高一数学一元二次不等式解法经典例题

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1
例1 若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－)＜0的解是

a
[ ]
1
A．a＜x＜
a

1
B．＜x＜a
a
1
C．x＞或x＜a
a

1
D．x＜或x＞a
a
1
分析 比较a与的大小后写出答案．

a
11
解 ∵0＜a＜1，∴a＜，解应当在“两根之间”，得a＜x＜．
aa

选A．
例2 x
2
?x?6有意义，则x的取值范围是
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
．

解 据题意有，x
2
－ x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3
或x≤－2．
例3 若ax
2
＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝_____ ___，b＝________．
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax< br>2
＋bx－1＝0的两
个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax
2
＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知
?
b
??(?1)?2?1
?
?
a
得
< br>?
1
?
??(?1)×2??2
?
?
a
a?
11
，b??．

22
例4 解下列不等式
(1)(x－1)(3－x)＜5－2x
(2)x(x＋11)≥3(x＋1)
2

(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x
2
＋2)
3
(4)3x
2
?3x?1＞?x
2
2

1
(5)x
2
?x?1＞x(x?1)
3
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分析 将不等式适当化简变为ax
2
＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给
出答案(过程请同学们自己完 成)．
答 (1){x|x＜2或x＞4}
3
(2){x|1≤x≤}

2
(3)?

(4)R
(5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
例5 不等式1＋x＞
A．{x|x＞0}
C．{x|x＞1}
0}
1
的解集为

1?x
[ ]
B．{x|x≥1}
D．{x|x＞1或x＝
分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
1
＞0，
1?x

?x
2
x
2
通分得＞0，即＞0，
1?xx?1
解 不等式化为1＋x－
∵x
2
＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
例6 与不等式
x?3
≥0同解的不等式是

2?x
[ ]
A．(x－3)(2－x)≥0
B．0＜x－2≤1
2?x
C．≥0

x?3
D．(x－3)(2－x)≤0
?
(x?3)(2?x)≥0，
解法一 原不等式的同解不等式组为
?

x?2≠0．
?
故排除A、C、D，选B．
x?3
解法二 ≥0化为x＝3或(x－3)(2－x)＞0即2＜x≤3

2?x
两边同减去2得0＜x－2≤1．选B．
说明：注意“零”．
例7 不等式
ax
＜1的解为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为

x?1
[ ]
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1
2
1
C．a＝
2
A．a＜ B．a＞
1
2
1
D．a＝－
2

分析 可以先将不等式整理为
(a?1)x?1
＜0，转化为

x?1
11
＝2，∴a＝．

a?12
[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}
可知a－1＜0，即a＜1，且－
答 选C．
说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
例8 解不等式
3x?7
≥2．

x
2
?2x?3
3x?7
?2≥0

x
2
?2x?3
解 先将原不等式转化为
?2x
2?x?12x
2
?x?1
即
2
≥0，所以
2
≤ 0．
x?2x?3x?2x?3

17
由于2x
2
＋x＋1 ＝2(x＋)
2
＋＞0，
48
∴不等式进一步转化为同解不等式x
2
＋2x－3＜0，
即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．
说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．
例9 已知集合A＝{x|x
2
－5x＋4≤0}与B＝{x|x
2
－2ax＋a＋2
≤0}，若B?A，求a的范围．


分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系，结合B?A，利用数形结合，建立关于a的不等式．

解 易得A＝{x|1≤x≤4}
设y＝x
2
－2ax＋a＋2(*)
(1)若B＝?，则显然B?A，由Δ＜0得

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4a
2
－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．
(2)若B≠?，则抛物线(*)的图像必须具有图1－16特征：

应有{x|x
1
≤x≤x
2
}?{x|1≤x≤4}从而

?
?
1
2
－2a·1＋a＋2≥0
?
2
1 8
?
4－2a·4＋a＋2≥0 解得12≤a≤

7
?
?2a
?
1≤≤4
?2
?
综上所述得a的范围为－1＜a≤
18
．

7
说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．
例10 解关于x的不等式
(x－2)(ax－2)＞0．
分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．
解 1° 当a＝0时，原不等式化为
x－2＜0其解集为{x|x＜2}；
22
2° 当a＜0时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，其解
aa

集为
2
{x|＜x＜2}；

a
22
3° 当0＜a＜1时，因2＜，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解
aa

集为
2
{x|x＜2或x＞}；

a
4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)
2
＞0，其解集是{x|x≠2}；
22
5° 当a＞1时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解
aa

集是
2
{x|x＜或x＞2}．

a
从而可以写出不等式的解集为：
a＝0时，{x|x＜2｝；
2
a＜0时，{x|＜x＜2｝；

a
2
0＜a＜1时，{x|x＜2或x＞}；

a
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a＝1时，{x|x≠2}；
2
a＞1时，{x|x＜或x＞2}．

a
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11 若不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx
2
＋bx
＋a ＜0的解集．
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质
上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑
使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：
?
b
－＝α＋β，
?
?
a

?
c
?
＝α·β．
?
?
a
?
b
＝－(α＋β) ＜0，
?
?
a
即
?

c
?
＝α· β＞0．
?
?
a
∵a＜0，∴b＞0，c＜0．
又
bab
×?，

acc
b11
∴＝－(＋)cαβ
ca11
由＝α·β，∴＝·
acαβ
对cx
2
＋bx＋a＜0化为x
2
＋
①

②
ba
x＋＞0，

cc
由①②得
11ba11< br>，是x
2
＋x＋＝0两个根且＞＞0，

αβccαβ
ba1 1
2
∴x＋x＋＞0即cx＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞或x＜}．

ccαβ
2
解法二 ∵cx
2
＋bx＋a＝0是ax
2
＋bx＋a＝0的倒数方程．
且ax
2
＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，
∴cx
2
＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞
11
或x＜} ．

αβ
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．
x
例12 解关于x的不等式：＜1－a(a∈R)．

x?1
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分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
解 原不等式变为
xax?1?a
－(1－a)＜0，即＜0，

x?1x?1
进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0．
(1)当a＞0时，不等式化为
a?1a?1a?1
(x－)(x－1)＜0，易见 ＜1，所以不等式解集为{x|＜x
aaa

＜1}；
(2)a＝0时，不等 式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；
a?1a?1
(3)a＜ 0时，不等式化为(x－)·(x－1)＞0，易见＞1，所以
aa

a?1
不等式解集为{x|x＜1或x＞}．
a
综上所述，原不等式解集为：
a?1
当a＞0时，{x|＜x＜1}；当a＝0时，{x|x＜1}；当a＜0时，{x|x ＞
a

a?1
或x＜1}．
a
例13 (2001年全国高考题)不等式|x
2
－3x|＞4的解集是________．
分析 可转化为(1)x
2
－3x＞4或(2)x
2
－3x＜－4 两个一元二次不等式．
由(1)可解得x＜－1或x＞4，(2)?．

答 填{x|x＜－1或x＞4}．
例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x< br>2
－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|
＜a}(a是常数)，且11∈B，则
[ ]
A．(
U
A)∩B＝R
U
B)＝R
U
B)＝R
B．A∪(
C．(
U
A)∪(
D．A∪B＝R
分析 由x
2
－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即
B＝{x|5－a＜x＜5＋a}
∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6
∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．
答 选D．
说明：本题是一个 综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次
不等式等内容都得到了考查
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