江苏省高中数学竞赛内容-高中数学教学后记20字
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高二上学期数学期末复习测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列命题正确的是
22
A．若
a?b,c?d
，则
ac?bd
B．若
a?b
，则
ac?bc
（ ）
C．若
a?c?b?c
，则
a?b
D．若
a?b
，则
a?b
2．如果直线
ax?2y?2?
0
与直线
3x?y?2?0
平行，那么系数
a
的值是
2
3
A．－3 B．－6
C．
?
D．
3
2
y
2
2
3．与
双曲线
x??1
有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为
4
22
y
2
x
2
yx
??1
A．
??1
B．
28
312
（ ）
（
）
x
2
y
2
??1
C．
28
22
D．
x
?
y
?1
312
4．下说法正确的有
（ ）
①对任意实数a、b,都有|a+b|+|a－b|
?
2a;
②函数y=x·
1?x
2
(0
2
③对a
?
R,不等式|x|
lg
|A|?|B|
?
lg|A|?lg|B|
．
22
A． ①②③④ B．②③④ C．②④ D．①④ <
br>22
5．直线
l
过点P(0,2),且被圆x+y=4截得弦长为2,则
l
的斜率为 （ ）
A．
?
3
B．
?
3
C．
?2
D．
?3
2
3
x<
br>2
y
2
6．若椭圆
2
?
2
?1
(a
＞b＞0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，线段F
1
F<
br>2
被抛物线y
2
=2bx的
ab
焦点分成5∶3的两段，则此
椭圆的离心率为 （ ）
A．
2
7．已知不等式
ax?bx?c?0
的解集为（—∞，—1
）∪（3，+∞），则对于函数
16
B．
417
17
17
C．
4
5
D．
25
5
f(x)?ax
2
?bx?c
，下列不等式成立的是
（ ）
A．
f(4)?f(0)?f(1)
C．
f(0)?f(1)?f(4)
A．
(1,?1)
B．
f(4)?f(1)?f(0)
D．
f(0)?f(4)?f(1)
D．
(?1,?1)
8．已知直线
2x?y?4?0
，则抛物线
y?x
2
上到直
线距离最小的点的坐标为 （ ）
B．
(1,1)
C．
(?1,1)
?
x?y?3?0
9．设z=x?y,
式中变量x和y满足条件
?
， 则z的最小值为 （ ）
?
x?2y?0
A．1 B．?1
C．3 D．?3
10．已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F
1
，F
2
. 抛物线C
以F
1
为顶点，F
2
为焦点.P为两
曲线的一个交点.若
A．
3
3
PF
1
PF
2
?e
,则e的值为
（ ）
B．
3
2
C．
2
2
D．
6
3
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二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．设中心在原点的椭圆与双曲线
2x
2
－2y
2
=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，
则该
椭圆的方程是 ．
12．已知两变量
x
，
y
之间的关系为
lg(y?x)?lgy?lgx
，则以
x
为自变量的函数y
的
最小值为________．
13．直线
l
经过直线x?y?2?0和x?y?4?0
的交点，且与直线
x?2y?1?0
的夹角为45°，则直线
l
方程的一般式为 .
14．已知下列四个命题：
①在直角坐标系中，如果点P在曲线上，则P点坐标一定满足这曲线方程的解；
②平面内与两
个定点F
1
，F
2
的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线；
③角α一定是直线
y?xtan
?
?2
的倾斜角；
④直线
3x?4y?5?0
关于
x
轴对称的直线方程为
3x?4y?5?0
.
其中正确命题的序号是
（注：把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
15．
解不等式
x
2
?2x?1?
|x|
?0
.（12分）
x
22
16．已知圆
x?y?9
与
直线
l
交于
A
、
B
两点，若线段
AB
的中
点
M(2,1)
（1）求直线
l
的方程；
（2）求弦
AB
的长．（12分）
17．过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的
直线与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,直线OA
的斜率为
k
1
,直线OB的斜率为
k
2
.
（1）求
k
1
·
k
2
的值；
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（2）两点向准线做垂线
,垂足分别为
A
1
、
B
1
,求
?A
1FB
1
的大小．（12分）
18．某厂生产甲、乙两种产品，生产每吨甲、乙产品所需煤、电力和所获利润如下表所示：
消耗量 资源
煤（t） 电力（kW） 利润（万元）
产品
甲产品
乙产品
9
4
4
5
12
6
在
生产这两种产品中，要求用煤量不超过350t，电力不超过220kW.问每天生产甲、乙
两种产品各
多少，能使利润总额达到最大？（12分）
19．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)
到直线AP的距离为1．
3
,3
], 求实数m的取值范围；
（1）若直线AP的斜率为k，且|k|?[
3
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（2）当m=
2
+1时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程．（14分）
20．如图，已知
Rt?PAB
的直角顶点为
B
，点
P(3,0)
，点
B
在
y
轴上，点
A
在
x
轴负半
轴上，在
BA
的延长线上取一点
C
，使
AC?2AB
．
（1）在
y
轴上移动时，求动点
C
的轨迹
C
； <
br>（2）若直线
l:y?k(x?1)
与轨迹
C
交于
M
、
N
两点，
设点
D(?1,0)
，当
?MDN
为
锐角时，求
k
的取值范围．（14分）
C
y
D
P
A
O
x
B
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1 2 3
4 5 6
题号
7 8 9 10
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D B D A B D A B A A
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
x
2
11．
?y
2
?1
12． 4 13．
x?3y?8?0或3x?y-6?0
14． ① ④
2
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
?0
时，原不等式可化为:
|x?1|?1
,解得
x?1?1或x?1??1
,
即
x?2或x?0
,
则原不等式的解为:
x?2
;当
x
?0
时，原不等式可化为:
|x?1|?1?0
，该不等式恒成立
所以，原不等式的解为
?
x|x?0或x?2
?
.
1
，得k
AB
???1，?k
AB
??2
，
16．（12分）[解析]：
（1）
由k
AB
?k
OM
??1
2
l:y?1??2(x?2)即2x?y?5?0
．
[解析]：当
x
（2）原点到直线
l
的距离为
d
17．（12分）
[解析]：．设
A(
x
1
,y
1
)，B
(x
2
,y
2
)，则
k
1
?5
，
?AB?2AP?29?5?4．
?
y
y
1
，
k
2
?
2
，
x
2
x
1
p
），代入抛物线方程
2
∵直线
AB过焦点F,若直线AB与x轴不垂直，∴可设AB方程为：y=k（
x?
有
p<
br>p
1
，则
y
1
·
y
2
=－p
2
，
k(x?)
2
?2px?k
2
x
2
?p(k
2
?2)x?p
2
k
2
?0
，可得x
1
·
x
2
=
24
4
2
2<
br>∴
k
1
·
k
2
=
y
1
?y
2
??4?
；若直线AB与x轴垂直,得
k
1
=2, k
2
??2
,∴
k
1
·
k
2
=－4
x
1
?x
2
y
A
1
B
A
(2) 如图，∵ A、B在抛物线上，∴ |AF|=|AA
1
|
∴∠AA
1
F=∠AFA
1
，∴∠AFA
1
=
90
0
??B
1
A
1
F
同理
?BFB
1
?90???A
1
B
1
F
∴
?A
1
FB
1
?180
0
?(90<
br>0
??B
1
A
1
F)?(90
0
??A1
B
1
F)
??B
1
A
1
F??A
1
B
1
F
90
o
，
又
?B
1
A
1
F??A
1
B
1
F?180
0
??A
1
FB
1
，
18．（12分）[解析]：设每天生产甲、乙两钟产品分别为
x
t、
o
B
1
B
F
x
??A
1
FB
1
?180
0
??A
1
FB
1
??A
1
FB
1
?90
0
.
y
t，
利润总额为z万元.那么：
?
9x?4y?350,
?
?
4x?5y?220,
?
0
?
x?0,
y?
z=
12x?6y
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域
z?12x?6y
，作出以上不等式组所表示的平面
y?0
，把直线
l
向右上方平移至
l
?
位置时，直线经过
可行域上点M，现与原点
距离最大，此时z=
12x?6y
取最大值.
?
9x?4y?350
解方程组
?
得M（30，20）
?
4x?5y?220
区域，即可行域（如右图）.
作直线
l:2x?
答：生产甲产品30t，乙产品20t，能使利润总额达到最大.
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19．（14分）[解析]：（1）
由条件得直线AP的方程
y?k(x?1)
，即kx－y－k=0，
因为点M到直线AP
的距离为1，
k
2
?113
??1?m?1?
?1?
2
,
?
k?[,3],
2
3
k<
br>k
k?1
mk?k
?
232323
?m?1?2??1?m?
3或?1?m?1?.
333
2
（2）可设双曲线方程为
x?y
2
b
2
?1(b?0)
，由
M(2?1,0),A(
1,0)得AM?2.
又因为M是
?APQ
的内心，M到AP的距离为1，
所以
?MAP?45
?
,
直线AM是
?APQ
的角平分线，
且M到AQ、
PQ的距离均为1，因此，
k
AP
?1,k
AQ
??1,
（不妨设A在第一象限），直线PQ的方程为
x?2?2
，
直线A
P的方程为
y?x?1
所以解得点P的坐标为
(2?2,1?2)
，将其代入
x?
2
的方程为
x?
2
y
2
b
2
?1(b?0)
得
b
2
?
2?1
2?3
，所求双曲线
2?3
2?1
y
2
?1
，即
x
2
?(22?1)y
2
?1
.
20．（14分）[解析
]：设
C(x,y),A(a,0),B(0,b),?k
AB
??
????????
?
AC?AB,?AC?2BA,?(x?a,y)?2(a,?b),?
x?3a,y??2b,
bbbb
,k
BP
??,???(?)?
?1,即b
2
??3a.
a3a3
y
2
???x,即y
2
??4x(x?0).
4
（２）令<
br>M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),k
MD
?
2
y
1
y
,k
ND
?
2
,
把
y?k(x?1)代入y??4x,
x
1
?1x
2
?1
2
得k
2<
br>x
2
?(4?2k
2
)x?k
2
?0,?x?x?<
br>2k?4
,xx?1,yy?4
，
121212
2
k
yy
2
当MD?ND时，
1
???1即x
1
x
2
?x
1
?x
2
?y
1
y
2
?1?
0,
x
1
?1x
2
?1
?1?2?
42
?4?1?0,?k??,又??16?16k
2
?0,??1?k?1,
2
k2
结合图形可得
?1?k??
22
或?k?1.
22
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