山东省高中数学夏令营数学竞赛(及答案)

山东省2012届高中数学夏令营
数学竞赛（及答案）

一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)
1.函数
f(x)?1? 2x?3?2x
的最大值是
________________
。

(王泽
阳 供题)
解:
f(x)?1?2x?3?2x?22
,其 等号仅当
1?2x?3?2x
即
x?
1
时成立,

2
所以,f(x)
最大
=
22
.
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将
所有吉祥数从小到大排 成一列a
1
,a
2
,…,a
n
.若a
n
= 2012.则n=
_______________
.
(王继忠 供题)
解:设
x
1
x
2
得
(x
1
-1 )+x
2
+…+x
m
=4,所以,
x
1
x
2
个吉祥数.
由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共
C
54
?5
个,三位吉祥数共
C
6
4
?15
个,
x
m
为第
C
m?3
个吉祥数.
1x
24
x
m
为吉祥数,则x
1
+x
2
+…+xm
=5,由x
1
≥1和x
2
,…,x
m
≥0< br>x
m
为第
C
m?2
4
因以1为首位的四位吉祥数共< br>C
6
4
?15
个,以2为首位的前两个四
位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.

3.已知f(x)是 2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,
f(n)?
n
.
n?1
则f(2012)=
______
。 (王
林
1 6

供
题)
解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012
个根,
设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故
a?
1
,
2012!
f(x )?
x(x?1)(x?2)(x?2011)x
?
2012!(x?1)x?1,
f(2012)?
2012!20122013
???1
.
2012!2
4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依
逆时针方向, 第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2
个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间 隔将到达的那个点染
红.一直进行下去,可得到
_________
个红点. (龚红戈 供题)
解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1
步染 红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.
故共可得3个红点.
5. 如图，设
O
,
I
分别为
?ABC
的外心、内心，且
?B?60
，
AB
＞
BC
，
?A
的外角平分线交⊙
O
于
D
，已知
AD?18
,则
OI?
__ ___________
. (李耀
文 供题)
解: 连接
BI
并延长交⊙
O
于
E
,则
E
为弧
AC
的中点 .连
D
A
E
O
OE
、
AE
、< br>CE
、
OC
，由
?B?60
，易知
?AOE
、
?COE
均为
I
B
F
C
正三角形.由内心的性质得知：
AE?IE?CE
,所以
2 6

A
、
O
、
I
、
C
四点共圆,且圆 心为
E
.再延长
AI
交⊙
O
于
F
, 由题设知
D
、
O
、
F
共线，于是
?OEI?2 ?OAI
,
?AOD?2?AFD?2?OAI
,
又
OA?OD?OE?IE
, 从而
?OAD
≌
?EOI
, 故
OI?AD?18
.
二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)
6.证明:对任给的奇素数p ,总存在无穷多个正整数n使得
p|(n2
n
-1).
(陈永
高 供题)
证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知
2
(p?1)k
? 1(modp)
,所以,
p|(n2
n
-1)
?(p?1)k? 2
(p?1)k
?1(modp)?(p?1)k?1(modp)?k??1(modp)< br>.
取k=pr-1(r∈N
*
),即n=(p-1)(pr-1),就有(p?1)k?2
(p?1)k
?1(modp)
即p|(n2
n
-1).
7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，
延长DP交 AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。求证：GE⊥GF.
G
(叶中豪 供题)
证法1:设CG交AD于Q,由∠GBA＝∠GDA及
A
F
Q
P
E
D
∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG。延长DF、CB
R
交于R，由AD∥BR, AD=BC
AFBC
?
得①
FBBR
B
C
BCQE
?
又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得②
BRED
3 6

由①,②得
得
AFQE
?
,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点,故
FBED
△FBG∽△ED G.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=90
0
,
即GE⊥GF.
证法2:联结GB,GD,令∠GCB=
?
,∠GCD=
?
,
GBsin
?
BPsin?PBC
??
由正弦定理得:
GDsin
?
DPsin?PDC
A
F
B
G
Q
P
E
D
BFsin?BFPsin?PBCBF
???
,
DEsin?DEPsin?PDCDE
β

α

C
由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.
所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=90
0
,即GE⊥GF.
8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A
1
,A
2
,…,A
10
满
足:
(1)|A
i
|=36,i=1,2,…,10。
(2)A
1
∪A
2
∪…∪A
10
=A。
(3)|A
i
∩A
j
|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕文
供题)
解:答案:存在.
3
考虑长度为10的0,1数列.其 中仅3项为1的恰有
C
10
?120
个,
每个作为集合A的一个元素 .
2
对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有
C
9?36
个,它
们是集合A
j
的36个元素.对每对i,j∈{1,2,… ,10}(i1
第j项均为1的0,1数列恰有
C
8
?8
个,它们是A
i
∩A
j
的元素.
4 6

综上知,存在满足条件的10个子集.
9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可
以割并成
(邹 明 供题)
解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别
为1,2,…, n的正方形
?
1
2
+2
2
+…+n
2
=n m
2
,即6m
2
=(n+1)(2n+1),
则(n+1)(2n+1)=2n
2
+3n+1≡0(mod6),
由n
2
≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).
若6|n+1,设n=6k-1(k∈N),得m
2
=k(12k-1),
因(k,12k-1)=1,所以k与12k-1都是完全平方数,但12k-1≡3 (mod4)
矛盾!
若6|n-1,设n=6k+1(k∈N),得m
2
= (3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,
所以,
3k+1=v
2
,4k+1=u
2
,消去k得4v
2
-3u
2
= 1,v=u=1时,k=0,n=1,但n≥2,故
u>1,v>1.
由4v
2
-3u
2
≡1(mod8)知u,v为奇数,
直接计算得u
min
=15,v
min
=13,k=56,所以,
m
最小
=15×13=195,n
最小
=337.
10. 设实系数三次多项式
p(x)?x
3
?ax
2
?bx?c
有 三个非零实数
根.
求证:
6a?10(a?2b)?12ab?27c
. (李胜
宏 供题)
5 6
32
3
2
n个边长分别为1,2,…,n的正方形.

证明:设
?
,
?
,
?
为p(x)= 0的三个根,由根与系数关系
?
?
?
?
?
?
?? a
?
?
??
?
??
?
??
?b
得 :
?
???
??c
?
22
a
2
?2b?
?
2
?
?
2
?
?
2
.原式
?6a(a?2b)?10(a?2b)?27c

3
2
2
32
?6(
?
?
?
?
?
)(
?
2
?
?
2
?
?
2
)?10(
?
2
?
?
2
?
?
)?27
???
①.
222
若
?
?
?
?
?
?0
,则①成立.
222
若
?
?
?
?
?
?0
,不妨 设
|
?
|?|
?
|?|
?
|
,由①的齐次 性,不妨设
?
2
?
?
2
?
?
2
?9
,则
?
2
?3
,
2
??
?
?
2
?
?
2
?9?
?
2
?6
. < br>①
?2(
?
?
?
?
?
)?
???< br>?10
.因
[2(
?
?
?
?
?
) ?
???
]
2
?[2(
?
?
?
)?(2?
??
)
?
]
2
?[4?(2?
??
)2
][(
?
?
?
)
2
?
?
2
]
?[8?4
??
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??
)
2
](9? 2
??
)?2(
??
)
3
?(
??
)2
?20(
??
)?72

?(
??
?2)< br>2
(2
??
?7)?100?100
,所以,
2(
?
?
?
?
?
)?
???
?10
.故
原式成立.


6 6