高一数学必修三,几何概型知识点及题型

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第三节 几何概型
一、基础知识
1. 几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例，则称这样的概率模型为几
何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
古典概型与几何概型的区别与联系
(1)共同点：基本事件都是等可能的；
(2)不同点：古典概型基本事件的个数是有限的，几何概型基本事件的个数是无限的．
3．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度?面积或体积?
P(A)＝.
试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?
几何概型应用中的关注点
(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性．




考点一 与长度有关的几何概型

[典例] (1)(2019·安徽知 名示范高中联考)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分
钟的有效刷卡时间(即8 ：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机
的，则他能 有效刷卡上班的概率是( )
2
A.

3
1
C.
3
5
B.
8
3
D.

8
1
(2)在区间[0，π]上随机地取一个数x，使sin x＞
的概率为( )
2
1
A.
3
2
C.
3
1
B.

2
3
D.

4
[解析] (1)该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设 其构成的区域为线

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段AB，且AB＝40， 职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB＝15，
153< br>如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P＝＝，故选D.
408

π5π
?
1
(2)结合正弦曲线，在[0，π]上使sin x＞
的x∈
?
?
6
，
6
?
，
2
5ππ
－
66
2
由几何概型的概率公式，得P＝＝
.
π－0
3
[答案] (1)D (2)C
[解题技法] 与长度有关的几何概型
(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
构成事件A的区域长度
P(A)＝.
试验的全部结果所构成的区域长度
(2 )与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．
[题组训练]
1．(2019·包头十校联考)已知函数f(x)＝－x
2
＋2x， x∈[－1，3]，则任取一点x
0
∈[－1,3]，使得f(x
0
)≥0< br>的概率为( )
3
A.
4
1
C.
2
1
B.

3
1
D.

4
21
解析：选C 由f(x)≥0，解得0≤x≤2，又x∈[－1,3]，所以f (x
0
)≥0的概率为
＝
.
42
2．(2018·合肥一 检)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人
在不知道时间的情况 下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )
1
A.
14
1
C.
7
1
B.

12
1
D.

6

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解析：选D 由题意可知，该广 播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，
41
所以所求的概 率为＝，故选D.
246
3．已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体
的长和宽，则长方体的体积超过128 cm
3
的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm，则相 应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128，得x
2
－12x＋32
8 －4
1
＜0，解得4＜x＜8，因此所求的概率为＝
.
123
1
答案：
3
考点二 与体积有关的几何概型

[典例] (1)如图，在长方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，有一动点在此长
运动，则此动点在三棱锥A?A
1
BD内的概率为________．

(2)在棱长为2的正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，点O为底面ABCD的中心，在 正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
内< br>随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析] (1)设事件M为“动点在三棱锥A?A
1
BD内”，
11
AA
1
·S
矩形
ABCD
32
1
11
则P(M)＝＝＝＝ ＝
.
6
V
长方体
ABCD?ABCD
V
长方体< br>ABCD?ABCD
V
长方体
ABCD?ABCD
AA
1·S
矩形
ABCD
V
三棱锥
A?ABD
V
三棱 锥
A?ABD
1
方体内随机
1
AA·S
3
1
△
ABD
(2)如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V
12π
π×1
3
＝
.
3
2π
事件“点P与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为2
3
－，
3
2π
2
3
－
3
根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝
3
2
1π
[答案] (1) (2)1－
612

[变透练清]
＝
14
×
23
π
＝1－
.
12
1.
?变结论?
在本例(2)中，条件不变，则点P到正方体的中心的距离小于1的概率为__ ______．
4
π×1
3
3
π
解析：由题意，点P位于 以正方体的中心为球心，以1为半径的球的内部，故所求概率为
3
＝
.
26
π
答案：
6
2.
?变条件?
在本例(2)中 ，条件变为：一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆

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柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：到点O的距离等于1的点构成一个半球面，如图．
则点P到点O的距离大于1的概率为
2π
2π－
3
2
P＝
＝
.
2π3
2
答案：
3
3.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M是AB的中点，一只蝴
ADF?BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F?AMCD内的概率为____ ____．
蝶在几何体

111
解析：由题图可知V
F?AMCD
＝
×S
四边形
AMCD
×DF＝
a
3
，V
ADF?BCE
＝a
3
，
342
1
3
a
4
1
所以它飞入几何体F?AMCD内的概率为＝
.
1
3
2
a
2
1
答案：
2

[解题技法] 与体积有关的几何概型问题
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：
构成事件A的区域体积
P(A)＝.
试验的全部结果所构成的区域体积
求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积．
[提醒] 解决几何概型问题的易错点：
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型；
(2)利用几何概型的概率公式时忽略事件是否等可能．

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考点三 与面积有关的几何概型

考法(一) 与平面几何结合
[典例] (1)(2018·烟台高考诊断性测试)七巧板是 我国古代劳动人民的发明之一，这是由五块等腰直角
三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方
形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )

1
A.

4
3
C.
8
1
B.
8
3
D.

16
以该 菱形的
自阴影部分
(2)(2019·福州质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠AB C＝60°，
4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取
的概率是 ________．
[解析] (1)不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分 别为1,1，2，两个大等腰
直角三角形的边长为2,2,22，即最大正方形的边长为22，则较大等 腰直角三角形的边长分别为2，2，
1
×2＋1＋1＋2×2
2
1
2 ，故所求概率P＝1－
＝
.
88
(2)依题意，菱形中空白部分的面积总和 等于一个半径为1的圆的面积，菱形ABCD的面积为2×2×sin
π3
60°＝23.所以该点落在阴影部分的概率P＝1－
＝1－
π.
6
23
[答案] (1)B (2)1－

考法(二) 与线性规划结合

3
π
6

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2x－y≥0，
?
?
[典例] (2018·洛阳统考)在区间(0,2)内 随机取一个实数a，则满足
?
y≥0，
?
?
x－a≤0
的面 积大于1的概率是( )
1
A.
8
1
C.
2
2x－y≥0，
?
?
[解析] 作出约束条件
?
y≥0，
?
?
x－a≤0
1
B.

4
3
D.

4

的点(x，y)构成区域

表示的平面区域如图中阴影部分所示，
1
则阴影部分的面积S＝×a×2a＝a
2
＞1，∴1＜a＜2，根据几何概型的
2
2－1
1
公式得所求概 率为＝
.
2－0
2
[答案] C

[解题技法] 概率计算
解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的区域 面积，其
解题流程为：

[题组训练]
2
1．(2018·新 疆自治区适应性检测)在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于
的概率为
3
( )
8
A.
9
4
C.
9
7
B.

9
1
D.

9

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解析：选A 在区间[0,2] 中随机取两个数，构成的区域如图
22
“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于或等于 ”的
33
2
区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于所构成的平面区域的3
4
9
82
故两个数中较大的数大于的概率P＝1－＝
.
349
11
2. 如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝
，y＝－ ，y＝
xx
圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
1
A.
4
π
C.
4
1
B.

8
π
D.

8
中大正方形，又
对立事件，且在
224
面积为×＝，
339
x，y＝－x及
解析：选A 根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面 积的四分之一，在圆内随机取一点，
1
则此点取自黑色部分的概率是，选A.
43．(2019·西安八校联考)从集合{(x，y)|x
2
＋y
2
≤4 ，x∈R，y∈R }中任选一个元素(x，y)，则满足x＋y≥2
的概率为________． < br>22
?
?
x
＋y≤4，
解析：如图，先画出圆x
2< br>＋y
2
＝4，再画出不等式组
?
?
x＋y≥2
?
对应的可行域，
11
×4π－×2×2
2
S
阴影4
π－2
即图中阴影部分，则所求概率P＝＝＝
.
4π4π
S
圆
π－2
答案：
4π
[课时跟踪检测]

4
1．(2018·成都毕业班摸底)在区 间[－4,1]上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为
，则实数a
5
的 值为( )
1
A.

2
C．2
B．1
D．3
解析：选D 设集合A＝{x||x|＜a}＝(－a，a)(a＞ 0)，若0＜a≤1，则A?[－4,1]，由几何概型的概率
a－?－a?
4
1－? －a?
4
公式得P(A)＝＝，解得a＝2，不符合题意，若a＞1，则P(A)＝＝，解得a ＝3，符合题
1－?－4?
5
1－?－4?
5
意，故选D.
2.(2018·湖北八校联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民

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银行发行了以此为主题的纪念币．如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22 mm，面额100 元．为
了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内， 据此可估
计军旗的面积大约是( )
726π
A. mm
2

5
363π
C. mm
2

5
363π
B. mm
2

10
363π
D. mm
2

20
解析：选B 由该纪念币的直径为22 mm，知半径r＝11 mm，则该纪念币的面积为πr
2
＝π×1 1
2
＝
30363π
121π(mm
2
)，∴估计军旗的面 积大约是121π×
＝
(mm
2
)．
10010
3．(2 019·湖北五校联考)已知定义在区间[－3,3]上的函数f(x)＝2
x
＋m满足f(2 )＝6，在 [－3,3]上任取一
个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )
1
A.
6
1
C.
2
1
B.

3
2
D.

3
解析：选B ∵f(2)＝6，∴2
2
＋m＝6，解得m＝2.由f(x) ≥4，得2
x
＋2≥4，∴x≥1，而x∈[－3,3]，故
21
根据几何概 型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝
.
63
4.一种电子计时 器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定
“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色 区域
的全等矩形
“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，
1
点A落在深色区域内的概率为
.若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域内 的
2
概率为( )
3
A.
8
3
C.
7
3
B.

4
6
D.

7

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7s1
解析：选C 依 题意，设题中全等的深色区域的面积为s，相应的固定的矩形的面积为S，则有＝，
S2
6s3
即S＝14s，因此点B落在深色区域内的概率为＝，选C.
14s7
5．(201 9·沈阳质检)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵
的数学遗 产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步
是求圆的 内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )
33
A.
4π
1
C.
2π

解析： 选B 如图，在单位圆中作其内接正六边形，
3
2
×1×6
S
六边形
4
33
则所求概率P＝＝＝
.
2
2π
S
圆
π×1
1
6．已知正棱锥S?ABC的底面边长为4，高为3， 在正棱锥内任取一点P，使得V
P?ABC
＜V
S?ABC
的概率
2
是( )
3
A.
4
1
C.
2

解析：选B 由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足
V
S?ABC
，
1
故使得V
P?ABC
＜V
S?ABC
的概率P＝
2
大三棱锥的体积－小三棱锥的体积
1
?
3
7
＝1－?
?
2
?
＝
8
.
大三棱锥的体积
7 .如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接
弦，则此弦的长度小于或等于半径长 度的概率为( )
1
A.
2
1
C.
3
B.
3

2
AA′，得到一条
V
P?A BC
＜
1
2
7
B.

8
1
D.

4
33
B.

2π
1
D.

4π
1
D.

4
π
解析：选C 当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右 都可取得，故由几何
3
2π
3
1
概型的概率计算公式得P＝＝
.
2π3

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8.(2018·全 国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几
由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三 角形ABC的斜边BC，
AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p
1
，p
2
，p
3
，则( )
A．p
1
＝p
2

C．p
2
＝p
3

B．p
1
＝p
3

D．p
1
＝p
2
＋p
3

何图形．此图< br>直角边AB，
为Ⅲ.在整个
11
AB
?
2
π
2
解析：选A 法一：∵S
△
ABC
＝
AB·AC，以AB为直径的 半圆的面积为π·
?
＝
AB
，以AC为直径
22
?
2
?
8
1
AC
?
2
π
2
1
?
BC
?
2
π
2
的半圆的面积为
π·
?
＝
AC
，以BC为直径的半圆的面积为
π·
＝
BC
，
2
?
2
?
82
?
2?
8
1π1
∴S
Ⅰ
＝
AB·AC，S
Ⅲ
＝BC
2
－
AB·AC，
282
π
2
π
2
??
π
2
1
1
AB
＋
AC
－
BC
－
AB·AC
?
＝AB·AC. S
Ⅱ
＝?
82
?
8
??
8
?
2
∴S
Ⅰ
＝S
Ⅱ
.
由几何概型概率公式得p
1
＝
∴p< br>1
＝p
2
.故选A.

法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，
AB＝AC＝2，则BC＝22，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，
1
为S
1
＝
×2×2＝2，
2
区域Ⅱ的面积S< br>2
＝π×1
2
－
S
Ⅰ
S
Ⅱ
，p2
＝
，
S
总
S
总
?
π×?2?2
?
＝2，
?
2
－2
?
??
π×? 2?
2
区域Ⅲ的面积S
3
＝
－2＝π－2.
2
根据几何概型的概率计算公式，
π－2
2
得p
1
＝p
2
＝
，p
3
＝
，
π＋2π＋2
所 以p
1
≠p
3
，p
2
≠p
3
，p
1
≠p
2
＋p
3
，故选A.
9．在长为12 cm的线段 AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩
形的面积大于20 cm
2
的概率为________．
解析：设AC＝x，则BC＝12－x，所以x(12－x)>20，解得210－2
2
故所求概率P＝＝
.
123
2
答案：
3

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ππ
1
－，
?
，则cos x≤的概率是________．
10．(2018·开封高三定位考试)已知函数y＝cos x，x∈
?
?
22
?
2
ππππ
1π5π
－，
?
，所以满足条件 的x∈
?
－，－
?
∪解析：由cos x≤，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k ∈Z，又x∈
?
3
??
22
??
2
233
?
π
－
π
?
2×
?
π
，
π
?
，故所求概率P＝
?
23
?
＝
1
.
?
32
?
π
?
π
?
3
－
－
2
?
2
?
1
答案：
3
11.如图，正四棱锥S ?ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD
任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为___ _____．
11
××2R×2R·R
V
锥
32
解析：设 球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝
4
3
V
球
πR
3< br>1
答案：
2π
6
12．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数 之和小于
的概率是________．
5
解析：设这两个数分别是x，y，则总的基 本事件构成的区域是
定的平面区域，所求事件包含的基本事件
0≤x≤1，
?
?
0≤y≤1，
构成的区域是
?
6
x＋y<
?
?
5
错误!确
1
.
2π
上，在球O内

确定的平面区
1
4
?
2
17617
域，如图所示 ，阴影部分的面积是1－×
?
＝，所以这两个数之和小于的概率是
.
2
?
5
?
25525
17
答案：
25< br>13．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，1
标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是
.
2
(1)求n的值．
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小 球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率； < br>②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x
2
＋y
2
＞( a－b)
2
恒成立”的概率．
解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球 n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2
n1
的小球概率为＝，得n＝2.
n＋2
2
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1 )，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，

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(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共 有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝
2
＝
.
3< br>8
12
②由①可知，(a－b)
2
≤4，故x
2
＋y
2
＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域
为Ω＝{
x，y|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R
，
}
1
2< br>2
－
π·2
2
4
π
由几何概型得概率为P＝＝1－< br>.
2
24