高一数学-高一数学同步辅导讲义(专题讲解) 精品

高一寒假数学同步辅导讲义（
专题讲解
）

第一章 集合与简易逻辑专题讲解
一 、 集合的概念、运算与不等式
1．在解题 过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言
准确地叙述。
2 ．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、
?
与
?
、
?
的区别，元素与集合间的
从属关系用∈、
?
表示，集合与集合之间的包含与相等的关系 用
?
、
?
、
?
、
?
、=表示.
3．给定两个集合A，B，它们的运算意义为：A∩B=
xx?A且x?B
，A∪
B=
xx?A或x?B
，C
S
A=
xx?S,且x?A
.这些运 算都是同逻辑连词“且”与“或”紧
密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至 少有一个成立.理解好这
些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用 关系：C
s
(A
∪B)=（C
s
A）∩（C
s
B） ，C
s
（A∩B）=（C
s
A）∪（C
s
B），与此有关问 题的运用韦恩图有示
更直观.见表1—9.
4．集合M=
?
a
1< br>,a
2
,
?
,a
n
?
的子集个数为2
n
，真子集个数为2
n
－1，非空子集个数为2
n
—
1< br>??
??
??
，非空真子集个数为2
n
－2.
含绝 对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究
集合与命题间的逻辑关 系提供了具体的数学模型.
表1
命题
集合
关键字
词




自反性
对称性
A∪A=A
A∪B=B∪A
A∩A=A
A∩B=B∩A
C
U
(C
U
)A=A
A
?
A真子集无
A=A
C
B
A=C
A
B


若A
?
B，B
?
C
则A
?
C
结合律 (A∪B)∪C=A
∪(B∪C)
(A∩B) ∩C=A
∩(B∩C)

A=A若A=B则
B=A
传递性

若A=B，B=C，
A=C


或
并集∪
或
且
交集∩
且
否定┐
补集C
非
蕴涵
?

子集
?

若……则……
等价
?

相等=
当且仅当必须且
只须

分配律 (A∪B)∪C=(A∩C)∪(B∪C)
(A∩B) ∪C=(A∪C)∩(B∩C)

摩根律 C
U
(A∩B)=(C
U
A)∪(C
U
B)
C
U
(A∪B)=(C
U
A)∩(C
U
B)

2
【例1】 已知集合M=
yy?x?1,x?R
，N=yy?x?1,x?R
，则M∩N=（ ）
??
??
A．（0，1）（1，2） B．
?
(0,1),(1,2)
?

C．
yy?1或y?2
D．
yy?1

分析 集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对（x，y），因此M，N
分别 表示函数y=x
2
+1（x∈R），y=x+1（x∈R）的值域，求M∩N即求两函数值域的 交集.
2
解 M=
yy?x?1,x?R
=
yy?1
，N =
yy?x?1,x?R
=
yy?R
.
??
??
??
??????
∴M∩N=
yy?1
∩
yy?R
=
yy?1
，故选D.
??????
?
y?x
2
?1?
x?0
?
x?1
说明（1）本题求M∩N.经常发生解方程组
?
得
?
或
?
从而选B错
y?1y?2
y?x?1< br>?
??
误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了 集合的元
素是什么，事实上M，N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集.
（2 ）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分
?
xy?x
的. < br>2
?1,x?R
，
yy?x
2
?1,x?R
，
(x,y)y?x
2
?1,x?R
这三个集合是不同
???
??< br>【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0
?
?
0
?< br>；（2）0∈
?
0
?
；（3）Φ
∈
?
??
；（4）a∈
?
a
?
；（5）Φ=
?
0?
；（6）
?
0
?
∈Φ；（7）Φ∈
?
0?
；（8）Φ
?
?
0
?
，其中正
确的是（ ）
A．（2）（3）（4）（8） B．（1）（2）（4）（5）
C．（2）（3）（4）（6） D．（2）（3）（4）（7）
分析 依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.
解 （1）应为0∈
?
0
?
；（2）（3）（4）正确，排除B，再看（6）（7）（8）哪个正确，由
Φ是
?
0
?
的子集，因此（8）正确，故选A.
说明 0与
?
0
?
只有一种关系：0∈
?
0
?
；R与
?
R
?
；Φ与
?
0
?
也只有一种关 系：Φ
?
?
0
?
.
2
【例3】 已知集合A=< br>xx?(m?2)x?1?0,x?R
，若A∩R
+
=Φ，则实数m的取
??

值范围是__________.
分析 从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x
2
+(m+2)x+1=0的解集，< br>而x=0不是方程的解，所以由A∩R
+
=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而 分别由
判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围.
解 由A∩R
+
=Φ又方程x
2
+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
?
??(m?2)
2
?4?0
即
?

?(m?2)?0.
?
或△=(m+2)
2
－4＜0.
解得m≥0或－4＜m＜0，即m＞－4.
说明 此题容易发生的错误是由A∩R
+
=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根
之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉 ，因此要全面正确理解和识别集合语言.
22
【例4】 已知集合A=
xx?3x? 2?0
，B=
xx?ax?a?1?0
，且A∪B=A，
????
则 a值为__________.
分析 由A∪B=A
?
B
?
A而推出B有四种可能，进而求出a的值.
解 ∵A∪B=A，
∴B
?
A，
∵A=
?
1,2
?
，∴B=Φ或B=
??
1
或B=
?
2
?
或 B=
?
1,2
?
.
若B=?，则令△＜0得a∈?；若B=
??
则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B=
?
2
?
，< br>1
，
则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.
∴a∈? ；若B=
?
1,2
?
，则令△＞0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2
代入方程得a=3，综上a的值为2或3.
说明 本题不能直接写出B=（），因为a（）可 能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另
外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况 .
【例5】 命题甲：方程x
2
+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x
2
+4(m－2)x+1=0
无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围 .
分析 使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合而为B，有且只有一个
命题 成立是求A∩C
R
B与C
R
A∩B的并集.
解 因使命题甲成立的 条件是△
1
=m
2
－4＞0，且－m＜0，所以解得m＞2，即集合
A=
mm?2
；因使命题乙成立的条件是△
2
=16(m－2)
2< br>－16＜0，所以解得1＜m＜3，即集
合B=
m1?m?3
.若命题甲、乙有 且只有一个成立，则m∈A∩C
R
B或m∈C
R
A∩B，而A
∩C< br>R
B=
??
??
?
mm?2
?
∩
?
mm?1或m?3
?
=
?
mm?3
?
，C
R
A∩B=
?
mm?2
?
∩

?
m1?m?3
?
=
?
m1?m?2
?
， 所以综上所求m的范围是
?
m1?m?2或m?3
?
.
说明（1） 本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m的满
园即准备又简明.

二、 一元二次方程实根的分布
【例1】关于x的方程3x
2< br>－5x+a=0，实数a在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，
另一个根大于1，而小于3 ？
解 由题意，a应满足条件

?
f(?2)?3?(?2)
2
?5?(?2)?a?0
?
?
f(0)?a?0

??
f(1)?3?5?a?0
?
f(3)?3?3
2
?5?3? a?0
?
解得－12＜a＜0.
【例2】关于x的方程2x
2
+3 x－5m=0，有两个小于1的实根，求实根m的取值范围.
解 二次函数图像是开口向上的抛物线 ，对称轴x=－
3
，在x=1的左侧.这样抛物线与
4
x轴有两个交点的横坐 标都小于1，所以应满足的条件是：

?
f(1)?2?3?5m?0

?
?
??9?40m?0
解得－
9
≤m＜1.
4 0
【例3】关于x的方程x
2
―2tx+t
2
―1=0的两个根介于 ―2和4之间，求实数t的取值范
围.
解 由题意可知，t需满足
?
f( ?2)?t
2
?4t?3?0
?
f(4)?t
2
?8t?1 5?0
?
?
?
??4t
2
?4(t
2
?1 )?4?0

?
?
?2??
b
?t?4
?
2a
?
解得 －1＜t＜3.
说明 讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论 （设方程f(x)=ax
2
+bx+c=0（a＞0）
两实根为x
1
，x
2
）：
（1）若m＜x
1
＜n＜p＜x
2
＜ q，则方程系数应同时满足下列不等式组：

?
f(m)?am
2
bm?c?0
?
2
?
f(n) ?an?bn?c?0

?
2
?
f(p)?ap?bp?c?0?
f(q)?aq
2
?bq?c?0
?
特别地，当方程f(x) =0有一正根，一负根，即x
1
＜0，x
2
＞0，则应用f(0)=c＜0； 若方
程f(x)=0有一个根大于k，一个根小于k，则应有f(k)＜0.
（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m，n）内，则应同时满足
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?

?
??0
?
?
m??
b
?n
?
2a
?
特别地，若f(x)=0两根都大于k时，则有
?
?
f(k)?0,
?
?
??0,

?
b
?
??k.
?
2a

三、 四种命题与充要条件
1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合 事实，
我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.
2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题
是等价的，逆命题 与否命题是等价的。
3．充分条件和必要条件是用来区分命题的条件A与结论B之间的关系的数学概念 ，若
A
?
B，则称A是B成立的充分条件；若B
?
A，则称A是B成 立的必要条件；若A
?
B
成立的充要条件.
4．由于互为逆否的两个命题是 等价的，因此A
?
B与┐B
?
┐A等价，可由┐B
?
┐A得A是B成立的充分条件；又B
?
A与┐A
?
┐B等价，可由┐A?
┐B得出A是B的成
立的必要条件.
5．充要条件的概念对证明问题的方法— —综合法、分析法起着指导性作用，综合法的
特点是由因导果，即由命题的条件出发，寻找命题结论成立 的充分条件；分析法的特点是执
果索因，即由命题的结论出发，寻找结论成立的充分条件.
6 ．判断充要条件问题时，要按以下步骤进行：（1）明确命题中的条件A是什么，结论
B是什么；（2） 由条件 A推导结论B；若A
?
B，则A不是B成立的充分条件，若A
?
B，
A是B成立的充分条件；（3）由结论B推条件A，若B
?
A，则A是B成立的必要条 件，

若B
?
A，则A不是B成立的必要条件.
7．“有且仅有”，“当且仅当”，“须且只须”等用语都是指既有充分性又有必要性的.
【例1】 ┐A是命题A的否命题，如果B是┐A的必要非充分条件，那么┐B是A的______
条件.
分析 此题就是要判断┐B
?
A和A
?
┐B是否成立，根据必要条件 概念及互为逆否的
两个命题等价来处理。
解 由B的┐A的必要条件，则有┐A
?
B，且B
?
┐A，由互为逆否等价，得┐B
?
A
且A
?
┐B，因此┐B是A的充分而非必要条件.
说明 解本题须掌握命题的四种形式及其关系，即原命题与逆否命题同真同假.逆命题与
否命题同真同假. < br>【例2】若下列三个方程：x
2
+4ax―4a+3=0，x
2
+(a ―1)x+a
2
=0，x
2
+2ax―2a=0中至少有
一个方程有 实根，试求实数a的取值范围.
分析 若直接求，须分三大类七种情况，其过程不仅繁杂，而且极易出错，故不宜采用.
考虑到“三个方程中至少有一个方程有实根”的否命题为“三个方程都无实根”.
设原命题的否命题的范围为A，则原命题所求a的范围即为C
R
A.
解 若三个方程都无实根
△
1
=(4a)
2
―4(―4a+3)＜0 ―
31
＜a＜
22
1
?
△
2
=(a―1)
2
―4a
2
＜0
?
a＜－1或a＞
3
△
3
=(2a)
2
―4(―2a)＜0 －2＜a＜1
?
A=(―，―1)
3
??
?
C
R
A=
?
??,?
?
∪
?
?1,??
?
. 2
??
∴三个方程中至少一个方程有实根的a的范围为
?
??,?
?
∪
?
?1,??
?
.
2
3
2
?
?
3
?
?
说明 由于“ 充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，
所以当一个命题正面入手 困难的时候，可以考虑其反面，利用等价转化的思想促使命题转化.

巩固练习
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1. 下列命题正确的是( )
A.
211?
{实数集} B.
211?x|x?35

C.
211?x|x?35
D.
{211}?x|x?35

2．在①1
?
{0,1,2} ；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}
?
{0,1,2}；

??
????

④、
?
{0}上述四个关系中，错误的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3．已知 全集
U?{x|?2?x?1}
，
A?{x|?2?x?1}
，
B?{x|x
2
?x?2?0}
，
C?{x|?2?x?1}
，则（ ）
A、
C?A
B、
C?C
U
A
C、
C
U
B?C
D、
C
U
A?B

4．已知集合
M?{x|x?1}
，
P?{x|x?t}
，若
M?P?
?
，则实数
t
应该满足的条件是
（ ）
A、
t?1
B、
t?1
C、
t?1
D、
t?1

5．下列说法正确的是（ ）
A、任一集合必有真子集；
B、任一集合必有两个子集；
C、若
A?B?
?
，则A、B之中至少有一个为空集；
D、若
A?B?B
，则
B?A
。
2
6．已知集合 P=
y|y??x?2,x?R
，Q=
?
y|y??x?2,x?R
?
，那么
P
??
Q
等于
A、 （0，2），（1，1） B、 {（0，2 ），（1，1）}
C、 {1，2} D、
?
y|y?2
?

11
和
|x|?
同时成立，则
x
的取值范围是（ ）
23
1111
A、
??x??
B、
?x?

2332
111111
C、
?x?
或
??x??
D
??x?

322332
7．若
|x|?
8．不等式3?|?2x?1|?0
的解集是（ ）
A、{
x
|
x
<-2或
x
>1} B、{
x
|-2<
x
<1}
C、{
x
|
?1?x?2
}
2
D、R
9．方程
mx?2x?1?0
至少有一个负根，则（ ）
A、
0?m?1
或
m?0
B、
0?m?1

C、
m?1
D、
m?1

2
10．“
x?3x?2?0
”是“
x?1
或
x?4
”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
22
11．当
a?0
时，关于
x
的不等式
x?4ax?5a?0
的解集是（ ）

A、{
x|
x?5a
或
x??a
} B、{
x|
x?5a
或
x??a
}
C、{
x|
?a?x?5a
} D、{
x|
5a?x??a
}
12．不等式
ax?ax?4?0
的解集为R，则
a
的取值范围是（ ）
A、
?16?a?0
B、
a??16

C、
?16?a?0
D、
a?0

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1 3．已知集合A={
a
,
b
,2},B={2,
b
,2a
}且，
A
=
B
，则
a
=
14．已知全集U = R，不等式
2
2
x?4
?0
的解集 A，则
C
U
A?

3?x
15．不等式
x(x?4)(3?x)?0
的解集是
16．有下列四个命题：





①、命题“若
xy?1
，则
x
，
y
互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若
m
≤1，则
x?2x?m?0
有实根”的逆否命题；
④、命题“若
A
∩
B
=
B
，则
A
?
B
”的逆否命题。
其中是真命题的是 （填上你认为正确命题的序号）。
2
三、解答题：（本大题共4小题， 36分）
2
17．若
A?{x|x?5x?6?0},B?{x|ax?6?0}
，且
A?B?A
，求由实数a组成的
集合。










2
b
、18．用反证法证明： 若
a
、且
x?a?2b?1
，
y?b?2c?1
，
z?c?2a?1
，
c
?R
，
22
则
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于0。

19．解下列关于
x
的不等式：
①、
(1?x)(1?|x|)?0
②、
(x?a)(ax?3a)?0














20． 已知集合
P?{x|2?1?x?3}
，
M? {x|x
2
?(a?1)x?a?0}
，
N?{y|y?x
2?2x
，
x?P}
，且
M?N?N
，求实数
a
的取值范围。








21.我校高中部先后举行了数理化三科竞赛，学生中至少参加一科竞赛的有：数学807人，
物理7 39人，化学437人，至少参加其中两科的有：数学与物理593人，数学与化学371
人，物理与化 学267人，三科都参加的有213人，试计算参加竞赛的学生总数。

参考答案

一、选择题：

题号
答案

二、填空题：
13、0或
1
D
2
B
3
D
4
C
5
D
6
D
7
C
8
B
9
D
10
B
11
B
12
C
1
14、
{x|x??4
或
x?3}

4
15、
{x|x??4
或
0?x?3}
16、①、②、③
三、解答题：
17．
解: 当a=0时,
B?{x|ax?6?0}?
?

当a
?
0时,
B?{x|ax?6?0}?
??

∵
A?{x|x
2
?5x?6?0}?{2,3}
,且
A?B?A< br>，
∴B
?
A
∴
?
6
?
?
a
?
66
=2或=3
aa
∴a=3或a=3
综上述实数a组成的集合为{0，2，3}。
18．
证明： 假设
x
、
y
、
z
均小于0，即：

x?a?2b?1?0
----① ；

y?b
2
?2c?1?0
----② ；

z?c?2a?1?0
----③；
①+②+③得
x?y?z?(a?1)?(b?1)?(c?1)?0
，
这与
(a?1)?(b?1)?(c?1)?0
矛盾，
则假设不成立，
∴
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于0。
19．解下列关于
x
的不等式：
①、
(1?x)(1?|x|)?0
。
222
222
2
2

解：
{x|x?1
且
x??1}

②、
(x?a)(ax?3a)?0

解：原不等式化为：
a(x?a)(x?3)?0

①、当
a?0
时， 其解集为：
R

②、当
a?0
时， 其解集为：
{x|?a?x?3}

③、当
?3?a?0
时， 其解集为：
{x|x??a
或
x?3}

④、当
a??3
时， 其解集为：
{x|x?3
或
x??a}

⑤、当
a??3
时， 其解集为：
R

20．
解：依题意，
集合
P?{x|2?1?x?3}
，
M? {x|x
2
?(a?1)x?a?0}
，
N?{y|y?x
2
?2x
，
x?P}?{y|1?y?3}
，
由
M?N?N
知
M?N
，
∴实数
a
的取值范围J
1?a?3
。
21.由公式或如图填数字计算
Card(A
?
B
?
C)= Card(A)+ Card(B)+ Card(C)- Card(A
?
B) - Card(A
?
C) - Card(C
?
B)+
Card(A
?
B
?
C)=965














数学
380
213
54
158
物理
化学
第二章 函数专题讲解
一 复合函数
尽管复合函数在课本上只作了简单的介绍，但是复合函数的概念及性质在历年的高考试

题中多有涉及，因此有必要对复合函数进行研究.
所谓的复合 函数，就是由几个基本函数复合而成的函数，例如y=log
a
(3x
2
+5 x－2)可看作
由函数u=3x
2
+5x－2与对数函数y=log
a
u复合而成的函数，其中，x是自变量，y是函数，
而u为中间变量.
一般地，如果有两个 函数，y=f(u)，u=
?
(x)，前者的自变量为u，函数y，后者自变量
为x， 函数为u，如果将u=
?
(x)代入y=f(u)中就得到y=f[
?
(x) ]，这个以x为自变量，y为
函数的函数称为复合函数，其中u为中间变量.
2
x
2
?1
42
【例1】 设g(x)=（x≠0），且f[g(x)]=2x－3x+1，求f()的值.
2
3
x
x
2
?1x
2
?1
解法1 先求出f(x)，由f[g(x)]=2x－3x+1，g(x)=，有f()=2x
4
－3x
2
+1.
22
xx
22
1
x
2
?1x
2
?1
2
24
用换元法，令=t，则x=，于是f()=2x －3x+1变成f(t)=－
1?t
x
2
x
2
(1?t)< br>2
3
+1.
1?t
所以f(
2
)=
3
22
－+1=10
2
2
2
1?
(1 ?)
3
3
2
x
2
?1
2
解法2 当g(x)= 时，=，x
2
=3，
2
33
x
于是f(< br>2
)=2·3
2
－3·3+1=10.
3
22
，构造出f()，进而求出其值.
33
说明 解法1中应 用了换元法.一般来说，在复合函数中通过换元可使函数表达式化简
为需要的形式。解法2可看人是构造 法. 通过取g(x)=
【例2】已知f(3)=3x－2，求f
1
[f(x)].
—
解 由已知y=3x－2，解得x=
1
y?2x?2
——
，于是f
1
(x)= ，从而f
33
[f(x)]=
f(x)?2(3x?2)?2
==x.
33
—
说明 对于形如f
1
[f(x)]的函数是先求逆（即先求反函数）然后再复合.
【例3】讨论函数y=log
a
(3x
2
+5x－2)的单调性.
1
或x＜―2，则函数定义域（―∞，－
3
15495
2）∪（，+ ∞），设u=3x
2
+5x―2=3(x+)
2
－，则u在（―∞，―）上是 减函数，
312
66
解 先求函数定义域，由3x
2
+5x－2＞0，得x＞

在（―
5
，+∞）上是增函数.
6
1
，
3
当a＞1时，y是u的增函数，故y=log
a
(3x
2
+5x―2)在（ ―∞，―2）上是减函数，在（
+∞）上是增函数，（为什么不为（―∞，―
5
）等）
6
当0＜a＜1时，y是u的减函数，故y=log
a
(3x
2+5x－2)在（―∞，―2）上是增函数，
在（
1
，+∞）上是减函数.
3
说明 研究复合函数常引进中间变量，例如讨论复合函数单调性时，常考查自变量x
增大时，中间变量u怎样变化，进一步考查中间变量u增大（或减小）时，函数y怎样变化.
“同增异 减”是其中规律.请你再体会其真谛.
【例4】 求函数y=log
1
(x
2
－6x+17)的值域.
2
解 此函数是对数函数y=log
1
u与二次函数u=x
2
－6x+17=(x－ 3)
2
+8的复合.很明显.u≥
2
8，不等式两边取以
为
?
??,?3
?
.
1
为底的对数得log
1
≤l og
1
8=－3，故函数y=log
1
(x
2
－6x+17 )的值域
2
222
【例5】 已知函数f(x)=x+1，
?
(x) =
求函数
?
g
?1
[f(x)]
的定义域.
x
，g(x)=2
x
，
??
解 应先求出函数
?
g
?1
[f(x)]
的解析式，然后再求其定义域.
首先求g
1
(x). 由g(x)=2
x
得g
1
(x)=log
2
x，
——
??
于是g
1
[f(x)]=log
2
[f(x)]= log
2
(x+1)，又
?
(x)=
—
x
，
?1
?1
所以
?
g[f(x)]
=
g[f(x)]
=
log
2
(x?1)
。
??
函数自变量的取值必须满足
?
?
x?1?0
?
x??1 即
?
得x≥0
?
log
2
(x?1)?0
?
x?1?1
故函数
?
g[f(x)]
的定义域为x≥0.
【例6】 已知函数f(x)=x
2
－x+k满足log
2
f(a) =2，f(log
2
a)=k（a＞1，且a≠1）.
（1）求f(log
2
x)的最小值及相应的x值；
（2）求x的取值范围 ，使f(log
2
x)＞f(1)，且log
2
f(x)=2＜f(1) 同时成立.
解 （1）先求出函数f(x)的解析式。由log
2
f(a)=2得f(a)= 4，于是f(a)=a
2
－a+k=4
由f(log
2
a)=k，得

?
?1
?

(log
2
a)
2
－(log
2
a)+k=k < br>由式②得log
2
a=0或log
2
a=1，故a=2，a=1（舍去 ）.将a=2代入式①中，得
4―2+k= 4，k=2，于是f(x)=x
2
―x+2.
f(log
2
x)= (log
2
x)
2
－log
2
x+2=(log
2
x－
小值为1
1
2
31
)+1. 当log
2< br>x=，即x=
2
时，f(log
2
x)的最
242
3
.
4
2
?
f(log
2
x)?f(1)
?
?
(log
2
x)?(log
2
x)?2?2
（ 2）由
?
有
?

2
logf(x)?f(1)
?< br>?
2
?
log
2
(x?x?2)?2
即
?< br>?
log
2
x?1或log
2
x?0
2
?< br>0?x?x?2?4
从而
?
?
x?2或0?x?1
解得0＜x＜1.
?
?1?x?2
【例7】 已知f(x)=x
2
+c，且f[f(x)]=f(x
2
+1).
（1）设g(x)=f[f(x)]，求g(x)的解析式；
（2）设
?
( x)=g(x)－λf(x)，求实数λ，使
?
(x)在（－∞，－1）上单调递减，在（－1 ，
0）上单调递增.
解（1）g(x)=f[f(x)]=[f(x)]
2
+c=(x
2
+c)
2
+c=x
45
+2cx
2< br>+c
2
+c.
又f(x
2
+1)=x
4
+ 2x
2
+c+1，由g(x)=f(x
2
+1)，
有x
4
+2cx
2
+c
2
+c=x
4
+2x
2< br>+c+1
由待定系数法，得c=1，故g(x)=x
4
+2x
2
+2； （2）
?
(x)=g(x)－λf(x)=x
4
+(2－λ)x
2
+2－λ
2?
?
2
(2?
?
)
2
=(x+)+2－λ－.
2
4
2
2?
?
=―1，即λ= 4时，
?
(x)=(x
2
―1)―3.
2
x∈（―1，0 ）时，x增大，x
2
―1减小，
?
(x)=(x
2
―1)< br>2
―3递增；x∈（－∞，―1）时，
当
?
(x)=(x
2< br>―1)
2
―3递减.
x
2
【例8】 已知函数f(x―3)=log
a
(a＞0，且a≠1)
2
6?x
2
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）若f(x)≥log
a
2x，求x的范围.
（3）求f
1
(x)＜0，求x的取值范围.
—
x
2解（1）先求出f(x)的解析式，由已知自变量x需满足＞0，即0＜x
2
＜6，换元，
6?x
2
令x
2
－3=u，则f(u)=log
a
＜3＝.

u?33?x
（ －3＜u＜3＝，将u改写在x，则f(x)=l og
a
(－3＜x
3?u3?x

于是f(－x)=log
a
3?x3?x3?x
=log
a
= －log
a
= －f(x)，所以f(x)为奇函数.
3?x3?x3?x
3?x
（2）若f(x)≥log
a
2x，则log
a
≥loga
2x，(0＜x＜3＝.
3?x
?
3?x
?2x
?
2x
2
?5x?3?0
3
?
当a＞1时，
?
3?x
即
?
解得≤x＜3或0＜x＜1；
2
?
0?x ?3
?
0?x?3
?
?
3?x
?2x
?
2 x
2
?5x?3?0
3
?
当0＜a＜1时，
?
3? x
即
?
解得1≤x≤.
2
?
0?x?3
?
?
0?x?3
3(a
y
?1)
3?x
（3）由y=f(x )=log
a
(－3＜x＜3＝解得x，得x (－3＜x＜3＝
y
a? 1
3?x
3(a
x
?1)
—
于是f(x)= (－3＜f
1
(x)＜3).
x
a?1
—
1
3(a
x
?1)
若f(x)＜0，则－3＜(＜0，
x
a?1
—
1
3(a
x
?1)
即 ＞－3 从而
x
a?1
3(a
x
?1)
＜0 x
a?1
x
?
?
a?0
即0＜a
x
＜ 1.
?
x
?
?
a?1
所以，当a＞1时，x＜0，当0＜ a＜1时，x＞0.


二 抽象函数
函数部分有一类比较抽象的习题 ，它给定函数f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，
或利用这些性质解一些不等式或者方程，学生 很感棘手.其实这些题目的设计，一般都有一
个基本函数做“模特”，如能正确分析估猜这个模特函数， 联想这个函数的其他性质来思考
解题方法，那么这类难题就可转化为简易问题为处理。
【例1 】设f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且f(
x
)=f(x)－f(y).
y
（1）求证f(1)=0；（2）求不等式f(x+1)=f(
（3）求证f(x
n
)=nf(x).
我们先看该题的解题过程.
1
)≤f(7)的解集;
x?5

（1）证 令x=y=1，则f()=f(1)－f(1)=0，从而f(1)=0.
1
1
（2）解 ∵f(
x
)=f(x)－f(y)，
y
1
)―f(7)等价于f[(x+1)(x―5)]≤f(7).
x?5
∴不等式f(x+1)―f(
又∵f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数.
∴ (x+1)(x―5)≤7，
x+1＞0，
x―5＞0.
解之，得x∈
x5?x?6
.
??
（3）证 ∵f(xy)=f(
x
1
)=f(x)－f()
1
y
y
=f(x)－f(1)+f(y)=f(x)+f(y)
∴f(x
n
)=f(x·x·x…x)=nf(x).

n个
从以上例题中的条件：f(x)的定义在（0，+∞）上的增函数，且f(
x)=f(x)－f(y)；
y
欲证结论f(1)=0，f(x
n
)=nf (x)可猜测f(x)的模特函数是对对函数y=log
a
x（a＞1）.至少可以说，
对数函数y=log
a
x（a＞1）具有这些基本性质，函数f(x)是y=log
a
x（a＞1）是这些性质存在
的充分条件，而回忆对数函数的性质log
a
x
n
=nlog
a
x是作为log
a
(xy)=loga
x+log
a
y这一性质为
推论而得出的，因此这题的难点，证f(x
n
)=nf(x)(n∈N)可由证f(xy)=f(x)+f(y)起步，从而化解
了这题的难点.
【例2】定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，都有f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)，
且f(0)≠0.
（1）求证：f(0)=1；
（2）求证y=f(x)是偶函数；
*（3）若顾虑在正常数c，使f(
c
)=0
2
①求证：对任意x∈R，有f(x+c)=－f(x)成立.
②试问函数f(x)是否为周期函数？如果是，指出它的一个周期；如果不是，说明理由.
分析 该题的难点在（3）.但从题给条件x，y∈R总有f(x+y)+f(x－y)=2f(x) ·f(y)看似
像三角函数的和化为积。不规则由同种函数之和化成同种函数之积。故可猜f(x)=c osx.而

f(0)=1及f(x)为偶函数又坚信了f (x)的模特是cosx，那么f(
c
)=0中c=π，cosx的周期2π
2
正是欲证题中常数2c，既然探出周期2c，证题的思路就豁然了.
证 （1）令x=y=0，（旨 在得f(0)代入f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，得2f(0)=2f
2
(0)，∵f(0)
≠0，∴f(0)=1.
（2）令x=0，（旨在得f(－x)）得f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=2f(y
f(－y)=f(y) 它是偶函数.
ccc
)=0.（旨在得f(x
0< br>+c)）令x=x
0
+，y=
222
c
则 f(x
0
+c)+f(x
0
+). （为什么？）
2
*（3）① ∵f(
解 ②令x=x
0
+c，y=c（佛旨在得f(x
0
+2c)）
得 f (x
0
+2c)+f(x
0
)=2f(x
0
+c)f(c) =－2f(x
0
)·f(c)
∴f(x
0
+2c)=－f(x
0
)[2f(c)+1]
又令x=y=
ccc
得f(c)+f(0)=2f()f()=0.
222
∴f(c)=－f(0)=－1.
这样（*）式变为f(x
0
+2c)=－f(x
0
)(－1)=f(x
0
).
因此f(x)是周期函数，2c是它的一个周期.
从以上两个例子可以看出，利用“模特函数 ”解起，可以先从题设条件及欲证结论多方
面猜想函数f(x)的模特，以此模特函数为桥梁，联想这模 特函数推证出欲证性质的过程，找
出证明抽象函数f(x)其他性质的方法，这种解题方法是在不允许用 具体函数代替的基础上将
具体函数高度抽象化后的结晶，因此解这类题要求学生的思维性灵活而深刻，要 求学生善于
透过表象和外部联系，揭露事物的本质和规律，深入地思考问题，系统地、一般地理解问题、
预见事物发展的过程，因此“模特函数”解题法是培养学生思维灵活性和深刻性的良好教材.
说明 三角函数及周期函数的概念将在高一下册中学习，本例第（3）问暂不作要求.
【例 3】函数y=f(x)定义在R上，当x＞0时，f(x)＞1，对任意m、n∈R，有
f(m+n)= f(m+n)=f(m)·f(n)，当m≠n时，f(m)≠f(n).
（1）证明f(x)在R上是增函数.
（2）若f(2)=9，解方程[f(x)]
2
+
1
f(x+3)－1=f(1).
9
分析 根据题给条件可猜 测f(x)的模特函数是y=a
x
（a＞1），从而f(0)=1，又由f(2)=9，
可见a=3，即f(x)之一为3
x
，欲解（2）的方程时，需求出f(3)及f(1)，从 而易得如下解法.
解 （1）为证f(x)在R上是增函数，先设m=n=0代入f(m+n)=f(m)·f(n)，
得f(0)=f
2
(0).
∴f(0)=0或f(0)=1.
但由题意知f(0)≠0 ，否则f(x+0)=f(x)·f(0)=0，f(x)≡0.
其次f(x)=f(
xx
2
x
+)=f()＞0，∴f(x)＞0.
222

设n＜m，则f(m)=f(n－n+m)=f(n)·f(m－n)，
∵m－n＞0，∴f(m－n)＞1.
∴
f(m)
=f(m－n)＞1，
f(n)
f(m)＞f(n)，故为增函数.
（2）∵ f(2)=9.
∴f(1+14)=f(1)f(1)=9.
f(1)=3. f(3)+f(2)f(1)=9×3=27.
原方程变[f(x)]
2
+
1
·f(3)f(x)－1=3，f
2
(x)+3f(x)－4=0，
9
f(x)=1或f(x)=－4（舍去）由f(x)=1，得解为x=0.
【例4 】设函数f(x)是奇函数，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=－2.且 当x
＞0时，f(x)＜0.求f(x)在[－3，]上的最大值与最小值.
分析 模特函数 是f(x)=－2x，欲求函数f(x)在[－3，3]上的最值，只要证明函数f(x)在R
上递减即 可.
解 设x
1
＞x
2
＞0，∵f(x
1
)= f(x
2
+x
1
－x
2
)=f(x
2
)+ f(x
1
－x
2
)，
∴f(x
1
)－f(x2
)=f(x
1
－x
2
)，
∵x
1
－x
2
＞0，∴f(x
1
－x
2
)＜0.
因而f (x
1
)＜f(x
2
)，即是说f(x)在（0，+∞）上为减函数.
由于R上的奇函数必过原点，又根据奇函数的对称性，f(x)在（－∞，0）上也是减函
数.
∴ f(x)在R上减函数，当然在[－3，3]上为减函数.
而f(3)=f(1)+f(1)+f(1)=－6，
f(－3)=6.
故最小值为－6，最大值为6。

三 分类讨论在研究函数问题中的运用 分类讨论是中学数学中应用十分广泛的数学思想方法，其实质是一种选择划分的思想。
从思维策略上 看，它是把要解决的数学问题，分解成可能的各个部分，分解时要保证不重、
不漏，通过对各个部分的解 决而使问题得到解决的一种求解思路.
在运用分类讨论时，应该认真体会为什么要讨论，讨论什么和怎 么讨论这三个基本问题.
在函数问题研究中，分类讨论思想的运用主要体现在以下两个方面：
（1）表示函数关系的解析式中含有参数时，对这种函数性质的研究；
（2）对含字母系数的指数方程或对数方程求解时.
【例1】求函数f(x)=
lo g
a
x
2
?1
x?x
(a＞0，a≠1)的定义域.

分析 在确定函数f(x)的定义域时，必须涉及x的不 等式log
a
x
2
≥1的求解，也要涉及函
数g(x)=loga
x的增减性.讨论g(x)的增减性，应把a的取值范围分两部分：a＞1；0＜a＜1.
解 要使函数有意义，x需满足
22
??
?
log
ax?1?0
?
log
a
x?1

?
??
??
?
x?x?0
?
x?x
?
x?0
?
2
当a＞1时，得
?
x?0
即x≤－
a
.
?
x?0
?
?
x?0
?
2
当0＜a＜1时，得< br>?
x?0
， 即－
a
≤x＜0.
?
x?0
?
∴ f(x)的定义域当0＜a＜1时，为
?a,0
；
当a＞1时，为
??,?a

说明 这里确定函数g(x)=log
a
x的增减性是分类讨论的原因，应讨论a，把a的取值范
围分成两类（0，1），（1，+ ∞）.
【例2】 已知函数f(x)=x
2
―2ax+3a
2
―1 （a＞0，0≤x≤1），
（1）求函数f(x)的最大值或最小值；
（2）若f(x)的 最小值是－
?
?
?
?
7
，求其最大值.
8
分析 若由f(x)=(x－a)
2
+2a
2
－1就认为 f(x)的最小值是2a
2
－1，最大值不存在，是不正
确的，因为这里的函数的定义 域是[0，1]，而不是（－∞，+∞），而且这里的二次函数f(x)
图象的对称轴(x=a)的位置 是可变的. 因此，应该讨论直线x=a相对于区间[0，1]的可能变化.
解 （1）f(x)=x
2
－2ax+3a
2
－1=(x－a)
2
+2a
2
+1，
∵a＞0，当a≥1时，由于f(x)在[0，1]上是减函数，故f(x)的最 大值为f(0)=3a
2
－1，f(x)
的最小值为f(1)=3a
2
－2a；
当0＜a＜1时，f(x)的最小值为f(a)=2a
2
－1，f(x) 的最大值为f(0)，f(1)中的较大者.
下面讨论f(0 )，f(1)的大小关系：
若f(1)＞f(0)，则3a
2
－2a＞3a
2
－1，即a＜
∴ 当0＜a＜
当
1
，
2
1
时，f(x)的最大值为f(1)=3a
2
－3a；
2
1
≤a＜1，f(x)的最大值为f(0)=3a
2
－1. 2
?
a?1
?
0?a?1
??
（2）由
?2
7
或
?
2
7

3a?2a??2a?1??
?
8
?
8
??

1
.
4
111115
由于0＜＜， 故此时f(x)的最大值为f()=3()
2
―2()=―
4244416
解得a=
说明 （1）对中对a作了二次划分，其层次是
?
a?0
?
1
?
?
0?a?
?
a＞0
??
2

0?a?1
?
?
?
1
?a?1
?
?
?
2
?

前者以1为标准，后者以( )为 标准，这种分类讨论的方法叫二级分类，每一级都要求
不重、不漏，且两级还不能混淆.当然，若事先作 点分析也事以一次分三类作讨论.
0＜a＜
11
，≤a＜1，a≥1.
22
【例3】 已知f(x)是函数y=0.3
2x
+3的反函数，且f(a )，f(2a)都有意义，试比较f(2a)与
2f(a)的大小，并说明理由.
分析 不 难得到f(x)=log
0.09
(x－3)，故f(2a)=log
0.09
(2a－3)，2f(a)=2log
0.09
(a－3). 比较（2a
－3）与 (a－3)
2
的大小，必须对a作出分类讨论，而a的取值范围由f(a)，f(2a)都有意 义决
定.
解 由已知可得 f(x)=log
0.09
(x－3) （x＞3）
又由f(a)，f(2a)有意义知
?
a?3?0
?
a＞3，
?
2a?3?0
??
(a?3)
2
?2a?3
?
(a?2)(a?6)?0
而
?
?
?
?
a≥6,
?
a?3
?a?0
?
(a?3)
2
?2a?3
?
(a?2)(a? 6)?0

?
?
?
?
3＜a＜6，
a?3a?3
?
?
∴当3＜a＜6时，0＜(a－3)
2
＜2a－3；
当a≥6时，(a－3)
2
≥2a－3＞0.
由于函数y=log
0.09
x在（0，+∞）上是减函数，
∴当3＜a＜ 6时，log
0.09
(a－3)
2
＞log
0.09
(2 a－3)，即2log
0.09
(a－3)＞log
0.09
(2a－3)， 即2f(a)
＞f(2a)；当a≥6时，log
0.09
(a－3)
2≥log
0.09
(2a－3)，即2f(a)≤f(2a).
说明 本题中f (a)，f(2a)有意义的条件是多余的，写出来是为了强化对“怎么对a进行
讨论”的认识.

巩固练习

一、选择题（ 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题四个选项中，选出一个正
确答案）
1、 已知集合A={自然数的平方}，映射f的对应法则是“除以3的余数”，则A中元素
的象的集合是 （ ）
A、{0，1，2} B、{1，2，3} C、{0，1} D、{1，2}
2、 关于集合A到集合B的映射，下面的说法错误是 （ ）
A、 A中的每一个元素在B中都有象
B、 A中的两个不同元素在B中的象必不同
C、 B中的元素在A中可以没有原象
D、 B中的某元素在A中的原象可能不止一个
3、给出4个命题：（1）函数是其定义域到值域的映射（2）
f(x)?x?3?2 ?x
是
x
2
函数（3）函数
y?2x(x?N)
的图象是一 条直线（4）
f(x)?
与
f(x)?x
是
x
同一个函数。 其中正确的有 （ ）

A
、1个
B
、 2个
C
、3个
D
、4个
4、下列图形中，不可能是函数
y?f(x)
的图象的是 （ ）







A B C D
5、 设函数
f(x)
是（
??,??
）上的减函 数，又若
a?R
，则 （ ）
2

A、f(a)?f(2a)

B、f(a)?f(a)

22

C、f(a?a)?f(a)

D、f(a?1)?f(a)

6、设（
a,b
），（
c,d
）都是函数
f(x)
的单调区间，且
x
1
? (a,b),x
2
?(c,d),x
1
?x
2
,则f(x< br>1
)与f(x
2
)
的大小关系是 （ ）

A、f(x
1
)?f(x
2
)

B、f(x
1
)?f(x
2
)


C、f(x
1
)?f(x
2
)

D
、不能确定

7、 函数
y?x
2
(x?0)
的反函数是 （ ）

A、y?

C、y?
x(x?0)

B、y??x(x?0)

?x

D、y???x(x?0)

?1
8、 函数
f(x)?ax?b
与它的反函数
f(x)
是同一个函数，则有 （ ）

A、a?1,b?0

B、a??1,b?0


C、a??1,b?0

D、a?1,b?0或a??1,b?R

9、 若
y?f(x )
有反函数，则在同一直角坐标系中，
y?f(x)
与
x?f
象具有 性质（ ）

A
、关于直线
y?x
对称
B
、关于
y
轴对称

C
、表示同一曲线
D
、关于原点对称
10、 若函数
f(x)?x
2?2(a?1)x?2
在区间（
??,4
）上是减函数，则实数
a
的取
值范围是（ ）

A、a??3

B、a??3


C、a?5

D、a?3

11、 函数
f(x)?2x?mx?3
， 当
x?[?2,??)
时是增函数，当
x?(??,?2]
时是
减函 数，则
f(1)
等于（ ）

A、
-3
B、
13

C、
7
D
、由
m
而定的常数
2
?1
(y)
的图
x?11
,则f
?1
()
的解析式是 （ ）
x?1x
1?xx?1

A、

B、

1?xx?1
12、 已知
f(x)
x
2
?1x
2
?1

C、
2

D、
2

x?1x?1


二、 填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）
?
0,x?0
?
13、已 知函数
f(x)?
?
?
,x?0
则
f[f(?3)]?__ ___
。
?
x?1,x?0
?
32
14、设
f( x),g(x)
都是定义在
R
上的函数，并且满足
f(x)?2g(?x)? x?x
，则

f(?2)?2g(2)?______
。
15、若函数
y??
b
在（0，
??
）上是减函数，则
b
的取值范围是
_____ __
。
x
?1
16、已知函数
y?f(x)
有反函数y?f
三、
(x)
，则
f
?1
[f(m)]?_____
。
解答题：（本大题共6小题；共74分）
17、已知
f(x?1)?x
2< br>?4x
，解方程
f(x?1)?0
（12分）




18、已知函数
y?f(x)
的定义域是
0?x?1
。（13分）
求：①
f(x
2
)
②
f(x?a)
（
a?0
） ③
f(x?a)?f(x?a)

(a?0)
的
定义域



2
?
?
3x?2x
19、已知函数
f(x)?
?
，求使
f(x)?2
的
x
值的集合。 （12
2
?
?
?2x?3
分）




20、已知函数
y?




2
21、已知
f(x)
是定义在[-1，1]上的增函数，且
f(x?1)?f(x? 1)
，求
x
的取值范
11
x?a和y?bx?
互为反函数， 求
a,b
的值。 （12分）
23
围。（12分）

22、已知
A?[1,b](b?1)
，对于
f(x)?
的取值范围。（13 分）
1
(x?1)
2
+1，若
x?A
时，
f(x )?A
，试求
b
2




参考答案：
一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.D 7.B 8.D 9.C 10.A 11.B 12.A
二、填空题 13、
?
?1

14、-4
15、
b?0

16、
m

三、解答题：
17、
x??2

18、①
x?[?1,1]
②
x?[?a,1?a]

③
a?
1
时定义域为
?
；
2
1
0?a?
时定义域为
[a,1?a]

2
19、
{xx??
221?7
或?x?}

223
1
?
a?
?
20、
?
6

?
?
b?2
21、
1?x?2

22、
1?b?3


第三章 数列专题讲解

一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中 学数学的始终，数列作为特殊的函数，与
函数有着千丝万缕的联系：
数列的通项公式及前n项 和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关
于n的一次函数，前n项和是关于n的一元 二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式
都与指数函数有关。
在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数

思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函 数与方程之间的辩
证思维便形成了函数方程思想。
因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。
[例]（1）首项为正数的等差数列 ｛a
n
｝，其中S
3
=S
11
，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a
n
｝中，S
10
=100，S
20=300，求 S
30
。
（3）等差数列的公差不为0，a
3
=15,a
2
,a
5
,a
14
成等比数列，求S
n
。
分析 （1）等差数列前n项和S
n
=
2
d
2
d
n+(a
1
－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数
22< br>项为0，故可设S
n
=An+B
n
,运用配方法求最值；
（ 2）由S
n
=An+B
n
及S
10
=100，S
2 0
=300，求出A、B后再求S
30
。
（3）求S
n
的 关键，在于求a
n
,由a
n
=dn+(a
1
－d)(d≠0 )知，它是关于n的一次函数，故可
设a
n
= An+B，由条件列出方程组求A、B。
解（1）设S
n
= An+B
n
（A≠0），
∵S
3
=S
11
，
∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。
2
2
B
B
2
2
又∵S
n
= An+B
n
=A（n+）－,
2A
4A
2
∴当n=－B
=7时，S
n
有最大值S
7
。
2A
另解由 S
3
=S
11
，得a
4
+a
5
+a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10
+a
11
=0,
又∵a
4
+ a
11
= a
5
+ a
10
= a
6
+ a
9
= a
7
+a
8
,
∴4(a
7
+a
8
)=0, a
7
+a
8
=0.
由于a
1
＞0,据题意知a< br>7
=－a
8
＞0，a
8
＜0
因此，前7项和最大。
（2）设S
m
=An+Bn(A≠0)
∵S
10
=100，S
20
=300,
100A+10B=100, A=
2
1
,
2

∴
400A+20B=300. B=5.
∴S
30
=900×
1
+30×5=600。
2
另解 ∵S
10
=100，S
20
=300，又S
10
，S
20
－S
10
，S
30
－S
2 0
成等差数列。
∴S
30
－S
20
=2（S
20
－S
10
）－S
10

∴S
30
=600
（3）设a
n
=An+B(A≠0)
2
∵a
3
= 15,a
5
=a
2
·a
14
,
∴ 3A+B=15
(5A+B)=(2A+B)·(14A+B).
A=2,
∴ a
n
=2n－1
B=－1..
∴S
n
=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1）
=2×(1+2+…+n)－n
=n(n+1)－n=n.
评析 从函数角度考察 等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为
函数解决，体现了函数的思想和方法的应 用。


二 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如 同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其
性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和 等，看来，求数列的通项往往是
解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结 如下。
1. 观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与 项数n的内在联
系，从而归纳出数列的通项公式。
【例1】 写出下面各数列的一个通项公式
（1）
2
2
1
4916
，
,,
…； 2
51017,
（2）1，－
,
1111
,?,
…；
371531,

（3）
371531
…；
,,,
481632,
（4）21，203，2005，20007，…；
（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…；
（7）1，
31517
,,,,,
…
23456
2222
解（1）注意各项的分子分别是1，2，3，4，…，分母比分子大1，
n
2
∴数列的通项公式为a
n
=
2
.
n ?1
(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作2－1=1，2－1=3，2－1=7，2－1= 15，
2－1=31，…，各项分子均为1。
∴数列的通项公式为a
n
=（ －1）·
2
n
1
2
3
4
5
1

n
2?1
5
（3）各项的分母分别是2，2，2，2，…分子比分母小1。
3
4
2
n?1
?1
∴数列的通项公式为a
n
=
2
n?1
（4）各项可看作21=2×10+1203=2×100+3200 5=2×1000+5
20007=2×10000+7，
∴数列的通项公式为a
n
=2×10+（2n－1）.
n
2212 2
×0.9=×(1－),0.22=2×0.11=×0.99=×(1－
99109912121
),0.222=×(1－),0.222=×(1－),…，
100100 00
910009
21
∴数列的通项公式为a
n
=·（1－
n
）。
9
10
(5)把各项适当变形0.2=2×0.1=
（6） 奇数项皆为1，偶然项为0，
1?(?1)
n?1
∴数列的通项公式为a
n
=
2
（7）各项可看作1=1+0，
3111511171
=+1，=+0，=+1，=+0，= +1，…，∴数
3355
224466
1
1?(?1)
n
列 的通项公式为a
n
=+.
n
2
评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：

（1） 观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）或者（－1）
nn?1
部分，如
本例中（2），（6），（7）也有所涉及。
（2） 分解分子分母的因数（式） ，考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规
律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表 现得不那么明显的项，同时要特别注
意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。
（3） 考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例（1），（2），
（3）等。

2. 已知S
n
求a
n
或已知S
n
与a
n
的关系求a
n

已知数列｛a
n
｝的前n项和S
n
求a
n
时，要注意运用a
n
和S
n
的关 系，即
S
1
，n=1
a
n
=
S
n
－S
n?1
,n≥2.

【例2】已知下列 各数列｛a
n
｝的前n项和S
n
的公式，求｛a
n
｝的通项 公式。
（1） S
n
=10－1；（2）S
n
=10+1；（3） S
n
=n+1.
解（1）当n=1时，a
1
=S
1
=9,
当n≥2时，a
n
= S
n
－S
n?1
=（10－ 1）－（10
且n=1时，a
1
=9也适合上式，∴a
n
=9·10
(2)当n=1时，a
1
=S
1
=10+1=11,
当n≥2时，a
n
= S
n
－S
n?1
=（10+ 1）－（10
而n=1时，a
1
=11，不适合上式，
∴a
n
11，n=1
9·10
n? 1
nn?1
n?1
nn?1
nn2
nn2
3
－1） =10－10
?
nn?1
=9·10
n?1
，
（n
??
）.
1
+1）=9·10
n?1
，
,n≥2.
(3)当n=1时，a
1
=S
1
=2，
当n≥2时，a
n
= S
n
－S
n?1
=（n+1）－[(n－1)+1]=2n－1,

22

而n=1时，a
1
=2不适合上式，

2, n=1,
∴a
n
=
2n－1,n≥2.

评析 已知｛a
n
｝的前n项和S
n
求a
n
时应注意以下三点：
（1） 应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S
n－S
n?1
=
a
n
推导的通项a
n
中的n≥2。
（2） 由S
n
－S
n?1
= a
n
，推得的a
n
且当n=1时，a
1
也适合“a
n
式”，则需统一“合写”。
（3） 由S
n
－S
n?1
= a
n
推得的an
，当n=1时，a
1
不适合“a
n
式”，则数列的通项应分段
表示（“分号”），即a
n
= S
1
，n=1, 如本例中（2），（3）。请观察本例
中（1）与（2）的差异及联系。
S
n
－S
n?1
, n≥2


【例3 】已知数列的前n项之和为S
n
，满足条件lgS
n
+(n-1)lgb=l g(b
≠1
,(1)求数列｛a
n
｝的通项公式；（2）若对n
? ?
,n≥4时，恒有a
n?1
＞a
n
,试求b的取值范围。
解（1）由已知得lgS
n
= lg(b
∴S
n
= b+< br>2
n?1
n?1
+n-2),其中b＞0,且b
?
+n-2) －lgb
n?1
=lg(b+
2
n?2
),
n?1
b
n?2
.
b
n?1
2
当n=1 时，a
1
=S
1
=b－1;
n?2n?3
2
－（b+）
n?1
n?2
b
b
(1?b)n?3b?2
=。
b
n?1
当n≥2时，a
n
= S
n
－S
n?1
= b+
2
b－1,n=1,
∴a
n
=
2
(1?b)n?3b?2
, n≥2
n?1
b

(2)∵a
n?1
＞a
n
, n≥4,
∴
(1?b)(n?1)?3b?2(1?b)n?3b?2
－＞0.
nn?1
bb
2
∴(n-3)b－2(n－2)b+(n－1) ＞0,(以b为“主元”整理)
即（b－1）[(n－3)b－(n－1)] ＞0,
2
≤1+2=3,
n?3
n?12
∴b＜1或b＞=1+.
n?3n?3
∵1＜1+
∴0＜b＜1或b＞3.

【例4】（1 ）在数列｛a
n
｝中，已知S
n
=3+2a
n
,求a
n
.
2
2S
n
(2)在数列｛a
n
｝中，已知 a
1
=1, a
n
=( n≥2),求a
n
.
2S
n
?1
解（1）∵a
n
= S
n
－S
n?1
=（3+2 a
n
）－(3+2a
n?1
),
∴a
n
=2a
n?1
,
得
a
n
=2(n≥2);
a
n?1
∴｛a
n
｝是a
1
=S
1
=－3且q=2的等比数列，
∴a< br>n
=a
1
·q
n?1
=－3·2
n?1
(n ≥1).
2
2S
n
(2)∵a
n
= S
n
－S
n?1
=,
2S
n
?1
∴
11
－=2(n≥2).
S
n
S
n?1
又a
1
= S
1
=1,
则
1
=1,
S
1
1
1
｝是以=1为首项，2为公差的等差数列。
S
n
S
1
∴数列｛

∴
1
1
=+（n－1）·2=2n－1,
S
n
S
1
1
.
2n?1
∴S
n
=
当n=1时，a
1
= S
1
=1,
当n≥2时，a
n
= S
n
－S
n?1
=
1
12
－=－
2n? 1
2(n?1)?1(2n?1)(2n?3)
而n=1时，a
1
= S
1
=1不适合上式，
1，n=1,
∴a
n
=
－

3. 累差法
若数列｛a
n
｝满足a
n?1
－a
n
=f(n)(n
??
),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求
a
n
。（请你复习求等差数列通项公式的部分）
【例5】求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
解 ∵a
2
－a
1
=3－1=2,
a
3
－a
2
=7－3=4,
a
4
－a
3
=13－7=6,
…
a
n
－a
n?1
=2(n－1)
以上n－1个等式左右两边分别相加，得
a
n
－a
1
=2[1+2+3+…+（n－1）]=（n－1）n，
∴a
n
=n－n+1.
且n=1时，a
1
=1适合上式。
∴a
n
=n－n+1.
评析 我们应验证n=1时a
1
=1适合a
n
=n－n+1式，这是什么原因。

2
2
2
2
, n≥2.
(2n?1)(2n?3)
?

4. 累商法
若数列｛a
n
｝满足
a
n?1
?
=f(n)( n
??
),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a
n
.
a
n
n?1
a
n
,求通项a
n
。 n
【例6】在数列｛a
n
｝中，a
1
=2，a
n?1< br>=
解 ∵a
1
=2，a
n?1
=
∴
n?1
a
n
,
n
a
2
2
=，
a
1
1
a
3
3
=，
a
2
2
……
a
n
n
=。
a
n?1
n?1
以上n－1个等式左右两边分别相乘得
a
n
=n, a
n
=2n.
a
n
且n=1时，a
1
=2也适合上式。
∴a
n
=2n .

5. 构造法
直接求通项a
n
较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而
将问题转化为较易求 解的问题，进一步求出通项a
n
。
【例7】各项非零的数列｛a
n
｝，首项a
1
=1,且2S
2
n
=2a
n
S
n
－a
n
,n≥2,求数列的通项a
n
。
解 ∵a1
=1，2S
2
n
=2a
n
S
n
－a
n
, n≥2,又a
n
= S
n
－S
n?1
.
2
∴2S
2
n
=2S
n
－2 S
n
S
n?1
－S
n
+ S
n?1
，
∴
11
－=2 （n≥2）（怎么得到的？）
S
n
Sn?1
11
｝是以=1为首项，以2为公差的等差数列，
S
n
S
n
∴数列｛

∴
1
1
=1+（n－1）·2=2n－1, S
n
=.
2n?1
S
n
11
?2
－= (n≥2)
2n?12n?3
(2n?1)(2n?3)
∴a
n
= S
n
－S
n?1
=
又a
1
=S
1
=1,不适 合上式，
1,n=1,
∴a
n
=
?2
, n≥2 < br>(2n?1)(2n?3)
有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧（如例7即前面的例 4（2））；当然
了，有些题可能有多种解法。

【例8】已知数列｛a
n
｝中的项满足 a
1
=b 求｛a
n
｝的通项公式。
a
n?1
=ca
n
+d
解（1）c=0时，a
n
= b,n=1
d,n≥2 (必须首先考虑到)
（1） c=1时，a
n
=b+(n－1)d.
（2） 当c≠0,c≠1时可有如下几种方法求a
n
。
解法1（递推法） ∵a
1
=b及a
n?1
= ca
n
+d,
∴a
n
= ca
n?1
+d=c(ca
n?2
+d )+d=ca
n?2
+cd+d
=…=c
=c
c?1
n? 1
2
a
1
+c
n?2
n?2
d+c
n?3
n?3
d+…+cd+d
b+( cd+ c+…+c+1)d
= c< br>c?1
c
n?1
bc
n
?(d?b)c
n?1
?d
b+d=
c?1
c
?1
解法2（构造法）∵a
n? 1
=ca
n
+d,
∴a
n?1
+x= ca
n
+x+d=c(a
n
+
x?d
),
c

d?xdd?x
,得x=,(令x=有什么目的)
cc?1c
ddddd< br>∴a
n?1
+=c(a
n
+),即数列｛a
n
+｝是 首项为a
1
+=b+,公比为c的等
c?1c?1c?1c?1c?1
令x=
比数列，
∴a
n
+
dd
c?1
=（b+）·c，
c?1c?1
bc
n
?(d?b)c
n?1
?d
整 理得a
n
=。
c?1
评析 构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。
注意 求数列通项公式的问题 是最为常见的试题，特别要注意已知S
n
求a
n
的问题。


三 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于 等差数列，等比数
列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以 下四
种常用求和技巧和方法。
1.公式法
能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方
法。 < br>【例1】数列｛a
n
｝的通项a
n
=n－n，求前n项和S
n
。
解 S
n
=（1－1）+（2－2）+…+（n－n）
=（1+2+…+n）－（1+2+…+n）
222
222
2
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
－
62
n(n?1)(n?1)
=。
3
=
说明 请大家注意应用常见数列的求和公式。
（1） 1+2+3+…+n=
n(n?1)
；
2
2
（2） 1+3+5+…+（2n－1）=n;
（3） 1+2+3+…+n=
2.倒序求和法
3.错项求和法
【例2】求和S
n
=
2222
n(n?1 )(2n?1)
等。
6
1352n?1
+++…+。
24
8
2
n
请你独立完成，相信你会有更深的体会。

答案 S
n
=3－
4.裂拆项法
2n?3
。
2
n
n
【例3】在数列｛a
n
｝中，a
n
=10+2n－1,求S
n

解 S
n
=（10+2×1－1）+（10+2×2－1）+…（10+2n－1）
=（10+10+…+10）+2×（1+2+…+n）－n
1
2n
12n
10(10
n
?1)
=+n(n+1)－n
10?1
=
10
n2
(10－1)+n.
9
注意 把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。
练习：求数列1，1+2，1+2+3，…的前n项的和。
答案 S
n
=
n(n?1)(n?2)
。
6
【例4】已知数列｛ a
n
｝：，
1
1
11
1
，，…，…，求它的前n项 和。
1?21?2?3
1
?
2
?
3
?
?
?n
分析 我们先看通项a
n
=
成两项之差如何？
解∵a
n
=
1
1
=，然后想什么办法求S
n
呢？将通项分 裂
1
?
2
?
3
?
?
?n
n(n? 1)
11
1
=2（
?
）， （为什么呢？）
nn?1
n(n?1)
∴S
n
=a
1
+a
2+a
3
+…+a
n

1111111
)+(－)+(－)+…+（
?
）]
3
4
nn?1
22
3
12n
=2（1－）=。 （成功了！）
n?1n?1
=2[(1－
评析 如果数列的通项公式可转化为f( n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，
当数列的通项公式是关于n的分式形式时， 可尝试采用此法。
常用的裂项技巧如：
111
1
=（
?
）；
n(n ?k)
k
nn?k
1
n?k?n
=
1
（
n ?k
－
n
）等。
k
使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些 项，保留了哪些项；你是否注意到由于
数列｛a
n
｝中每一项a
n
均 裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数

项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。