2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 四十四 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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课时分层提升练 四十四
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
……………………25分钟 50分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2020·南充模拟)在同一平面直角坐标系中 ,直线l
1
:ax+y+b=0和直
线l
2
:bx+y+a=0有可 能是 ( )

【解析】选B.当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.
2.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为
( )
A.-3 B.-1 C.0 D.2
【解析】选A.由k=
得-4-2y=2,所以y=-3.
3.若直线l:+=1( a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的
截距之和的最小值是 ( )
A.3+2 B.3-2
=tan=-1.
,则y等于
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C.2-3 D.2+3
【解析】选A.由直线l:+=1(a >0,b>0)可知直线在x轴上的截距为a,
在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和 的最小值,即求
a+b的最小值.由直线经过点(1,2)得+=1.于是
a+b=(a+b) ·+=3++,因为+≥2=2,当且仅当=时
取等号,所以a+b≥3+2
值为3+2. < br>,故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小
4.(2020·遵义模拟)若k,-1,b三个数 成等差数列,则直线y=kx+b必经
过定点
(
)
A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
【解析】选A.因为k,-1,b三个数成等差数列,
所以k+b=-2,即b=-2-k, 于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直
线必过定点(1,-2).
5.倾斜角为60°,在y轴上的截距为-1的直线方程是 ( )
A.
C.
x-y-1=0 B.
x-3y-1=0 D.
x-y+1=0
x+3y-1=0
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【解析】选A.因为倾斜角为60°,所以斜率为k=tan 60°=
在 y轴上的截距为-1,所以所求直线的方程为y=x-1,即
,又因为
x-y-1=0. 6.已知P
1
(a
1
,b
1
)与P
2
(a
2
,b
2
)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,
则关于x和y的方程组
A.无论k,P
1
,P
2
如何,总是无解
B.无论k,P
1
,P
2
如何,总有唯一解
C.存在k,P
1
,P
2
,使之恰有两解
D.存在k,P
1
,P
2
,使之有无穷多解
【解析】选B .因为P
1
(a
1
,b
1
)与P
2
(a< br>2
,b
2
)是直线y=kx+1(k为常数)上两
个不同的点,直线y =kx+1的斜率存在,所以k=,即a
1
≠a
2
,并且
的解的情况 是( )
b
1
=ka
1
+1,b
2
=ka2
+1,所以a
2
b
1
-a
1
b
2< br>=ka
1
a
2
-ka
1
a
2
+a< br>2
-a
1
=a
2
-a
1
,所以由方程组消元得(a
1
-a
2
)x=b
2
-b
1
.所以方程组有唯一解.
7.(2020·曲靖模拟)若直线ax+by=ab(a>0,b>0) 过点(1,1),则该直线在
x轴、y轴上的截距之和的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.因为直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点( 1,1),所以a+b=ab,
即+=1,
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所以a+b=(a+b)
等号成立.
=2++≥2+2=4,当 且仅当a=b=2时上式
所以直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.若直线l的斜率k的取值范围是
值范围是________.
【解析】当0≤k<
所以0≤α<.
答案:
时,因为tan 0=0,tan =,
,则该直线的倾斜角α的取
9.已知A(2,3),B(1,-1), C(-1,-2),点D在x轴上,则当点D坐标为
________时,AB⊥CD.
【解析】设点D(x,0),因为k
AB
=
所以直线CD的斜率存在.
则由AB⊥CD知,k
AB
·k
CD
=-1,
所以4·=-1,
=4≠0,
解得x=-9.
答案:(-9,0)
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10.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,则直线BC的方程
为__ ______.
【解析】依题意知:k
AC
=-2,A(5,1),
所 以l
AC
为2x+y-11=0,联立l
A
C
,l
CM得所以C(4,3).
设B(x
0
,y
0
),AB的中点M为
代入2x-y-5=0,得2x
0
-y
0
-1=0,
,
所以所以B(-1,-3),所以k
BC
=,
所以直线BC的方程为y-3=(x-4),
即6x-5y-9=0.
答案:6x-5y-9=0
……………………15分钟 30分
1.(5分)若直线+=1通过点M(cos α,sin α),则 ( )
A.a
2
+b
2
≤1 B.a
2
+b
2
≥1
C.+≤1 D.+≥1
【解析】选D.由已知得+=1,
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所以
=
(cos
2
α+sin
2
α)-
≥0,所以+≥1.

2.(5分)(2020·柳州模拟)直线x+(a
2
+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是
( )
A.
C.
B.
∪ D.

∪
,
.

【解析】选B.因为直线的斜率k=-
所以-1≤k<0,则倾斜角的 范围是
3.(5分)若直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,
那么 b的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-2,0)∪(0,2]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,+∞)
【解析】选B.令x=0,得 y=,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面积为
|-b|=b
2
,且b≠0,
因为b
2
≤1,所以b
2
≤4,
所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].
4.(5分)(2020·红河模拟)若直 线y=kx+1与以A(3,2),B(-2,3)为端点
的线段有公共点,则k的取值范围是____ ____.
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【解析】如图所示,

由直线l:y=kx+1,可知直线l过定点P(0,1).
所以k
PA
==,k
PB
==-1.
因为直线y=kx+ 1与以A(3,2),B(-2,3)为端点的线段有公共点,所以k≥
k
PA
或k≤ k
PB
,
即k≥或k≤-1.
所以实数k的取值范围是(-∞,-1]∪
答案:(-∞,-1]∪
.
5 .(10分)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相
交于点B,且 坐标原点O到直线l的距离为
值.
【解析】因为由坐标原点O到直线l的距离为
所以 =,所以m
2
+n
2
=,
,
,求△AOB的面积S的最小
令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,
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所以△AOB的面积S=
取等号.
=≥=3,当且仅当|m|=|n|=时,
所以△AOB的面积S的最小值为3.

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