2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式

2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式
高中数学竞赛选讲——凸函数与琴生不等式
作者 阿道夫 2012.10.12
1.定 义
：
设
f(x)
在区间
I
上有定义,如果对任意
x
1
,x
2
?I
和实数
?
?(0,1)
总有
f(
?
x
1
?(1?
?
)x
2
) ?
?
f(x
1
)?(1?
?
)f(x
2
)
(1)
成立，则称
f(x)在
区间
I
上为下凸函数。如果
x
1
?x
2
，（1）式严格不等式 成立，则称
f(x)
在间区
I
上
为严格下凸函数。若（1）式中不等 号反向，则称
f(x)
在区间
I
上为上凸函数。
1）.从图像上认识、理解，几何意义。弦的中点总在曲线上或一侧。
凹函数的
形状
特征是：其函数曲线任意两点
A
1
与
A
2
之间的部 分位于弦
A
1
A
2
的下方;
凸函数的
形状
特征是：其函数曲线任意两点
A
1
与
A
2
之间的部分位于 弦
A
1
A
2
的上方。
简记为：形状凹下凸

2）.从导数的角度来理解。
凹函数的
切线斜率
特征是：切线的斜率y=< br>f(x)
随x增大而增大；
凸函数的
切线斜率
特征是：切线的斜率y =
f(x)
随x增大而减小；
简记为：斜率凹增凸减。


3）.正项函数的变形。
f(x
1
)f(x
2
)
?
f(x
n
)?f(
奥数教程中的练习题3.
4）.琴生不等式：(琴生（ Jensen）不等式)若
f
为
[a,b]
上凸函数，则对任意
x
1
?x
2
?
?
?x
n
)
（取对数的结果） ….
n
?
n
?
n
x
i
?[a,b],
?
i
?0(i?1,2,?,n),
?
?
i
?1,
有
f
?
?
?
i
x
i
?
?
?
?
i
f(x
i
).

i?1
?
i?1
?
i?1
n
证 应用数学归纳法 ，当
n?2
时，由定义1命题显然成立，设
n?k
时命题成立，即对任
意
x
1
,x
2
,?,x
k
?[a,b]
及
?
i
?0,i?1,2,?,k,
?
?
i?1
k
i
?1
，都有
?
k
?
k
f
?< br>?
?
i
x
i
?
?
?
?
i< br>f(x
i
).

?
i?1
?
i?1
现设
x
1
,x
2
,
?
,x
k
,x
k?1
?[a,b]
及
1 7

2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式
?
i
?0( i?1,2,?,k?1),
?
?
i
?1

i?1
k
?
i
,i
?
1,2,
?
,k,
则
?
?
i
?1
由数学归纳法假设可推得 令
?
i
?
1?
?
k?1
i?1
k?1
f(
?
1x
1
?
?
2
x
2
???
?
k
x
k
?
?
k?1
x
k?1
)

=
f
?
?
(1?
?
k?1
)
?
?
?
?
1
x
1
?
?
2
x
2
?
?
?
?
k
x
k

?
?
k?1
x
k?1
?
?
1?
?
k?1
?
?(1?
?
k?1< br>)f(
?
1
x
1
?
?
2
x
2
???
?
k
x
k
)?
?
k?1
f(x
k?1
)

?(1?
?
k?1
)
?
?
1
f(x
1
)?
?
2
f(x
2
)???
?
k
f(x
k
)
?
?
?
k?1
f(x
k?1
)

?
?
1
?
?
k
?
2
?(1?
?
k?1
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)???f(x
k
)?

1?
?
k?1
1?
?
k?1
?< br>1?
?
k?1
?
?
?
k?1
f(x
k?1
)?
?
?
i
f(x
i
)
。
i?1
k?1
这就证明了对任何正整数
n(?2)
，凸函数
f总有不等式成立。 □
2.

理论补充：

引理

f
为
I
上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点
x
1
?x
2
?x
3
，总有
f(x
2
)?f( x
1
)
f(x
3
)?f(x
2
)
?
（3）
x
2
?x
1
x
3
?x
2

(分析) 必要性 要证(3)式成立, 需证
(x
3
?x
2< br>)f(x
2
)?(x
2
?x
1
)f(x
2< br>)?(x
3
?x
2
)f(x
1
)
?(x2
?x
1
)f(x
3
)

即.
(x
3
?x
1
)f(x
2
)?(x
3
?x2
)f(x
1
)?(x
2
?x
1
)f(x3
),

2 7

2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式
记
?
?x
3
?x
2
，则
x
2
?
?
x
1
?(1?
?
)x
3
，由
f
的凸性易知上 式成立.
x
3
?x
1
I上任取两点
x
1
,x
3
(x
1
?x
3
),
在
[x
1
,x
3
]
上任取一点充分性 在
x
2
??
x
1
?(1?
?
)
·
x
3
,
?
?(0,1),
即
?
?
x
3
?x2
，由必要性的推导逆过程，可证得
x
3
?x
1
f(
?
x
1
?(1?
?
)x
3
)?
?
f(x
1
)?(1?
?
)f(x
3
)
,
故
f
为
I
上的凸函数。 □
注 同理可证，
f
为
I
上的凸函数的充要条件是：对于
I
上任意三点
x
1
?x
2
?x
3
，有

f(x
2
)?f(x
1
)
f(x
3
)?f(x
1
)f(x
3
)?f(x< br>2
)
??
（4）
x
2
?x1
x
3
?x
1
x
3
?x
2
定 理1.
设
f
为区间
I
上的可导函数，则下述论断互相等价：
1
?

f
为I上凸函数；
2
?

f'
为I上的增函数；
3
?
对I上的任意两点
x
1
,x
2
，有

f(x
2
)?f(x
1
)?f'(x
1
)(x2
?x
1
)
（5）
(分析)
(1?2)
要证
f'
为I上的递增函数, 只需任取
I
上两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
及充
分小的正数
h
，证明
??
f(x
1)?f(x
1
?h)f(x
2
?h)?f(x
2
)?
成立,
hh
由
f
是可导函数，令
h?0
时便可得结论.
由于
x
1
?h?x
1
?x
2
?x
2
?h
，根据
f
的凸性及引理有
?
3 7

2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式
f(x
1
) ?f(x
1
?h)f(x
2
)?f(x
1
)f(x
2
?h)?f(x
2
)
??
.
hx
2
? x
1
h
(2
?
?3
?
)
在以
x< br>1
,x
2
(x
1
?x
2
)
为端点的 区间上，应用拉格朗日中值定理和
f'
递增条件，有
f(x
2
)? f(x
1
)?f'(
?
)(x
2
?x
1
) ?f'(x
1
)(x
2
?x
1
)

移项后 即得（5）式成立，且当
x
1
?x
2
时仍可得到相同结论
(3
?
?1
?
)
设以
x
1
,x
2
为I上任意两点，
x
3
?
?
x
1
?(1?
?
)x
2
,0?
?
?1
。由
3
?
，并利用
x
1
?x
3
?(1?
?
)(x< br>1
?x
2
)
与
x
2
?x
3
?
?
(x
2
?x
1
)
，
f(x
1
)?f(x
3
)?f'(x
3
)(x
1
?x3
)?f(x
3
)?(1?
?
)f'(x
3
) (x
1
?x
2
)
，
f(x
2
)?f(x
3
)?f'(x
3
)(x
2
?x
3
)?f (x
3
)?
?
f'(x
3
)(x
2
?x< br>1
)

分别用
?
和
1?
?
乘上列两式并相加，便得
?
f(x
1
)?(1?
?
)f(x
2
)? f(x
3
)?f(
?
x
1
?(1?
?
)x
2
)

从而
f
为I上的凸函数。
?

注1 论断
3
的几何意义是： 曲线
y?f(x)
总是在它的任一切线的上方（图6-14）。这是可
导凸函数的几何 特征。
定理2
设
f
为区间I上的二阶可导函数，则在I上
f
为凸（凹）函数的充要条件是
f
??
(x)?0(f
??
(x)?0),x?I.




3.
例题选讲：
4 7

2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式
1.若函数y?sinx在区间(0,
?
)上是凸函数，那么在?ABC中，

sinA?sinB?sinC的最大值为

2.若a
1
,a
2
,
?
a
n
是一组实数，且a
1
?a
2
?
?
?a
n
?k(k为定值)，试求：a
1
?a< br>2
?
?
?a
n
的
最小值
分析：
?< br>f(x)?x
2
在(??,??)上是凸函数
a
1
?a
2
?
?
?a
n
2
k
2
1
222
?(a
1
?a
2
?
?
?a
n
)? ()?
2
nn
n
k
2
222
?a
1
?a
2
?
?
?a
n
?
n
当且仅当a1
?a
2
?
?
?a
n
时，取等号



222
3.已知x
i
?0,(i?1,2,
?
,n)，n?2,x
1
?x
2
?
?
?x
n
?1，

111
求证：(1?)
n
?(1?)
n< br>?
?
?(1?)
n
?n(n?1)
n
x
1< br>x
2
x
n





< br>1111111
证：?[(1?)
n
?(1?)
n
???(1 ?)
n
]?
n
(1?)
n
(1?)
n
?( 1?)
n
nx
1
x
2
x
n
x
1< br>x
2
x
n
11

b
n
n
b
1
b
2
b
1
b
2
b
n
n
(
利用结论：
[(1
?
)(1
?
)
?(1
?
)]
?
1
?
(
?
));

a
1
a
2
a
n
a
1
a
2
a
n






1
1
1
1
1
1
n
1
1
n
1?(?
?
[(1??(1??)
n
?1?
[(1?
)(1
)(1?
)
?
)
?
(1?
)]
)]?1?n
x
1
x
1
x
2
x
2
x
n
x
n
x
1
x
2
?
x
n
111
n
x
1
x
2
?
x
n
11< br>x
1
?x
2
?
1
?
?x
n
1
n
?(1?)(1?)
?
(1?)?(n?1)
n
又?
x
1
x
2
?
x
n
??
x< br>1
x
2
x
n
n
n
111
(1?)< br>n
?(1?)
n
?
?
?(1?)
n
?n(n ?1)
n

x
1
x
2
x
n







5 7

2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式
4.若P为?ABC内任一点 ，求证?PAB、?PBC、?PCA中至少有一个小于或等于30?；
证：设?PAB?
?< br>、?PBC?
?
、?PCA?
?
，且?PAC?
?
' 、?PBA?
?
'、?PCB?
?
';
PAsin
?
?PBsin
?
'
?
?
依正弦定理有：PBsin
??PCsin
?
'
?
?sin
?
sin
?sin
?
?sin
?
'sin
?
'sin
?< br>'
PCsin
?
?PAsin
?
'
?
??(sin
?
sin
?
sin
?
)
2
?sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
' sin
?
'sin
?
'


sin
??sin
?
?sin
?
?sin
?
'?sin
?
'?sin
?
'
6
)
6
?
?
?
?
?
?
?
'?
?
'?
?
'1?sin
6
()?()
6
62
1
?sin
?< br>sin
?
sin
?
?()
3
2
1
? 在
?
、
?
、
?
,中必有一个角满足sin
?
?
2
?
?
?30?,否则
?
?150?时，
?< br>、
?
中必有一个满足
?
?30?
?(

5.证明 ：
(x?y)ln(
x?y
)?xlnx?ylny(x?1,y?1)
.
2
证明
：
构造函数

则
f(t)?tlnt,t?1
，则
f(t)f
??
(t )?(f
?
(t))
2
??(ln
2
t?lnt?1)?0
.
f(t)?tlnt,t?1
为对数性上凸函数，则
xyx?y
(?)ln()?[(xlnx)(ylny)]
2

222
1
而

[(xlnx)(ylny)]?
1
2
xlnx?ylny

2
故

(
xyx?yxy
?)ln()?lnx?lny

22222
xl?nyy

ln
x?y
(x?y)ln(?)x
即

2

6 7

2012高中数学竞赛——凸函数和琴生不等式
6.
证明不等式
(abc)
证 设
a?b?c
3
?a
a
b
b
c
c
，其中，
a,b,c
均 为正数。
f(x)?xlnx,x?0.
由
f(x)
的一阶和二阶导数
f
??
(x)?
1

x
f'(x)?lnx?1,
可见，
f(x)?xlnx,x?0.
时为严格凸函数，依詹森不等式有
?
a?b?c
?
1
f
??
?(f(a)?f(b)?f(c) ),

3
??
3
从而
a?b?ca?b?c1
ln?(alna?blnb?clnc),

333
即
?
a?b?c
?
??
3
??< br>3
a?b?c
?a
a
b
b
c
c
< br>a?b?c
3
a?b?c
,
所以
(abc)
又因abc?
3
7.奥数教程中的补例1
8. 奥数教程中的补例8
9. 奥数教程中的练习题2

补充练习：
?a
a
b
b
c
c

1.
若
x
i
?R(1?i?n),
?
x
i
?1
，求证：
(x
1
?
?
i?1
n
1111
)(x2
?)
?
(x
n
?)?(n?)
n
;

x
1
x
2
x
n
n
2.已知x?0,y?0 ,x
2
?y
2
?1，求证:x
3
?y
3
? 2xy;

3
3.A、B、C为?ABC的三个内角，求证：cosA?cosB?cosC?;

2

7 7