2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一 选择题
1.如果集 合
A.B
同时满足
AB?
?
1.2.3.4
?
AB ?
?
1
?
,
A?
?
1
?
,B?< br>?
1
?
就称有序集对
。这里的有序集对
?
A,B?
意指当
A?B
，
?
A,B
?
和
?< br>B,A
?
是不同的集
?
A,B
?
为“好集对”
对，那么“好集对”一共有（ ）个。
A64B8C6D2

２.设函数< br>f
?
x
?
?lg10
?x
?1
,
方 程f?2
x
?f
?1
2
x
的解
为( ) ??
????

2
?
lg2
?
?
?log
2
10
?
?
?
lg2
?
?2
?
log
2
10
?
?1
3.设
A? 100
是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺
序排列而成那么A除 以126的余数是( )

A78B36C6D0

4.在直角
ABC
中,
?C?90
,
CD
为斜边上的高,D
.
k
为垂足.
项为
AD?a,BD?b,CD?a?b?1
设数列
?
u
k
?
的通
u
k
?a
k
?a
k?1
b ?a
k?2
b
2
??
?
?1
?
b
k
,k?1,2,3,,
则( )


A.
u
2008
?u
2007
?u
2006
B.
u
2008
?u
2007
?u
2006

C.
2007u
2008
?2008u
2007
顺序排 成一个新的数列
D.
2008u
2008
?2007u
2007

7a,
4
?
5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各 项按从小到大的
?
a
n
?
a
3
?
,易见< br>a
1
?1,a
2
?3,9a
5
,?1
么3
那
a
2007
?____________

A. 9597 B. 55
19
C.
2831
D.
2759

6.设
A
?1?cos3
0
+
1+cos7
0
+1+cos11
0
+
B?
1?cos3
0
+
1-cos7
0
+1-cos11
0
+
A.
2-
2
2
1+cos87
0

1-cos87
0
则
A:B?
??

B.
2+
2
2
C.
2-1
D.
2+1

二.填空题
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.
8.设
n?2007
,且
n
为使得
a
n
=
?
2-2?i2+2
取实数值的最小正整数,则对应此
n
的
第
1
页
?
n

a
n
为
9.若正整数
n
恰好有4个正 约数,则称
n
为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在
27,42,69,1 11,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有____________ _________个.
10.平行六面体
ABCD?A
1,
AB,AD< br>的长度分别为
1
B
1
C
1
D
1
中, 顶点
A
出发的三条棱
AA
2,3,4,且两两夹角都为
60
那么这个平行六面体的四条对角线
AC
1
,BD
1
,DB
1
,CA
1
的长度(按
顺序)分别为___________________
11.函数
f
?
x
?
,g
?
x
?
的迭代的函数定义为
f
?
1
?
?
x
??f
?
x
?
,f
?
2
?
?
x
?
?f
?
f
?
x
?
?
,

f
?
n
?
?
x
?
?ff
?
n?1
?
?
x
?
,g
?
1
?
?
x
?
?g
?
x
?
,g
?
2
?
?
x
?
?g
?
g
?
x
??
,
其中
n
=2,3,4…
??
g
?
n
?
?
x
?
?gg
?
n?1
?
?
x
?
??
?
f
?
9
?
?
x
?
?g
?
6
?
?
y
?
??
?
9
??
6
?
设
f
?
x< br>?
?2x?3,g
?
x
?
?3x?2
,则方程组?
f
?
y
?
?g
?
z
?
的解 为_________________
?
?
9
??
6
?
fz?g
???
x
?
?
?
12.设平行四边形ABCD
中，
AB?4,AD?2,BD?2
3,
则平行四边形
ABCD
绕直线
AC
旋转所得的旋转体的体积为_______________
三解答题
13.已知椭圆
?:3x
?4y?12
和点
Q< br>?
q,0
?
,
直线
l过Q且与?交于A,B
两点(可 以重合).
22
1)若
?AOB
为钝角或平角(
O
为原点),
q?4,
试确定
l
的斜率的取值范围.
2)设
A关于长轴的对称点为
A
1
,
F为椭圆的右焦点,q?4,
试判断
A
1
和F,B
三点是否共
线,并说明理由.
3)问题2)中,若
q?4,那么A
1
,F,B
三点能否共线?请说明理由.


14. 数列
?
x
n
?
由下式确定:
x
n?1
?
x
n
,n?1,2,3,
2
2 x
n
?1
,x
1
?1
,试求
lxg
20< br>整数部分k?
?
07


a
的最大整数,即
a
的整数部分.)
lxg
?
( 注
2
?
a
0
?
.
表示不大于
07
15. 设给定的锐角
ABC
的三边长
a,b,c,正实数x,y,z
满足
第
2
页
ayzbzxcxy
???p,
其中
p
xyz

为给定的正实数,试求
s?
?
b?c?a
?
x
2
?
?
c?a?b
?
y
2< br>?
?
a?b?c
?
z
2
的最大值,并求出当
s
取此最大值时,
x,y,z
的取值.


2008年安徽省高中数学联赛初赛试题

一、选择题
1. 若函数
y?f
?
x
?
的图象绕原点顺时针旋转
?
后，与函数y?g
?
x
?
的图象重合，则（ ）
2
（A）g
?
x
?
?f
?1
?
?x
?
（B）
g
?
x
?
?f
?1
?
x
?
（C）
g
?
x
?
??f
?1
?
? x
?
（D）
g
?
x
?
??f
?1
?
x
?

2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线的一部分 （C）抛物线的一部分
3.下列4个数中与
cos1?cos2??cos2008
最接近的是（ ）
（A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）2008
4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5.
11
写成十进制循环小数的形式
?0.000498
2008
2008
625498625
（D）矩形
，其循环节的长度为( )
(A)30 (B)40
6.设多项式
?
1?x
?
(C)50
2008
（D）60
?a
2008
x
2008
， 则
a
0
,a
1
,
?a
0
?a
1< br>x?
,a
2008
中共有（ ）个是偶数。
（A）127 （B）1003
二、填空题
7.化简多项式
（C）1005 （D）1881 < br>k?m
?
CC
k
n
n
m
k
x
k?m
?
1?x
?
n?k
?

8.函数
f
?
x
?
?
3?5sinx
的值 域为
5?4cosx?3sinx
a
1
?a
n?1
,
?
n?2
?
，且具有最小正周期2008，则
a
1
?

1?a
1
a
n?1< br>?a
2007
a
2008
?a
2008
a
1
的最大值
9.若数列
?
a
n
?
满足
a< br>1
?0,a
n
?
10.设非负数
a
1
,a< br>2
,,a
2008
的和等于1，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
?
为 11.设点A
?
1,1
?
，B、C在椭圆
x?3y?4
上，当直线BC的方程为 时，
ABC
22
的面积最大。 < br>12.平面点集
G?
?
?
i,j
?
|i?1,2,, n;j?1,2,,n
?
，易知
G
2
可被1 个三角形覆盖（即各
第
3
页

点在某个三 角形的边上），
G
3
可被2个三角形覆盖，则覆盖
G
2008
需要 个三角形。
三、解答题
13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、 黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每
个盒子中恰好放2个小球，记
?
为盒中小 于颜色相同的盒子的个数，求
?
的分布。

14.设
a
1
?1,a
n
?
?
na
n?1
?
,
?
n?2
?
，其中
?
x
?
表示不超过x的最大整数 。证明：无论
a
1
取
??
何正整数时，不在数列
?
a
n
?
的素数只有有限多个。

15.设圆
O
1
与圆
O
2
相交于A，B两点，圆
O
3
分别与圆O
1
，圆
O
2
外切于C，D，直线EF分
别与圆
O
1
，圆
O
2
相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明 ：A，B，G三点共线。


2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.函数
f(x)?2x?4x?x
2
的值域是 .
2.函数
y?
的图象与
y?e
的图象关于直线
x?y?1
对称.
3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .
x
x
2
y
2
??1
与双曲线
xy?1
相 切，则
t?
. 4.设椭圆
t?1t?1
5.设
z
是复数，则
|z?1|?|z?i|?|z?1|
的最小值等于 .
6.设
a
，
b
，
c
是实数，若方程
x ?ax?bx?c?0
的三个根构成公差为1的等差数列，
则
a
，
b
，
c
应满足的充分必要条件是 .
7.设
O
是
?ABC
的内心，
AB?5
，AC?6
，
BC?7
，
OP?xOA?yOB?zOC
，
32
0?x,y,z?1
，动点
P
的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .
二、解答题（共86分）
9.（20分）设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n
?

第
4
页
2
，
n?2
.求
a
n
的通项公式.
1?a
n?1

10.（22分）求最小正整数
n< br>使得
n?n?24
可被2010整除.

11.（22分）已知?ABC
的三边长度各不相等，
D
，
E
，
F
分 别是
?A
，
?B
，
?C
的平
分线与边
BC
，
CA
，
AB
的垂直平分线的交点.求证：
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积.


12.（22分）桌上放有< br>n
根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多
n?1
根火 柴，此后每人每次至少取走
1
根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最
后一根火柴者获胜.问：当
n?100
时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

2

2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．以
X
表示集合
X
的元素个数. 若有限集合
A,B,C
满足
A?B?20
，
B?C?30
，
C?A?40
，
则
A?B?C
的最大可能值为 .
2．设
a
是正实数. 若
f(x)?x
2
?6ax?10a
2
?x
2
?2ax?5a
2
，x?R
的最小值为10，则
a?
.
3．已知实系数多项式
f(x)?x
4
?ax
3
?bx
2
?cx?d
满足
f( 1)?2
，
f(2)?4
，
f(3)?6
，
则
f( 0)?f(4)
的所有可能值集合为 .
4．设展开式
.
若
(5x?1)
n
?a
0
?a
1
x???a
n
x
n
，n?2
a
2011
?max(a
0
,a
1
,?,a
n
)
，则
n?
.
5．在如图所示的长方体
ABCD?EFGH
中，设
P
是
矩 形
EFGH
的中心，线段
AP
交平面
BDE
于点
Q
.
若
第5题


AB?3
，
AD?2
，
AE?1
，
则
PQ?
.
6．平 面上一个半径
r
的动圆沿边长
a
的正三角形的
外侧滚动，其扫过区域 的面积为 .
第6题

7．设直角坐标平面上的点
(x,y)
与复数
x?yi
一一对应. 若点
A,B
分别对应复数
z,z
?1
（
z?R
）， 则直线
AB
与
x
轴的交点对应复数 （用
z
表示）.
第
5
页

8．设n是大于4的偶数. 随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形
的概率为 .
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）
9． 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?a
2
?1
，
a
n
?1?
公式.

1111
?
?
??
.
10．已知正整数
a1
,a
2
,
?
,a
n
都是合数，并且两两互素 ，求证：
?
a
1
a
2
a
n
2
a< br>1
?
?
?a
n?2
（
n?3
），求
a
n
的通项
4


11．设
f(x)?ax
3
?bx?c
（
a,b,c
是实数），当
0?x?1
时，
0?f(x)?1
. 求
b
的
最大可能值.

12．设点
A(?1,0)，B(1,0)，C(2,0)
，
D
在双曲线x
2
?y
2
?1
的左支上，
D?A
，直
线
CD
交双曲线
x
2
?y
2
?1
的右支 于点
E
. 求证：直线
AD
与
BE
的交点
P
在
直线
x?
1
上.
2






2012年安徽高中数学竞赛初赛试题
第
6
页

第
7
页

第
8
页

2007解 答
一、 选择题
1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.
1.逐个元素考虑归属的选择.
元素1必须同时属于A和B.
元素2必须至少属于 A
、
B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但
不属于B，属于B但 不属于A.
同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.
所以4个元素满足条件的选择共 有
2?2?2?2?6
种.换句话说，“好集对”一共有6
个. 答：C. < br>2.令
y?lg(10
?x
?1)
，则
y?0
，且< br>10
?x
?1?10
y
，
10
?x
?10< br>y
?1
，
?x?lg(10
y
?1)
，
x ??lg(10
y
?1)
.从而
f
?1
(x)??lg(1 0
x
?1)
.
?1
x
令
2?t
，则题设方程为
f(?t)?f
ttt
(t)
，即
lg(10
t
?1)??lg(10
t
?1)
，
t
2t
故
lg[(10?1)(10?1)]?0
，
(10?1)(10?1)?1
，
10?2
，
2t?lg2
，
11
lg2
. 从而
x?log
2
(lg2)?log2)?1
. 答：A.
2
(lg
22
3. 注意
126?2?7?9
,2,7和9两两互质. 因为
A?0
（
mod2
）
,

A?

（1?0?0）?（1?0?1）?（1?0?2）???（4?9?9）?（5?0?0）

?100?101?102???500?（100?500）?401?2?12030?06
（
mod9
）
,
所以
A?6
（
mod18
）
. （1）
解得
2?t?
x
又因
400
i?0
为
10
3
??1
3i
400
i?0
，
10
3n
?(?1)
n
i
?0i)?（0?1）

（
mod7
）
, 所以
A?
?
(500?i)?1 0
?
?
(5
?(500?499)?(498?497)?(496?495 )???(102?101)?100
?300?6
（
mod7
）
.
(2)
由（1），（2）两式以及7和18互质，知
A?6
（
mo d126
）
. 答：C.
另解：
126?2?63
，
63999999
，
999999?10?1
，
（10
6
?1）（10
6n
?1）
，
6
n?1,2,3,?
.所

以
A?100?10
1200
?101102?10
1194
?103104?10
1188
???497498?10
6?4
?100?（10
1200
?1）?101102?（10
1194
?1）?103104?（10
1188
?1）?
?
?497498 ?（10
6
?1）?
第
9
页

（100?101102?103104???497498?499500）
?999999B?100?（101102?499500）?200?2?999999B?100 ?60060200

?999999B?60060300?999999C?60360
，
其中B，
C为整数.从而
A?63D?60360?63E?6
，其中D，E为整数.所 以A除以63的
余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6. 答：C.
（a?b）?ab
，又已知
a?b?1
，故
ab?1
，4.易见CD?AD?BD
，即
a(a?1)?1
，
a
2
?a? 1?0
；
b(b?1)?1
，
b
2
?b?1?0
.
显然
u
k
是首项为
a
，公比为
q??
k< br>22
b
的等比数列的前
k?1
项和.故
a
a
k
(1?q
k?1
)a
k?1
?(?b)
k?1
u
k
??
，
k?1,2,3?
.
1?qa?b
从而
u
k
?u
k?1
a
k?1
?(?b)
k?1
a
k?2
?(?b)
k?2
??
a?ba?b
?
1
[a
k?2
?a
k?1< br>?(?b)
k?2
?(?b)
k?1
]

a?b11
?[a
k?1
(a?1)?(?b)
k?1
(?b?1)]

?[a
k?1
?a
2
?(?b)
k?1
?b
2
]

a?ba?b
1
?[a
k?3
?(?b)
k?3
]?u
k?2
，
k?1,2,3?
.
a?b
（a?b）?ab
，又已知
a?b?1
，故
ab ?1
，另解：易见
CD?AD?BD
，即
22
故答案为A.（易知其 余答案均不成立）
2
(a?b）?(a?b)
2
?4ab?1
2< br>?4?1?5
，
a?b?5
.解得
a?
k
5?1
，
b?
2
5?1
. < br>2
显然
u
k
是首项为
a
，公比为
q??b
的等比数列的前
k?1
项和，故
a
a
k
( 1?q
k?1
)a
k?1
?(?b)
k?1
u
k< br>??
1?qa?b
?
11?5
k?1
1?5
k?1< br>[()?()]
22
5
，
k?1,2,3,?
.
于是数列
?
u
k
?
就是斐波那契数列
1，2，3，5，8，13，21，…，
它满足递推关系
u
k?2
?u
k?1
?u
k
,

k?1,2,3,?
. 所以答案为A.
第
10
页

5.
?
a
n
?
可看成是在正整数 数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11
整除的项之后，把余下的各项按从小 至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，
m
中不能被2，5或11整除的 项的个数为
?
m
??
m
??
m
??
m< br>??
m
??
m
??
m
?
x
m
?m?
??
?
??
?
??
?
??
???
?
??
?
?
，
?
25
???? ??????????
其中
?
a
?
不表示不大于
a
的最大整数，即
a
的整数部分.
估值：设
mmmmmmm111
? ??????m?(1?)(1?)(1?)

25111
1410411
?m????m
，故
m?2007??5519
.
2511114
2007?x
m
?m?
又因为
0
?
5519
??
5519
??
5519
??
551 9
??
5519
??
5519
??
5519
?x
5519
?5519?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
?
2
??
5
??
11
??
55
??
22< br>??
10
??
110
?
?

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，
并 且5519不是2，5，11的倍数，从而知
a
2007
?5519
. 答：B.
又解：
?
a
n
?
可看成是在正整数数列1， 2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或
11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺 序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们
的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0 ，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的
数为
?1

，?3，? 7，?9；?13，?17，
?19；?21，
?23，?27，?29；?31，?37，? 39；?41，?43，?47，?49；?51，?53
,共40个.（或由欧拉公
式，1， 2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与
110互 质的数的个数，等于
?（110）?110?（1?）?（1?）?（1?
1
2
1
5
1
）?40
.）
11
显然1，2，3，… 中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，
2，3，…，
1 10?50?5500
中，不能被2，5，11整除的数有
40?50?2000
个. 大于5500
中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，55 00+9，5500+13，5500+17，
5500+19，….所以5519是第2007个不能 被2，5，11整除的数，亦即所求的
a
2007
?5519
.
答：B .
1?cos3
?
1?cos7
?
1?cos8 7
?
6.显然
???
?
?
222
2
A

?cos1.5?cos3.5?cos5.5???cos43.5
；
????< br>B1?cos3
?
1?cos7
?
1?cos87
?

???
?
?
222
2
第
11
页

?sin1.5?sin3.5?sin5.5???sin43.5
.
注意到

2cos
?
sin1?sin(
?
?1)?si n(
?
?1)
，
2sin
?
sin1?cos(
?
?1)?cos(
?
?1)
,
所以
??????
????
2sin1
?
?

A
2
?(sin2.5
?
?sin0.5
?
)?(sin4.5?
?sin2.5
?
)?(sin6.5
?
?sin4.5?
)?
?
?(sin44.5
?
?sin42.5
?< br>)

?sin44.5
?
?sin0.5
?
?2co s22.5
?
sin22
?
，

2sin1
?
?
B
2
?(cos0.5
?
?cos2.5
?
)?(cos2.5
?
?cos4.5
?
)?(cos4.5
?
?cos6.5
?
)?
?

?(cos42.5
?
?cos44.5
?
)
?cos0.5
?
?cos44 .5
?
?2sin22.5
?
sin22
?
.
故
A:B?(2sin1
?
?

A
2
): (2sin1
?
?
B
2
)?(2cos22.5
?
sin22
?
):(2sin22.5
?
sin22
?
)? cot22.5
?
?2?1
. 答：D.
另解：
A
2
?cos1.5
0
?cos3.5
0
?cos5.5
0????cos43.5
0
，
B
2

?sin1 .5
?
?sin3.5
?
?sin5.5
?
???sin4 3.5
?
，
A
2
?i
B
2
?(cos1 .5
?
?isin1.5
?
)?(cos3.5
?
?isi n3.5
?
)?
?
?(cos43.5
?
?isin43. 5
?
)

21
?(cos1.5?isin1.5)
?(cos2
?
?isin2
?
)
k

??< br>k?0
1?(cos2
?
?isin2
?
)
22
?(cos1.5?isin1.5)
1?(cos2
?
?isin2
?
)
??
1?(cos44
?
?isin44
?< br>)

?(cos1.5?isin1.5)

??
1?(cos2?isin2)
??
第
12
页

2sin
2
22
?
?2isin22?
cos22
?

?(cos1.5?isin1.5)

2sin
2
1
?
?2isin1
?
cos1
?
??
(cos1.5
?
?isin1.5
?
)(?2isin22
?
)(cos22?
?isin22
?
)

?
???
(?2is in1)(cos1?isin1)
sin22
?
??
(cos22.5?i sin22.5)
. =
?
sin1
Asin22
?
cos 22.5
?
Bsin22
?
sin22.5
?
AB
??
因为和是实数，所以， ,
??
sin1sin1
22
22< br>A:B?
Acos22.5
?
2cos
2
22.5
?
1?cos45
?
:????
????
2sin22.5cos22 .5sin45
22
sin22.5
B
1?
2
2
?
2?2
?2?1
22
2
.
答：D.

二、 填空题（满分54分，每小题9分）
7.解：设△
ABC
三边长< br>a,b,c
为整数，
a?b?c?60,a?b?c,a,b,c
成等差数列，
?A
为钝角，则必有
2b?a?c
，
b?c?a
.
易解得
60?a?b?c?b?(a?c)?b?2b?3b
，
b?20, a?c?40
；
b?a?c

222
222
?(a?c)( a?c)
，即
20
2
?40(a?c),10?a?c
.因此
50?(a?c)?(a?c)?2a,25?a
，
即
a?26
.另外，
b?c?a,60?a?b?c?a?a?2a,a?30,a?29
.易检验
(a, b,c)

?(26,20,14),(27,20,13),(28,20,12),(29 ,20,11)
都是钝角三角形. 答：4.
8.注意到
x?2?2
，
y?2?2
满足
x
2
?y
2
?(2?2)?( 2?2)?4
，
x,y?0
，故可令
x?2cos
?
，y?2sin
?
，0＜
?
＜
-
?
2
. 从而
4cos
?
?2?2
，
2
，
2?4cos2
?
?2
，-
23
?
3
?
?2cos
2
?
?1?cos?cos2
?
，故
?
?
24
8
a
n
?(cos
3
?
3
?
3n
?
?isin)
n
?cos
+
888
第
13
页

isin
3n
?
3n
?
.
a
n
取实数，当且仅当
sin?0
，当且仅当
n?8k
，
k?
Z .满足此条件且
88
3x2008
?
?cos753
?
?? 1
.
n?2007
的最小正整数
n
为
2008
， 此时
a
n
?a
2008
?cos
8
9.易见奇异 数有两类：第一类是质数的立方
p
（
p
是质数）；第二类是两个不同质
3
答：-1.
数的乘积
p
1
p
2
（
p
1
,p
2
为不同的质数）.由定义可得
27?3
3
是奇异数（第一类）；
42?2?3?7
不是奇异数；
；
69?3?23
是奇异数（第二类）
；
111?3?37是奇异数（第二类）
125?5
3
是奇异数（第一类）；
137
是质数，不是奇异数；
343?7
3
是奇异数（第一类）；
899?900?1?30
2
?1
2
?
；
（30 ?1）（30?1）?31?29
是奇异数（第二类）
3599?3600?1?60
2
?1
2
?（60?1）
；
（60?1）?61?59
是 奇异数（第二类）
7999?8000?1?20
3
?1
3
?(20 ?1)(20
2
?20?1)?19?421
是奇异数（第二类）.
答：8.
a?a?2
，
b?b?3
，
abc
10. 解：将向量
AA
1
，
AB
，
AD
分别记为，，. 则
c?c?4
，且易见
AC
1
?a?b?c
，
A
1
C??a?b?c
，
BD
1
?a?b?c
，
DB
1
?a?b?c
.
所以
AC
1
2< br>?(a?b?c)?a?b?c?2(a?b?b?c?c?a)

2220
2
222
222

?a?b?c?2(ab?bc?ca)cos60
?a?b?c?ab?bc?ca


?2?3?4?2?3?3?4?4?2
=55，
故
AC
1
?
222
55
. 类似地，可算得，< br>BD
1
?19
，
DB
1
?15
，
C A
1
?27
=3
3
.
答：
55
，
19
，
15
，3
3
.
11.令
x?3?t
，易见
x?t?3
，
f(x)?2x? 3?2(t?3)?3?2t?3
，
第
14
页

f
(2)
(x)?2(2t?3)
?3
? 2
2
t?3,
?
,f
(n)
(x)?2
n
t?3
；令
y?1?s
，易见
y?s?1
，
g(y)?3y ?2?3(s?1)?2
?3s?1
，
g
(2)
(y)?3(3s? 1)?2?3
2
s?1,?
，
g
(n)
(y)?3
n
s?1
，
n?1,2,3,?
.因此，题设方程组可化为
?2
9
(x?3)?3?3
6
(y?1)?1,(1)
?
96
?
2(y?3)?3?3(z?1)?1,(2)

?
2< br>9
(z?3)?3?3
6
(x?1)?1.(3)
?
（1）- （2），（2）-（3），（3）-（1）得
?
2
9
(x?y)?3
6
(y?z),(4)
?
9 6

?
2(y?z)?3(z?x),(5)

?
2
9
(z?x)?3
6
(x?y).(6)
?
所以
3
6
3
6
2
3
6
3
x?y?
9
(y?z)?(
9
)(z?x)?(
9
)(x?y)
222
?
x? y?0?y?z?0
?x?y?z
.
代入（1）得
< br>2(x?3)?3?3(x?1)?1
，
512(x?3)?3?729(x?1)?1
，
96
512x?1533?729x?728
，
?217x?226
,
1

?31x?323
,
x??
所以原方程组的解为
x?y?z??
323
.
31
323323
. 答：
x?y?z??
.
3 131
12.以
V
T?l
表示平面图形
T
绕直线
l
所得旋转体体积.
记直线
AC
为
l
，作
BM,D N?l
，交
l
于
E,F
，分别交
CD
，
A B
于
M,N
.过
O
作
PQ?l
，分别交
A B,CD
于
P,Q
.由于
O
是
BD
的中点，所以< br>P,Q
分别是
BN,DM
的中
点.由对称性，易见所求旋转体体积为
V?V
平行四边形ABCD?l
?2(V
?ADN?l
?V
平行四边形NPQD?l
)
.
??
由于
AB?4，BD?23，A D?2
，易见
?ADB?90，?DBA?30
，
AO?AD
2< br>?DO
2
?4?3?7
，
AC?27
.显然
?DAC ??DCA??CAB
，
DF?FN
.
且
DF?
2S?ADO
AD?DO232
???21
AOAO7
7
第
15
页
，

AF?AD
2
?DF
2
?4?
12164
.从而由圆锥体积公式得
??
77
7

V
?ADN?l
?V
?ADF?l
?
1
?
12416
?
16
?
?
?DF
2
?AF?????7
?
.
33749
777
4
7
?
14?4
7
?
10
7，又
CF?AC?AF?27?
CO?AO?7
，
CF:CO?DF:Q O
，
QO?
CO?DF2101
?7?21??21
.从而由圆锥体积公式得 < br>CF7
7
5
11
V
平行四边形NPQD?l
?V梯形FOQD?l
?V
?CDF?l
?V
?CQO?l
?
?
?DF
2
?CF?
?
?QO
2
?CO
33

?
?
12
37
(?
10
7
?
214071000?343657
?7)?7
?
(?)?7
?< br>??
25492512251225
7
?
)?27
?
(
7
?
.从而
V?2(
16657
7
?
?
491225
27
?
?)?27
?
??
.
49
答：所求体积为
3027
?
：
175
22< br>13.解：I）可设
l
：
x?my?4
，与
?
联立得
(3m?4)y?24my?36?0
. 这是
，
B（x
2
,y
2
）
，则
y
的 一元二次方程，由判别式
??0
解得
m
2
?4
.记
A（x
1
,y
1
）
y
1
?y
2
?
?24m36
，.
yy?
12
22
3m?43m?4由题设条件，
OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，即
(my
1
?4)(my
2
? 4)?y
1
y
2
?0
，
36?24m

?4m??16?0
，
3m
2
?43m
2
?4
25 1
2
3
222
22
即
9(m?1)?24m?4(3m?4)?0
.得
?3m?25?0
，
m?
，
()?
，
3m25
2
得
(m ?1)y
1
y
2
?4m(y
1
?y
2
)? 16?0
，即
(m?1)?
2
?
33
?m?
. < br>55
故
l
的斜率的取值范围为
(?
33
,)
.
55
第
16
页

因为F(1,0),所以
FA
，
FB?
，从而
（x
1
?1,?y
1
）（x
2
?1,y
2
）
1
?

(x
1
?1)y
2
?(x< br>2
?1)(?y
1
)?(my
1
?3)y
2
?(my
2
?3)y
1


?2my
1
y
2
?3(y
1
?y
2
)?2m?
36? 24m
?3??0
.
22
3m?43m?4
?
FA
1
与
FB
共线， 即
A
1
与F
、
B三点共线.
III）假设
q?4
，过
Q(q,0)
的直线与
?
交于A
、
B，且A关 于长轴的对称点为
A
1
，如
果
A
1
、F
、
B三点共线.我们另取点
P(4,0)
.设直线AP与
?
交于
B
1
，那么如II）的证明，
A
1
、
F
、
B三点必共线.故B与
B
1
重合，从而直线AB和
AB
1
重合，就是AQ与AP重合.所以P与
Q重合，
q?4
，与假设矛盾.这就是说，q?4
时，三点
A
1
、F
、
B不能共线.
1 4.解：
1
x
n?1
2x?1
11
1
2
?
n
?2x
n
?
，
2
?4x
n
?4?
2
，
x
n?1
x
n
x
n
x
n
2

1
2
x
n?1
?
1
2
?4(x?1)
，
n ?1,2,3?
.
n
2
x
n
2006
2006< br>11
11
2
2
故
?
(
2
?
2
)?4
?
(x
n
?1)
，亦即
2
?
2
?4
?
x
n
?8024
，
x
2007
x
1
x
n
n?1
n?1
x
n?1
n?1
2006
由
x
1
?1
得
1
2
x
2007
?4
?
x
n
?8 025
. （*）
2
n?1
2006
由于
x
n?1
1
??1
，
n?1,2,3,?,
且显然
x
n
?0
，故
?
x
n
?
是 递减数列，且
2
x
n
2x
n
?1
x
2< br>?
x
2
3
1
x???
，，
?
3< br>2
2
2
11
3
2x
2
?1
2x1
?1
?1
9
x
1
1
3
2006故
?
x
n?1
2
n
1
2
20 06
2
1
2006
3
2
19
?1?()?
?
x
n
?1??
?
()?1???2004?151
，
39
n?3
119121
n?3
由（*）式得
8025?
1
x
2
2007
?4?151?8025?8629
，
1111
22
，
?x
2007
?,lg?lg x
2007
?lg
86298
第
17
页

3
?lg8629?2lgx
2007
??lg8 025
，
?4?2lgx
2007
??3
，
?2?lgx< br>2007
??
，
2
?
k?
?
lgx
2007
?
??2
.
15.证明：因为△
ABC
是锐角三角形，其三边
a,b,c
满足
a,b,c?0
，以及

b?c?b,c?a?b,a?b?c,b?c?a,c?a?b,a?b?c
.
因此，由平均不等式可知
222222222
(b
2
?c
2
?a
2
)x
2
?(c
2
?a
2
?b
2
)y
2
?(a
2
?b
2
?c
2
)z
2

222
1
2
z
2
1
2
x
2
1
2
y
2
222
y
222
z
222
x
?(b?c?a)x(
2
?
2
)?(c?a?b)y(
2
?
2
)?(a?b?c)z(
2
?
2
)
222
zyxzyx
ayzbzxcxy
2
a
2
y
2
z
2
b
2
z
2
x
2
c
2
x
2
y
2
222
?(??)?2(bcx?cay?abz)
，
???
222
xyz
xyz
从而
[(b?c)
2
?a
2
]x
2
?[(c?a)
2
?b
2
]y
2
?[(a?b)
2
?c
2
]z
2< br>?(
亦即
ayzbzxcxy
2
??)?P
2
，
xyz
P
2

(a?b?c)S?P
，
S?
.
a?b?c
2
上 式取等式当且仅当
x?y?z
，亦即
x?y?z?
222
P
.因此所求的
S
的最大值为
a?b?c
P
2
P
，当
S
取最大值时，
x?y?z?
.
a?b?c
a?b?c
A
B
o
l
Q
x
A
B
o
F
A
1
l
Q
x

C
1
B
1
D
1
B
C
A
1
D
A
D
A
F
N
Q
O
P
M
E
B
C

y
（第13题答图）
y
（第10题答图） （第12

题答图）
2008
参考答案(网友解答，不排除有错)
41
10,10]
9.错题 10. 11.
x?3y?2?0
12.1338
54
821
,P
?
?
?1
?
?,P
?
?
?2
?
?0,P
?
?
?3
?
?
13.
P
?
?
?0
?
?
15515
1D 2D 3B 4A（B）5C 6D 7.
C
n
8.
(?
m
第
18
页

14.思路：先用反证法证明存在
N
，使
a
N
?N?1
；接 着用数学归纳法证
n?N
时，
n?2?a
n
?n?1
；最后 证
n?N
时，
a
n
?a
n?1
?a
n?1
，这样即一切自然数
m(m?a
N
)
都
在数列?
a
n
?
中，结论正确。
15. 利用根轴概念，只需证明$$C,D,E,F四点共圆，以A（或B）为中心进行反
演不难得证！




2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.答案：
?
4?25,8
?
.
??
提示：因< br>0?x?4
，设
x?2?2cos
?
（
0?
?
?
?
），
第
19
页

则
y?4cos
?
?2sin
?
?4?25cos(
?< br>?
?
)?4
（其中
cos
?
?
为锐角），
2
1
，
sin
?
?
，
?
5
5
所以当
?
?0
时，
y
max
?8
，当
?
?
?
?
?
时，
y
min
?4? 25
，故
y?
?
4?25,8
?
.
??
2. 答案：
1?ln(1?x)

提示：因两函数图象关于直 线
x?y?1
对称，所以
x?y?1
，
y?1?x
，
∴
1?x?e
1?y
，解得
y?1?ln(1?x)
.
3. 答案：
?

提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以< br>任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角
1
3
?
的 两倍.∵
tan
?
?2
，∴
cos
2
?
?
1
2
cos2
?
?2co
?
s??1?
.
3
4. 答案：
5

11
，则
?
2
1?tan
?
3
x
2
y
2
??1
知，< br>t?1
， 提示：由椭圆方程
t?1t?1
?
?
x?t?1c os
?
设其参数方程为
?
（
?
为参数）代入双曲线方程xy?1
，得
?
?
y?t?1sin
?
sin
?
2?
2
t?1
2
.
因两曲线相切，∴
2
t?1
2
?1
，故
t?5
.
5. 答案：
1?3

提示：在复平面上，设
A(?1,0)
，
B (1,0)
，
C(0,1)
，则当
Z
为
?ABC
的 费马点时，
|z?1|?|z?i|?|z?1|
取得最小值，最小值为
1?
a
3
a
a
2
?1
且
c??
. 6. 答案：
b?
273
3
32323
???1?3
.
333
第
20
页

提示：设三个 根为
?
?1
，
?
，
?
?1
，则
x ?ax?bx?c?(x?
?
?1)(x?
?
)(x?
?
? 1)
，
右边展开与左边比较得
?a?3
?
，
b?(
?
?1)
?
?
?
(
?
?1)?(
??1)(
?
?1)?3
?
?1
，
2
32
?
a
2
b??1
?
?
3
消去
?
得
?
，这就是所求
?c?(
?
?1)
?
(
?
?1)
，
3
?
c?
a
?
a
?< br>273
?
的充要条件.
7. 答案：
126

提示 ：如图，根据向量加法的几何意义，知点
P
在图中
的三个平形四边形及其内部运动，所 以动点
P
的轨迹所覆盖
的平面区域的面积等于等于
?ABC
面积的2 倍，即
126
.

8. 答案：
6

7
3
提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有
C
8
个三角形，其中直角 三角形有
12?C
3
4
个，所求“构成直角三角形”的概率是
312?C
4
6
.
?
3
C
8
7
二、解答题（共86分）
9. 解：特征根法. 又
a
n
?2?
4?2a
n?1
1?an?1
，
a
n
?1?
，…………（10分）
1?a< br>n?1
1?a
n?1
a?2a?2a?2
?(?2)?
n?1
?(?2)
2
n?2
?
得
n
a
n
?1a
n?1
?1a
n?2
?1
分）
(?2)
n
?2
?(?2)
，于是
a
n
?
.…（20
n
(?2)?1
n
?
n
2
?n?24?0mod2
?
n
2
?n?0mod3
?
2
?
?
n?n ?24?0mod3
2
?
?
n
2
?n?1mod5
……（1010. 解：
2010|n?n?24?
?
2
?
n2
?n?43mod67
?
n?n?24?0mod5
?
?n
2
?n?24?0mod67
?
分）
又
n?n?0 mod3?n?0
或
2mod3
，
n?n?1mod5?n?2mod5，
22
n
2
?n?43mod67?n?10
或
56 mod67
，故所求最小正整数
n?77
.…………（22
分）
第
21
页

11. 证明：由题设可证
A，
B
C
，
D
，
E
，
F
六点共 圆. …………（10分）
不妨设圆半径为1，则有
S
?ABC
?
1
(siAn?2B?siCn2
，
2
sin2)
1
S?DEF
?(sinA?sinB?sinC)
.
2
由于
sin2A?sin2B?sin2C

111
?( sin2A?sin2B)?(sin2B?sin2C)?(sin2C?sin2A)

2 22
?sin(A?B)sin(A?B)?sin(B?C)sin(B?C)?sin(C?A)s in(C?A)

?sin(A?B)?sin(B?C)?sin(C?A)
?si nA?sinB?sinC

∴
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积. …………（22分）
12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目
n
从小到大排序为：
n
1
，
n
2
，
n
3
，…，
不难 发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：
（1）
?
n
i
?
满足
n
i?1
?n
i
?n
i?1
；
（2）当
n?n
i
时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙 此时所取的火柴数目
?n
i?1
；
（3）当
n
i
?n?n
i?1
时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目
?n
i
.
……………………………………（10分）
设
k?n?n
i
（
i?4
），注意到
n
i?2
?
当
1? k?
当
n
i
?n
i?1
.
2
n
i
时，甲第一次时可取
k
根火柴，剩余
n
i
?2k
根火柴，乙无法获胜.
2
n
i
?k?n
i?1
时，
n
i?2
?k?n
i?1
，根据归纳假设，甲可以取到第
k
根火柴，并且甲此
2
时所取的火柴数目
?n
i?2
，剩余
n
i
?2n
i?2
根火柴，乙无法获胜.
当
k?n
i?1
时，设甲第一次时取走
m
根火柴，若
m?k
，则乙可取走所 有剩小的火柴；
若
m?k
，则根据归纳假设，乙总可以取到第
k
根火 柴，并且乙此时所取的火柴数目
?n
i?2
，
剩余
n
i?2n
i?2
根火柴，甲无法获胜.
综上可知，
n
i?1
?n
i
?n
i?1
.
因为100不在数列
?
n
i
?
，所以当
n?100
时，甲有获胜策略. …………（22分）
2011解答
1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413. 5.
第
22
页
17
. 6.
6ar?4πr
2
.
4

7.
3
z?z
. 8. .
(n?1)(n?3)
1?zz
9．
a
n
?1?
a
1
??a
n?2
a
?a
n?1
?
n? 2

44
?
1

n?1
2
?a
n
?
a
n?1
1
?
a
?
?
?
a
n?1
?
n?2
?
?
22
?
2
?
?2
n?1
a
n
?2
n?2
a
n?1
?1???n?a
n
?
n
2
n?1
.
2
10．设
a
k
的最小素因子
p
k
，因为
a
k
不是素数，所以
a
k
?p
k
. 于是
n
11
?
??
2
k?1
a
k
k?1
p
k
n
1
n
1
??
?
4
k?2
(2k?1)
2
?
11
?
?
4
k?2(2k?1)
2
?1
111
???
24n2
n

?
f(0)?c
?
?
11．由
?
f(1)?a?b ?c
?
ab
1
f()???c
3
?
333
?
可知
2b?33f(
1
3
)?f(1)?(33?1)f(0)?33

f(x)?
3
2
3
(x?x
3
)
满足题设 ，
b
的最大可能值为
3
2
3
.
12．设
D(x
1
,y
1
)，E(x
2
,y
2
)， P(x,y)
，直线
CD
的方程
y?k(x?2)
，则
x
2
?k
2
(x?2)
2
?1
，所以 < br>?4k
2
1?4k
2
5
x
1
?x
2
?，xx????1?(x
1
?x
2
)
，
①
12
1?k
2
1?k
2
4
y
1
y
(x?1)?y?
2
(x?1)
，
x
1
?1x
2
?1
所以
y
2
y x
2
?2x
1
?2
?
1
?
x
2< br>?1x
1
?1x
2
?1x
1
?12x
1x
2
?3x
1
?x
2
x???
。
y
2
y
1
x
2
?2x
1
?2
3x? x?4
21
??
x
2
?1x
1
?1x
2< br>?1x
1
?1
第
23
页

把①代入上式，得
x?

1
.
2
2012年安徽高中数学竞赛初赛试题


第
24
页

第
25
页