唐一良--平面几何

2012年高中数学竞赛——平面几何攻略
2012年高中数学竞赛——平面几何攻略
江苏省扬州中学 唐一良
第一部分【几个著名定理】
例1．以△ABC的底边B C为直径作半圆，分别与AB、AC交于点D和E，分别过D、E作
BC的垂线，垂足依次为F、G，线 段DG和EF交于点M，求证：
AM⊥BC（IMO-37国家队选拔题）
A

例2. 如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠
M
BAE=∠ CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE
交三角形ABC的外接圆于D．证明： 四边形AMDN与三角形ABC
N
的面积相等．
B
C
E F


D
例3.求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于 一点，且由该点向四条
直线所作垂线的垂足在一条直线上；

例4．若两个三角形的对 应顶点的连线交于一点，则对应边所在的直线交点必共线。（笛沙
格定理）
第二部分【三角形五心研究】
例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于 M；引PN∥BA交AC于N.作点P
关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.

例2．设圆O是△ABC的内切圆，BC，CA，AB上的切点各是D，E，F，射线DO交 EF于
A?，同样可得B?，C?，试证：直线AA?，BB?，CC?共点。

例 3．设△ABC的三条高线为AD，BE，CF，自A，B，C分别作AK
?
EF于K，BL< br>?
DF于
L，CN
?
ED于N，证明：直线AK，BL，CN相交于一 点。

例4．在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线AD交△ABC 的外接圆于K，△ABC
的外心，内心分别是O，I，求证：OI
?
AK。

例5．设点M是△ABC的边BC的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与
AH的交点，求证：AE等于内切圆半径r。
例6．设圆O是△ABC的BC边外侧的旁切圆，D，E ，F分别是圆O与BC，CA，AB所在
直线的切点，若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC。
例7．在
?ABC
中，
?A?60
0
，AB>AC，点O是 外心，两条高BE，CF交于H点，
点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN，求

MH?NH
的值。
OH
第三部分【圆的研究】
例1．(Eule r定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则
d
2
=R
2
-2Rr．(1992年江苏省数学竞赛)
- 1 -

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例2. 设点P是⊙O外一点，P AB，PCD是两条割线，AD，BC
交于点Q，延长BD，AC交于点R，求证：
PQ
2
=P的幂+Q的
幂；
PR
2
=P的幂+R的幂.

A
P
C
Q


R

D
B

【两个典型模型】：⊙O的内接四边形ABCD中，AB，DC延长后 交于点E，AD，BC延长
后交于点F，AC，BD交于点P（不与O重合），证明：OP⊥EF，并讨 论四边形ABCD是
圆外切四边形的情形。

A

A


O
M

O

P
B
D
P
B

D
N

C
C
E

E
F
F
A

例 3.设D，E是?ABC中AB，AC上的点，求证：以BE和CD为直径的
两圆的根轴必通过?ABC 的垂心。
E
D


O
1
O
2

B
C



例4.如图，已知两个半径不相等的⊙O
1
与⊙O
2
相交于M、N两点，且
⊙O
1
、⊙O
2
分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必
O
要条件是S、N、T三 点共线。（97年高中数学联赛试题）
M


O
2
O
1

N
T
例5．四边形ABCD内 接于圆，其边AB与DC延长交于点P，AD、BC
S
延长交于点Q，由Q作该圆的两条切线Q E、QF，切点分别为E
、
F
，
P
求证：P
、
E< br>、
F三点共线．(1997年中国数学奥林匹克）

第四部分【从调和点列到完全四边形到Apollonius圆到极线极点】
I
例1 如图，过圆O外一点P作其切线PA、PB，OP与圆和AB分
A
E
A
B别交于I、M，DE为过M的任意弦。求证：I为△PDE内心。（2001
F
M
年中国西部数学奥林匹克）
L
E
例2如图，△ABC中，AD⊥BC，H为AD上任 一点，则∠ADF=
O
D
H
- 2 -
B
D
C
K

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∠ADE（1994年加拿大数学奥林匹克试题）


例3如图，完全四边 形ABCDEF中，GJ⊥EF与J，则∠BJA=∠DJC（2002年中国国家集训
队选拔考试题）

例4.已知：△ABC内角平分线BE、CF交于I，过I做IQ⊥EF交BC于P，且IP =2IQ。求证：
∠BAC=60°

A
例5. P为圆O外一点，PA、 PB为圆O的两条切线。PCD为任意一条割
线，CF平行PA且交AB于E。求证：CE=EF（20 06国家集训队培训题）
B
G
D

C

例6.过 锐角
?ABC
的顶点A，B，C的三条高分别交对边于点D，E，F，
F
过点 D平行于EF的直线分别交AC，AB于点Q，R，直线EF
E
A
J
交BC于 点P，求证：
?
PQR的外接圆过BC的中点。
F


E
R

C
P
例7.在
?
ABC中，经过点 B，C的圆与边AC，AB的另一个交点分
B
D
Q
别为E，F，BE与CF交 于点P，AP与BC交于点D，M是边BC
A
的中点，D，M不重合，求证：D，M，E，F四 点共圆。


E
例8.凸四边形ABCD内接于⊙O，延长AB，DC交于 点E，延长BC，AD交
于点F，AC，BD交于点P，直线OP交EF于点G，求证：
?AG B??CGD

F
P

C
例9.以锐角
?
PAB的边AB为直径作半圆交PA于点E，交PB于点D，直线
B
DM
AB与ED交 于点Q，AD与BE交于点C，直线PC交AB于H，连OE，OD，
HE，HD，求证：
?O EH??ODH
??EQO

例10.如图，O、I分别为△ABC的外心和内心，A D是BC边上的高，I在线段
OD上。求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。(98 年全国高
中联赛试题)

第五部分【完全四边形】
例1. 在四边形AB CD中两条对角线交于点O，两组对边的延长线分别
交于点E，F，过O作EF的平行线交BC，AD于 I，J，求证：OI=OJ



- 3 -
A
OI
B
D
E
M
F
C
A
I
AB
M
O
I
C
J
D
N
F
EG

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例2.在四边形ABCD中 ，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，
延长DF交BC于G。求证：∠ GAC=∠EAC. (99年全国高中联赛试题)

A

例3．设凸四边 形的两组对边所在直线分别交于E，F两点，两对角线
的交点为P，过点P作
PO?EF
于O，求证：
?BOC??AOD
(2002
D
P
B
年国 家队选拔赛题)
C


E
F
O

A
例4.如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边
BC的中点）， D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，
O
直线CD与AB交于点M．求证：若 OK⊥MN，则A，B，D，C四
B
K
C
点共圆．（2010年全国高中数学 联赛）

D

N
M


D
< br>例5.如图，
P,Q
分别是圆内接四边形
ABCD
的对角线
A C,BD
的中点．若
A
（2011年全国高中数学联赛）
?BPA??DPA
，证明：
?AQB??CQB
．



第六部分【几个典型的问题】
一、证明四点共圆的基本方法：
(1)利用圆的定义——到同一个定点的距离相等；
(2)利用圆内接四边形性质定理的逆定理
——对角互补或外角等于它的内对角；
(3)利用圆周角定理的逆定理——线段的同侧张角相等；
(4)利用圆幂定理的逆定理——相交弦、切割线；
(5)利用托勒米定理的逆定理或西姆松定理的逆定理.
例1.在锐角三角形ABC中，以B C为直径作圆与BC边
上的高AD及其延长线交于M、N，以AB为直径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P、Q，求证：M、N、P、Q四点共圆.（美国1990）

二、证明三点共线的基本方法：
- 4 -
Q
P
C
B
D
C
D
C
A
B
?
D=
?
CBE
或
?
D+
?
ABC=180
0
D
A
P
B
C
PA
?
PB=PC
?
PD
E
A
B
?
ADB=
?
ACB
B
A
PC
PA
?
PB=PC
?
PD
D
Q
MA
P
B
N
C

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(1)利用“邻角互补”或对顶角定理的逆定理；
(2)利用同一法；
(3)利用特殊点、线的性质——如西姆松线；
(4)利用梅内劳斯定理的逆定理.；
(5)利用张角关系定理
——由P点出发的三条射线PA、PB、
PC,∠APB=α,∠BPC=β,
∠APC=α+β<180
0
.则A、B、C共线的充要
条件是
< br>例2.设P是⊿ABC的外接圆的BC弧上任意一点，D、E分别是弧AB、
弧AC的中点，PD 与AB交于F，PE与AC交于G，I是⊿ABC的内心
（如图）.求证：F、I、G三点共线. B
D
F
M
I
D
AC
B
?
BA D+
?
DAC=180
0
?
BCD共线
N
B
M
?
BCM=
?
DCN且MCN
共线
?
BCD共 线
C
D
P
A
B
C
A、B、C共线的充要条件
sin(
?
+
?
)sin
?
sin
?
= +
PBPCPA
sin(
?
?
?
)
sin
?
sin
?
=+.
PB
PC
PA
A
K< br>G
C
P
E



三、证明三线共点的基本方法：
(1)证明三条直线通过某个特殊点；
(2)证明某条直线通过另两条直线的交点；
(3)转化为三点共线证明；
(4)利用塞瓦定理的逆定理或西姆松定理.
例3． AB是半圆O的直径，过A、B引弦A C和BD，并过C、D引圆O的切线交于点P，
过P作PE⊥AB于E，则AC、BD、PE三线共点.

四、与圆有关的问题
与圆有关的问题常借助全等、相似、比例线段以及与圆有关的 性质——圆周角、圆心角、
弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理等.
例4．⊙O过 △ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC
外接圆和△BKN外接圆相 交于B和M.求证：∠BMO=90°. (第26届IMO第五
题)


- 5 -
A
K
B
M
N
G
O
C

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第七部分 【最近研究与进展】
例1.已知：D是
?ABC
边BC上一点，
?DAC??ABD
，⊙ O
A
过点B，D，分别交AB，AD 于点E，F，直线BF交DE于
E
M< br>点G，M是AG的中点，求证：
CM?AO

F
C
（2009年国家集训队选拔考试题）
G

D
O

B






A

O
1
例2.在锐角
?ABC
中，AB>AC， M是边BC的中点，P是
?AMC
内一点，使得
?MAB
=
?PAC
，设
?ABC
，
?ABP
，
?ACP
O
2
OP
的外心分别为O，O
1
，O
2
，证明：直线AO平分线 段O
1
O
2

（2010年国家集训队选拔考试题）
B
C
M






B
A
例3.设⊙O
1
与⊙O
2
相交，P是其中一个交点，它们 的一条
外公切线切⊙O
1
与⊙O
2
于A，B，过A垂直于BP的直< br>P
线交O
1
O
2
于C，求证：AP
?
PC（ 2011年国家集训队选
O
2
C
O
1
拔考试题）








D

例 4.如图,锐角
?ABC
中,
?A?60
,
H
为
? ABC
的垂心,点
M
、
N
M
?
A
N
O
分别在边
AB
、
AC
上，
?HMB??HNC?60< br>,
O
为
?HMN
的外
心.点
D
与
A
在直线
BC
的同侧，使得
?DBC
为正三角形.证明：
B< br>H
、
O
、
D
三点共线. （2012年国家集训队选拔考试题）
?
H
C
- 6 -