22
?< br>4
?

6、
?
3,0
?
,
?
2,2
?

2
7、 8、4025
5
9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
11
OB2
?OC
2
?(AB
2
?BC
2
)?(x2
?1)
. ①
22
…………………(2分)
在△OBC中,由余弦定理
BC
2
?OB
2
?OC
2
?2OB?OCcos?BOC

所以
OB
2
?OC
2
?2OB?OC?1
, ②
x
2
?1
由①,②得
OB?OC?
. ③
22
…………………(5分)
所以
S
ABCD
?4S
?
1
?4OB?OCsin?B

OC
OBC
?
2
x
2
?1
?2OB?OC
?

2
x
2
?1

AB?h(x)
?

2


学习必备 欢迎下载
x
2
?1
所以
h(x)?
. …………………(10分)
2x
由 ③可得,
x
2
?1?0
,故
x?1

因为
OB
2
?OC
2
?2OB?OC
,结合②,③可得
1
2
x
2
?1

(x?1)?2?

2
22
解得(结合
x?1

1?x?2?1

x
2
?1
综上所述,
h(x)?

1?x?2?1
. …………………(14分)
2x
10.解
f(x)?

1?a?
(a?sinx)(4?sinx)3(a?1)
?1?sinx??a?2

1?sinx1?sinx
7
时,
0?3(a?1)?2
,此时
3
3(a?1)
f(x)?1?sinx??a?2?23(a?1)?a?2

1?sinx
且当
sinx?3(a?1)?1
?
?
?
?1,1
?
?
时不等式等号成立,故
f
min
( x)?23(a?1)?a?2

…………………(6分)
7
3(a?1)

a?
时,3(a?1)?2
,此时“耐克”函数
y?t?

0,3(a?1)?
内是递
?
3
t
减,故此时
3(a?1)5(a?1)

f
min
(x)?f(1)?2?? a?2?
22
?
7
?
23(a?1)?a?2,1?a?;
?
?
3
综上所述,
f
min
(x)?
?
…………………(14分)
7
?
5(a?1)
,a?.
?
3
?
211.证 (1)记
t?
xy?yz?zx
,由平均不等式
3
xyz?
?
3
(xy)(yz)(zx)
?
3
2
?
xy?yz?zx
?
?
??

3
??
32
3
2

…………………(4分)

于是
4?9xyz?xy?yz?zx?9t?3t


学习必备 欢迎下载
所以
?
3t?2
?
3t
2
?3t?2?0

??
2
,从而
3
4

xy?yz?z?x
. …………………(10分)

3
(2)又因为

3t?3t?2?0
,所以
3 t?2?0
,即
t?
2
(x?y?z)
2
?3(xy?yz ?zx)

所以
(x?y?z)?4


x?y?z?2
. …………………(16分)
2
12.解 (1)设集合
A?
?
1,2,
,(b).则< br>1?A,7?A
.由于
,2
3
?1
?
,且A满足(a )
?
1,m,7
??
m?2,3,
,故
A?3

,6
?
不满足(b)

?
1,2,3,7
?,
?
1,2,4,7
?
,
?
1,2,5,7
?
,
?
1,2,6,7
?
,
?
1,3,4,7
?
,
?
1,3,5,7
?
,
?
1,3,6,7< br>?
,

,故
A?4

?
1,4,5,7< br>?
,
?
1,4,6,7
?
,
?
1,5,6, 7
?
都不满足
(b)
而集合
?
1,2,4,6,7
?
满足(a),(b),所以
f(3)?5

…………………(6分)

(2)首先证明
f(n?1)?f(n)?2,n?3,4,
. ①
事实上,若
A?
?
1,2,

B?A
,(b) ,且A的元素个数为
f(n)

,2
n
?1
?
, 满足(a)
?
2
n?1
?2,2
n?1
?1
?,由于
2
n?1
?2?2
n
?1
,故
B?f( n)?2

,2
n?1
?1
?
,且B又
2
n?1
?2?2(2
n
?1),2
n?1
?1?1?(2
n?1
?2)
,所以,集合
B?
?
1,2,
满足(a),( b).从而

f(n?1)?B?f(n)?2

…………………(10分)

其次证明:
f(2n)?f(n)?n?1,n?3,4,
. ②
事实上,设
A?
?
1,2,
,(b),且A的元素个数为
f(n)
.令
,2
n
?1
?
满足(a)


学习必备 欢迎下载
B?A
?
2(2
n
?1),2
2
(2< br>n
?1),,2
n
(2
n
?1),2
2n
? 1
?

由于
2(2
n
?1)?2
2
(2
n
?1)?
所以
B?
?
1,2,< br>?2
n
(2
n
?1)?2
2n
?1

,2
2n
?1
?
,且
B?f(n)?n?1
.而
,n?1

2
k?1
(2
n
?1)?2
k
(2
n
?1)?2
k
(2
n
?1),k?0,1 ,
2
2n
?1?2
n
(2
n
?1)?(2
n
?1)

从而B满足(a),(b),于是

f(2n)?B?f(n)?n?1

…………………(14分)

由①,②得
f(2n?1)?f(n)?n?3
. ③
反复利用②,③可得
f(100)?f(50)?50?1?f(25)?25?1?51


?f(12)?12?3?77?f(6)?6?1?92

?f(3)?3?1?99?108

…………………(16分)

20XX年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、设集合
S?x| x
2
?5x?6?0

T?x|x?2|?3
,则
S?T< br>=( )
A、
{x|?5?x??1}
B、
{x|?5?x?5}
C、
{x|?1?x?1}
D 、
{x|1?x?5}

2、正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1

BC
1
与截面
BB
1
D
1
D
所成的角是( )
A、
??
??
??
??
B、 C、 D、
6432
2
3、已知
f(x)?x?2x?3

g(x)?kx?1
, < br>则“
|k|?2
”是“
f(x)?g(x)

R
上恒 成立”的( )
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形
?
1
的面积为
S1
,作
?
1
的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为
?2
,面积为
S
2


学习必备 欢迎下载
如此下去作一系列的正三角形
?
3
,?
4
,
S
1
?1
,
T
n
?S
1
? S
2
?
A 、
,其面积相应为
S
3
,S
4
,

?S
n
,则
limT
n
=( )
n???
6
43
B 、 C、 D 、2
5
32
2
5、设抛物线
y?4x
的焦点为F
,顶点为
O

M
是抛物线上的动点,则
|MO|的最大值为( )
|MF|
A 、
323
4
B 、 C、 D 、
3

33
3
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半 径为
r
的一个实心球,
此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( )
A、
r
B、
2r
C、
3
12r
D、
3
15r

分)
A
F
E
B
C
D
二、填空题(本大题 共6个小题,每小题5分,共30





7、如图,正 方形
ABCD
的边长为3,
E

DC


中点,
AE

BD
相交于
F
,则
FD?DE的值是 .
8、
(x?x?)
的展开式中的常数项是 .(用具体数字作答)
2
1
x
6
(a
n
?1)< br>2
9、设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为< br>S
n
,满足
S
n
?
,则
S
20的值为 .
4
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 .
11、已知锐角
A,B
满足
tan(A?B)?2tanA
,则
tanB
的最大值是 .
12、从1,2, 3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数
abcde

满足条件“
a?b?c?d?e
”的概率是 .

三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13、设函数
f(x)?sinx?3cosx?1

(I)求函数
f(x)

[0,
?
2
]
上的最大值与最小值;


学习必备 欢迎下载
(II)若实数
a,b,c< br>使得
af(x)?bf(x?c)?1
对任意
x?R
恒成立,求













14、已知
a,b,c?R
,满足
abc(a?b?c)?1

(I)求
S?(a?c)(b?c)
的最小值;
(II)当
S
取最小值时,求
c
的最大值.











1 5、直线
y?kx?1
与双曲线
x?y?1
的左支交于
A

B
两点,直线
l
经过点
(?2,0)

AB

的中点,求直线
l

y
轴的截距
b
的取值范围.








22
?
bcosc
的值.
a


学习必备 欢迎下载












n2
16、设函数
f
n
(x)?x (1?x)

[,1]
上的最大值为
a
n

n?1 ,2,3,
1
2
).
(I)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(II)求证:对任 何正整数
n(n?2)
,都有
a
n
?
1
成立; < br>(n?2)
2
(III)设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,求证:对任意正整数
n
,都有
S
n
?














20XX
7
成立.
16
年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
参考解答
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7、
?
2
2
3
8、
?5
9、0 10、14 11、 12、
4
15
2
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)


学习必备 欢迎下载
13、解:(I)由条件知
f (x)?2sin(x?

0?x?
?
3
)?1
, (5分)
5
?
1
?
,于是
?sin(x?)?1

233623
?
1
所以
x?
时,
f(x)
有最小值
2??1?2

22
?
知,
?
?x?< br>?
?

x?
?
6
时,
f(x)
有最 大值
2?1?1?3
. (10分)
(II)由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b? 1
对任意的
x?R
恒成立,
33

2asin(x???
?
)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b? 1)?0

333
??

2(a?bcosc)?sin(x??
)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0

33
?
?
a?bcosc?0
?

?
bsinc?0
, (15分)
?
a?b?1?0
?

bsinc?0
b?0

sinc?0


b?0
时,则由
a?bcosc?0

a?0
,这与
a?b?1?0
矛盾!

sinc?0
,则
cosc?1
(舍去),
cosc??1
1bcosc
??1
. (20分)
,c?(2k?1)
?
,所以,
a
2
1
2
14、解:(I)因为
(a?c)(b?c)?ab?ac?bc?c
?ab?(a?b?c) c?ab?
(5分)
ab
解得
a?b?

?2ab?
1
?2
,等号成立的条件是
ab?1

ab
2?1
时,
S
可取最小值2. (10分) 当
a?b?1,c?
(II)当
S
取最小值时,
ab? 1
,从而
c(a?b?c)?1

2

c?(a?b)c ?1?0
,令
t?a?b
,则
t?2ab?2
(15分)
?t?t
2
?4
?t?t
2
?4
从而
c?
或者
c??0
(舍去)
2
2
?t?t
2
?42
?

c?

t?[2,??)
单减,
2
2
t?4?t
所以在
t?2
时,
c
有最大值
2?1
. (20分)


学习必备 欢迎下载

15、解:将 直线
y?kx?1
与双曲线
x?y?1
方程联立得
?
22< br>22
?
y?kx?1
?
x?y?1
22

化简得
(k?1)x?2kx?2?0
① (5分)
?
?
??4k
2
?8(k
2
?1)?0
?
2k
?
?0
,解得
1?k?2
.由题设知方程① 有两负根,因此
?
x
1
?x
2
??
2
(1 0分)
k?1
?
2
?
x?x??0
12
2
?
k?1
?

A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
,则有
x
1
?x
2
??
2k

k
2
?1
2k
2
2
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
) ?2??
2
?2??
2

k?1k?1
k1
,?)

22
k?1k?1
? 1
?2
所以直线
l
方程为
y?
,其在轴的截距,(15分)
(x?2)
?
b
y
2k
2
?k?2
2k< br>2
?k?2
1
2
17
2

1?k?2
时,
2k?k?2?2(k?)?
,其取值范围是
(?1,2?2)
48
?2
所以
b
?
的取值范围是
(??,?2?2)( 2,??)
. (20分)
2
2k?k?2

AB
的中点为
(?

' n?12nn?1
16、解:(I)
f
n
(x)?nx(1?x)?2x(1 ?x)?x(1?x)[n(1?x)?2x]

n
, (5分)
n?2
1
n1111
??[,1]
,又
f
1
()?

f
n
(1)?0
,故
a
1< br>?
; 当
n?1
时,
8
n?23228
n11111
??[,1]
,又
f
2
()?

f
n(1)?0
,故
a
2
?
; 当
n?2
时,
n?22221616
n1
?[,1]
, 当
n?3
时,
n?22
1nn
)
时,
f
n< br>'
(x)?0

x?(,1)
时,
f
n
'< br>(x)?0
; ∵
x?[,
2n?2n?2
'

x? [,1]
时,由
f
n
(x)?0

x?1
或者x?
1
2
n
n
2
2
4n
n
n
)()?

f
n
(x)

x?
处取得最大 值,即
a
n
?(

n?2n?2(n?2)
n?2
n?2


学习必备 欢迎下载
?
1
?
8
,(n?1)
?
综上所述,< br>a
n
?
?
. (10分)
n
?
4n
,(n?2)
n?2
?
?
(n?2)
2
n
4n
n
1
(II)当
n? 2
时,欲证 ,只需证明
(1?)?4

?
n?22
n(n?2)(n?2)
2
1
2
2
2
2n
?C< br>n
?()
n

nnn
n(n?1)4

?1?2??
2
?1?2?1?4

2n

(1? )?C
n
?C
n
?()?C
n
?()?
n012
n
所以,当
n?2
时,都有
a
n
?
1
成立. (15分)
(n?2)
2
(III)当
n?1,2
时,结论显然成立;

n?3
时,由(II)知
S
n
?

?
11
??a
3
?a
4
?
816
1111
????
8165
2
6
2
?a
n

?
1

(n?2)
2
11111111
??(?)?(?)??(?)

8164556n?1n?2
1117
??

??
816416
7
所以,对任意正整数
n
,都有
S
n
?
成立. (20分)
16

?


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载


学习必备 欢迎下载



学习必备 欢迎下载

山东省20XX届高中数学夏令营
数学竞赛(及答案)

一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)
1.函数
f(x)?1? 2x?3?2x
的最大值是
________________
(王泽阳 供
题)
解:
f(x)?1?2x?3?2x?22
,其 等号仅当
1?2x?3?2x

x?
时成
立,

所以,f(x)
最大
=
22
.
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有
吉祥数从小到大排 成一列a
1
,a
2
,…,a
n
.若a
n
= 2012.则n=
_______________
. (王继忠
供题)
解:设
x
1
x
2
x
m
为吉祥数,则x
1
+x
2
+…+x
m
=5,由x
1
≥1和x
2
,…,x
m
≥0得
x
m
为第
C
m?3
个吉祥数.
1x
2
4
1
2
(x
1
-1)+x
2
+…+x
m
=4,所以,
x
1
x2
祥数.
x
m
为第
C
m?2
个吉
4
由此得 :一位吉祥数共1个,二位吉祥数共
C
5
4
?5
个,三位吉祥数共< br>C
6
4
?15
个,
因以1为首位的四位吉祥数共
C
6
4
?15
个,以2为首位的前两个四位吉祥
数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.

3.已知f(x)是 2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,
f(n)?
n
.
n?1
则f(2012)=
______
; (王 林 供


学习必备 欢迎下载
题)
解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根,
设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故
a?
1
,
2012!
f(x )?
x(x?1)(x?2)(x?2011)x
?
2012!(x?1)x?1,
f(2012)?
2012!20122013
???1
.
2012!2
4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针
方向, 第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达
的那个点染红,第k步转过k个间 隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可
得到
_________
个红点. (龚红戈 供题)
解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染
红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3
个红点.
5. 如图,设
O
,
I
分别为
?ABC
的外心、内心,且
?B?60

AB

BC

?A
的外角平分线交⊙
O

D
,已知
AD?18
,则
OI?
__ ___________
. (李耀文 供题)
解: 连接
BI
并延长交 ⊙
O

E
,则
E
为弧
AC
的中点.连 < br>OE

AE

CE

OC
,由
?B ?60
,易知
?AOE

?COE
均为
O
D
A
E
正三角形.由内心的性质得知:
AE?IE?CE
,所以
A

O

I

C
四点共圆,且圆心为E
.再延长
AI
交⊙
O

F
,
B
I
C
F
由题设知
D

O

F
共线,于是
?OEI?2?OAI
,
?AOD?2?AFD?2?OAI
,


学习必备 欢迎下载

OA?OD?OE?IE
, 从而
?OAD

?EOI
, 故
OI?AD?18
.
二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)
6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2
n
-1).
(陈永高 供
题)
证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知
2(p?1)k
?1(modp)
,所以, p|(n2
n
-1)
?(p?1)k?2
(p?1)k
?1(modp)?(p?1)k?1(modp)?k? ?1(modp)
.
(p?1k)
k?2?1(mopd

)取k=pr-1(r∈N
*
),即n=(p-1)(pr-1),就有
(p?1)
p|(n2
n
-1).
7.如图,已知P是矩形ABCD内任意一点,延长 BP交AD于E,延
长DP交AB于F,延长CP交矩形的外接圆于G。求证:GE⊥GF. (叶
G
中豪 供题)
A
F
Q
P
E
D

证法1:

设CG交AD于Q,由∠GBA=∠GDA及
∠AGB=∠CGD知△ABG∽△QDG。延长DF、CB
R
交于R,由AD∥BR, AD=BC
AFBC
?
得 ①
FBBR
B
C
BCQE
?
又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得 ②
BRE D
由①,②得
AFQE
?
,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点, 故得
FBED
△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=90
0
,
即GE⊥GF.


学习必备 欢迎下载
证法2:联结GB,GD,令∠GCB=
?
,∠GCD=
?
,
GBsin
?
BPsin?PBC
??
由正弦定理得:
GDsin
?
DPsin?PDC
A
F
B
G
Q
P
E
D
BFsin?BFPsin?PBCBF
???
,
DEsin?DEPsin?PDCDE
β

α

C
由∠GBF=∠GDE得△FBG∽△EDG.
所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=90
0
, 即GE⊥GF. 8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A
1
,A
2
,…, A
10
满足:
(1)|A
i
|=36,i=1,2,…,10;
(2)A
1
∪A
2
∪…∪A
10
=A;
(3)|A
i
∩A
j
|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕文 供题)
解:答案:存在.
3
考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项 为1的恰有
C
10
?120
个,每个
作为集合A的一个元素. 2
对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有
C
9
?3 6
个,它们是集
合A
j
的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10} (i1
的0,1数列恰有
C
8
?8< br>个,它们是A
i
∩A
j
的元素.
综上知,存在满足条件的10个子集.
9.求最小的 正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割
并成n个边长分别为1,2,…,n 的正方形. (邹 明
供题)
解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为


学习必备 欢迎下载
1,2,…,n的正方形
?
1
2
+2
2
+…+n
2
=nm
2
,即6m
2
=(n+1)(2n+1) ,
则(n+1)(2n+1)=2n
2
+3n+1≡0(mod6),
由n
2
≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).
若6|n+1,设n=6k-1(k∈N),得m
2
=k(12k-1),
因(k,12k-1)=1,所以k与12k-1都是完全平方数,但12k-1≡3 (mod4)矛
盾!
若6|n-1,设n=6k+1(k∈N),得m
2
= (3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,
3k+1=v
2
,4k+1=u
2
,消去k得4v
2
-3u
2
=1,v= u=1时,k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.
由4v
2
-3u
2
≡1(mod8)知u,v为奇数,
直接计算得u
min
=15,v
min
=13,k=56,所以,
m
最小
=15×13=195,n
最小
=337.
10. 设实系数三次多项式
p(x)?x
3
?ax
2
?bx?c
有 三个非零实数根.
求证:
6a?10(a?2b)?12ab?27c
. (李胜宏 供
题)
证明:设
?
,
?
,
?
为p(x)=0的三个根,由根与系数关系
?
?
?
?
?
?
??a
?
?
??
?
??
?
??
? b
得:
?
???
??c
?
22
a
2?2b?
?
2
?
?
2
?
?
2
.原式
?6a(a?2b)?10(a?2b)?27c

3
2
2< br>32
3
2
3
2
?6(
?
?
?
?
?
)(
?
2
?
?
2
?
?2
)?10(
?
2
?
?
2
?
?
)?27
???
①.
222

?
?
?
?
?
?0
,则①成立.


学习必备 欢迎下载
222

?
?
?
?
?
?0,不妨设
|
?
|?|
?
|?|
?
|
, 由①的齐次性,不妨设
?
2
?
?
2
?
?
2
?9
,则
?
2
?3
,
2
??
?
?
2
?
?
2
?9?
?
2
?6.

?2(
?
?
?
?
?
)?
???
?10
.因
[2(
?
?
?
?
?
)?
???
]
2
?[2(
?
?
?
)?(2?
??
)
?
]
2
?[4?(2?
??)
2
][(
?
?
?
)
2
?
?
2
]
23
4
?
?
?
(
?
)](?9
?
2
?
?)
?
2
?
(?)2
??
(?)

?[8?
??
2
?
0?()72
?(
??
?2)
2
(2
??< br>?7)?100?100
,所以,
2(
?
?
?
??
)?
???
?10
.故原式成
立.

二O一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷
(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)
考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3、解题书写不要超出装订线.
4、不能使用计算器.
一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)
1. 空间四点
A

B

C

D
两两间的距离均为
1
,点
P
与点
Q
分别在线段
AB

CD
上运动,则

P
与点
Q
间的最小距离为____________;
?
?
0?OP?OA?1
,
则点2.向量
OA?
?
1,0
?,OB?
?
1,1
?
,O
为坐标原点,动点
P
?
x,y
?
满足
?
?
?
0?OP?OB?2
Q
?
x?y,y
?
构成的图形的面积 为
3. 设有非空集合
A?
?
1,2,3,4,5,6,7
?
且当
a?A
时,必有
8?a?A
,这样的集合
A
的个数是< br>_____________;
4.设
f
?
x
?
?
?
?
?
x?
?
x
?
,x?0
,< br>其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数,若
f
?
x
?
?kx?k
?
k?0
?
有三个?
?
f
?
x?1
?
,x?0
不同的实数根,则 实数
k
的取值范围是
5.
11
位数的手机号码,前七位数字是
1390931
,若余下的
4
个数字只能是
1

3

5
且都至少出现
1
次, 这样的手机号码有___________个;
6 .若
tanx
1
?tanx
2
??tanx
2012
?1,

sinx
1
?sinx
2
??sinx
2012
的最大值是 ;


学习必备 欢迎下载
7.设函数
f:R?R
,满足
f
?
0
?
?1
且对任意
x,y?R
都有
f
?
xy?1
?
?f
?
x
?
f
?
y
?
?f< br>?
y
?
?x?2
,则
f
?
x
??

8.实数
x,y,z
满足< br>x?y?z?1
,则
xy?yz
的最大值为 ;
222
二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分,第11、12 题每题18 分)
9.已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?a
n
?1
?n
?
n?N
*
?
,且
a
2
?6

a
n?1
?an
?1
(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)设
b
n
?
c
n
?
a
nn?N
*
?
,c
为非零常数,若数列
?
b
n< br>?
是等差数列,记
?
n?c
?c
n
,求
S< br>n.

b
n
,S
n
?c
1
?c2
?
2
n
10.M是抛物线
y
2
?2px?
p?0
?
的准线上任意点,过M作抛物线的切线
l
1
,l
2
,切点分别为A、
B(A在x轴上方)。
(1)证明:直线AB过定点;
(2)设AB的中点为P,求|MP|的最小值。




11.设
a,b,c
为正实数,且
a?b?c?1
,求证:
?
a
2
bc
?
1
?
a
?b
2< br>?c
2
?
?
??
?
?.

b?ca?ca?b
??
2




12.
某校数学兴趣小组由
m
位同学组成,学校专门安排
n
位老师作为指导教师. 在该小组的一次活
动中,每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每 位同学又向每位指导教师各提出一个问题,并
且每位指导教师也向全组提出一个问题,以上所有问题互不 相同,这样共提出了
51
个问题.试求
m

n
的值.





学习必备 欢迎下载


















学习必备 欢迎下载







学习必备 欢迎下载






学习必备 欢迎下载



20XX年河北省高中数学竞赛试题
参考解答与评分标准
说明:本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的22题组成,即10道选 择题,7道填
空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道< br>填空题和3道解答题。

一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案, 将正确答案的序号填入题
干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)
5
?
3
?
1. 已知
?
?[,]
,则< br>1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为( D )
42
A.
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?

5
?
3
?
,]
,所 以
1?sin2
?
?1?sin2
?
=
cos
?< br>?sin
?
?cos
?
?sin
?
解答:因为
?
?[
42

?2co
?
s
。正确答案为D。
2.如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4,则实数a的值为( C )
A.
2 B.
22
C.
?2
D.
?22

解答:由题意得
2?a
2
?4?4?a?? 2
。正确答案为C。

3. 设A ,B为两个互不相同的集合,命题P:
x?A?B
, 命题q:
x?A

x?B
,则
p是q的( B )

A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件


学习必备 欢迎下载
解答:P是q的充分非必要条件。
正确答案为B。

x
2
4. 过椭圆
?y
2
?1
的右焦点
F
2
作倾斜角为
45
弦AB,则
AB
为( C )
2
A.
26464243
B. C. D.
3333
解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦AB为
y?x?1,
代入椭圆方程得
3x
2
?4x?0?x
1
?0,x
2< br>?
442
?AB?2(x
1
?x
2
)
2?
。正确答案为C。
33
?
1?5
?x
5. 函数< br>f(x)?
?
x
?
5?1
x?0
,则该函数为( A )
x?0
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。
6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )
2
2
2
2
2
2
3
1
1

正视图 侧视图 俯视图(圆和正方形)
5
?
3
?
?
A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+
?

222
?
解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分(),所以该几
2
?5
?
何体的体积为
2?2?1?3
?
??4?
。正确答 案为A。
22
7.某程序框图如右图所示,现将输出(
x,y)
值依 次记为:
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),,(x
n
,y
n
),;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
( B )
A.64 B.32 C.16 D.8
答案 经计算
x?32
。正确答案为 B。


学习必备 欢迎下载
8. 在平面区域
?
(x,y)|x|?1,|y|?1
?
上恒有
ax?2by?2
,则动点
P(a,b)
所形成平面区域的
面积为( A )
A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答:平面区域
?
(x,y)|x|?1,|y|?1
?
的四个边界点( —1,—1),(—1,1),(1,—1),
(1,1)满足
ax?2by?2
,即 有
a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2

由此计算动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。
?
?
?
?
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?)?m

?
0,
?
上有两个零点,则m的取值范围为( C )
6
?
2
?
?
1
?
A.
?
, 1
?
B
?
2
?
?
1
?
, 1
C.
??
?
2
?
?
1
?
, 1
?
D.
?
?
2
?
?
1
?
?
, 1
?

?
2
?
?
?
?
?
解答:问题等价于函数
f(x)?sin(2x?)
与直线
y?m

?
0,
?
上有两个交点,所以m
6
?
2
?
?
1
?
的取值范围为
?
, 1
?
。正确答案为C。
?
2
?
10. 已知
a? [?1,1]
,则
x
2
?(a?4)x?4?2a?0
的解为( C )
A.
x?3

x?2
B.
x?2

x?1
C.
x?3

x?1
D.
1?x?3

解答: 不等式的左端看成
a
的一次函数,
f(a)?(x?2)a?(x
2
?4x?4)


f(?1)?x
2
?5x?6?0,f(1)?x
2
?3x?2?0?x?1

x?3

正确答案为C。

二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49
分)
x
11. 函数
f(x)?2sin?3cosx
的最小正周期为_____ _4
?
____。
2
解答:最小正周期为4
?


12. 已知等差数列
?
a
n
?
前15项的和
S< br>15
=30,则
a
1
?a
8
?a
15
=____6_______.
解答:由
S
15
?30?a
1< br>?7d?2
,而
a
1
?a
8
?a
15
?3(a
1
?7d)?6


学习必备 欢迎下载
13. 向量
a?(1,sin
?
)

b?(c os
?
,3)

?
?R
,则
a?b
的取值 范围为
[1,3]

解答:
a?b?(1?cos
?
)
2
?(sin
?
?3)
2
?5?2(cos
?
?3sin
?
)

=
5?4sin(?
?
)
,其最大值为3,最小值为1,取值范围为[1,3]。

6
14. 直三棱柱ABC ?A
1
B
1
C
1
,底面
?ABC
是正三角 形,P,E分别为BB
1

CC
1
上的动点
(含端点),D 为BC边上的中点,且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹角为_
9 0
_。
解答:因为平面ABC⊥平面
BCC
1
B
1

AD⊥BC,所以AD⊥平面
BCC
1
B
1
,所以
AD⊥PE,又PE⊥PD,PE⊥平面APD,所以PE⊥PD。即夹角为
90

15.设
x,y
为实数,则
5x?4y?10x
2
?
max
2
(x
2
?y
2
)?
_____4___ _____。
解答:
5x
2
?4y
2
?10x?4y2
?10x?5x
2
?0?0?x?2

4(x
2?y
2
)?10x?x
2
?25?(5?x)
2
?25 ?3
2
?x
2
?y
2
?4

16. 马路 上有编号为1,2,3,…,2011的2011只路灯,为节约用电要求关闭其中的
300只灯,但不 能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法
300
共有___
C
1710
_______种。(用组合数符号表示)
300
解答:问题 等价于在1711只路灯中插入300只暗灯,所以共有
C
1710
种关灯方法。
17. 设
x,y,z
为整数,且
x?y?z?3,x
3
? y
3
?z
3
?3
,则
x
2
?y
2
?z
2
?
_3或57_。
解答:将
z?3?x?y代入
x
3
?y
3
?z
3
?3
得到
xy?3(x?y)?9?
8
,因为
x,y
都是整数,所以
x?y
?
x?y?1
?
x?y?4
?
x?y?2< br>?
x?y?8
,
?
,
?
,
?
,前两个方程组无解;后两个方程组解得
?
xy?2xy?5xy?1xy?16
? ???
x?y?z?1;x?y?4,z??5

所以
x
2
?y
2
?z
2
?
3或57。


三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分)
18. 设
a?2
,求
y?(x?2)x

[a, 2]
上的最大值和最小值。


学习必备 欢迎下载
解答:当
x?0,y??(x?1)
2
?1,


x?0,y?(x?1)?1,
---------------------------------- 5分
由此可知
y
max
?0
。 ---------------------------------- 10分
2

1?a?2,y
min
?a?2a

2

1?2?a?1,y
min
??1


a?1?2,y
min
??a
2
?2a
。 ---------------------------------- 17分




19. 给定两个数列
?
x
n
?
,< br>?
y
n
?
满足
x
0
?y
0
?1

x
n
?
x
n?1
(n?1)

2?x
n?1
2
y
n?1
y
n
? (n?1)
。证明对于任意的自然数n,都存在自然数
j
n
,使得
1?2y
n?1
y
n
?x
j
n

解答:
由已知得到:
12111
?1???1?2(1?)?{?1}
为等比数列,首项为2,公比为2,
x
n
x
n?1
x
n
x
n?1
x< br>n
所以
11
?1?2
n?1
?x
n
?
n?1
。 ----------------- 5分
x
n
2?1
(y
n? 1
?1)
2
y?1y
n?1
?1
2
11
2
又由已知,
y
n
?1??
n
?()?1??(1?)

1?2y
n?1
y
n
y
n?1
y
n< br>y
n?1
n
111
2

1?

?2?1??2?y
n
?
n
y
0
y
n2
2
?1
所以取
j
n
?2?1
即可。 ------------------- 17分
n

x
2
y
2
20. 已知椭圆
2
?
2
?1
,过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A,B两点,D
(a, 0)

F
1
54


学习必备 欢迎下载
右侧一点,连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
1

求 a的值。
解答:
F
1< br>(?3,0),左准线方程为x??
25
;AB方程为
y?k(x?3)(k为 斜率)

3
1k5
2
0x?2k
2
2?5?4< br>得
000
?
y?k(x?3)
?
2
k5x
2
)?

A(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
)
,由
?
x
2
y
2

?(16?2
?1
?
?
?
2516
150k
2
225k
2
?400256k
2
2
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
???y
1
y< br>2
?k(x
1
?3)(x
2
?3)??

1 6?25k
2
16?25k
2
16?25k
2
------ ----------------10分

M(?
(3a?25)y
1< br>(3a?25)y
2
2525
,同理y
4
?
,y
3
),N(?,y
4
)
。由M、A、D共线
y3
?
3(a?x
1
)3(a?x
2
)
33
F
1
M?(?
1616
,y
3
),F
1
N?(?,y
4
),由已知得F
1
M?F
1
N ?F
1
M?F
1
N?0
33
,得
256k
2
256
(3a?25)
2
y
1
y
2
(3 a?25)
2
256
?
?,
整理得 =
y
3y
4
??,而y
3
y
4
?,即
?
2< br>16?25k
9
9(a?x
1
)(a?x
2
)
99(a?x
1
)(a?x
2
)
(1?k
2
)( 16a
2
?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5


--------------17分


四、附加题(本大题共2 小题,每小题25 分,共计 50 分)
21. 在锐角三角形ABC中,
?A?
?
3
,设在其内部同时满足
PA?PB

PA?PC
的点P
1
的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的。证明三角形ABC为等边三角
3
形。

解答:做
?ABC
的外接圆O,做
OE
A
?AB于E,OF?AC于F,OM?BC于M,
则G为四边形
AEOF。又


学习必备 欢迎下载
E F
O
C
B
M
D
1
S
四边形AEOF
?S
? ABC
,2S
四边形AEOF
?2S
?AEO
?2S
?AO F
?S
?AOB
?S
?AOC

3
1
所以
S
?OBC
?S
?ABC
。 --------------------------10分
3
1
由已知?BO C?120,则?OBC?30,则OM=R(R为?ABC外接圆半径)

2
3
作AD?BC于D,则AD?AO?OM?R

2
13 R
S
?ABC
??BC?3S
?OBC
,等号成立当且仅当A、O、 M共线,即
?ABC
为等边三角形。
22
--------------------------25分
22. 设
a,b,c?R
?
,且
a?b?c?3
。求证:
a?bb?cc?a3
???

2?a?b2?b?c2?c?a2
并指明等号成立的条件。
证明:
由柯西 不等式
a
?
?
i?1
b
i
n
2
i
(
?
a
i
)
2
i?1
n
n
得到
i
?
b
i?1
a?bb?cc?a
(a?b? c?b?a?c)
2
??
(1)
?
2?a? b2?b?c2?c?a
6?2(a?b?c)
--------------------1 0分
(1)式右边的分子=
2(a?b?c)?2(a?bc?b?c?ba?c?a?cc ?b)

=
2(a?b?c)?2(b?b(a?c)?ac?
2
) ?2(a?b?c)?2(b
2
?2bac?ac?)


学习必备 欢迎下载
?2(a?b?c)?2(b?ac? a?bc?c?ab)?3(a?b?c)?(a?b?c)
2

?3(a?b?c?3)
。 --------------------------20分
等号成立条件是
a?b?c?1
。结论成立。 --------------------------25分

20XX年浙江省高中数学竞赛试题
参考解答与评分标准
说明:本试卷分为A卷和 B卷:A卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解
答题和2道附加题;B卷由本 试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。
一、选择题(每题5分,共50分)
1.已知数列{a
n
}满足3a
n+1
+a
n
=4(n≥1),且a
1
=9,其前n项之和为S< br>n
。则满足不等式|S
n
-n-6|<
1

125< br>最小整数n是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB
的延长线分别交于Q、R,则和式


111
??
( )
PQPRPS


,则
B.有最小值而无最大值
D.是一个与面QPS无关的常数
2005
n?1
A.有最大值而无最小值
C.既有最大值又有最小值,两者不等
3.给定数列{x
n
},x
1
=1,且x
n+1
=
3x
n
?1
3?x
n

?
x
n
=( )
A.1 B.-1 C.2+
3
D.-2+
3

4.已知
a
=(cos
22
π, sinπ),
OA?a?b
,
OB?a?b
,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角
33
B.
三角形,则△OAB的面积等于( )
A.1
1

2
C.2 D.
3

2
x
2
y
2
??1
上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)5.过椭圆C:,延 长PH到点
32
Q,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时,点Q的轨 迹的离心率的取值范围为( )
A.
(0,
3
]

3
B.
(
33
,]

32
C.
[
3
,1)

3
D.
(
3
,1)

2
b
6.在△ABC中,角A、 B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且
的根,则△ABC( )
C
sinB
,都是方程log
A
sinA
x=log
b
(4x -4)


学习必备 欢迎下载


A.是等腰三角形,但不是直角三角形
C.是等腰直角三角形
B.是直角三角形,但不是等腰三角形
D.不是等腰三角形,也不是直角三角形
7.某程序框图如右图所示,现将输出(
x,y)
值依
次记为:
( x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),,(x
n
,y
n
),;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
( )
A.64 B.32 C.16 D.8
8. 在平面区域
?
( x,y)|x|?1,|y|?1
?
上恒有
ax?2by?2
,则动点
P(a,b)
所形成平面区域的
面积为( )
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
?
?
?
?
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?)?m

?
0,
?
上有两个零点,则m 的取值范围为( )
6
?
2
?
?
1
?
A.
?
, 1
?
B
?
2
?
?
1
?
, 1
C.
??
2
??
?
1
?
, 1
?
D.
?
2
??
?
1
?
?
, 1
?

?
2
?

10. 已知
a?[?1 ,1]
,则
x
2
?(a?4)x?4?2a?0
的解为( )
A.
x?3

x?2
B.
x?2

x?1
C.
x?3

x?1
D.
1?x?3

二、填空题(每题7分.共49分)
11.若log
4
(x+2y)+lo g
4
(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

12.如果:(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}
(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a
(3)a是a, b, c, d中的最小数
那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.
13.设n是正整数 ,集合M={1,2,…,2n}.求最小的正整数k,使得对于M的任何一个k元子集,
其中必有4个 互不相同的元素之和等于
14.若对|x|≤1的一切x, t+1>(t
2
-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________. 15.我们注意到6!=8×9×10,试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n 为
__________.
16.对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y )=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所
有整数a =__________.
17.已知a, b, c∈R
+
,且满足
ka bc
≥(a+b)
2
+(a+b+4c)
2
,则k的最小值为___ _______.。
a?b?c
三、解答题(每题17分,共51分)
18.已知 半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线
l
的距离为2,Q是
l
上一动点,⊙Q 与⊙P相外切,
⊙Q交
l
于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使 得∠MAN为定值。求∠MAN


学习必备 欢迎下载
的度数。




19.已知a>0,函数f(x)=ax-bx
2
,
(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:a≤2
b

(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是:b-1≤a≤2
b

(3)当0





x
2
y
2
2 0.
已知椭圆
2
?
2
?1
,过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A,B两点,D
(a,0)

F
1

54
侧一点,连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
1
,求 a
的值。









附加题 (每题25分,共50分)
21. 如图,已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D,以CD为直径的圆 分
别交BC,CA于点P、Q,求证:线段PQ平分△ABC的周长。


学习必备 欢迎下载
E
A
Q
D
B P C




























22.(50分)求所有实多项式f和g,使得对所有x∈R,有:(x
2
+x+1)f(x
2
-x+1)=(x
2
-x+1)g(x
2
+x+1)。





学习必备 欢迎下载



参考答案
一、选择题
1.由递推式得 :3(a
n+1
-1)=-(a
n
-1),则{a
n
-1} 是以8为首项,公比为-
1
的等比数列,∴
3
1
8[1?(?)n
]
3
=6-6×(-
1
)
n
,∴|S-n- 6|=6×(
1
)
n
<
1
,得:3
n-1
>250,S
n
-n=(a
1
-1)+(a
2
-1)+…+ (a
n
-1)=
n
1
33125
1?
3
∴ 满足条件的最小整数n=7,故选C。
2.设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面 PAB所成角为β,则v
S-PQR
=
PQR
1
S

3
11
(
PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面,记O到各面的距离为 d,则
32
1111
d1
v
S-PQR
=v
O-P QR
+v
O-PRS
+v
O-PQS
,S

PQR
·d=

PRS
·d+S

PRS
·d+

PQS
·d=
?
PQ·PRsinα
3333
32
d1d1
+
?
PS·PRsinα+
?
PQ·PS·sinα,故 有:PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),
3232
· h=

111sin
?
???
=常数。故选D。
PQPR PSd
3
3
,令x=tanα,∴x=tan(α+
?
), ∴x=x, x=1,x=2+
3
, x=-2-
3
, x=-1, 3.x
n+1
=
nnn+1nn+6n1234
6
3
1?x
n
3
x
n
?
2005
x
5
=-2+3
, x
6
=2-
3
, x
7
=1,……,∴ 有
?
x
n?1
n
?x
1
?1
。故选A。
?
?
(a?b)(a?b)?0
4.设向量
b
=(x, y),则
?

?
?
|a?b|?|a?b|
?
1 313
)?(?x?,?y??0
22
?
(x?,y?
?
3 1
?
x?y?1
?
2222
,)
或即
?
, 即
?
. ∴
b?(
22
?
?
(x?
1)
2
?(y?
3
)
2
?(x?
1
)< br>2
?(y?
3
)
2
?
x?3y
?
2 222
?
(?
31
1
,)
,∴S

AOB
=
|a?b||a?b|
=1。
22
2


学习必备 欢迎下载
5.设P(x
1
, y
1
),Q(x, y),因为右准线方程为x=3,所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH,所以
3(1?< br>?
)?x
?
x?
HP?1
?
1
?
, 所以由定比分点公式,可得:
?
,代入椭圆方程,得Q点轨迹为
?
PQ1?< br>?
?
?
y
1
?y
[x?3(1?
?
)]
2
y
2
3
?
2
?223
??1
,所以离心率e=
?1??[,1)
。故选C。
2
2
2
3
?
3
3
?
23
?
6.由log
2
x=log(4x-4)得:x-4x+4=0,所以x
1
=x
2
=2,故 C=2A,sinB=2sinA,因A+B+C=180°,
b
b
所以3A+B=1 80°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin
3
A=2sinA,∵sinA (1-4sin
2
A)=0,又sinA≠0,所
11
,而sinA>0,∴ sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
42
7. 经计算
x?32
。正确答案为 B
以sin
2
A=
8. 平面区域
?
(x,y)|x|?1,|y|?1
?
的四个边界点(—1,—1 ),(—1,1),(1,—1),(1,
1)满足
ax?2by?2
,即有
a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2

由此计算动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A
?
?
?
?
9.问题等价于函数
f(x)?sin(2x?)
与 直线
y?m

?
0,
?
上有两个交点,所以m的取
6
?
2
?
?
1
?
值范围为
?
, 1
?
。正确答案为C

?
2
?
10.
不等 式的左端看成
a
的一次函数,
f(a)?(x?2)a?(x?4x?4)

2

f(?1)?x
2
?5x?6?0,f(1)?x
2< br>?3x?2?0?x?1

x?3

正确答案为C。
.
二、填空题
?
x?2y?0
?
x?2|y|
?
?
?
2
11.
3

?
x?2y?0

2
?
(x?2y)(x?2y)?4
?
x?4y?4
?
由 对称性只考虑y≥0,因为x>0,∴只须求x-y的最小值,令x-y=u,代入x
2
-4y
2
=4,有
3y
2
-2uy+(4-u)
2
=0, 这个关于y的二次方程显然有实根,故△=16(u
2
-3)≥0。
12.46个。 abcd中恰有2个不同数字时,能组成C
4
=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时 ,
2


学习必备 欢迎下载
11111
4< br>能组成
C
3
C
2
C
2
?C
2
C
2
=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时,能组成A
4
=24 个不同数,所
以符合要求的数共有6+16+24=46个。
13. 解考虑M的n+2元子集P={n-l,n,n+1,…,2n}.
P中任何4个不同元素之和不小于 (n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以k≥n+3.
将M的元配为n对,B
i
=(i,2n+1-i),1≤i≤n.
对M的任 一n+3元子集A,必有三对
B
i
1
,B
i
2
,B
i
3
同属于
A(i
1
、i
2
、i
3
两两不同).
又将M的元配为n-1对,C
i
(i,2n-i),1≤i≤n-1.
对M的任一n+3元子集A,必有一对
C
i
同属于A,
4
这一对
C
i
必与
B
i
1
,B
i
2
,B
i
3
中至少一个无公共元素,这4个元素互不相同,且和为2n+1+2 n=4n+1,
4
最小的正整数k=n+3
14.
13?121?1
t?1
t?1
,
?1
, 。①若t
2
-4>0,即t<-2或t>2,则由
2
>x(|x|≤1)恒成 立,得
2
22
t?4
t?4
1?211?211?211?21?t?
,从而2
-4=0,
22
22
t+1>t
2
-4, t
2
-t-s<0解得
则t=2 符合题意。③若t
2
-4<0,即-2t?1
t?1
??1
,t+1>-t
2
+4;
2
2
t?4
t?4
t
2
+t-3>0,解得:t<
? 1?13?1?13?1?13
或t>,从而222< br>13?121?1
2
2
15.23.。
16.1 或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1,由f(-2)=-2得,f(-1)=-2,又令x =1, y=-1可得f(1)=1,
再令x=1,得f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以f (y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由
f(1)=1可知 对一切正整数y,f(y)>0,因此y∈N
*
时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1 ,即对一切大于1的正整
数t,恒有f(t)>t,由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。 < br>下面证明:当整数t≤-4时,f(t)>0,因t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f (t+1)=-(t+2)>0,
即f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,… …,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0
相加得:f(t)-f(-4) >0,因为:t≤4,故f(t)>t。综上所述:满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
1 7.解:因为(a+b)
2
+(a+b+4c)
2
=(a+b)
2< br>+[(a+2c)+(b+2c)]
2
≥(2
ab
)
2
+(2
2ac
+2
2bc
)
2
=
(a?b)
2
?(a?b?4c)
2
?(a?b?c)
4ab+8ac+8bc+16c
ab
。所以
abc


学习必备 欢迎下载
22
1abc
5

8(5
3
)?(5) ?100

2224
2abc2
当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。
三、解答题
18.以
l
为x轴,点P到
l
的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系,设Q的坐标为(x, 0),点A(k, λ),
⊙Q的半径为r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=
x
2
?2
2
=1+r。所以x=±
r
2
?2r?3
, ∴
tan∠MAN=
k
AN
?k
AM
1?k
AN
?k
AM
o?ro?h
??
x?r?hx?r?h

o?ho?h
1??
x?r?hx? r?k
?
2rh2rh2rh
,令
??
222
222222 2
(x?k)?r?h
(?r?2r?3)?r?hh?k?3?2r
?
2k r?2r?3
1
,所以m+r
?
k
r
2
?2r?3
=nhr,∴m+(1-nh)r=
?kr
2
?2r?3
,两
n
2m=h
2
+k
2
-3,tan∠MAN=
边平方,得 :m
2
+2m(1-nh)r-(1-nh)
2
r
2
=k< br>2
r
2
+2k
2
r-3k
2
,因为对于任意 实数r≥1,上式恒成立,所以
?
m
2
??3k
2
(1)< br>?
1
2
2m(1?nh)?2k(2)
,由(1)(2)式,得m=0 , k=0,由(3)式,得n=。由2m=h
2
+k
2
-3得
?< br>h
?
(1?nh)
2
?k
2
(3)
?
h=±
3
,所以tan∠MAN=
1
=h=±
3
。所以∠ MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠
n
MAN=60°),故∠MAN=60°。
a
2
a< br>2
a
2
a
19.(1)证:依题设,对任意x∈R,都有f(x)≤1 。∵f(x)=-b(x-)+,∴f()=≤1,∵
4b
2b2b
4b
a> 0, b>0, ∴a≤2
b

(2)证:(必要性),对任意x∈[0, 1] ,|f(x)|≤1
?
-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1,∴a
≥b-1。对任意x∈[0, 1],|f(x)|≤1
?
f(x)≤1,因为b>1,可推 出f(
1
b
)≤1。即a·
1
b
-≤1,∴a
≤2
b
,所以b-1≤a≤2
b

(充分性):因b>1, a≥b-1,对任意x∈[0, 1],可以推出:ax- bx
2
≥b(x-x
2
)-x≥-x
≥-1,即:ax- bx
2
≥-1;因为b>1,a≤2
b
,对任意x∈[0, 1],可推出ax-bx
2
≤2
b
-bx
2
≤1,即ax- bx
2
≤1,∴-1≤f(x)≤1。
综上,当b>1时,对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是:b-1≤a≤2
b

(3)解:因为a>0, 0


学习必备 欢迎下载
f(x)=ax- bx
2
≥-b≥-1,即f(x)≥-1;
f(x)≤1
?
f(1)≤1
?
a-b≤1,即a≤b+1; a≤b+1
?
f(x)≤(b+1)x-bx
2
≤1,即f(x)≤1。
所以,当a>0, 0
20.
F
1
(?3,0),左准线方程为x??
25
;AB方程为
y?k(x?3)(k为斜率 )

3
1k5
2
0x?2k
2
2?5?4

000
?
y?k(x?3)
?
2
k5x
2)?

A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,由
?
x
2
y
2
< br>?(16?2
?1
?
?
?
2516
150k
2
225k
2
?400256k
2
2
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
???y
1
y2
?k(x
1
?3)(x
2
?3)??

22
16?25k16?25k16?25k
2
------------------- ---10分

M(?
(3a?25)y
1
(3a?25)y2
2525
,同理y
4
?

,y
3
),N(?,y
4
)
。由M、A、D共线
y
3
?
3 (a?x)3(a?x)
33
12

F
1
M?(?
1616
,y
3
),F
1
N?(?,y
4
),由已 知得F
1
M?F
1
N?F
1
M?F
1
N? 0
33
,得
256k
2
256
(3a?25)
2< br>y
1
y
2
(3a?25)
2
256
?
?,
整理得 =
y
3
y
4
??,而y
3
y
4
?,即
?
16?25k
2
9(a?x
1)(a?x
2
)
9
99(a?x
1
)(a?x
2
)
(1?k
2
)(16a
2
?400)?0?a??5, 又a??3,所以a?5


----------


学习必备 欢迎下载

A
Q
D
B P C

附加题 21证:如图,连结DB、OP、DQ,因∠ABD+∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠AC B,则∠EAC=
∠DBC+∠DCB,即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;又∠DAC=∠DBC ,则:∠OBC=∠DCB;故△DBC
1
BC。在圆内接四边形ABCD中,由托勒密定理得 :
2
BC?AD2BP?AD
AC·BD=BC·AD+AB·CD,因BD=CD, 则:AC-AB=,又DQ⊥AC,则
?
BDBD
BP?AD
AQADAC? AB
△ADQ∽△BDP,所以,即:AQ=。故AC-AB=2AQ,即AQ=。
?
BD
BPBD2
11
AC?AB1
从而:CQ+CP=(AC- AQ)+BC=(AC-
)?
BC=(AB+BC+CA)。
22
22
为等腰三角形,因OP⊥BC,则CP=


< br>22.设w是1的非实的立方根,满足w
2
+w+1=0,则g(w
2
+w+1)g(0)=0,设α为-1的非实的立方根,
则f(α
2
-α+1)=f( 0)=0,故可设:f(x)=x·a(x);g(x)=x·b(x)。因此原条件可化为:a(x
2
-x+1)=b(x
2
+x+1)。
令x=-y,得:a(y
2+y+1)=b(y
2
-y+1), 1]。下面证明无穷多个n使得:a(n
2
+3n+3)=a(1)。由n=1可得:
a(1)=a(7),假设a[(n-1)
2
+3(n-1)+3]=a(1)(n≥2),则
a[(n+1)
2
+3( n+1)+3]=a[(n+2)
2
+(n+2)+1]=a[(n+1)
2
-(n+1)+1]=a[(n-1)
2
+3(n-1)
+3]=a(1)。由于多 项式a(x)-a(1)有无穷多个根,所以a(x)-a(1)是零多项式,即a(x)为常数,因此f(x) =kx,
类似可知:g(x)=kx。


学习必备 欢迎下载





20XX年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案
一.选择题(本题满分30分,每小题5分)
1. (B). 2. (C). 3. (C) . 4. (A). 5. (D). 6. (A) .
二.填空题(本题满分30分,每小题5分)
7.
16
?
. 8.
n?1
1007
. 9. . 10.
(??,?2)(?1,1)
. 11.
2
3018
2
. 12.
3
.
三.解答题
13.(本小题满分20分)
证明:假设
a?b
,则
13?13,5?5
.
abab< br>?
3
??
13
?

3?13?17,
3?13?17,

??
?
??
?1
,…………… ………(5分)
?
17
??
17
?
abaaaa
aa
31316
?
3
??
13
?
由于
f( x)?
??
?
??
单调递减,
f(1)????1
,且f(a)?1?f(1)

171717
1717
????

a?1
. …………………………(10分)
bb
xx
?
5
??
7< br>?

5?7?11,

5?7?11
,即
??
?
??
?1
.…………………………(15分)
?
11
??
11
?
abb
bbb
5712
?
5
? ?
7
?
???1,
g(b)?1?g(1)
, 由于
g(x )?
??
?
??
单调递减,
g(1)?
111111
1111
????

b?1
.
因此,
a?1?b
,与
a?b
矛盾,所以,
a?b
. ……………………(20分)
14.(本小题满分20分)
解:由题意可设椭圆方程为
xx
x
2
a
2
??1

(a?b?0)


b
2
y
2
y
P
?
c3
?
?
?
2

?
a

?
2
?
1
?1
?< br>?
a
2
2b
2
所以,椭圆方程为
?
a?2< br>,
?
b?1
?
O
Q
x
x
2
4
?y
2
?1
. ……………………(5分)


学习必备 欢迎下载
由题意可 知,直线
l
的斜率存在且不为
0
,故可设直线
l
的方程为< br>y?kx?m(m?0)

?
y?kx?m
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
满足
?2

2
?
x?4y?4?0
消去
y
(1?4k)x?8kmx?4(m?1)?0

222
??64k
2
m
2
?16(1?4k
2
)(m
2
?1)?16( 4k
2
?m
2
?1)?0


x
1?x
2
?
?8km
1?4k
2

x
1
x
2
?
4(m
2
?1)
1?4k
2

y
1
y
2
?(kx
1
?m)(kx
2
?m)?k
2
x
1
x
2
?km(x
1< br>?x
2
)?m
2
. ……………(10分)
因为直线OP

PQ

OQ
的斜率依次成等比数列,
所以,< br>y
1
y
2
x
1
x
2
??
k
2
x
1
x
2
?km(x
1
?x
2
)?m
2
x
1
x
2
2
?k
,即< br>2
?8k
2
m
2
1?4k
2
?m
2
?0


m?0
,所以
k?
1
1
,即
k??
. ……………………(15分) 4
2
22
由于直线
OQ
的斜率存在,且
??0
,得
0?m?2

m?1


d
为点
O
到直线
l
的距离,则
S
?OPQ
?
11
m
dPQ?1?k
2
x
1
?x
2

221?k
2
1
m(x
1
?x
2
)
2?4x
1
x
2
?
m
2
(2?m
2)

2
所以
S
?OPQ
的取值范围为
(0,1)
. ……………………(20分)
?
15.(本小题满分25分)
证明:连结
OP,OA,OC,EP
,显然
O,P,N
三点共线,且
OP?AB

所以
N

AB
中点,由
M

PA的中点,故
MN?MP?MA

A

MN
PQ
. ……………………(5分)
M

PM
2
?AM
2
?ME?MC

所以
?MPE

?MCP

?MCP??MPE

……………………(10分)

O,A,P,B
四点共圆,
O


E

N

D

Q
P

C

B

ON?PN?AN?BN?CN?EN


学习必备 欢迎下载

O,C,P,E
四点共圆,
?OCN??EPN
. ……………………(15分)
?PAO
是直角三角形,


PN?PO?PA?PD?PC

于是
C,D,N,O
四点共圆. ……………………(20分)
2
?QNP??PCO??MCP??MCO??MPE??EPN??APN

所以
MNPQ
,四边形
MNQP
是菱形. ……………………(25分)
16.(本小题满分25分)
(1)解法一:由
a
1
?1, 4a
n?1
?5a
n
?9a
n
?16 (n?1,n?N
+
)

2
52185
a
2?,a
3
?,a
4
?

248

5?1?4,21?1?4?4,85?1?4?4?4
,猜想 < br>223
1?4?4
2
??4
n?1
4
n
?1 2
n
1
a
n
???(2?
n
)
. ……………………(5分)
n?1n?1
23?232
21
(2?)?1
显然成立;
32
2
k
1
设当
n?k
时,
a
k
?(2?
k
)
成立,当
n?k?1
时,
32
证明 :当
n?1
时,
a
1
?
2
5a
k
?9a
k
?16?
10
k
111011
(2?
k< br>)?4(2
k
?
k
)
2
?16?(2
k?
k
)?2(2
k
?
k
)

3223 22
16
k
418
k?1
1
?2??
k
? (2?
k?1
)?4a
k?1
成立,
33232
2
n
1
所以,通项公式为
a
n
?(2?
n
)
. ……………………(10分)
32
解法二:由
4a
n?1
?5a
n
?9a
n
?1 6

2
55
2222
a
n
?a?aa?1a?a ?a
n
a
n?1
?1

n?1
),故,两式相减得
?1nn?1nnn?1
22
?
a
n?1
?a
n? 1
?
?
?
a
n?1
?a
n?1
?
?

a
n?1
?
5
?
a
n
??0
,又
?
a
n
?
为递增数列,
2
?
5
a
n
?a
n?1
?0

(n?1)
. ……………………(5分)
2
1
5
2
特征方程为
x?x?1?0
,特征根为< br>x
1
?2,x
2
?

2
2


学习必备 欢迎下载
nn
所 以
a
n
?
?
1
x
1
?
?
2
x
2
,将
a
1
?1,a
2
?
5
代入,得
2
2
1
?
?
?
?
2< br>?
?
?
?1
?
?
?
1
3
?
1
2
2
,解之得
?

?
2
?

?
??
?
4
?
?
1
?
?
5
2
12
?
?
3?42
?
通项公式为
a
n
?
2
?
n< br>1
?
?
2?
n
?
. ……………………(10分)
3
?
2
?
(2)设
S
n
?
1111
??????????

a
1
a
2
a
3
a
n

2?
n
11
?
1
??
n?1
?
n?1
?22??22?

n?2
?

??
nn?1
?
n?1
?< br>?
22
?
2
???
111
??
?
n ?2
?
, ……………………(15分)
a
n
2a
n?1
a
n
?2a
n?1
,< br>1111
11
?
1111
?
S
n
????? ??????
??
?
??????????
?

a
1
a
2
a
3
a
n
a
1
2
?
a
1
a
2
a
3
a
n?1
??
11
?
1
?
11
?
?
S
n
?
?
???S
n
.
a
1
2
?< br>a
n
?
a
1
2
2
?2
. ……………………(25分)
a
1
所以
S
n
?
2012新疆维吾尔自治区高中数学竞赛
?
12
高二试题卷 时间120分钟 总分:150分
第一题:选择题(有6小题,每小题5分总30分)
1.设
x?y?z?,

x?y?z?
?
2
,则乘 积
cosx?siny?cosz
的最大值减去两倍的最
小值为:( )
A.
333
B. C. D.
3

84 2
2.过抛物线焦点下的直线交抛物线与P,Q两点,P,Q的垂直平分线交抛物线的对称轴于R,
PQ
FR
的值为:( )
A.5 B.4 C.3 D.2


学习必备 欢迎下载
3.已 知正四棱柱的对角线长为
26
,且对角线与底面所成角的余弦值为
的体积为:( )
A.2 B.4 C.8 D.16
4.袋中盛有3个白球和若干 个红球,现在从中任取2个求,若取的白球个数的期望值等于
则袋中红球的个数为:( )
A.1 B.3 C.5 D.7
2
则该正四棱柱
3
3

4
1
5.已知复数
z?x?yi
(
x,y?R,x?
),满足
z?1?x
那么
2
(x,y)
的轨迹是:( )
Z在复平面上对应点,
A.圆 B. 抛物线 C.椭圆 D.双曲线
6.在正方体的八个顶点中任取四个顶点,这四个点可以连成四面体的概率为:( )
A.
272829
6
B. C. D.
353535
7
第二题:填空题(共有6小题 每小题9分总54分)
7. 在数列
?
a
n
?
中,已知
a
3
?18,
a
n?1
?3a
n
,则
a
1
=__ ________.
1
的最小值=__________.
x?1
8.当
x?4
时,函数
y?x?
9.若直线l经过P(1,-3),它与两坐标轴围 成等腰直角三角形,则l的方程是:

______________________________.
x
2
y
2
??1
表示的曲线不是双曲线,则
k
的取值范围是:__________. 10.若方程
k?26?k
11.正四面体内切球半径为2,则此正面体体积为:__________.
12.将一骰子抽掷两次,所得向上点数分别为
m

n
, 则函数
y?
1)上为单调减函数的概率为:__________.
第三题:(总有4答题,总66分)
13.(本大题15分)
解不等式:







m
3
x?2nx? 4
在(-1,
3
x
2
?3x?10?8?x


学习必备 欢迎下载


14.(本大题15分)
(x?3)
2
(y?2)
2
?? 1

P
1
,P
2
两点,
?
为直线的倾斜角 直线
xtan
?
交椭圆
94
(1)求
?
的取值范围 (2)求线段
p
1
p
2
中点的轨迹方程。















15.(本大题18分)
如图,在斜三菱柱ABC-
A
1
B
1
C
1
中,∠
A
1
AB
=
?A
1
AC
,AB=AC,
A
1
A?A
1
B?a

侧面
B
1
BCC
1
与 底面ABC所成的二面角为
120
,E,F分别为棱
B
1
C
1
,A
1
A

中点
(1) 求
A
1
A
与底面ABC所成的角;
(2) 求经过
A
1
,A,B,C
四点的球的体积;











0


学习必备 欢迎下载





















16.(本大题18分)
8位歌手参加艺术节,准备为他们安排M次演出,每次由其中四位登 台表演,要求8位歌手
中任意两位同时演出的次数一样多,请设计一中方案,使演出次数M最小










学习必备 欢迎下载
20XX年全国高中数学联赛河南省预赛试题

本试卷满分140分
一、填空题(满分64分)
1、在小于20的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够 被3整除,则不用的取法种
数为_________________.
2、将长为的线段任 意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________.
3、在
?ABC
中,
?C

?ACM
沿
CM
?,?B?

AC?2

M

AB
中点,
26
??
折起,使
A,B
之间的距离为
2
4、若锐角
2
,则点
M
到面
ABC
的距离为_________________. < br>?23tan
o
1?0
?
满足
1
tan
2< br>?
?
ta

n
则角
?
2
的度数为< br>_________________.
5、函数
?
|log
2x|,0?x?4
?
f(x)?
?
2
2
70
x ?8x?,x?4
?
3
?
3
,若
a,b,c,
互< br>d
不相同,且
f(a)?f(b)?f(c)?f(d)
,则
abcd
的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列
为_________________.
7、一只蚂 蚁由长方体
ABCD?
?
a
n
?
中,
2a
4
?a
3
?2a
2
?a
1
?8
,则
2a
8
?a
7
的最小值
A
1
B
1
C
1
D
1
顶点
A
出发,沿着长方体的表面达到顶点
C
1

过实数
最短距离为6,则长方体的体积最大值为_________ _____.
8、
?
x
?
表示不超
x
的最大整数 ,则
?
log
2
1
?
?
?
log
2
2
?
?
?
log
2
3
?
??ABC?
?
?
log
2
2012
?
?___ ______.

E?ABCD
的地面为菱形,且二、(本题满分16分)如图,已知 四棱锥
?
3
,
AB?EC?2
,
AE?BE?2
.
(1)求证:平面
EAB?ABCD
平面;
(2)求二面角
A?EC?D
的余弦值.
三、(本题满分20分)已知函数
(1)当时
x?0
,求证:
f(x)?
ln(1?x)

x


学习必备 欢迎下载
(2)当
x??1

x?0
时,不等式

f(x)?
1?kx
成立,求实数的值.
1?x
1
四、( 本题满分20分)数列
?
x
n
?
中,
x
1
?1

x
n?1
?1?

x
n
?1
(1)设
a
n
?
1
,求数列
?
a
n?
的通项公式.
x
n
?2
,数列(2)设
b
n
?x
n
?2
?
b
n
?
的前
n< br>项的和为
S
n
,证明:
S
n
?
2
.
2
x
2
五、(本题满分20分) 已知椭圆
?y
2
?1

P
是圆
x
2
?y
2
?16
上任意一点,过
P

4
点作椭圆的切线
PA,PB
,切点 分别为
A,B
,求
PA?PB
的最大值和最小值.













学习必备 欢迎下载
20XX年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题
一、选择题(满分36分,每小题只有一个正确 答案,请将正确答案的英文字母代号填入第1
页指定地方,答对得6分,答错或不答均记0分)

2+x x>0
1.{5 x=0 则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为
x
2 x<0
(A) 8. (B) 11. (C)13·14 (D)15·12
2. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax?+bx+c的不同的两个根,则a、b、c之间的关
系是
(A) b?=a?-4ac (B) b?=a?+4ac (C) b?=a?-2ac (D) b?=a?+2ac
3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈ [0,2]时,f(x)=x?-2x,则f(x)在x
∈[-4,-2]上的最小值为
(A)-19 (B)-13 (C)13 (D)19
4
. 定义在正整数集Z
+
上的函数f,对于每一个n∈Z
+
和无理数π=3....满足
f(n)= { k?的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)
3 (π的小数点后第n位数字k=0)
若函数f(f(n)的值域记为M ,则
A 1M B 5M C 6M D 9M
5.如图,在△ABC中,∠A=30° ,∠C=90°,以C为圆心,CB为
半径作圆交AB边于M,交AC边于N,P为CM与BN的交点, 若AN=1,
则S△CPN-S△BPM等于
(A)18 (B)√38 (C)14 (D) √34



6.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f( x)-f(y)=f(x-y1-xy),且当x∈(-1,0)时,f(x)>0,
若P=f(14) +f(15),Q=f(16),R=f(0);则P,Q,R的大小关系为
(A)R>P>Q. (B)R>Q>P. (C)P>R>Q. (D)Q>P>R.
二、填空题(满分64分,每小题8分,请将答案填入第1页指定地方)
1、求log
2
sin(π3)+log
2
tan(π6)+log
2
cos( π4)的值

2.

已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值

3.若[x]表示不超过x的最大整数,求满 足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n的值

4、如图,半径为1的两个 等圆相交,在圆的公共部分
作一内接正方形ABCD。如果圆心距O
1
O等于1,试求
正方形ABCD的面积.




学习必备 欢迎下载
5.求



的值

6.在单位正方形ABCD中,分别以A、B、C、D四点为圆心 ,以
1为半径画弧,如右图所示.交点为M,N,L,K,求阴影部分
的面积.




7、已知二次函数f(x)满足f(-10)=9,f(-6)=7, f(2)=-9,求f(100)的值

8、上底BC=2,下底AD=3的梯形ABCD的 对角线相交于点O,彼此外切于点O的两个圆分别
切直线AD于点A和D,交BC分别于点A和D,交B C
分别交于点K和L,求AK?+DL?的值

新课标星级题库高中数学-高中数学全集和补集在哪一本


高中数学椭圆焦点-高中数学指数的转换


学而思高中数学第一课-高中数学选修课后题答案百度文库


高中数学高效课堂开题报告-高中数学全部函数图像与性质一张全


新沂高中数学补课-高中数学必修五重点笔记


高中数学中e表示什么-现在高中数学怎么教


高中数学教师如何提升自我-t分布函数是高中数学吗


高中数学教学类读书心得-高中数学推理是必修几的课程



本文更新与2020-09-20 02:55,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/404867.html

各省高中数学竞赛预赛试题汇编的相关文章