生活中的数学校本课程

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《生活中的数学》校本课程
目录
第一讲：生活中的趣味数学
第二讲： 数学中的悖论
第三讲：对称——自然美的基础
第四讲：斐波那契数列
第五讲：龟背上的学问
第六讲：巧用数学看现实
第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题
第八讲：生活中的优化问题举例

第一讲：
生活中的趣味数学

1．“荡秋千”问题：
我国明朝数学 家程大位（1533～1606年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关
的数学问题是用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语大意 是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5
尺为一步），秋千的踏板就和 人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？
下面我们用勾股定理知识求出答案：
如图，设绳索AC=AD=x（尺），则AB=（x+1）-5（尺），BD=10（尺）
222222
在Rt△ABD中，由勾股定理得AB+BD=AD，即（x-4）+10=x，
解得x=14.5，即绳索长为14.5尺．
2．方程的应用：
小青去植物园春游 ，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。小青并不直接回答，却调皮地说：“我带出去的钱正
好花了一半， 剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。”爸爸踌躇一下，有些为难。
你能否帮助他把钱数算出来，小青到底带了多少钱？花了多少钱？还剩多少钱？
方法一：设带出去x元,y角.根据剩下的元数是带出去角数的一半知道y是偶数
花了的钱分x为奇数与偶数情况
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（1）x是奇数时候,花一半就是花了=剩下=(x-1)2元,(y2+5)角
根据后面两句话知道,剩下=y2元,x角
有二元一次方程组:(x-1)2=y2,y2+5=x 解得x=9,y=8
（2）x是偶数时候,花一半就是花了=剩下=x2元,(y2+5)角
剩下的同上面情况
有二元一次方程组:x2=y2,y2+5=x 解得x=y=10 但是没有10角钱说法 不符合实际（舍）
∴答案是9元8角
方法二：设带出去X元Y角，还剩a元b角
按照用掉一半还剩一半的等式：
10a + b = ( 10x + y) 2
又因为： a = y 2
b = x
带入等式化简即可得：x y = 9 8
因为 y 只能是小于10的整数
所以，小青带了9元8角！用了4元9角，还剩4元9角！
3．工资的选择：
假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：
（A） 工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；
（B） 工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。
你选择哪一种方案？为什么？
答案：第二种方案要比第一种方案好得多
4．我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。
经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。 每间住了人的
客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。
问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？
答案：日租金360元。
虽然比客满 价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收
入； 扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润160* 80-40*80=9600元。 当然，所
谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。
第二讲 数学中的悖论
“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人 的直觉和日常经验相矛
盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论有点像魔术中的变戏 法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么
搞成的？”当把技巧 告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一
种十分有价 值的教学手段。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学” 知名于世。这就是说它
带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉 就是通过对bridge-crossing之
谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独 自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析
问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的 许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游
戏—生命是英国著名数学家康威发明的 。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论一览
1． 理发师悖论 （罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理
发的人 理发。试问：理发师给不给自己理发？
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如果理发师给自己 理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己
理发。这样， 理发师陷入了两难的境地。
2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、 连续以及部分和的知识，引发出以下著
名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟 在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能
够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1 000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100
米时，乌龟依然前于他10米……所 以，阿基里斯永远追不上乌龟。
3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门 尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的
每一句话都是谎话。”
如果这句话是真的，那么也 就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特
人所说的每一句话都是 谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真
话应是：所有 克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一 个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其
说！
4． 跟无限相关的悖论：
{1，2，3，4，5，…}是自然数集：
{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？

5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段D E(D点在AB
上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？
6． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；
如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；
如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； ……
如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；
7、“意外绞刑”悖论：“一名囚犯被法官告知将于周一到周五间的某一天被绞死。 法官并且声明说： 绞刑
的具体日期将是完全出人意料的。 这个囚犯非常聪明 (也许以前是逻辑学教授)， 他由此推断出他根本不会被绞
死，为什么？
他由此推断出绞刑一定不会安排在周五， 因为否则的话， 前四天一过他就知道绞刑的具体日期了， 但法官
说过具体日期会是完全出人意料的。 法官是不会撒谎的， 因此绞刑不可能在周五。 排除了周五， 就只剩下四天
了。 但是依据同样的推理， 周四也可以被排除掉，...， 以此类推， 最终每一天都可以排除掉。 于是他得出令
人欣慰的结论： 他根本不会被绞死。 可是到了周二法官却突然宣布执行绞刑， 大大出乎了他的意料！ 而这， 恰
恰证明法官的确没有撒谎。”
1、小丁和小明、小红三 个小朋友并排在有灰尘的楼梯上同时从顶上向下走。小明一步下2阶，小红一步下3
阶，小丁一步下4阶 ，如果楼顶和楼底均有所有三个人的脚印，那么仅有一个人脚印的楼梯最少有几级？
2、偶数的难题
在很久以前，一个年迈的国王要为自己的独生公主选女婿，一时应者如云。国王于是想出了比武招亲的办 法。
经过文试、武试，三个英俊的小伙子成为最后的人选。要从这三个难分高下的小伙子中选出一个女婿 来，可真难为
了国王。他绞尽脑汁想出了一个方法。国王命人拿出一个4*4的方格，将16枚棋子依次 放在16个方格中。国王对
三个小伙子说：“现在你们从这１６枚棋子中随便拿去６个，但要保证纵、横 行列中留下的都是偶数枚棋子。这三
个小伙子犯难了，最后，其中一个小伙子终于解开了这道难题，迎娶 了公主。请问这个小伙子是怎样解开这道难题
的？

第三讲： 对称——自然美的基础
在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美 匀称的例子。它
们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝
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壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子 的螺旋状颁都令我们惊讶。
仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表 现形式，是大自然形式
的基础。

花朵具有旋转对 称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，
花朵就自相重合。旋转时 达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72°，
水仙花为60°。“对称 ”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），
辐射对称（放射虫，太阳 虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又
万变不离其宗（六角星）。既 是中心对称，又是轴对称。

很多植物是螺旋对称的， 即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例如树
叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方 伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶
序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形 排列是叶序的另一种表现形式。
“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在 古典童话故事中，奇妙的
宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向世人 炫耀，保持永久不衰
的魅力。
第四讲： 斐波那契数列
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（1）细察下列各种 花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大
波斯菊、金凤花、耧斗菜、百 合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
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斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、
飞燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盏草
21………………………紫宛
34，55，84……………雏菊
（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。 例如，在树木的枝干上选一片叶子，
记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息 叶子正对的位置，则其间的叶子
数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循 回。叶子在一个循回中旋转
的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（ 源自希腊词，意即叶子
的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

（4） 斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形
走向的数目之中 。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？
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（5）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我 们可以去数一下它表面上六角形
鳞片所形成的螺旋线数。

斐波那契数列与黄金比值
相继的斐波那契数的比的数列：


它们交错地或大于或小于黄金 比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现
象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等 角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
第五讲： 龟背上的学问
传说大禹治水时 ，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上
清晰刻着图1所示的一个 数字方阵。
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这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立
千僵，千十相望，万百相当。六不积算，五不单张。”可译成现代的数字，如图2所示。

方阵包括了九个数字，每一行一与列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相同的性质。当时，人们以为是天神相助，治水有望了。后来，人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”(国外称为“拉丁方”)，< br>属于组合数学范畴。使用整数1—9构成的3×3阶“拉丁方”唯一可能的和数是15，这一点只要把这< br>“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把这几个数分配到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和，那么，每行(或列)的和应为45／3＝150
组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。
5名待业青年，有7项可 供他们挑选的工作，他们是否能找到自己合适的工作呢?由于每个人的文
化水平、兴趣爱好及性别等原因 ，每个人只能从七项工作中挑选某些工种，也就是说每个人都有一张
志愿表，最后根据需求和志愿找到一 个合适的工作。
组合数学把每一种分配方案叫一种安排。当然第一个问题是考虑安排的存在性，这就 是存在问
题；第二个问题是有多少种安排方法，这就是计数问题。接下去要考虑在众多的安排中选择一种 最好
的方案，这就是所谓的“最优化问题”。
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存在 问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内容。如果你想了解更多
的组合数学问 题，那就要博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。
第六讲：巧用数学看现实
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？
在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖 10000元 1名，一等奖1000元 2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给销费者的实惠大？

面对问题我们并不能一目了然 。于是我们首先作了一个随机调查。把全组的16名学员作为调查
对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢 去乙家，还有两人则认为去两家都可以。调查结果表明：甲商
厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢 ？在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽
奖的人数都没有限制。所以我们认为这个问题应 该有几种答案。
一、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋2 00=213人）人，人们
会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。
二、 若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。因为甲商厦提供的优惠金
额是固定的， 共 14000元（10000＋ 2000＋ 1000＋1000=14000）。假设两商厦提供的优惠都 是14000
元，则可求乙商厦的营业额为 280000元（ 14000 ÷ 5％=280000）。
所以由此可得：
（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。
（2）当两商厦的营业额都不足 280000元时，乙商厦的优惠则小于 14000元，所以这时甲商厦
提供的优惠仍是 14000元，优惠较大。
（3）当两 家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保
.

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持14000元时，乙商厦所提供的实惠大。
像这样的问题 ，我们在日常生活中随处可见。例如，有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量
相同，开始定的价也相 同。为了争取更多的用户，两站分别推出优惠政策。甲站的办法是实行七五折
错售，乙站的办法是对客户 自第二次换气以后以7折销售。两站的优惠期限都是一年。你作为用户，
应该选哪家好？
这个问题与前面的问题有很大相同之处。只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可
迎刃而解 了。
随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩。买与卖，存款与保险 ，
股票与债券，……都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利比和比例，利息与< br>利率，统计与概率。运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。作为跨
世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题．这
样才能更好地适应社会的发展和需要。
看票价问题：
某音乐厅五月决定在暑假期间举办学生 专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的
若提前购票，则给予不同程度的优惠。 在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的
2
。
3
3
；零售票 每张16元，共
5
售出零售票的一半。如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六 月份内售出全部余票，那么零售票应
按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
解析 ：本题中数量较多，关系复杂，为了便于弄清它们之间的关系首先要分别列出五、六月份售出的团体票、
零售票的张数及票款的代数式。设总票数为
a
张，六月份零售票应按每张
x
元 定价，则五月份团体票售出数为：
322224
?a?a
，票款收入为：
12 ?a?a
（元）
53355
11118
零售票售出数为：
?
a
?
a
，票款收入为：
16?a?a
（元）
2366 3
224464
六月份团体票所剩票数为：
?
a
?
a
，票款收入为：
16?a?a
（元）
53151515
11111零售票所剩票数为：
?
a
?
a
，票款收入为：
a?x? ax
（元）
23666
248241
a
?
a
?
a
?
ax

根据题意，得
53156
解之，得：
x?19.2

答：六月份零售票应按每张19.2元定价

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第七讲 运用数学函数方程解决生活中的问题
以现实社会的生产、生活问题为背 景的数学应用题愈来愈受到关注。由于这类问题涉及的背景材料十分广泛，
涉及社会生活方方面面，所以 要求解题者具有丰富的社会常识和较强的阅读理解能力，再加之有些题目中名词、术
语专业性太强，使许 多同学望而生畏。为此，本文就列一元一次方程解决生活中的一些数学问题举几例进行解析，
供同学们参 考。
一、纳税问题
例1 依法纳税是公民应尽的义务。根据我国税法规定，公民全月工资 、薪金所得不超过929元不必纳税，超
过929元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计 算：

全月应纳税所得额 税率

不超过500元部分 5％

超过500元至2000元的部分 10％

超过2000元至5000元的部分 15％

…… ……


某人本月纳税150.1元。则他本月工资收入为 。
解析： 解答本题首先要弄清题意读懂图表，从中应理解税款是分段计算累加求和而得的。因为500×5％＜150.1
＜2000×10％，所以可以判断此人的全月纳税应按表中第一档和第二档累加计算。设此人的本月工 资为
x
元。根据
题意得：
500×5％＋（
x
－929－500）×10％=150.1
解得，
x
=2680
即此人的本月工资是2680元。
二、销售利润问题
例2 某企业生产一种产品，每件成本400元，销售价为510元，本 季度销售m件。为了进一步扩大市场，该
企业决定下季度销售价降低4％，预计销售量将提高10％。要 使销售利润（销售价－成本价）保持不变，该产品每
件的成本价应降低多少元？
解析：解答本 题的关键是要弄清降低、提高的百分数的含义。设该产品每件的成本价应降低
x
元，则每件降低
后的成本是（
400?x
）元，销售价为510（1－4％）元，根据题意得，
[510（1－4％）－（
400?x
）]（1+10％）m=（510-400）m
解之，得
x
=10.4
答：该产品每件得成本价应降低10.4元
三、方案设计问题
例3 某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取 利润500元；制成酸奶销售，每吨可
获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元 。该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；
制成奶片每天可加工1吨；但受人员限制，两种 加工方式不可同时进行，又受气温条件限制，这批牛奶必须在4天
内全部销售或加工完毕。为此，该厂设 计了两种可行性方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。
你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
解析：本题看似很复杂，限制条件较多，但如将此题 分解为分别求出方案一、方案二的总利润就很容易解答。
若选择方案一，总利润=4×2000+（9－4）×500=10500（元）
若选择方案 二，设4天内加工酸奶
x
吨，则加工奶片（9－
x
）吨，根据题意，得
x
?(9?x)?4
解之，得
x
=7.5
3
总利润1200×7.5+2000×1.5=12000（元）
.

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比较方案一、方案二所获得的总利润可知，选择方案二获利多。
四、节约用水问题
例4 （1）据《北京日报》报道：北京市人均水资源占有量只有300立 方米，仅是全国人均占有量的
界人均占有量的
1
，是世
8
1
。问全国人均水资源占有量是多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米？
32
（2） 北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂全年的产量。据不完全统计，全市至少有 6×10个水龙< br>5
头和2×10个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉
a
立 方米的水；一个漏水马桶，一个月漏掉
b
立方米水，那么一个月造成的水流失量至少多少立方米 （用含
a、b
的代数式表示）；
（3）水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫。针 对居民用水浪费现象，北京市制定居民用水新标准，规定
三口之家每月标准用水量，超标部分加价受费。 假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9
元，某三口之家某月用水12立方 米，交水费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家每月标准用水量为多
少立方米？
解析：（1）2400立方米、9600立方米
（2）
(6
?
10
a?
2
?
10
b
)
立方米
（3）由于12×1.3＜22，所以12立方米水中有超标部分。
设北京市规定三口之家每月标准用水量为
x
立方米，根据题意，得
1.3x?2.9(12?x)?22

解之，得
x
=8
答北京市规定三口之家每月标准用水量为8立方米，

五、与家长做的游戏：
54张扑克牌，两个人拿，每次只能拿1至4只，拿到最后1只的输，先拿的人怎么样拿才会赢？ 先拿3张，在以后的那牌中，都与对方凑5，即可获胜。这是一道凑数题，最大的数加最小的数等于要凑的数
（本题为1+4=5）。
总数凑的数=商…..余数（本题即545=10……4），有余数 必须先拿余数，然后和对方凑数。（如果没有余数就
让对方先拿，然后和对方凑数）


55
5
第八讲：生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利 润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我
们知道，导数是 求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
问题1:面积问题
例1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张 如图所示的竖向张贴的海报，要求版心
2
面积为 128 dm，上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？

解：设版心的高为x dm，则版心的宽为
此时四周空白面积为
S
?
x
?
?
?
x?4
?
?
求导数，得
S
?
x
?
?2?
,
dm
512
?
128
?
?2
?
—128?2x??
8
，
x
?
0

xx
??
512

x< br>2
令
S
?
x
?
?2?
,
512?
0
，解得
x?16
?
x?-16舍去
?
。
2
x
于是宽为
.

.
当
x?
?
0,16
?
时，
S
?
x
?
?
0
；当
x?
?
16,??
?
时，
S
?
x
?
?0
。
,,
因此，x =16是S(x)函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积 最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

练：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成 一个无盖的方底
箱子，箱底的边长是多少时，箱自的容积最大？最大容积是多少？

问题2:利润问题
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装 的物品一般比大包装的要贵些?
你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大 ?
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？


规格（L） 2
价格（元） 5.1

1.25
4.5

0.6
2.5

2
例： 某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr分.已知每出售1ml 的饮料,可获利0.2分,且瓶子
的最大半径为6cm.
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：∵每个瓶的容积为
4
3
?
r
?
ml
?

3
4
3
?
r?0.8
?
r
2

3
∴每瓶饮料的利润
y?f
?
r
?
?0.2?< br>?
r
3
2
?
?
0
?x?
6
?


?0.8
?
?
?
3
-r
?
?
，
??
.

.
令
f
?
r
?
?
0.8
?
r?
2
r?
0,
得
r
?
2
,2
??
r

f '
(
r
)
f
(
r
)
(0，2)
-
减函数
2
0
-1.07
?

(2，6]
+
增函数
∵
f
(
r
)在(2，6]上只有一个极值点
∴由上表可知，
f
(2)=-1.07
?
为利润的最小值
∵当
r?
?
0,2
?
时，f
?
r
??f
?
0
?
?0
而
f
(6)=28.8
?
，故
f
(6)是最大值
答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.

2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
22
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR由V=πRh，
得
h?
V
V
2
2V
2
，则S(R)= 2πR
+ 2πR=+2πR
22
?
R
?
RR
s
?
(R)??
V
2V
3
+4πR =0, 解得，R=
，
2
2
?
R
令
从而h=
V
=
2
?
R
4VV
V
=
3
=2
3
即h=2R
?
?
V
2
?
(
3
)
2
?
h
R
∵S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S
时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料 罐的容积最大?
S?2
?
R
2
提示：
S?2
?
Rh
+
2
?
R
?

h?

2
?
R
2
S?2
?
R2
11
?
?
R
2
=
(S?2
?
R
2
)R?SR?
?
R
3

?
V(
R
)=
2
?
R
22
令
V'(R)< br>=0
?S?6
?
R

2
?
6
?< br>R
2
?2
?
Rh?2
?
R
2
?h? 2R
．
解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研 究相应函数的性质，提
出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基 本思路如以下流程图所示:

优化问题
建立数学模型

用函数表示数学问题


解决数学问题

优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
.

.


.