2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 二十九 数列的概念与简单表示法

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课时分层提升练 二十九
数列的概念与简单表示法
……………………25分钟 50分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.数列-1,,-,,-…的一个通项公式为 ( )
A.
C.
B.-
D.
【解析】选A.设此数列的通项公式为a
n
,
因为奇数项为负数,偶数项为正数,
每一项的绝对值为,
故其通项公式为a
n
=.
2.已知数列{a
n
}的通项公 式是a
n
=2-3n,则该数列的第五项是 ( )
A.-13 B.13 C.-11 D.-16
【解析】选A.因为数列{a
n
}的通项公式是an
=2-3n,所以a
5
=2-3×5=-13.
3.数列,-,,-,…的第10项是 ( )
A.- B.- C.- D.-
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【解析】选C.a
n
=(-1)
n+1
,a10
=-.
4.已知数列{a
n
}对于任意p,q∈N
*,有a
p
+a
q
=a
p+q
,若a
1
=,则a
36
= ( )
A. B. C.1 D.4
【 解析】选D.因为a
p+q
=a
p
+a
q
,所以
a
36
=a
32
+a
4
=2a
16
+a4
=4a
8
+a
4
=8a
4
+a
4< br>=18a
2
=36a
1
=4.
5.数列{a
n}中,a
1
=1,对于所有的n≥2,n∈N
*
都有a
1
·a
2
·a
3
·…·a
n
=n
2
,则a
3
+a
5
=
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.方法一:令n=2,3,4,5,分别求出a
3
=, a
5
=,
所以a
3
+a
5
=.
方法二 :当n≥2时,a
1
·a
2
·a
3
·…·a
n=n
2
.
当n≥3时,a
1
·a
2
·a3
·…·a
n-1
=(n-1)
2
.
两式相除得a
n
=,所以a
3
=,a
5
=,
所以a
3
+a
5
=.
6.已知数列{a
n
}满足a
1
=60,a
n+1
-a
n
=2n,则的最小值 为 ( )
A. B.29 C.102 D.
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【解析】选A.因为a
n+1
-a
n
=2n,所 以当n≥2时,a
n
=a
1
+(a
2
-a
1
)+(a
3
-a
2
)+…
+(a
n
-a
n-1
)=60+2+4+…+2(n-1)=n(n-1)+60=n
2
-n+60 ,
所以==n+-1,令f(x)=x+(x≥2),
)上单调递减, 由函数性质可知,f(x)在区间[2,2
在区间(2
又7<2
,+∞)上单调递增,
<8,n为正整数,
=7+-1=
=8+-1=,
; 故当n=7时,
当n=8时,
且<
所以
<=60,
的最小值为.
7.数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
1
=1 ,a
n+1
=3S
n
(n≥1),则a
6
= ( )
A.3×4
4
B.3×4
4
+1
C.4
5
D.4
5
+1
【解析】选A.方法一: a
1
=1,a
2
=3S
1
=3,
a
3< br>=3S
2
=12=3×4
1
,a
4
=3S
3
=48=3×4
2
,
a
5
=3S
4
=3×4
3
,
a
6
=3S
5
=3×4
4
.
方法二:当 n≥1时,a
n+1
=3S
n
,则a
n+2
=3S
n+1
,
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所以a
n+2
-a
n+1
=3S
n+1
-3S
n
=3a
n+1
,即a
n+2
=4a
n+1
,
所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,
又a
2
=3S
1
=3a
1
=3,
所以a
n
=所以当n=6时,a
6
=3×4
6-2
=3×4
4
.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.已知非零数列{a
n< br>}的递推公式为a
n
=
a
4
=________.
【解析】依次对递推公式中的n赋值,当n=2时,a
2
=2a
1
;当n= 3
时,a
3
=a
2
=3a
1
;当n=4时,a4
=a
3
=4a
1
=4.
答案:4
9.若 数列{a
n
}为1,2,2,3,3,4,4,…,则该数列的通项公式
a
n
=________.
【解析】数列{a
n
}为1,2,2,3,3,4,4,…,
可得奇数项分 别为:1,2,3,4,…,可得a
n
=
偶数项分别为2,3,4,…,可得a
n
=.
.
·(n>1),且a
1
=1,则
则该数列的通项公式a
n
=
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答案:
10.若数列{a
n
}的前n项和S
n
=a
n
+,则{a
n
}的通项公式是
a
n
=________.
【解析】当n=1时,S
1
=a
1
+,所 以a
1
=1.
当n≥2时,a
n
=S
n
-Sn-1
=a
n
+-
所以a
n
=-2a
n-1< br>,即=-2,
=(a
n
-a
n-1
),
所以{a
n
}是以1为首项的等比数列,其公比为-2,
所以a
n
=1×(-2)
n-1
,即a
n
=(-2)
n-1
.
答案:(-2)
n-1

……………………15分钟 30分
1.(5分)已知数列,,,,,,,,,,…,依它的前10项的规律,这
个数列的第2 018项a
2 018
等于 ( )
A. B. C. 64 D.
【解析】选D.观察数列:,,,,,,,,,,…,得出:它的项数是
1+2+3+…+k= (k∈N
*
),
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并且在每一个k段内,是k个分数(k∈N
*
,k≥3),且它们 的分子分母和为
k+1(k∈N
*
,k≥3);
由k=63时,=2016<2018(k∈N
*
),
故a
2018
在第64段中,
所以该数列的第2018项a
2018
为第64组的第2项,
故a
2018
=.
2.(5分)在数列{a
n
}中,a< br>1
=2,a
n+1
=a
n
+ln
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
【解析】 选A.因为a
n+1
-a
n
=ln
a
3
-a
2
=ln 3-ln 2,
a
4
-a
3
=ln 4-ln 3,
a
n
-=ln n-ln(n-1),
=ln(n+1)-ln n,所以a
2
-a
1
=ln 2-ln 1,
,则a
n
= ( )
把以上各式分别相加,得a
n
-a
1
=ln n-ln 1,
即a
n
=2+ln n.
选A.由
a
n
=(a< br>n
-
-a
n
=ln(n+1)-ln n得
)+(-)+…+(a
2
-a
1
)+a
1

=ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1+2=ln n+2.
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3.(5分)已知S
n
为数列{a
n
}的前n项 和,且log
2
(S
n
+1)=n+1,则数列{a
n
}< br>的通项公式为 ( )
A.a
n
=2
n
B.a
n
=
C.a
n
=2
n-1
D.a
n
=2
n+1

【解析】选B.由log
2
(S
n
+1)=n+1,
得S
n
+1=2
n+1
.
当n=1时,a
1
=S
1
=3;
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=2
n
.
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=

4.( 5分)在数列{a
n
}中,若a
4
=1,a
12
=5,且任 意连续三项的和都是15,
则a
2 020
=________.
【解析】因为任意连续三项的和都是15,
所以a
n
+a
n+1
+a
n+2
=15,
同时a
n+1
+a
n+2
+a
n+3
=15, < br>则a
n
+a
n+1
+a
n+2
=a
n+1< br>+a
n+2
+a
n+3
,
即a
n+3
=a
n
,即数列是周期为3的周期数列,
则由a
4
=1,a
12
=5,
得a
4
= a
1
=1,a
12
=a
9
=a
6
=a3
=5,
则由a
1
+a
2
+a
3
=15,
得a
2
=9,
则a
2 020
=a
673
×
3+1
=a
1
=1.
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答案:1
5.(10分)已知数列{a
n
}的各项均不 为0,其前n项和为S
n
,且
a
1
=1,2S
n
= a
n
a
n+1
,求S
n
的表达式.
【解析】当n =1时,2S
1
=a
1
a
2
,即2a
1
= a
1
a
2
,
所以a
2
=2.当n≥2时,2S< br>n
=a
n
a
n+1
,2S
n-1
=a
n-1
a
n
,两式相减得
2a
n
=a
n
(a
n+1
-a
n-1
),
因为a
n
≠0,所以a
n+1
-a
n-1
=2,
所以{a
2k-1
},{a
2k
}都是公差为2的等差数列, 又a
1
=1,a
2
=2,所以{a
n
}是公差为1的等 差数列,
所以a
n
=1+(n-1)×1=n,
所以S
n
=.

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