高中数学选修2-3五三电子版-高中数学板报内容
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课时分层提升练
五十六
用样本估计总体
……………………25分钟 50分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某学校对高一新生的体重进行了抽样调查.如图是
根据抽样调查后
的数据绘制的频率分布直方图,其中体重(单位:kg)的范围是[45,70],样本数据分组为[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70],已
知被
调查的学生中体重不足
55 kg的有36人,则被调查的高一新生体重在50
kg至65 kg的人数是
( )
A.90 B.75 C.60
D.45
【解析】选A.由题意可知:被调查的学生中体重不足55
kg的频率是
(0.04+0.02)×5=0.3,
所以样本容量是=120,
所以被调查的高一新生体重在50 kg至65 kg的人数是
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(0.04+0.06+0.05)×5×120=90.
2.某次知识
竞赛中,四个参赛小队的初始积分都是100分,在答题过程
中,各小队每答对1题都可以使自己小队的
积分增加5分,若答题过程
中四个小队答对的题数分别是4道,7道,7道,2道,则四个小队积分的<
br>方差为 ( )
A.50 B.75.5 C.112.5 D.225
【解题指南】先求四个小队积分的平均值,再求四个小队积分的方差.
【解析】选C.由已知得四个小队积分分别为:120,135,135,110,
所以四个小队积分的平均值为=(120+135+135+110)=125,
所以四个小队积分的方差为:
s
2
=[(120-125)
2+(135-125)
2
+(135-125)
2
+(110-125)
2
]=112.5.
【变式备选】
1.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如表(其中x,y
∈N
*
):
[10,
分组
20)
频数 2
30)
x
40)
3
50)
y
60)
2
70]
4
[20, [30, [40, [50, [60,
则样本在区间[10,50)上的频率为________.
【解析】由样本容量为20,得x+y=9,则
答案:0.7
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==0.7.
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2.以下是某样本数据,则该样本的中位数、极差分别是 ( )
数据
31,12,22,15,20,45,47,32,34,23,28
A.23,32
B.34,35
C.28,32 D.28,35
【解析】选D.将数据从小到大
按顺序排列为
12,15,20,22,23,28,31,32,34,
45,47,共1
1个数据,则中位数为第6个数28,最大值为47,最小值为12,
则极差为47-12=35. <
br>3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图
所示的频率分布直方
图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据
分组为[17.5,20),
[2
0,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学
生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( )
A.56
B.60 C.120 D.140
【解析】选D.由频率分布直方图可知,每周自习时间
不少于22.5小时
的学生所占频率为2.5×(0.16+0.08+0.04)=0.7,所以每周
自习时间不
少于22.5小时的学生人数为200×0.7=140.
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4.已知样本数据x
1
,x
2
,…,x
10
,其中x
1
,x
2
,x
3
的平均数为
a;x
4
,x
5
,x
6
,…,x
10
的平
均数为b,则样本数据的平均数为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.依题意可得x
1
+x
2
+x
3
=3a, <
br>x
4
+x
5
+x
6
+…+x
10
=
7b,
=
=
所以样本数据的平均数为
=
.
,
5.甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分(单位:分)如表:
甲
乙
丙
全班
一
95
88
69
88
二
87
80
63
82
三
92
85
71
81
四
93
78
71
80
五
87
86
74
75
六
94
72
74
77
下列说法错误的是 (
)
A.甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平,且较稳定
B.乙同学的数学成绩平均值是81.5
C.丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平
D.在6次测验中,每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三
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【解析】选D.由题目统计表知:甲同学的数学学习成绩高于班级平均水
平
,且较稳定,选项A正确;乙同学的数学成绩平均值是
(88+80+85+78+86+72)=81
.5,选项B正确;丙同学的数学学习成绩低于
班级平均水平,选项C正确;第6次测验成绩是甲第一、
丙第二、乙第
三,选项D错误.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知某
班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示,则其中位数和
众数分别为________.
【解析】由题干中茎叶图可知,此组数据由小到大排列依次为
76,79,81,
8
3,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114,共17个,故
中位数
为92,出现次数最多的为众数,故众数为86.
答案:92,86
7.(
2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且
至多有一个数
字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________
个.(用数字作答)
【解析】分
两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个数为:
二种:四位数中有一位为偶数的个数为
=12
0,第
=960,则共有1080个.
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答案:1 080
8.据统计,交通事故中超速行驶是最主要的原因.为
掌握具体数据,某
交警支队在一雷达测速区进行调查,有100辆汽车在一个时段经过该雷
达测
速区,这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示,则时速超过
60
kmh的汽车数量约为________辆.
【解析】[60,70)的频率为0.028×10=0.28,
[70,80]的频率为0.010×10=0.10,
所以[60,80]的频率为0.28+0.10=0.38,
该组中频数为100×0.38=38,
即时速超过60 kmh的汽车约为38辆.
答案:38
三、解答题
9.(10分)(2020·梧州模拟)甲、乙两人参加某
体育项目训练,近期的五
次测试成绩(单位:分)如图所示:
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(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差.
(2)根据(1)的结果,对两人的成绩作出评价.
【解析】(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲:10分,13分,12分,14分,16分;
乙:13分,14分,12分,12分,14分.
=
=
=13,
=13,
=×[(10-13)
2
+(13-13)
2
+
(12-13)
2
+(14-13)
2
+(16-13)
2
]=4,
=×[(13-13)
2
+(14-13)
2
+(12-
13)
2
+(12-13)
2
+(14-13)
2
]=0.
8.
(2)由>,可知乙的成绩较稳定.
从题图看,甲的成绩基本呈上升趋势,而乙的成绩
上下波动,因此甲的成
绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.
【变式备选】
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机
地选取20位患者服用A药,20位
患者服用B药,这40位患者在服用一
段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的
观测结果
如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2
2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2
2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
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服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9
0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6
2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
【解析】(1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为,
由观测结果可得=(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.
6+2.7+2.7+
2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
=(
0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.
8+1.9+
2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6,
由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
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从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上,
而
B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗
效更好.
【拓展延伸】1
.平均数反映了数据的中心,是平均水平,而方差和标准
差反映的是数据围绕平均数的波动大小.进行平
均数与方差的计算,关
键是正确运用公式.
2.平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意
义,一般可以通过比
较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异,对甲、乙两品种可以做
出评
价或选择.
……………………20分钟 40分
1.(5分)一个样本容量为10的样本数
据,它们组成一个公差不为0的等
差数列{a
n
},若a
3
=8,且
a
1
,a
3
,a
7
成等比数列,则此样本的平均数和中位<
br>数分别是( )
A.13,12 B.13,13 C.12,13
D.13,14
【解析】选B.设公差为d,由a
3
=8,且a
1
,a
3
,a
7
成等比数列,可得
64=(8-2d)(8+4d)=
64+16d-8d
2
,
即0=16d-8d
2
,
又公差不为0,解得d=2.
此数列的各项分别为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,
故样本的中位数是13,平均数是13.
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2.(5分)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况,随机抽查了部分学生,测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图
所示的频率分布直方图,根
据统计图的数据,下列结论错误的是
( )
A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25
B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5
C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320
D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32
【解析】选D.由题目频
率分布直方图可知,中位数是频率分布直方图面
积等分线对应的数值,是26.25;众数是最高矩形的
中间值27.5;1分钟
仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2,所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320;1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1,所
以估计1分钟仰卧起
坐的次数少于20的人数为160.
3.(5分)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x
1
,x
2
,…,x
10
,其均值和
方差分别为和s
2
,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10
位员工下月工资的均值和方差分别
为 ( )
A.,s
2
+100
2
B.+100,s
2
+100
2
C.,20
D.+100,s
2
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【解析】选D.由题可知=
s
2
=[(x
1-)
2
+(x
2
-)
2
+…+(x
10
-)
2
],
月工资增加100元后:=+100,
,
s′<
br>2
=[(x
1
+100-)
2
+(x
2
+1
00-)
2
+…+(x
10
+100-)
2
]=s
2
.
【变式备选】
图1是某县参加2017年高考的学生的身高条形统计图,
从左到右
各条形图表示的学生人数依次为A
1
,A
2
,…,A
n
(如A
2
表示身高(单位:cm)
在[150,155)内的学生人数)
,图2是统计图1中身高在一定范围内的学
生人数的程序框图.现要统计身高在160~180
cm(含160 cm不含180
cm)
的学生人数,那么空白的判断框内应填写的条件是________.
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【解析】由题意可知,本题是统计身高在160~180 cm(含160
cm,不含
180 cm)内的学生人数,即求A
4
+A
5
+A6
+A
7
,故程序框图中的判断框内应填
写的条件是“i≤7?”.
答案:i≤7?
4.(5分)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率
分布直
方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有__________株树木的底部周
长小
于100 cm.
【解析】由题意知抽测的60株树木中,底部周长小于100
cm的株数为
(0.015+0.025)×10×60=24.
答案:24
5.
(10分)某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,
远离毒品”的电视公益广告,期
望让更多的市民知道毒品的危害性.禁
毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄
段在
[10,20),[20,30),[30,40),
[40,50),[50,60)
的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图
如图所示.
(1)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数.
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(2)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人,求
[
50,60)年龄段抽取的人数.
【解析】(1)由频率分布直方图知,随机抽取的市民中年龄段在[30,40)
的频率为:
1-10×(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3,即随机抽取的市民中年龄
段
在[30,40)的人数为100×0.3=30(人).
(2)由(1)知,年龄段在[
40,50),[50,60)的人数分别为
100×0.15=15(人),100×0.1=10(
人),
即不小于40岁的人的频数是25人,
所以在[50,60)年龄段抽取的人数为10×=2(人).
6.(10分)某经销商从外
地一水殖厂购进一批小龙虾,并随机抽取40只
进行统计,按重量分类统计结果如图:
(1)记事件A为:“从这批小龙虾中任取一只,重量不超过35克的小龙
虾”,求P(A)的估计
值.
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(2)试估计这批小龙虾的平均重量.
(3)为适应市场需求,制定促销
策略.该经销商又将这批小龙虾分成三
个等级,并制定出销售单价,如表:
等级
重量(克)
单价(元只)
一等品
[5,25)
1.2
二等品
[25,35)
1.5
三等品
[35,55]
1.8
试估算该经销商以每千克至多花多少元(取整数)收购这批小龙虾,才
能获得利润?
【解析】(1)由于40只小龙虾中重量不超过35克的小龙虾有
6+10+12=28(只).
所以P(A)==.
(2)从题目统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为
(6×10+10×20+12×30+8×40+4×50)=
=28.5(克).
(3)设该经销商收购这批小龙虾每千克x元.根据样本,由(2)知,这40只
小龙虾中一等品、二
等品、三等品各有16只、12只、12只,约有1 140
克,所以1
140x≤16×1.2+12×1.5+12×1.8,
而×1 000≈51.6,
故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多51元.
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